Высшая математика. Интегральное исчисление функции одной переменной. Неопределенный интеграл: сборник контрольных заданий с примерами решений

МИНИСТЕРСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ДЕЛАМ ГРАЖДАНСКОЙ 

ОБОРОНЫ, ЧРЕЗВЫЧАЙНЫМ СИТУАЦИЯМ И ЛИКВИДАЦИИ ПОСЛЕДСТВИЙ 

СТИХИЙНЫХ БЕДСТВИЙ

ФГБОУ ВО СИБИРСКАЯ ПОЖАРНО-СПАСАТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ

ГПС МЧС РОССИИ

Двойцова И.Н.

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Интегральное исчисление функции одной переменной

Неопределенный интеграл

Учебное пособие

Железногорск 

2018

УДК 517.3
ББК 22.161.1

Д24

Авторы: Двойцова Ирина Николаевна, канд. с-х. наук

Рецензенты: М.М. Герасимова, кандидат технических наук, доцент
(Лесосибирский филиал ФГБОУ ВО Сибирский государственный 

университет науки и технологий имени М.Ф. Решетнева)

М.И. Антипин, кандидат технических наук

(ФГБОУ ВО Сибирская пожарно-спасательная академия ГПС МЧС 

России)

Д24
Двойцова И.Н.
Высшая 
математика
Интегральное 

исчисление функции одной переменной. Неопределенный 
интеграл. Сборник контрольных заданий с примерами 
решений. [Текст]: учебное пособие / И.Н. Двойцова –
Железногорск:
ФГБОУ 
ВО 
Сибирская 
пожарно
спасательная академия ГПС МЧС России, 2018. – 53 с.

Сборник контрольных заданий содержит индивидуальные задания 

для расчетных и контрольных работ, а также краткие теоретические 
сведения и образцы решения типовых задач. Рекомендуется для 
обучающихся по специальности 20.05.01 и направлению подготовки 
20.03.01.

УДК 517.3
ББК 22.161.1

© ФГБОУ ВО «Сибирская пожарно-спасательная академия ГПС МЧС России», 2018
© Двойцова И.Н., 2018

Введение

Настоящий сборник контрольных заданий предназначен в помощь 

курсантам и студентам специальности 20.05.01, направления подготовки 

20.03.01
очной формы обучения
при изучении раздела «Интегральное 

исчисление функции одной переменной» курса математики. Учебным планом 

предусмотрено выполнение расчетных работ
и контрольной работы с 

заданиями по этому разделу. Основную часть сборника составляют 

тренировочные задания и индивидуальные задания для расчетных работ, а 

также краткие теоретические сведения и образцы решения типовых задач по 

теме «Неопределенный интеграл». Тренировочные задания и расчетные работы 

являются видами самостоятельной работы студентов и включают задачи:

1. Непосредственное интегрирование неопределенных интегралов (30 

примеров по вариантам).

2. Интегрирование методами замены переменной и по частям (15

примеров по вариантам).

3. Выполнение индивидуального задания (30 вариантов).

Каждая работа выполняется в отдельной тетради, на обложке которой 

должны быть указаны фамилия курсанта или студента, номер группы и номер 

выполняемого варианта. В работу должны быть включены все задачи, 

указанные в задании, в соответствии с заданным вариантом. Решение задач 

должно быть приведено с промежуточными расчетами и пояснениями. 

Требования к защите работ: курсант или студент должен уметь 

объяснить решение любой задачи.

1 Первообразная  и неопределенный интеграл

Определение. Функция 
 
x
F
называется первообразной для функции 

 
x
f
на 
промежутке 
X , 
если 
для 
любого 
X
x
функция 
 
x
F

дифференцируема и выполняется равенство 

 
 
x
f
x
F


.

Определение. Совокупность всех первообразных для функции 
 
x
f
на 

промежутке X называется неопределенным интегралом от функции 
 
x
f
на 

этом промежутке и обозначается символом 

 
 



,
C
x
F
dx
x
f

где С – произвольная постоянная.

1.1Свойства неопределенного интеграла

1. 

)
(
)
(
x
f
dx
x
f



.

2.
 


 
.
dx
x
f
dx
x
f
d



3.
 
 



.
C
x
F
dx
x
dF

4.
 
 



dx
x
f
k
dx
x
f
k
, где k – постоянная.

5.
 
 


 
 






.
2
1
2
1
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
x
f

6. Если
 
 



,
C
x
F
dx
x
f
 
x
u


, то
 
 



.
C
u
F
du
u
f

7.




1
.
f аx
b dx
F ax
b
C
a






1.2 Непосредственное интегрирование

Метод непосредственного интегрирования заключается в вычислении 

неопределенного интеграла с использованием свойств интегралов, таблицы 

основных интегралов и тождественных преобразований подынтегрального 

выражения.

Таблица основных интегралов

1. 


.
0
C
dx
8.  


.
sin
cos
C
x
dx
x

2. 


.
C
x
dx
9.  
.
cos2
C
tgx
x

dx




3. 






C
n
x
dx
x

n

n

1

1

, 
.1


n
10. 



.
sin2
C
ctgx
dx
x

dx

4. 


.
ln
C
x
x
dx
11. 
.
1

2
2
C
a
x
arctg
a
dx
x
a

dx





5.
.
ln
C
a

a
dx
a

x

x



12. 
.
arcsin

2
2
C
x

x
a

dx






6.
.
C
e
dx
e
x
x



13. 
.
ln
2
2

2
2
C
x
a
x

x
a

dx








7. 



.
cos
sin
C
x
dx
x
14. 





.
ln
2
1

2
2
C
a
x

a
x

a
a
x

dx

Пример 1. Найти интеграл 
 25
4
2
x

dx

и выполнить проверку.

Решение. Так как 
























2

2
2
2

2
5
4
4
25
4
25
4
x
x
x
, то, используя 

свойство 4, формулу 11 таблицы интегралов при а=5/2, получаем











.
5
2

10
1

)
2
/
5
(
4
1

)
2
/
5
(
4
1

25
4
2
2
2
2
2
C
x
arctg
x

dx

x

dx

x

dx

Проверка.

.
25
4

1

5
2

4
25

1

10
25

5
2

25
4
1

1

10
1

5
2

10
1

2
2
2





















x
x
x

x
arctg

Пример 2.
Найти интеграл 
dx
x
x

2

2

cos

2

sin






и выполнить 

проверку.

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию и воспользуемся 

табличными интегралами 2 и 7.
















dx
x
x
x
x
dx
x
x

2

cos

2

cos

2

sin
2

2

sin

2

cos

2

sin

2
2

2



.
cos
sin
sin
1
C
x
x
dx
x
dx
x
dx











Проверка. 

.
2
cos
2
sin
2
2
cos
2
sin
sin
1
cos

2
2
x
x
x
x
x
x
x








1.3Метод замены переменной

Метод замены переменной в неопределенном интеграле производится с 

помощью подстановок двух видов:

1) 
 t
x


, где 
 t

- монотонная, непрерывно дифференцируемая 

функция новой переменной t. Формула замены переменной при такой 

подстановке:

 
 

  




dt
t
t
f
dx
x
f


.                                   (1.1)

2) 
 
x
t


, где t – новая переменная. Формула замены переменной в 

этом случае:

 


 
 




dt
t
f
dx
x
x
f


.      
(1.2)

С помощью метода замены переменной можно получить следующие 

формулы:

 
 



 






C
x
f

x
f

x
f
d
dx

x
f

x
f
n

)
(

)
(
l
,                     (1.3)

 
 



 






C
x
f

x
f

x
f
d
dx

x
f

x
f
2

)
(

)
(

.                   (1.4)

Пример 3. Найти интеграл 




dx
x
x

10
1
.

Решение. Введем новую переменную 
1

 x
t
. Тогда 
dt
dx
t
x



,1
, 

и исходный интеграл преобразуется по формуле (1.1) следующим образом:





dx
x
x

10
1
= 











C
t
t
dt
t
t
dt
t
t
11
12
1

11
12

10
11
10
.

Вернемся к переменной x, подставляя 
1

x
вместо t , получим 

окончательный ответ:





dx
x
x

10
1
= 








C
x
x

11

1

12

1

11
12



C
x
x









132

1

12
1

11
.

Пример 4. Найти интеграл   x

dx

2
1
.

Решение. Положим 
.
2
1
x
t


Тогда 
t
x
2
1

2
1 

, 







t
d
dx
2
1

2
1

dt
dt
t
2
1

2
1

2
1












, 
















.
2
1
ln
2
1
ln
2
1

2
1
)
2
/
1
(

2
1
C
x
C
t
t
dt

t

dt

x

dx

Пример 5. Найти интеграл 




dx
x
x

x

7
5

5
2

2
.

Решение.  Подынтегральная функция имеет вид 
 
 x
f

x
f 
, где 

)
(x
f

7
5
2



x
x
, 
 
5
2
7
5
2






x
x
x
x
f
. Применяя формулу (1.3), получим



















.
)
7
5
ln(

7
5

)'
7
5
(

7
5

5
2
2

2

2

2
C
x
x
dx

x
x

x
x
dx

x
x

x

Замечание. Под знаком логарифма трехчлен (
7
5
2

 x
x
) не взят по 

абсолютной величине, так как корни его комплексные, коэффициент при х2

положителен, поэтому при любом значении х этот трехчлен положителен.

Пример 6. Найти интеграл 

x

dx
x

cos
5

sin

.

Решение. 
Перепишем 
подынтегральную 
функцию 
в 
виде: 

x

x

cos
5

sin


=
.

cos
5

sin

x

x





Числитель дроби равен производной функции, 

стоящей под корнем в знаменателе: 

.
sin
cos
5
x
x




Следовательно, на 

основании формулы (1.4) имеем:



x

dx
x

cos
5

sin

=
.
cos
5
2

cos
5

sin
С
x

x

dx
x








 

1.4Метод интегрирования по частям

Если 
 
x
u
и 
 
x
v
- дифференцируемые функции, то справедлива 

формула интегрирования по частям:





du
v
uv
v
d
u
.                                               (1.5)

Эта формула используется в тех случаях, когда подынтегральное выражение 

 dx
x
f
можно представить в виде произведения 
dv
u
так, что интеграл, 

стоящий в правой части формулы (1.7), будет табличным или легко сводящимся 

к табличному.

Метод интегрирования по частям применяется при нахождении 

неопределенных интегралов вида:

1)
 
 
 



dx
mx
x
P
dx
mx
x
P
dx
e
x
P
ax
cos
,
sin
,
;

2)
 
 
 
 



,
arccos
,
arcsin
,
ln
dx
x
x
P
dx
x
x
P
dx
x
x
P
n

 
 


dx
arcctgx
x
P
dx
arctgx
x
P
,
,

где  
x
P
- многочлен n -й степени 
 
n

nx
a
x
a
x
a
a
x
P





...
2

2
1
0
. Применяя 

формулу (1.7) к интегралам первой группы, за u следует принять многочлен 

 
x
P
, а за dv - остальную часть подынтегрального выражения. В интегралах 

второй группы за u принимается 
,
arccos
,
arcsin
,
ln
x
x
x
,
arctgx
arcctgx , а за 

dv - выражение  dx
x
P
.

Пример 7. Найти интеграл  
dx
x
x
3
.

Решение. Положим 
u
x 
, 
dv
dx
x

3
. Дифференцируя первое равенство 

и интегрируя второе, определяем 
du
dx 
, 
3
ln
3x

v 
. Применяя формулу (1.5), 

получим:










.

)
3
(ln

3

3
ln

3

3
ln
3

3
ln
3
3
2
C
x
dx
x
dx
x

x
x
x
x

x

Пример 8. Найти интеграл 
.
sin
2
xdx
x

Решение. Положим 

2x
u 
, 
.
sin
dv
xdx 
Тогда 
 
xdx
x
d
du
2
2 

и 







.
cos
sin
x
xdx
dv
v
Применяя формулу интегрирования по частям, 

получаем











.
cos
2
cos
2
)
cos
(
cos
sin
2
2
2
xdx
x
x
x
xdx
x
x
x
xdx
x

Получившийся интеграл не является табличным, но  повторное 

применение формулы интегрирования по частям приводит к табличному 

интегралу. Положим теперь 
x
u 
,
.
cos
dv
xdx 
Тогда 
dx
du 
, 
x
v
sin

и 












.
cos
2
sin
2
cos
)
sin
sin
(
2
cos
sin
2
2
2
C
x
x
x
x
x
xdx
x
x
x
x
xdx
x

2 Интегрирование рациональных дробей

Определение. Рациональной дробью называется дробь вида 
 
 
x
Q

x
P
, где 

 
x
P
и  
x
Q
- многочлены.

Определение. Рациональная дробь называется правильной, если степень 

многочлена 
 
x
P
ниже степени многочлена 
 
x
Q
. В противном случае дробь 

называется неправильной.

2.1 Интегрирование простейших дробей

Простейшими дробями называются правильные дроби следующего 

вида:

1)
a
x

A

.

Дробь интегрируется с помощью замены переменной: 
t
a
x


.

2) 


m
a
x

A

, где m >1, целое.

Дробь интегрируется с помощью замены переменной: 

t
a
x

m 

.

3)
q
px
x

B
Ax






2
, где дискриминант 
0
4

2


 q
p
;

Для интегрирования дроби в числителе надо выделить производную 

знаменателя, представив его в виде



2
2
2
Ap
B
A
p
x
B
Ax






.

Преобразованная дробь 
q
px
x

B
Ax






2
будет иметь вид




q
px
x

Ap
B
A
p
x








2
2
2
2

и может быть представлена как сумма двух дробей:

q
px
x

Ap
B

q
px
x

p
x
A













2
2

2
2

2
.

Первая 
дробь 
интегрируется 
с 
помощью 
замены 
переменной 

t
q
px
x



2
. Для интегрирования второй дроби в знаменателе надо выделить 

полный квадрат: