Математическое моделирование при анализе и расчёте электрических цепей

МИНИСТЕРСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ДЕЛАМ ГРАЖДАНСКОЙ 

ОБОРОНЫ, ЧРЕЗВЫЧАЙНЫМ СИТУАЦИЯМ И ЛИКВИДАЦИИ ПОСЛЕДСТВИЙ 

СТИХИЙНЫХ БЕДСТВИЙ

ФГБОУ ВО СИБИРСКАЯ ПОЖАРНО-СПАСАТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ

ГПС МЧС РОССИИ

Ковель А.А.

«МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ АНАЛИЗЕ И 

РАСЧЁТЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ»

учебное пособие 

Железногорск

2017

УДК 621.31
ББК 31.2

К56

Авторы: Ковель Анатолий Архипович, доктор технических наук, доцент

Рецензенты: М.М. Герасимова, кандидат технических наук, доцент
(Лесосибирский филиал ФГБОУ ВО «Сибирский государственный 

технологический университет»)

А.А. Носенков, доктор технических наук, профессор

(ФГБОУ ВО «Сибирская пожарно-спасательная академия ГПС МЧС России»)

И.Г. Сафронова, кандидат педагогических наук, доцент

(ФГБОУ ВО Уральский институт ГПС МЧС России)

К56
Ковель, А.А. Математическое моделирование при анализе и 
расчёте электрических цепей. [Текст]: учебное пособие / 
А.А. Ковель
–
Железногорск:
ФГБОУ ВО Сибирская 

пожарно-спасательная академия ГПС МЧС России, 2017. –
54 с.: ил.

Издание представляет собой изложение простых методов синтеза 

(восстановления) математических моделей (ММ) явлений и процессов в 
электрических цепях (ЭЦ), использующих закономерности и физические 
процессы в ЭЦ. Пособие может быть использовано для приобретения навыков 
математического описания процессов и явлений в различных учебных 
дисциплинах, а также при изучении теоретического курса электротехники, 
составлении 
программ 
компьютерного 
анализа 
ЭЦ 
и 
решения 

электротехнических задач.

УДК 621.31
ББК 31.2

© ФГБОУ ВО Сибирская пожарно-спасательная академия ГПС МЧС России, 2017
© Ковель А.А., 2017

Введение

XXI-й век – время интенсивной математизации, алгоритмизации науки, 

знаний, технологий. Математические модели (ММ) состояний, процессов и 
явлений стали неотъемлемым элементом решения любой задачи и проблемы 
при обучении, исследовании, реализации, а применение возможностей 
вычислительной техники позволило из поливариантного изобилия за короткий 
срок выбирать оптимальное решение, что невиданными темпами ускорило 
развитие отраслей, где указанные подходы и методы заняли лидирующее 
положение.

Синтез(восстановление) ММ состояний и процессов в электрических 

цепях (ЭЦ) – фрагмент из указанного ряда инновационных проявлений, 
охватывающих погружение в курс электротехники и методы решения 
электротехнических задач, что приобретает также важное самостоятельное 
обученческое 
и 
общеметодическое
значение, 
прививая 
обучающимся 

понимание возможностей аналитико-математических методов решения не 
только электротехнических задач, а и любых вопросов и проблем повседневной 
МЧС-овской практики.

Синтез ММ состояний, процессов и явлений в ЭЦ основан на 

использовании аксиоматических начал, лежащих в фундаменте электротехники
и подтвердивших свою адекватность физическим процессам, состояниям и 
явлениям в реальных ЭЦ в течение более двухсотлетней научной, инженерной 
и промышленной практики, начиная с «юных» электротехников (Вольта, 
Ампера, Кулона и др.) и получивших продолжение в работах и исследованиях 
классиков (Фарадей, Герц, Максвелл и др.). Эти
правила, законы и 

методические положения (П 1.1):

– Закон Ома и его следствия;
– Закон сохранения заряда;
– Правила Кирхгофа;
– Законы коммутации;
– Закон сохранения энергии;
– Уравнения Максвелла;
– Начальные и конечные условия и др.

Электротехнические вопросы, проблемы и задачи, сформулированные

вначале в вербальной (словесной) форме, применяя упомянутые положения
(П1), 
представляют 
в 
виде 
полиномиальных
равенств, 
неравенств, 

дифференциальных, операторных уравнений, решения которых позволяют 

получить результат в количественном виде или функций зависимости для 
использования в практических приложениях или как промежуточный результат 
для решения сложной задачи или проблемы (рис.В1.1.).

Рисунок В 1.1. – Этапы решения электротехнических задач.

Исходное вербальное изложение проблемы

1.1  

Электротехнические 

задачи 

1.2                      

Явления в ЭЦ

1.3                       

процессы в ЭЦ                    

2                                                                                          

Представление исходных данных в виде 
электрических схем, графов, графических 

зависимостей

3                                                                                  

Эквивалентные преобразования электрических схем

4                                                            

Представление исходных данных в аналитическом 

виде

5                                                                                     

Решение аналитических зависимостей, представление 

результатов в формализованном виде

6 

Проверка результатов с использованием 

апробированных методов

7                                              

Уточнение исходных данных и аналитических 

представлений

8                                                                                  

Использование полученных результатов

При 
решении 
учебных 
задач 
исходные 
данные
представлены

количественными параметрами конкретной ЭЦ (схемы электрической – СХЭ) с 
указанием, какие параметры должны быть определены и часто какими 
методами. Таким образом, решение начинается с позиции 3 (поз.3 рис В 1.1).
Простейший пример эквивалентных преобразований представлен на рисунке 
В 1.2.

Рисунок В 1.2. – Этапы эквивалентных преобразований, где R23 и R123 
результаты эквивалентов преобразованных резисторов R2, R3 и R1 и R23 
соответственно.

Следующий 
этап, 
используя 
исходные 
данные 
и 
результаты 

эквивалентных преобразований, составляют (в виде равенств, неравенств, 
системы уравнений) ММ, соответствующую требованиям исходных данных. 
Так, если в приведенном примере необходимо определить токи в ветвях ЭЦ
(стр. 8), то ММ будет представлена зависимостью связи E, R по закону Ома
(стр. 4). Аналогично для других задач.

Решая задачу относительно неизвестной величины (величин), получают 

искомый или промежуточный результат для дельнейшей детализации (поз.5).В 
приведенном примере ток I является током, протекающим по ветвям R1 и 
суммарным током для определения тока в ветвях, образованных резисторами 
R2 и R3 (стр. 12).

Проверка результатов может быть проведена, используя первое правило 

Кирхгофа (стр. 12).

В учебных задачах обычно не требуется уточнение исходных данных 

(если это не заложено в условие задачи), а полученные результаты использует 
преподаватель для оценки знаний обучаемого по соответствующим разделам 
курса.

Для проверки соответствия полученных результатов исходным данным, 

учитывая, что реальные задачи не содержат готовых ответов, используют 
фундаментальные положения электротехнической теории(см. П1). Если 

полученные результаты потребуют уточнения и корректировки исходных 
данных, необходимо повторить все пройденные этапы решения(В1.1).

При этом на каждом этапе решения следует иметь ввиду (и это должен 

подчеркивать преподаватель, представляя примеры решения задач), что за 
простыми начертаниями ЭЦ могут подразумеваться реальные непростые
объекты. Так, схема В1.2 может быть упрощенной графической моделью ЭЦ 
Красноярской ГЭС (Е) и двух реальных потребителей (Сосновоборск – R2, 
Красноярск – R3, сопротивление линии электропередачи R1).

1.
Закон Ома. Следствия закона. Исходная модель процессов в ЭЦ

Закон Ома – первая фундаментальная закономерность, отражающая 

процессы в электрических цепях (ЭЦ), которая составила основу теоретической
и практической электротехники (1827 г.).

На рисунке 1.1. показано современное представление простейшей ЭЦ:

I

R
E

R
E
I 
,

Рисунок 1.1. Простая ЭЦ

E – электродвижущая сила источника (В),

R – сопротивление нагрузки (Ом),

I – ток в электрической цепи (А).

R
E
I 
– величина тока в ЭЦ прямо пропорциональна величине ЭдС (Е) 

источника и обратно пропорциональна сопротивлению нагрузки (R) ЭЦ.

Фундаментальность этой зависимости (математической модели – ММ) 

заключается в том, что она отражает самые общие закономерности состояния 
ЭЦ как при постоянном, так и при переменном токах, активной (R), так и 
реактивной (Z) нагрузках и других аспектах применения.

Ом впервые использовал аналогию между движением электрических 

зарядов (ток) и потоком воды в трубе, а разность потенциалов на клеммах 
источника, равную ЭдС Е, – как разность водных уровней, обеспечивающих 
движение водного потока. В это же время Ампером было введено понятие 
направления 
движения 
электрического 
тока 
и
предложено
считать 

положительным направлением тока от положительного полюса источника (т.е. 
полюса более высокого потенциала) к отрицательному.

1.1.
Неразветвленная электрическая цепь (ЭЦ)

Дальнейшее 
развитие 
теории
и 
практического 
использования 

электричества привело к необходимости учета конфигурации схемы ЭЦ 
(источник электроэнергии, элементы нагрузки, соединительные
провода, 

коммутирующие устройства) в виде электрической схемы (СхЭ), используя 
условные обозначения элементов ЭЦ. Таким образом, СхЭ стала играть роль 
графической модели ЭЦ.

Простейшей 
конфигурацией 
СхЭ 
явилась 
неразветвленная 
ЭЦ, 

содержащая ЭдС (
), нагрузку (
), соединительные провода, образующих 

замкнутый контур. Если не было специальной необходимости отдельно 

представлять внутреннее сопротивление источника 
(RE), его включали в 

состав общей нагрузки(RH). И для такой схемы и был сформулирован закон 
Ома.

Простейшее очевидное следствие из закона Ома –

.

Вербальная интерпретация: падение напряжения (
) на элементах ЭЦ 

равно ЭдС (
) этой цепи.

Если же нагрузка состоит из последовательно включенных отдельных 

частей (
то их сумма (
) составляет общую 

нагрузку ЭЦ и позволяет, используя закон Ома, определить ток, протекающий 
по всем составляющим 
(одинаковый), а равенство ЭдС и падения 

напряжения расширяет понимание процессов в ЭЦ:





R
E
I
,










n

i
n
R
R
R
R
R
R

1

3
2
1

,






n
R
R
R
R

n

n

U
U
U
U

IR
IR
IR
IR

R
R
R
R
I
R
I
E


































3
2
1

3
2
1

3
2
1

I

R

R1

2

R3

Rn

Рисунок 1.2. Нагрузка, состоящая из n последовательных частей

Полученный результат – следствие из закона Ома: сумма падений 

напряжений на элементах неразветвленной ЭЦ равна ЭдС этой цепи.

Если 
в 
ЭЦ 
несколько 
разных 
источников 
ЭдС, 
включенных 

последовательно по-разному (в смысле полярности), то результирующая ЭдС, 
используемая для расчетов, равна алгебраической сумме ЭдС упомянутых 
источников.

1.2. Разветвленные ЭЦ

Усложнением 
неразветвленной 
ЭЦ 
является 
цепь 
разветвленная, 

содержащая кроме последовательно включенных элементов нагрузки и 
соединительные провода (линии) также участки с параллельно включенными 
нагрузочными элементами ЭЦ (рис.1.3), где 
и 
– параллельные элементы 

ЭЦ.

Для анализа разветвленных цепей введено понятие проводимости участка 

ЭЦ
, величина которой равна обратной величине активного сопротивления 

этого участка.

I

R

R1

2
R3
R3

I

R

R1

23
U R

Рисунок 1.3. Разветвленная ЭЦ

Из выражения для проводимости следует: чем больше сопротивление, 

тем меньше проводимость, и наоборот. Таким образом, два параллельно 
включенных сопротивления уменьшают общее (эквивалентное) сопротивление 

цепи (вместо одного пути для тока - появляется еще один ), - значит, 

общая проводимость этого участка ЭЦ (
и 

=) увеличивается (рис. 

1.3)

Тогда: 
, 
, 
=
и 

.

Используя конечную (преобразовательную) графическую модель ЭЦ и 

закон Ома, определяют:







1
23
123

1
23
1
23
1
23

                                    1.3

(
)
.     1.4

экв

экв

E
E
E
I
R
R
R
R

E
IR
I R
R
IR
IR
UR
UR















Эти соотношения определяют общий ток 
(
) ЭЦ, который протекает 

по 
и одновременно является током, протекающим по эквивалентному
и 

создает на нем падение напряжения 
23
R
U
. Реально это напряжение падает на

и 
, подключенных к тем же точкам, что и эквивалентное 
. Тогда:

23

2

2

R
U
I
R

,

23

2

3

R
U
I
R

.

Дальнейшее изложение требует раскрытия понятий ветвь, узел, контур 

ЭЦ.

Ветвь – элемент (участок) ЭЦ «обладающий» собственным током, 

отличным от токов других участков ЭЦ. Ток в неразветвленной ЭЦ (рис. 1.1) –

один, одна ветвь; в разветвленной (рис. 1.3) – три разных тока (
, I2, I3) , три 

ветви, которые образуют R1, R2 и R3 соответственно.

Узел – элемент ЭЦ, отмечающий начало или конец ветви, или место 

соединения ветвей (не менее трех). В ЭЦ рис. 1.3 два узла.

Контур – совокупность элементов ЭЦ, образующих замкнутый путь (без 

внутренних пересечений). В ЭЦ рис. 1.3 два контура: первый включает 
источник Е, R1 и R2; второй – R2 и R3.

Понятия ветвь, узел, контур широко используются при описании 

процессов в ЭЦ (ток ветви, контурный ток, узловой потенциал и т.д.).