Предметные компетенции общего математического образования в категории субъектного развития

ПРЕДМЕТНЫЕ 
КОМПЕТЕНЦИИ ОБЩЕГО 
МАТЕМАТИЧЕСКОГО 
ОБРАЗОВАНИЯ 

В КАТЕГОРИИ СУБЪЕКТНОГО 
РАЗВИТИЯ

В.И. ГОРБАЧЕВ

Москва 
ИНФРА-М 
2020

МОНОГРАФИЯ

УДК 372.851(075.4)
ББК 74.262.21

Г67

Горбачев В.И.

Г67
Предметные компетенции общего математического образова
ния в категории субъектного развития : монография / В.И. Горбачев. – Москва : ИНФРА-М, 2020. — 403 с. – (Научная мысль). — DOI 
10.12737/1031176.

ISBN 978-5-16-015403-9 (print)
ISBN 978-5-16-107857-0 (online)
В монографии исследуется методология становления в математиче
ской деятельности учения предметных и общепредметных компетенций: 
принципы выделения, способ классификации, критерии сформированности. Предметная реализация конкретных компетенций обосновывается, 
детализируется адекватными видами деятельности учения, существенно 
углубляющими представления классической методики обучения математике.

 В содержании общепредметных внутренне-процессуальной и теоретико
развивающей компетенций особое внимание уделяется категории развития 
субъекта деятельности учения. В рамках обоснования внутренне-процессуальной компетенции в спектре учебных математических теорий исследуется 
задача системного формирования абстрактного математического мышления 
в объективной последовательности его уровней. 

Для вузовских преподавателей, исследователей в областях содержания 

общего образования, компетентностного подхода в образовательной деятельности, методики обучения математике, а также учителей математики 
и студентов бакалавриата и магистратуры педагогического образования.

УДК 372.851(075.4) 
ББК 74.262.21

Р е ц е н з е н т ы:
Авдеев Ф.С., доктор педагогических наук, профессор Орловского 

государственного университета имени И.С. Тургенева;

Дробышев Ю.А., доктор педагогических наук, профессор Калужско
го государственного университета имени К.Э. Циолковского

ISBN 978-5-16-015403-9 (print)
ISBN 978-5-16-107857-0 (online)
© Горбачев В.И., 2020

Моим родителям, Ивану Васильевичу 

и Марии Игнатьевне, посвящается

Введение

Динамизм как фундаментальное качество функционирования 

современного общества востребует адекватного субъекта – компетентного в широкой сфере социо-профессиональной деятельности 
и обладающего свойствами системной саморегуляции.

Общая идеология взаимной связи «общество – субъект со
циальной жизнедеятельности» вполне точно выражена одним из ведущих разработчиков компетентностного подхода в социальной, 
производственной, бытовой сферах Дж. Равеном: «Необходима переоценка социально значимых типов поведения. Необходимо развитие новых видов компетентности. Необходима эволюция новых 
способов мышления. И мы должны поддерживать тех, кто стремится развить новые способы мышления и поведения. Нужно поощрять тех, кто старается изобрести новые методы работы. Понимание того, как работает общество, понимание нашей собственной 
роли и роли других в нем имеет решающее значение для компетентного поведения» [135, с. 9].

Образовательная система в решающей степени выступает тем 

социальным институтом, в задачи которого входит формирование 
компетентной в общекультурном, общепрофессиональном, профессиональном планах личности, что вполне четко выражено в нормативных требованиях по обновлению общего образования. В Федеральном Законе «Об образовании в Российской Федерации» интеграция личностных, общественных и профессиональных качеств 
является главной характеристикой содержания общего образования: «Среднее общее образование направлено на дальнейшее становление и формирование личности обучающегося, развитие интереса к познанию и творческих способностей обучающегося, формирование навыков самостоятельной учебной деятельности на основе 
индивидуализации и профессиональной ориентации содержания 
среднего общего образования, подготовку обучающегося к жизни 
в обществе, самостоятельному жизненному выбору, продолжению 
образования и началу профессиональной деятельности» [157, ст. 66, 
п. 3]. В «Стратегии модернизации содержания общего образования» 
в качестве технологического средства личностного развития обучающихся выступает компетентностный подход: «основным резуль

татом деятельности образовательного учреждения должна стать 
не система знаний, умений и навыков сама по себе, а набор ключевых компетентностей в интеллектуальной, гражданско-правовой, 
коммуникационной, информационной и прочих сферах» [151, c. 8].

Выделенная тенденция отечественной образовательной системы 

в достижении образовательных целей с опорой на закономерности 
компетентностного подхода имеет цивилизационный характер: 
«В мировой образовательной практике понятие компетентности выступает в качестве центрального, своего рода “узлового” понятия – 
ибо компетентность, во-первых, объединяет в себе интеллектуальную 
и навыковую составляющую образования; во-вторых, в понятии компетентности заложена идеология интерпретации содержания образования, формируемого “от результата”; в третьих, ключевая компетентность обладает интегративной природой, ибо она вбирает в себя 
ряд однородных или близкородственных умений и знаний, относящихся к широким сферам культуры и деятельности» [151, c. 11].

Социальные и общенаучные представления компетентностного 

подхода в общем образовании потенциально эффективны лишь в теоретико-гипотетическом плане. В реальной практике образовательной 
деятельности положения компетентностного подхода зачастую внедряются на уровне обыденного сознания, диагностируются косвенным 
методом – по критерию успешности действий субъекта.

В психолого-дидактических исследованиях наиболее разработанной является группа общекультурных (ключевых) компетенций, 
описываемых в форме широких направлений социо-профессионального и личностного планов, выступающих определенным отражением классических целей общего образования. А.В. Хуторской 
на содержательно-целевом уровне описывает группы ценностносмысловых, общекультурных, информационных, социально-трудовых, личностного самосовершенствования, коммуникативных 
компетенций. И.А. Зимняя выделяет группы субъектных, социальных, деятельностных компетенций, вне последующей детализации, способов проецирования на учебную предметную деятельность, без опоры на критериальные признаки сформированности.

В педагогической психологии вне «понятийно-компетентностной» трактовки исследуются общепредметные компетенции: 
формирования интеллектуальных способов познавательной деятельности (общеинтеллектуальная), развития внутренних процессов деятельности учения – восприятий, представлений, памяти, 
мышления (внутренне-процессуальная), становления учебной деятельности в процессе восхождения от абстрактного к конкретному 
в содержании теоретического типа мышления (теоретико-развивающая). Их дополняют общепредметные компетенции, детализируемые в спектрах личностных, регулятивных, познавательных, 

коммуникативных универсальных учебных действий. При этом 
содержательная сторона, способы формирования, критерии диагностирования для каждой из указанных и объективно функционирующих в образовательном процессе общепредметных компетенций в методике обучения учебным предметам не имеют должного технологического описания.

На предметную (математическую, химическую, биологическую) 

деятельность учения закономерно проецируются как ключевые, так 
и общепредметные компетенции – с соответствующими общими 
целями, видами деятельности. Однако общими (общекультурными 
и общепредметными) компетенциями учебная предметная деятельность не ограничена. В дополнение к ним содержание учебной 
предметной деятельности характеризуется собственным спектром 
предметных (предметно-специфических) компетенций:
• имеющих предметно-исторический характер сформированности, 

в отличие от общественно-исторического характера становления 
общих компетенций;

• обосновывающих включенность учебного предмета в структуру 

общего образования;

• на современном этапе не имеющих своего точного представления, 

не структурированных в нормативном описании содержания общего предметного, в частности, математического образования.
В методологии математической деятельности учения наряду 

с определенными проекциями ключевых, общепредметных компетенций исследуется отмеченная в «Стратегии модернизации 
содержания общего образования» учебно-познавательная компетенция – компетенция «в сфере самостоятельной познавательной 
деятельности, основанная на усвоении способов приобретения 
знаний из различных источников информации, в том числе внешкольных» [151, c. 13]. В условиях предельно широкой трактовки 
учебно-познавательная компетенция исследуется, формируется 
в психолого-дидактическом плане как общепредметная, вне отражения закономерностей математической деятельности учения.
Методическая задача выделения предметных компетенций математической деятельности учения ограничена дидактической 
проблемой определения принципов выделения предметных компетенций, установления критериев их сформированности.

В методологии компетентностного подхода на предметном 

уровне в качестве ведущих обосновываются:
• принцип цели – подчиненность компетенции конкретной цели 

учебной деятельности, направленность определенной системы 
компетенций на формирование, достижение конкретной цели;

• принцип деятельности – разбиение фундаментальной учебной 

деятельности, соответствующей предметной цели, на отно

сительно самостоятельные виды, сформированность каждого 
из которых характеризуется конкретной группой предметных 
компетенций;

• принцип теоретической интеграции – становление предметных 

компетенций в содержании базовых научных теорий, интегрирующих предметную сферу учебной деятельности.
Технологические закономерности процесса формирования пред
метных компетенций математической деятельности учения в значительной мере определяются спектром критериальных признаков 
их сформированности: субъектного представления деятельности, 
субъектного опыта деятельности, субъектной рефлексии деятельности, 
субъектной экспертизы деятельности и межличностного общения.

Принципы цели, деятельности, интеграции выступают теоретической основой гипотетического выделения предметных компетенций на уровне общего математического образования, установления и обоснования адекватных компетенциям видов математической деятельности учения, способов их формирования 
в системе критериальных признаков. Принцип цели, как ведущий 
компонент методической системы (по Г.В. Саранцеву), в классической системе мировоззренческой, методологической, личностной 
и общекультурной целей с соответствующими им видами учебной 
математической деятельности позволяет провести классификацию 
предметных, общепредметных либо общекультурных компетенций, 
не проецируемых на математическую деятельность учения, а объективно исходящих из нее.

Мировоззренческой цели поставлена в соответствие система 

структурируемых конкретно определенными видами деятельности 
учения предметных компетенций содержательного абстрагирования, содержательного доказательства, содержательной теории 
математического пространства и математической картины мира.

Методологическая цель в ее внутреннем представлении детализируется целостным спектром логико-понятийной, логико-процессуальной, дедуктивно-методологической компетенций логикопознавательной математической деятельности, во внешнем, прикладном плане – модельно-геометрической, модельно-числовой, 
модельно-вероятностной, модельно-функциональной, модельнопредикатной и предметно-прикладной компетенциями.

В структуре компетенций личностной цели учебной математической деятельности выделяются общепредметные (общеинтеллектуальная, внутренне-процессуальная, теоретико-развивающая) 
компетенции, а также предметные (предметно-интеллектуальная, 
субъектной математической речи) компетенции, фиксирующие 
многоплановый характер становления личностных интеллектуальных качеств, математического мышления субъекта в целом.

Общекультурная цель в оценке математики как значимой части 

человеческой культуры, в содержании общего математического 
образования представлена историко-общественным, субъектным 
и социо-профессиональным компонентами с соответствующими 
компетенциями, адекватными видами деятельности учения, закономерностями формирования.
Структурная классификация компетенций математической деятельности учения сохраняет приоритетный характер целей общего 
математического образования в методической системе обучения, 
компетентностный подход при этом выступает ведущим средством 
технологизации целей. В анализе формируемых в математической 
деятельности учения компетенций, обосновании их содержательной состоятельности ведущую роль играет принцип деятельности – сопоставление каждой из компетенций точно определенных видов деятельности с фиксированным уровнем логико-содержательной формализации, в спектре критериальных признаков 
сформированности.
Однако детализация видов деятельности учения, адекватных 

каждой из выделенных компетенций, входит в противоречие с устоявшимся в теории и методике обучения математике содержательнометодическим подходом – одновременном изучении фрагментов 
нескольких учебных математических теорий, объединенных содержательно в форме отдельного методического модуля. Принцип 
теоретической интеграции ориентирует организацию деятельности 
учения в содержательно-теоретическом подходе, предполагающем 
изучение субъектом конкретной адаптированной учебной математической теории в ее целостности с последующей интеграцией 
теорий в предметной математической картине мира.

В содержательно-теоретическом подходе методология формирования «учебной математической» компетенции приобретает вполне 
определенный характер: фиксируются виды математической деятельности учения, адекватные компетенции; устанавливаются 
общие закономерности их формирования; виды деятельности детализируются в содержании базовых учебных математических теорий 
числовых систем, геометрических фигур, трехмерного евклидова 
пространства, функций, числовых предикатов, вероятностей; осуществляется интеграция видов деятельности в системе учебных 
математических теорий.

Технологичность концептуально складывающейся в содержательно-теоретическом подходе методологии становления компетенций математической деятельности учения проверяется, уточняется в методической задаче исследования конкретных, имеющих 
принципиальную значимость для субъекта деятельности учения, 
компетенций, соответствующих мировоззренческой, методологиче

ской, личностной, общекультурной целям общего математического 
образования.

В анализе соответствующей мировоззренческой цели компетенции содержательного абстрагирования выделены объективные 
этапы абстрактной математической деятельности: математическое 
отражение реального мира, идеальное конструирование абстрактных 
объектов математических пространств, теоретическое обоснование 
закономерностей математических пространств, логико-символический анализ математических теорий. В каждом из абстрактных 
математических пространств в пространственно-специфическом 
содержании фиксируются закономерные действия деятельности содержательного абстрагирования, по сформированности которых оценивается становление компетенции во внутреннем плане субъекта.

Методологическая цель учебной математической деятельности 

представлена логико-понятийной компетенцией, в содержании 
которой интегрированы логические, психолого-дидактические, 
методико-математические, содержательные основы становления 
системы субъектного знания в содержании понятий, суждений, 
умозаключений, представления учебных математических теорий.

В процессе классификации компетенций математической дея
тельности учения установлено, что не все из выделенных компетенций являются предметно-математическими, позволяют исследовать задачу их формирования только в содержании учебного 
предмета «Математика». Общепредметный характер конкретных 
компетенций деятельности учения уровня общего образования 
предполагает предметную реализацию определенных психологодидактических закономерностей, представленных в обобщенной 
теоретической форме. Методическая задача предметного проектирования общепредметных компетенций еще больше усложняется, 
если они реализуют определенную цель развития субъекта деятельности учения, поскольку категория развития в педагогической 
психологии имеет целый спектр различных трактовок со своими 
специфическими закономерностями, способы предметной технологизации которых в предметных методиках мало изучены, зачастую 
подменяются сугубо субъектными представлениями.

Личностная цель математической деятельности учения в значительной степени характеризуется именно категорией субъектного 
развития, реализуется в содержании внутренне-процессуальной 
(развитие внутренних психических качеств – представлений, памяти, мышления) и теоретико-развивающей (развитие теоретического типа мышления в учебной деятельности) общепредметных 
компетенций.
Многоаспектный характер становления развивающих компетенций (различные психолого-дидактические закономерности кон

цепций субъектного развития; формирование внутренних качеств 
субъекта во внешних исполнительских действиях определения, 
формулировки, доказательства, преобразования, вычисления, решения, исследования, построения, моделирования; представленность содержания математической деятельности учения в спектре 
адаптированных учебных теорий) в некоторой степени объясняет 
нерешенность методических задач их проектирования. Однако методические задачи развития субъекта деятельности учения в современных условиях не только не сняты ввиду своей сложности, 
но и востребованы в качестве первоочередных. 

Внутренне-процессуальная компетенция личностной цели, характеризующая уровень развития базовых психических функций 
познавательной математической деятельности, в качестве итоговой 
реализует задачу формирования абстрактного математического 
мышления (Г.В. Дорофеев) в его структурном и деятельностном 
представлении. Становление в математической деятельности 
учения абстрактного математического мышления, его разнообразных форм и трактовок, осуществляется в пространственно-теоретическом подходе (И.С. Якиманская):
• структурируемом задачей формирования пространственного 

мышления в деятельности представливания с организацией восприятия абстрактных объектов математического пространства, 
его системно-структурного представления;

• развивающем представление математического пространства 

в теоретико-пространственной (теоретико-математической) деятельности с новым уровнем абстрагирования, дедуктивным построением теории в системном единстве определений понятий, 
формулировок закономерностей пространства в форме теорем, 
процедур доказательства, с анализом базовых методов.
Методическая цель формирования пространственного матема
тического мышления в пространственно-теоретическом подходе 
проектирования содержания общего математического образования 
проектируется в целостном спектре математических пространств: 
пространства числовых систем, отражающего в идеализированной 
форме процедуры счета, измерения, оперирования реальной человеческой практики (числового пространства); пространства 
функций на множествах объектов математических теорий числовых 
систем, геометрических фигур, векторного пространства, булевой 
алгебры, вероятностей (функционального пространства); трехмерного векторного пространства со скалярным произведением (евклидова пространства); пространства уравнений, неравенств, систем 
на числовых множествах (пространства числовых предикатов); 
пространства событий, случайных величин (вероятностного пространства).

Пространственно-теоретический подход в качестве общей за
кономерности позволяет в содержании абстрактного математического мышления выделить его последовательные уровни, каждому 
из уровней поставить в соответствие те виды деятельности, в которых 
происходит их формирование: в представлении математического 
пространства – абстрактно-алгоритмический и системно-структурный уровни мышления, в представлении теории математического 
пространства – абстрактно-дедуктивный, аналитико-синтетический 
и методологический уровни мышления. Каждый из выделенных 
уровней мышления, соответствующих ему видов математической 
деятельности учения детализируется в содержании базовых учебных 
математических теорий общего математического образования.
Теоретико-развивающая компетенция, как общепредметная 

в реализации личностной цели, отражает уровень субъектного развития в существенно иных, по отношению к классическим, условиях 
организации процесса обучения. Теоретический тип мышления, 
структурируемый внутренне-содержательным процессом восхождения от абстрактного к конкретному, соответствует не историко-генетическому воспроизводству математической теории как 
научного продукта, а системному представлению учебной теории, 
отрефлексированной обществом с позиции ее значимости в развитии внутренних качеств субъекта, адаптированной в системе 
психолого-дидактических закономерностей теории развивающего 
обучения Д.Б. Эльконина, В.В. Давыдова.

Следует отметить объемность и глубину теоретического иссле
дования процесса преобразования деятельности учения в учебную 
предметную деятельность (по В.В. Давыдову), характеризуемую 
внутренними мотивами познания, направленную на выявление 
подлинных закономерностей в содержании учебного материала, 
выстроенную в системе обобщенных способов деятельности. 
Объективной характеристикой теории развивающего обучения 
и ее предметных реализаций выступает ее сложная, многоаспектная 
(содержание учебного предмета, внутренние процессы познавательной деятельности субъекта, организация учебного взаимодействия) предметная технологизация в общем образовании и, в частности, в среднем и старшем звеньях математического образования. 
Не случайны рекомендации В.В. Давыдова о том, чтобы совершенствование теории развивающего обучения «состояло в основном 
из конкретных психолого-педагогических закономерностей организации развивающего обучения, точных показателей и методических 
средств их обнаружения» [64, с. 522].

В качестве основы организации учебной математической деятельности, характеризующей сформированность теоретико-развивающей компетенции, выступают: