Ортогональные проекции и 3D-моделирование в стереометрии

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ 
И 3D-МОДЕЛИРОВАНИЕ 
В СТЕРЕОМЕТРИИ

Л.Р. ЮРЕНКОВА

Рекомендовано Межрегиональным учебно-методическим советом 
профессионального образования в качестве учебного пособия 
для учебных заведений, реализующих программу среднего 
профессионального образования по техническим специальностям
(протокол № 15 от 14.10.2019)

Москва
ИНФРА-М
2020

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 514.113(075.32)
ББК 22.151.0я723
 
Ю69

Юренкова Л.Р.
Ю69  
Ортогональные проекции и 3D-моделирование в стереометрии : 
учебное пособие / Л.Р. Юренкова. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 
130 с. — (Среднее профессиональное образование).

ISBN 978-5-16-014768-0 (print)
ISBN 978-5-16-107275-2 (online)
В учебном пособии приведены основы построения графических образов 
пространственных фигур, методы решения стереометрических задач с использованием метода проекций и 3D-моделирования. Кроме того, пособие 
содержит творческие задачи, развивающие пространственное мышление. 
Это позволит обучающимся научиться создавать ортогональные чертежи, 
представлять в своем воображении пространственные фигуры по ортогональному чертежу, получить навыки по созданию чертежей в среде программы Autodesk Inventor, а также электронных моделей геометрических 
фигур. Также работа с пособием способствует развитию интереса к решению занимательных задач и головоломок и приобретению понимания сути 
инженерной профессии.
Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов среднего профессионального образования последнего 
поколения.
Предназначено для учащихся старших классов, готовящихся к обучению в технических учебных заведениях, студентов 1–2 курсов, изучающих 
начертательную геометрию, а также для всех желающих развить творческие способности.

УДК 514.113(075.32)
ББК 22.151.0я723

ISBN 978-5-16-014768-0 (print)
ISBN 978-5-16-107275-2 (online)
© Юренкова Л.Р., 2020

Данная книга доступна в цветном  исполнении 
в электронно-библиотечной системе Znanium.com

Введение

Проблема формирования образного мышления в системе 
школьного, среднего профессионального и высшего образования 
особенно остро стоит в связи с тем, что в последнее время наиболее 
востребована профессия «инженер». Образ современного инженера 
многогранен, и одной из основных граней является развитое творческое конструкторское мышление. Навыки и умения учащихся 
после изучения стереометрии и черчения необходимы для дальнейшего получения профессионального образования, в первую очередь инженерного. Создание новой техники начинается с формулировки идеи, затем необходимо натурное моделирование, которое 
для сложных технических изделий трудоемко, дорого и не всегда 
возможно. Работа над построениями вручную с помощью карандаша, циркуля и линейки способствует развитию зрительной и моторной памяти, древнейшей, запрограммированной в человеке 
генетически. Объединение в один предмет геометрии и черчения 
представляется автором пособия важным условием для воспитания 
качеств, необходимых для развития активного творческого мышления выпускника школы и среднего профессионального учебного 
заведения.
В современной школе все меньше внимания уделяется трудовому воспитанию, т.е. формированию навыков работы руками 
на уроках труда, поэтому руководители школьного образования 
обратили особое внимание на развитие проектной деятельности 
учащихся. В школах созданы инженерные классы, в расписании которых появился предмет «Робототехника». Информационные технологии вторглись в образовательный процесс, что, безусловно, необходимо, особенно при изучении геометрии. Но при этом не менее 
важно конструировать и создавать модели своими руками.
Примеры, содержащиеся в пособии, решены традиционными 
способами, с использованием метода проекций, а 3D-модели в среде 
пакета Autodesk Inventor помогут лучше понять решение. Представлены макеты, выполненные учащимися.
Решение занимательных задач, а также создание макетов в наибольшей степени способствуют развитию пространственного мышления, необходимого в любой профессии, а главное — прививают 
интерес к учебе.
Материал, представленный в учебном пособии, показывает, 
как сформировать системно-пространственное мышление, которое 

послужит надежной базой для изучения всех последующих инженерных дисциплин в университете и в дальнейшей профессиональной деятельности.
В результате знакомства с пособием, выполнения рекомендуемых упражнений обучающийся будет:
знать
— правила выполнения ортогональных чертежей;
— приемы построения электронных моделей геометрических 
фигур;
— методы решения творческих и занимательных задач;
уметь
— выполнять чертежи карандашом и в среде графических пакетов (например, в среде программы Inventor компании Autodesk);
— решать занимательные задачи и головоломки;
— создавать макеты пространственных фигур;
владеть
— навыками решения творческих задач;
— аппаратом создания электронных моделей и макетов из различных материалов;
— необходимым набором средств при создании проектов для 
участия в конкурсах и написании научных статей.

Глава 1.

ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИЧЕСКИХ 
ОБРАЗОВ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР

1.1. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИГУРЫ [1]

Всякая пространственная фигура отличается от плоской тем, 
что имеет по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
«В пространстве существуют плоскости. Через каждые три 
точки пространства проходит плоскость» — эту аксиому плоскости 
можно сформулировать иначе: «Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только 
одна». Для двух различных плоскостей пространства, имеющих 
общую точку, формулируется аксиома пересечения плоскостей: 
«Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть 
их общая прямая» (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Плоскости

1.1.1. Двугранный угол
Изображенные на рис. 1.1 плоскости  и  образуют двугранный 
угол: «Фигура, образованная в пространстве двумя полуплоскостями, имеющими общую граничную прямую и не лежащими 
в одной плоскости, называется двугранным углом». Общая граничная прямая называется ребром двугранного угла, а полуплоскости — гранями.
Мерой двугранного угла служит линейный угол , для построения которого из любой точки ребра а, например из точки K 
(рис. 1.2), в гранях  и  проводят перпендикуляры к ребру а — KA 
и KB. Угол между этими перпендикулярами и является линейным 

a

углом двугранного угла. Если взять произвольную точку М в пространстве и провести перпендикуляры MA и MB на грани  и , 
т.е., другими словами, построить плоскость , перпендикулярную 
ребру двугранного угла, то угол  между MA и MB, если он острый, 
будет мерой двугранного угла. Если этот угол окажется тупым, 
то искомый угол  будет равен (180° — ).

Рис. 1.2. Определение величины двугранного угла

Для обоснования выполненных построений, связанных с определением величины двугранного угла, перечислим следующие 
теоремы:
— величина линейного угла не зависит от выбора его вершины 
на ребре двугранного угла (в соответствии с теоремой об углах с сонаправленными сторонами);
— из любой точки данной прямой в плоскости проходит только 
одна прямая, перпендикулярная к этой прямой;
— через любую точку пространства проходит только одна 
прямая, перпендикулярная к данной плоскости. Для проведения 
этой прямой, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, в данной плоскости следует провести две пересекающиеся 
прямые, каждая из которых перпендикулярна прямой, перпендикулярной к плоскости;
— через любую точку пространства можно провести плоскость, 
перпендикулярную данной прямой, и притом только одну. И тогда 
любая прямая этой плоскости будет перпендикулярна данной 
прямой (по определению прямой, перпендикулярной к плоскости).

1.1.2. Многогранники
Если многоугольники — простейшие фигуры на плоскости, 
то многогранники — простейшие фигуры в пространстве.
Многогранник — это часть пространства, ограниченная плоскими 
многоугольниками — гранями. Стороны и вершины граней называют ребрами и вершинами самого многогранника. Грани образуют 

B

K

M

A

a
ψ

так называемую многогранную поверхность. На многогранную поверхность обычно накладывают такие ограничения:
1) каждое ребро должно являться общей стороной двух 
и только двух граней, называемых смежными;
2) каждые две грани можно соединить цепочкой последовательно смежных граней;
3) для каждой вершины углы прилежащих к этой вершине 
граней должны ограничивать некоторый многогранный угол.
Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой из его граней. Для выпуклых многогранников справедливо соотношение, называемое формулой Эйлера: 
В – Р + Г  2, где В — число вершин многогранника; Р — число его 
ребер; Г — число граней.
Впервые это соотношение было установлено Рене Декартом 
и позже подтверждено математиком и механиком Леонардом 
 Эйлером.

1.1.3. Призма
Многогранник, ограниченный двумя равными n-угольниками, 
которые лежат в параллельных плоскостях, и n параллелограммами, называется призмой. Два равных n-угольника являются основаниями, а параллелограммы — боковыми гранями призмы. Такая 
призма с боковыми ребрами, не перпендикулярными основаниям, 
называется наклонной n-угольной призмой. Если боковые грани 
призмы — прямоугольники, а боковые ребра перпендикулярны 
основаниям, то призма называется прямой. К прямым призмам 
относятся правильные призмы, в основании которых лежат правильные n-угольники. На рис. 1.3 показаны прямая и наклонная 
призмы.
Параллелепипед — это призма, в основании которой может быть 
любой четырехугольник с попарно параллельными противоположными сторонами, т.е. параллелограмм, ромб, прямоугольник 
и квадрат. Если боковые ребра параллелепипеда перпендикулярны 
основаниям, то параллелепипед называется прямым, если в основании прямого параллелепипеда лежит прямоугольник, то его называют прямоугольным. Длины трех ребер, выходящих из одной 
вершины, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда. У параллелепипеда четыре диагонали, соединяющие вершины, не принадлежащие одной грани. Параллелепипед обладает 
следующими свойствами:
— противоположные грани равны и параллельны;

— диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам;
— диагонали прямоугольного параллелепипеда равны, квадрат 
диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов трех измерений.
Прямоугольный параллелепипед симметричен относительно 
трех плоскостей, проходящих через точку пересечения диагоналей 
и параллельных соответствующим граням (рис. 1.4). Если все грани 
прямоугольного параллелепипеда — равные квадраты, то он называется кубом.

Рис. 1.3. Призма:

а — прямая; б — наклонная
Рис. 1.4. Прямоугольный параллелепипед

1.1.4. Пирамида
Многогранник, одна из граней которого является произвольным 
n-угольником, а остальные n граней — треугольники с общей 
вершиной, называется n-угольной пирамидой. Произвольный nугольник является основанием пирамиды, остальные грани называются боковыми гранями. Их общая вершина — это вершина пирамиды, стороны граней — ребра, причем ребра, сходящиеся в вершине, называются боковыми (рис. 1.5). Правильная пирамида имеет 
в своем основании правильный многоугольник и равные боковые 
ребра.
Простейшей среди всех пирамид (и даже среди многогранников) 
является треугольная пирамида, называемая также тетраэдром. 
У тетраэдра все четыре грани — треугольники. Если грани тетраэдра — равносторонние треугольники, то тетраэдр называют правильным. Правильный тетраэдр входит в немногочисленную группу 
правильных многогранников, называемых также платоновыми телами (см. подпараграф 1.1.5).
В треугольной пирамиде, как и в треугольнике, имеются высоты 
и медианы. Медианы тетраэдра — это отрезки, соединяющие вер
C1

D1

A1

A
C

B

B1
D

а
б

шины тетраэдра с центроидами противоположных граней. Центроид грани тетраэдра — это точка пересечения медиан грани, являющаяся центром масс треугольной пластинки. Все четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке (точка O на рис. 1.6) 
и делятся этой точкой в отношении 3:1 считая от вершины. Через 
точку пересечения медиан тетраэдра проходят еще три отрезка, соединяющие середины противоположных ребер. Это — бимедианы 
тетраэдра. Точка пересечения бимедиан делит их пополам и является центром равных масс, помещенных в вершины, и называется 
центроидом тетраэдра (точка О на рис. 1.6).

Рис. 1.5. Четырехугольная пирамида   Рис. 1.6. Медиана SM и бимедианы DH
,                                                                           EF, KL тетраэдра SABC

Тетраэдр, у которого все четыре высоты, опущенные из вершин 
на противоположные грани, пересекаются в одной точке, называется ортоцентрическим, а сама точка пересечения называется ортоцентром. Любая правильная треугольная пирамида является 
ортоцентрическим тетраэдром.
Вершина H прямоугольного тетраэдра HABC (рис. 1.7) — это 
его ортоцентр, который ортогонально проецируется на грань 
ABC в точку H. Тогда HH — четвертая высота прямоугольного 
тетраэдра. Любопытно соотношение площадей граней прямоугольного тетраэдра:

 
2
2
2
2
.
ABC
AHB
BHC
AHC
S
S
S
S
=
+
+

Ортоцентрический тетраэдр может быть вписан в параллелепипед, у которого все грани — равные ромбы (рис. 1.8). Ребра этого 
тетраэдра совпадают с диагоналями граней параллелепипеда, медианы — с диагоналями параллелепипеда. Точка пересечения ме
10

диан и бимедиан тетраэдра совпадает с точкой пересечения диагоналей параллелепипеда.

Рис. 1.7. Прямоугольный тетраэдр   Рис. 1.8. Параллелепипед, описанный 
                                                                около тетраэдра

Существует равногранный тетраэдр, у которого все грани, 
равные между собой, — остроугольные треугольники. Развертка 
такого тетраэдра, полученная при «разрезании» его по трем сходящимся в одной вершине ребрам, является также остроугольным 
треугольником (рис. 1.9). При этом остальные ребра — средние 
линии треугольника развертки.

Рис. 1.9. Развертка равногранного тетраэдра

1.1.5. Правильные многогранники
Правильные многогранники являлись предметом изучения древнегреческим математиком Евклидом. В результате им был написан 
труд, названный «Начала». Первое же упоминание о правильных 
многогранниках обнаружено в трактате Платона (427–347 до н.э.) 
«Тимаус». Поэтому правильные многогранники также называются 
платоновыми телами, хотя известны они были задолго до Пла
11

тона. Их всего пять («Вызывающе мало», — воскликнул математик 
и сказочник Льюис Кэррол): правильный тетраэдр (4 грани), гексаэдр или куб (6 граней), октаэдр (8 граней), додекаэдр (12 граней) 
и икосаэдр (20 граней). Платон ассоциировал правильные многогранники с четырьмя «земными» стихиями: тетраэдр — с огнем, 
куб — с землей, октаэдр — с воздухом, икосаэдр — с водой, а додекаэдр — с небом. Знаменитый математик и астроном Иоганн Кеплер 
построил модель Солнечной системы как ряд последовательно вписанных и описанных правильных многогранников и сфер.
Можно привести несколько эквивалентных определений правильных многогранников:
— многогранник называется правильным, если существуют три 
концентрические сферы, одна из которых касается всех граней многогранника, другая касается всех его ребер, третья содержит все его 
вершины. Это определение напоминает одно из возможных определений правильного многоугольника: многоугольник называется 
правильным, если он вписан в некоторую окружность и описан 
около другой окружности, причем эти окружности концентричны;
— правильным многогранником называется такой выпуклый 
многогранник, все грани которого являются одинаковыми правильными многоугольниками и все двугранные углы попарно равны. 
Если правильные многоугольники существуют с любым числом 
сторон n ≥ 3, то правильных многогранников всего пять и число 
граней у них равно 4, 6, 8, 12 и 20 (рис. 1.10).

Рис. 1.10. Правильные многогранники:

а — тетраэдр; б — гексаэдр (куб); в — октаэдр; г — додекаэдр; д — икосаэдр

Правильный тетраэдр составлен из четырех равносторонних 
треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех равносторонних треугольников. Следовательно, сумма плоских углов 
при каждой вершине равна 180°.
Гексаэдр (куб) составлен из шести квадратов. Каждая вершина 
куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма 
плоских углов при каждой вершине равна 270°.

а
б
в
г
д

Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. 
Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 
равна 240°.
Додекаэдр составлен из 12 правильных пятиугольников. Каждая 
вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пяти угольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.
Икосаэдр составлен из 20 равносторонних треугольников. 
Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 
равна 300°.

1.1.6. Тела вращения
Прямой круговой цилиндр — это геометрическое тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из своих 
сторон. При этом три другие стороны прямоугольника образуют 
в пространстве два круга (основания цилиндра) и цилиндрическую 
поверхность, называемую боковой поверхностью.
Если секущая плоскость перпендикулярна оси, сечение представляет собой круг. Если секущая плоскость наклонена к оси 
под углом от 0 до 90°, то сечение цилиндра ограничено эллипсом. 
При секущей плоскости, параллельной оси или проходящей через 
ось, получается прямоугольник или квадрат (рис. 1.11).
Прямой круговой конус — это геометрическое тело, полученное 
при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов: вращающаяся гипотенуза образует коническую поверхность, 
а вращающийся катет — круг, называемый основанием конуса 
(рис. 1.12).

Рис. 1.11. Прямой круговой цилиндр      Рис. 1.12. Прямой круговой конус



S

Коническая поверхность — это боковая поверхность конуса. 
Множество положений гипотенузы представляет собой множество 
образующих конической поверхности. Образующие имеют общую 
точку (точка S на рис. 1.12), называемую вершиной конической 
поверхности. Вершина ортогонально проецируется в центр круга 
основания — в точку О. Отрезок SО — это высота конуса, которая 
принадлежит оси конической поверхности или оси конуса. Сечение, перпендикулярное оси конической поверхности, представляет собой окружность. Сечение плоскостью, проходящей через 
вершину конической поверхности, представляет собой две прямые. 
Кроме этих линий на конической поверхности имеются эллипс, парабола и гипербола.
На рис. 1.13 показано, что у конуса имеются две полости. 
Впервые линии конических сечений были изложены в труде древнегреческого математика Аполлония Пергского (III в. до н.э.). Если 
рассматривать сечение конуса как геометрического тела с двумя 
полостями, то секущая плоскость, перпендикулярная оси, образует 
круг, а не перпендикулярная оси и не переходящая через вершину, 
образует фигуру, ограниченную эллипсом (см. рис. 1.13, а). Если 
секущая плоскость проходит через вершину конуса и пересекает 
основание по хорде, то в сечении получаются два треугольника (см. 
рис. 1.13, б). На рис. 1.13, в сечение представляет собой фигуру, ограниченную параболой, если секущая плоскость параллельна одной 
образующей и не проходит через вершину конуса, а на рис. 1.13, г 
показаны две фигуры сечения, ограниченные ветвями гиперболы 
при положении секущей плоскости параллельно оси конуса.

Рис. 1.13. Линии конических сечений

Шар — это геометрическое тело, ограниченное сферической 
поверхностью (или сферой), все точки которой равноудалены 

Окружность

Эллипс

Гипербола

Парабола

а
б
в
г