Математические методы в психологии (логопедии)

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ 
МЕТОДЫ 
В ПСИХОЛОГИИ 
(ЛОГОПЕДИИ)

А.И. НОВИКОВ 
Н.В. НОВИКОВА

Рекомендовано Межрегиональным учебно-методическим советом 
профессионального образования в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по направлению подготовки 37.03.01 «Психология» 
(квалификация (степень) «бакалавр») (протокол № 17 от 11.11.2019)

Москва
ИНФРА-М
2020

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК [519.25+159.9](075.8)
ББК 22.172:88я73
 
Н73

Р е ц е н з е н т ы:
Е.А. Певцова, доктор педагогических наук, проректор по научной 
работе Российского университета кооперации;
М.И. Кондрашкина, кандидат биологических наук, доцент Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

ISBN 978-5-16-015127-4 (print)
ISBN 978-5-16-107630-9 (online)
© Новиков А.И., Новикова Н.В., 
2020

Новиков А.И.
Н73  
Математические методы в психологии (логопедии) : учебное пособие / А.И. Новиков, Н.В. Новикова. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 
376 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/1018182.

ISBN 978-5-16-015127-4 (print)
ISBN 978-5-16-107630-9 (online)
В учебном пособии рассмотрены необходимые математические методы и подходы, используемые для изучения и практического применения 
в психологии (логопедии). В примерах и заданиях (с ответами) приведены 
встречающиеся в практической работе психологов различные методики, 
которые позволяют освоить вычислительные процедуры статистической 
обработки данных.
Параллельно с ручной обработкой представлена обработка данных с использованием MS Excel и SPSS. Показано сочетание пакетов Excel и SPSS. 
Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования последнего поколения.
Предназначено для студентов вузов, обучающихся по направлению 
подготовки 37.03.01 «Психология». Также может быть полезно аспирантам 
и специалистам, ориентированным на прикладные задачи в психологии.

УДК [519.25+159.9](075.8)
ББК 22.172:88я73

Введение

Математические методы в психологии — это раздел теоретической психологии, использующий для построения теорий и моделей математический аппарат.
Объект математической психологии — естественные системы, 
обладающие психическими свойствами; содержательные психологические теории и математические модели таких систем.
Предмет — разработка и применение формального аппарата 
для адекватного моделирования систем, обладающих психическими свойствами.
Метод — математическое моделирование. 
В основе предмета «Математические методы в психологии» 
лежит математическая статистика — наука о случайных явлениях, включающая описание таких явлений, проверку гипотез, 
изучение причинных зависимостей. Применение статистических 
методов повышает обоснованность выводов в психологических исследованиях. 
Применение математических методов в психологии позволяет 
устанавливать количественные связи между психологическими характеристиками и формировать психологические законы, получать 
новые знания о психологических процессах и глубже проникать 
в их суть.
Обработка данных с использованием популярного в психологии 
статистического пакета SPSS позволит студентам соотносить задачи, сформулированные психологами, со статистическими процедурами и на достаточно глубоком уровне осваивать компьютерный 
анализ данных. 

Основные категории и понятия в психологии
Признак — характерное свойство изучаемого явления, отличающее его от других явлений. Например, признаками являются тип 
человеческой анатомии, темперамент, диагноз психических заболеваний, время решения задач, число допущенных ошибок, уровень 
тревожности, показатель интеллектуальной лабильности, показатель социометрического статуса и др. Признаки — это измеряемые 
психологические явления.
Переменная — это то, что можно измерять, контролировать 
или чем можно манипулировать в исследованиях. Иными словами, 
переменная — это то, что варьируется, изменяется, а не является 

постоянным. Понятия признака и переменной используют как взаимозаменяемые.
Показатель (уровень или наблюдаемое значение) — это количественная характеристика измеряемого психологического явления 
(например, показатель вербального интеллекта). Понятие «показатель» указывает на то, что признак может быть измерен количественно, так как применимы определения «высокий» или «низкий» 
(например, высокий уровень интеллекта, низкие показатели тревожности и др.).
Психологические признаки (переменные) — случайные величины, поскольку заранее неизвестно, какие именно значения они 
примут. По форме выражения признаки бывают:
 
• качественными, не имеющими числового выражения (профессия, пол);
 
• количественными, если их значения выражаются числовыми 
значениями (возраст, стаж работы);
 
• порядковыми, занимающими промежуточные положения (состояние больного). Их значения упорядочены, но не могут быть 
с уверенностью измерены и сопоставлены количественно. 
Количественные признаки подразделяют:
 
• на дискретные, принимающие отдельные, изолированные друг 
от друга значения (число членов семьи);
 
• непрерывные, принимающие любые действительные значения 
(возраст).
Качественные признаки могут быть только дискретными.
Признаки обозначаются прописными буквами латинского алфавита, например Х. Значение признака отдельной i-й единицы явления называют индивидуальным значением и обозначают строчной 
буквой хi (число).
Вариация — это различия в значениях признака отдельных 
единиц совокупности. Вариация возникает в результате того, что 
индивидуальные значения признака складываются под совместным 
влиянием разнообразных факторов (условий), по-разному сочетающихся в каждом отдельном случае (например, успеваемость отдельного студента зависит от затрат времени на подготовку к занятиям, способностей к обучению, возраста и т.п.).
Наличие вариации является основной предпосылкой статистического исследования.
Статистическая совокупность — множество единиц изучаемого 
явления, объединенных в соответствии с задачей исследования относительно некоторого признака, характеризующего это явление. 
Например, по признаку «диагноз психических заболеваний» можно 
образовать совокупность людей с психическими отклонениями.

В статистике выделяют генеральную и выборочную совокупности.
Генеральная совокупность — вся подлежащая изучению совокупность по интересующему признаку.
Выборочная совокупность (выборка) — это множество наблюдений, сотавляющих лишь часть генеральной совокупности. 
Свойства генеральной совокупности неизвестны и вывод об их 
значении основывается на данных выборочной совокупности. Задача заключается в их оценке по характеристикам выборочной 
совокупности. Чтобы по выборке можно было адекватно судить 
о генеральной совокупности, она должна быть репрезентативной 
(представительной).
Репрезентативность выборки — это способность выборки представлять изучаемые явления достаточно полно с точки зрения 
их изменчивости в генеральной совокупности. Репрезентативность 
выборки обеспечивает объем выборки, однородность и случайность 
отбора ее элемен тов.
Ошибка выборки (ошибка репрезентативности) — это разница 
между значением показателя, полученного по выборке, и генеральным показателем.
Две выборки называют зависимыми (связными), если каждому 
значению одной выборки закономерным и однозначным способом 
поставлено в соответствие ровно одно значение другой выборки. 
Чаще всего зависимые выборки возникают, когда измерение проводится для двух момен тов времени. К зависимым выборкам относят результаты одной и той же группы испытуемых до и после 
воздействия фактора.
Если закономерное и однозначное соответствие между выборками невозможно, то выборки называют независимыми (несвязными). Такие выборки получаются в эксперименте независимо друг 
от друга, содержат разные наблюдения, например относящиеся 
к различным респондентам. К независимым выборкам относятся 
результаты исследования различных групп испытуемых.
В общем случае зависимые выборки предполагают попарный 
подбор испытуемых в сравниваемые выборки, а независимые выборки — независимый отбор испытуемых.
Чаще всего в психологии выборочные данные представляют 
в виде статистического ряда. Обозначим признак совокупности 
через Х (случайная величина), а его индивидуальные значения 
для отдельных единиц совокупности через х1, х2, …, xn. Представление Х: х1, х2, …, xn образует несгруппированные данные (первичные 
результаты измерения). Если признак Х — количественный, то х1, 

х2, …, xn — числа. Например, пусть получены следующие количественные данные:

5
7
3
9
9
5
7
5
9
5

7
10
4
7
5
7
5
7
5
4

Проведем группировку первичных результатов измерения. Группировка состоит в объединении данных с одинаковыми или близкими значениями признака в группы (классы) и подсчете частоты 
каждого класса. Для осуществления группировки упорядочим несгруппированные данные, т.е. расположим их в возрастающем порядке. В результате получим ранжированный ряд данных: 3, 4, 4, 5, 
5, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 9, 9, 9, 10.
Некоторые данные принимают одни и те же значения, причем 
одни значения встречаются чаще, другие — реже.
Вариантами называют различные значения признака, встречающиеся в совокупности, т.е. вариантами являются 3, 4, 5, 7, 9, 10. 
Подсчитаем частоту каждого варианта в совокупности.
Частотой f варианта называют число повторений отдельного 
варианта в совокупности. Общая сумма частот равна объему выборки, т.е. fi = n. Частоты можно выражать и в процентах:

 
%
100%
i
i
f
f
n
=
. 

Результаты группировки (сгруппированные данные) представляют в виде таблицы: 

Вариант
x1
х2
…
xn
Итого

Частота
f1
f2
…
fn
fi = n

Для рассматриваемого примера получаем следующую таблицу:

Вариант
3
4
5
7
9
10
Итого

Частота
1
2
7
6
3
1
fi = 20

Совокупность полученных частот образует распределение признака по частотам. Множество пар чисел (x1, f1), (x2, f2), …, (xn, fn) 
называют рядом распределения.
Ряд называют атрибутивным, если признак Х качественный, 
и вариационным, если признак Х количественный. В вариационных 
рядах варианты располагают в возрастающем порядке. В зависимости от характера вариации признака вариационные ряды делятся 

на дискретные (прерывные) и интервальные (непрерывные) ряды 
распределения.
На основе метода представления исходных данных рассчитывают статистические показатели. Математическая обработка подразумевает оперирование показателями переменных, полученных 
в психологических исследованиях. Значения признака определяют 
при помощи специальных шкал измерения.

Различные шкалы в психологических исследованиях
Шкалирование (измерение) — это приписывание чисел объектам 
или их свойствам по определенным правилам. Операция шкалирования — это замена наблюдаемых психических явлений числами, 
которые отражают определенные свойства явлений.
Объекты наблюдений могут находиться в определенных отношениях относительно некоторого признака (эквивалентности, 
порядка, сравнения разностей и сравнения отношений). В зависимости от вида отношений в психологических исследованиях выделяют следующие типы измерительных шкал: номинальная, порядковая, шкала интервалов и шкала отношений. Соответственно 
имеются четыре типа переменных.
Шкала наименований (номинальная шкала) строится на единственном отношении — отношении эквивалентности (равенства) 
по некоторому признаку. При измерении в этой шкале осуществляют классификацию или распределение множества объектов 
на непересекающиеся классы эквивалентности (классы объектов). 
При построении шкалы наименований главными служат качественные различия, а количественные не учитывают. Шкалу наименований используют только для качественной классификации.
Простейшая шкала наименований — дихотомическая шкала, состоящая из двух классов и построенная по логическому принципу 
А/не-А, т.е. наличия или отсутствия определенного признака. Признак, который измеряют в дихотомической шкале, называется альтернативным и может принимать всего два значения. Например, 
признак «цвет глаз» имеет два значения: светлый и темный. 
По этому признаку всех людей делят на два класса: светлоглазые 
и темноглазые. При этом множество оттенков глаз во внимание 
не принимают.
Шкала наименований может содержать три класса и более, например: холерик — сангвиник — флегматик — меланхолик. Классы 
объектов можно пронумеровать и использовать такие номера как 
числа. Например, светлоглазых людей обозначить нулями, а темноглазых — единицами.

Числа, используемые в качестве обозначений, не отражают 
количественных различий выраженности изучаемого явления. 
С этими числами нельзя осуществлять никаких арифметических 
действий. Единственной количественной оценкой качественных 
данных является частота встречаемости разных наименований 
(число объектов, попавших в каждый класс), которую затем анализируют с помощью математических методов.
Оценка статистической связи между группами признаков (классами) возможна с помощью анализа корреляции, а существенность 
различия между частотами устанавливают с помощью критерия хиквадрат. Возможно определение моды распределения.
Шкала порядка (порядковая шкала) строится на основании 
сразу двух отношений — эквивалентности и порядка. Отношение 
порядка «больше — меньше» позволяет упорядочить классы объектов относительно некоторого признака:

 
Шкала
Шкала
Упорядоченность
порядка
наименований
классов объектов
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
=
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠ . 

Однако это не позволяет определить, насколько больше или насколько меньше данного качества содержится в переменной.
В порядковых измерениях классам объектов так приписывают 
наименования (числа), чтобы они отражали степень выраженности 
признака. Например, признак «курение»: 1 — некурящий; 2 — изредка курящий; 3 — сильно курящий; 4 — очень сильно курящий. 
Переменная «курение» в итоге сортирована в порядке значимости 
снизу вверх.
Однако эмпирическая значимость этих переменных не зависит 
от разницы между соседними численными значениями, так как 
не определено расстояние между классами объектов. Числа, приписываемые классам объектов, отражают количество свойств, 
присущих им, но не определяют величину различия (расстояние). 
Например, школьные отметки от 1 до 5. Различие между оценками 
«отлично» и «хорошо» указывает на то, что уровень знаний отличника выше уровня знаний хорошиста, однако, насколько или во 
сколько раз они отличаются, сказать нельзя.
В порядковых измерениях не определены операции сложения 
и вычитания, но допускаются операции равенства — неравенства 
и сравнение по интенсивности. В порядковых шкалах допустимы 
любые преобразования, не изменяющие последовательности 
элемен тов (возведение в степень, извлечение корня и логарифмирование).

В шкале порядка классы объектов, как и в случае шкал наименований, являются дискретными. В качестве меры положения 
классов объектов для преобразования шкал порядка, кроме моды, 
можно использовать еще медиану, полуквартильное отклонение, 
а в качестве меры тесноты взаимосвязи — коэффициенты ранговой 
корреляции и сопряженности.
Для сравнения различных выборок переменных, относящихся 
к порядковой шкале, можно применять непараметрические критерии, формулы которых оперируют рангами.
Шкала интервалов (интервальная шкала) основывается на отношениях эквивалентности, порядка и сравнения разностей. Эта 
шкала классифицирует объекты по принципу «больше — меньше» 
на определенное число единиц. Каждое из возможных значений 
признака отстоит от другого на равном расстоянии. Для этой 
переменной не только ее абсолютные значения отражают порядковые отношения между объектами, но и разница между двумя 
численными значениями (расстояние) имеет эмпирическую значимость:

 
Шкала
Шкала
Расстояние между
интервалов
порядка
классами объектов
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
=
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠. 

Однако эмпирическая значимость этих переменных не зависит 
от отношения между соседними числовыми значениями из-за отсутствия абсолютно нулевой точки. Нулевая точка в шкале интервалов произвольна и не указывает на отсутствие свойства.
Интервальными измерениями являются количественные данные 
(масса, размер, температура, результаты тестирования, коэффициент интеллекта (IQ)). Допустимы все арифметические операции, 
а также линейные преобразования, при которых сохраняются последовательность классов объектов и значения относительных расстояний между ними.
Данные, полученные в интервальной шкале, можно обрабатывать любыми статистическими методами. Например, среднее значение является полноценным статистическим показателем для характеристики таких переменных.
Шкала отношений (равных отношений) основывается на отношениях эквивалентности, порядка и сравнении разностей, попарных отношений; классифицирует объекты пропорцио нально 
степени выраженности признака, обладает всеми свойствами 
шкалы интервалов. Также определена нулевая точка, которая указывает на полное отсутствие измеряемого свойства:

Шкала
Шкала
Нулевая
отношений
интервалов
точка
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
=
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠. 

Для переменных в шкале отношений эмпирическую значимость 
имеет отношение между соседними числовыми значениями (например: возраст, масса, рост, число реакций, показатели силы и выносливости). Температура по Кельвину образует шкалу отношений, 
и можно не только утверждать, что температура 200 градусов выше 
100 градусов, но и что она вдвое выше. Интервальные шкалы (например, шкала Цельсия) не обладают данным свойством шкалы 
отношений.
Таким образом, существует четыре вида статистических шкал, 
которые позволяют сравнивать численные значения:

Статистическая шкала
Эмпирическая значимость

Номинальная
Порядковая
Интервальная
Шкала отношений

Нет
Порядок чисел
Разность чисел
Отношение чисел

На практике, в том числе в SPSS, различие между переменными, 
относящимися к интервальной шкале и шкале отношений, обычно 
несущественно, т.е. в дальнейшем практически всегда речь будет 
идти о переменных, относящихся к интервальной шкале.
Дисциплина «Математические методы в психологии (логопедии)» предназначена для ознакомления с методами сбора, систематизации и математической обработки результатов наблюдений 
(психологических исследований). Основной целью освоения дисциплины является формирование представлений о математических 
методах сбора, систематизации, обработки и интерпретации результатов наблюдений для выявления статистических закономерностей, 
а также представлений о возможностях применения современных 
информационных технологий при выполнении математической обработки результатов наблюдений.
Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи: 
 
• ознакомить студентов с современной описательной статистикой 
и теорией статистического вывода; 
 
• сформировать умения и навыки организации анализа (выбор 
критерия), обработки данных, интерпретации и представления 
результатов; 
 
• дать общие сведения о возможностях современного многомерного математико-статистического анализа результатов психоло