Высшая математика для бакалавра. Практикум. Часть 2

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Г.С. ЖУКОВА

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 

ДЛЯ БАКАЛАВРА

ПРАКТИКУМ
В 2 ЧАСТЯХ

ЧАСТЬ 2

Учебное пособие

Москва

ИНФРА-М

2019

УДК 51(075.8)
ББК 22.1 я73

Ж86

Утверждено на заседании Совета Департамента анализа данных, принятия решений 

и финансовых технологий Финансового университета при Правительстве 

Российской Федерации

А в т о р :

Жукова Г.С., доктор физико-математических наук, профессор, профессор 

Департамента анализа данных, принятия решений и финансовых 
технологий 

Финансового 
университета 
при 
Правительстве 
Российской 
Федерации 

(Финуниверситет), почетный работник высшего профессионального образования РФ,
лауреат премии Правительства РФ в области образования, залуженный деятель науки РФ

Р е ц е н з е н т ы :

Лаптев Г.И., доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры 

прикладной математики Российского государственного социального университета;

Щербаков В.Н., доктор экономических наук, профессор, заведующий кафедрой 

«Финансовый менеджмент» Московского политехнического университета

Жукова Г.С.

Ж86
Высшая математика для бакалавра. Практикум : учебное пособие :

в 2 частях. Часть 2 / Г.С. Жукова. — Москва : ИНФРА-М, 2019. — 275 с. —
(Высшее образование).

ISBN 978-5-16-108294-2 (online)

Книга содержит основные сведения и положения высшей математики, необходимую 

минимальную по объему математическую базу, позволяющую овладеть приемами и 
методами анализа практических задач. Предложено большое число примеров и упражнений 
с ответами, задания для самоподготовки и контроля полученных знаний с ответами, а 
многие — с анализом и решениями. В части 2 обсуждаются следующие разделы высшей 
математики: 
дифференциальное 
и
интегральное 
исчисление 
функций 
нескольких 

переменных, числовые и функциональные ряды, дифференциальные уравнения и системы. 
По всем перечисленным разделам предложен цикл практических занятий, задания для 
самоподготовки, работы для самоконтроля качества полученных знаний. В качестве 
справочного материала даны методы интегрирования функции
одной переменной, 

необходимые для успешного овладения дифференциальными уравнениями и системами.

Ориентировано на студентов бакалавриата нематематических направлений. Будет 

полезно при освоении основных образовательных программ, написании курсовых и 
выпускных квалификационных работ, в проведении исследований в рамках НИС.

УДК 51(075.8)
ББК 22.1 я73

ISBN 978-5-16-108294-2 (online)
© Жукова Г.С., 2019

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

О Г Л А В Л Е Н И Е

В в е д е н и е.............................................................................................  
4

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 1. 
Понятие функции. Область определения. График. Линии
и поверхности уровня.................................................................. 
6

§ 2. 
Предел функции в точке. Непрерывность функции.
Дифференцируемость функции................................................. 
19

§ 3. 
Производные и дифференциалы высших порядков.............. 
36

§4. 
Производная по направлению. Градиент и его свойства.......... 
43

§ 5. 
Экстремумы функции....................................................................  
54

§ 6. 
Кратные интеграл...........................................................................  
72

РЯДЫ

§7. 
Положительные числовые ряды.................................................... 
100

§8. 
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды........................... 
117

§9. 
Степенные ряды..............................................................................  
128

§ 10. 
Разложение функций в степенные ряды....................................  
148

§11. 
Ряды Фурье....................................................................................... 
163

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§12. 
Дифференциальные уравнения первого порядка....................  
183

§ 13. 
Дифференциальные уравнения второго порядка....................  
197

§14. 
Линейные дифференциальные уравнения порядками............. 
210

§ 15. 
Приближенное решение дифференциальных уравнений
с помощью степенных рядов....................................................... 
220

§16. 
Справочный материал. Методы интегрирования....................... 
225

РАБОТЫ

ДЛЯ СА М ОКОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА ЗНАНИЙ

Работа № 1. Дифференцирование функции нескольких

переменных.............................................................. 
237

Работа № 2. Экстремум функции нескольких переменных.

Кратные интегралы................................................  
241

Работа № 3. Числовые ряды........................................................ 246
Работа № 4. Степенные ряды..................................................... 251
Работа № 5. Ряды Фурье.............................................................. 256
Работа № 6. Дифференциальные уравнения............................ 261
Работа № 7. Итоговая контрольная работа.............................  
271

Л и т е р а т у р а ......................................................................................... 
274

з

В В Е Д Е Н И Е

Математическое 
образование, 
несомненно, 
является 
важнейшей 
составляющей 
в 
системе 
фундаментальной 
подготовки 
современного 
специалиста. Математика стала для многих отраслей знаний не только 

инструментом для количественных расчетов, но методом точного исследования. 
Она является универсальным языком науки, средством анализа и решения 
прикладных задач, а также элементом общей культуры. Математика играет 
важную роль в инженерно-технических, естественнонаучных, гуманитарных, 
социально-экономических 
исследованиях. 
Без 
современной 
математики 
с 
развитым логическим, вычислительным аппаратом невозможен прогресс в 
различных областях человеческой деятельности.

Требования к математической подготовке современного специалиста 

постоянно возрастают. Кроме хороших знаний по своей специальности ему 
необходимо уметь использовать в своей практической деятельности возможности 

вычислительной техники, современные математические методы, уметь выбирать 
наиболее подходящие к анализу его задачи комбинации существующих методов, 
уметь не только принимать решения, но обосновывать их правильность и 

оптимальность. 
Современный 
специалист 
должен 
быстро 
и 
качественно 
анализировать с помощью математических средств и методов огромные по объему 
массивы различного 
рода информации, 
необходимой для 
его успешной 
профессиональной работы. Поэтому математика прочно заняла место одного из 
главных средств познания проблем любой другой науки.

Основу предлагаемого пособия «Высшая математика», часть 2 составили 
курсы лекций, практических занятий, которые автор проводил в различных 
московских вузах на протяжении многих лет. Соответствие федеральному 
государственному 
образовательному 
стандарту 
высшего 
образования 
по 
направлению «Экономика» (программа подготовки бакалавра), предопределило 
содержание, объем предлагаемого материала и характер его изложения.

Изучение 
представленного 
в 
учебном 
пособии 
материала 
будет 
способствовать 
формированию 
общекультурных 
и 
профессиональных 
компетенций, предусмотренных ФГОС ВО: владение культурой мышления, 
способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и 
выбору путей ее достижения; способность осуществлять сбор, анализ и обработку 
данных, необходимых для решении поставленных задач; способность выполнять 

расчеты, 
необходимые 
в 
профессиональной 
сфере, 
обосновывать 
их 
и 
представлять результаты; 
владение методами 
количественного 
анализа 
и

4

моделирования, теоретического и экспериментального исследования; умение 

использовать соответствующий математический аппарат и инструментальные 
средства для обработки, анализа и систематизации информации о теме 
исследования и др.

Основная цель учебного пособия -  помочь студентам бакалавриата познать 
основные положения высшей математики, дать необходимую базу, позволяющую 
уметь применять классические методы математики и строить математические 
модели прикладных задач; устойчиво овладеть математическими приемами, 
методами анализа большого круга практических задач, навыками применения 
математического аппарата к решению прикладных задач.

Мы 
излагаем 
«Высшую 
математику» как дисциплину, 
обучающую 
студентов 
определенным 
навыкам логического 
мышления, 
использования 
количественных методов анализа, необходимых им при изучении спецкурсов, 

написании курсовых и дипломных работ, умению не только осмыслить и 
высказать суждение по тому, или иному вопросу, но также проверить его 
правильность.

В части 2 обсуждаются следующие разделы: теория функций нескольких 
переменных, числовые и функциональные ряды, дифференциальные уравнения и 
системы. Придерживаясь мнения, что математическими приемами и методами 

анализа различных задач можно устойчиво овладеть только, решая достаточное 
число примеров, в пособии по всем перечисленным разделам математики предложен 
цикл практических занятий, задания для самоподготовки и 7 работ для самоконтроля 

качества полученных знаний. В пособии в качестве справочного материала 
отдельным параграфом даны методы интегрирования функции одной переменной, 
необходимые для успешного овладения дифференциальными уравнениями и 
системами.

Схема изложения материала каждого параграфа пособия следующая:

1. Краткий теоретический материал, необходимый для успешного усвоения темы;
2. Разбор примеров (с решением и анализом);
3. Перечень задач для самостоятельного решения;
4. Ответы ко всем задачам.

Кроме того, в пособии нумерация формул, теорем, рисунков, таблиц, 
замечаний, примеров с решениями и для самостоятельной работы в каждом 
параграфе самостоятельная.

Надеемся, что пособие будет полезно студентам бакалавриат, аспирантам, 
преподавателям вузов, всем, желающим изучить математику.

5

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

£1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. ГРАФИК. ОБЛАСТЬ 
ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ

L ПРОСТРАНСТВО R ". МНОЖЕСТВА В R "

О п р е д е л е н и е  1. Пространством п измерений R" называется 

множество упорядоченных групп ( х , и з  и действительных чисел, п>\.

С геометрической точки зрения R" отождествляют с множеством точек 

вида 
Числа 
х„ называют координатами точки; 
число п
размерностью пространства.

В пространстве R" определено расстояние р( М, М()) (или \ММ0\) между 

любыми двумя точками А/(х, 
и м 0(х°;...;х°). например по формуле:

| ММа |= ^ х ,-х У + ... + (хп-х°п)2.

О п р е д е л е н и е  2. Множеством в пространстве R" называется 

любая часть этого пространства.

О п р е д е л е н и е  3. Открытым (замкнутым) шаром в R" с центром 

в 
точке 
м 0 е R" 
радиуса 
г> 0 
называется множество точек 
MeR", 

удовлетворяющих условию: | ММ0 \< г (| ММ01< г).

О п р е д е л е н и е  4. Окрестностью точки Ма <= R" называется любой 

открытый шар с центром в этой точке. Используют обозначение: Vr(М0), где 

г -радиус шара.

О п р е д е л е н и е  5. Точка м 0 <=DaR" называется внутренней точкой 

множества D, если она входит в D вместе с некоторой своей окрестностью. 

Точка М0 е Dcz R" называется граничной точкой множества D, если в любой ее 

окрестности есть точки как принадлежащие D, так и не принадлежащие D.

О п р е д е л е н и е  6. Множество D с  R" называется открытым. если все 

его точки — внутренние. Множество D , полученное из D присоединением всех 

его граничных точек, называется замкнутым.

О п р е д е л е н и е  7. Множество DaR" называется ограниченным. 

если его можно заключить внутрь некоторого шара.

6

О п р е д е л е н и е  8. Множество D^R" называется односвязным. если 

любые его две точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой 

принадлежат D.

О п р е д е л е н и е  9. Областью в R" называется любое односвязное 

открытое множество в R". Замкнутой областью в R" называется замкнутое 

множество, 
полученное из области D присоединением всех ее граничных 

точек.

2. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ

В пространстве R" положение точки можно охарактеризовать различными 

наборами из п чисел в зависимости от того, какая система координат 

используется. Например, введем в R2 вместо прямоугольных координат х,у 

какие-нибудь новые координаты u,v по формулам:

и = а(х, у), v = b(x,y) 
(или x = A(u,v), y = B{u,v)).

Если зафиксировать значение v и считать и переменной, то по указанным 

формулам получим некоторое семейство линий на плоскости Оху. Аналогично, 

если зафиксировать значение и, 
считая v переменной, получим другое 

семейство линий на плоскости Оху.

Линии указанных семейств называются координатными линиями в системе 

координат (w,v). При этом положение точки М0(х0,у0) определяется парой 

(i/0,v0), 
где 
и0 =а(х0,у0) 
и 
v0=b(x0,y0), 
называемой 
криволинейными 

координатами точки М0. Линии этих двух семейств могут быть как кривыми 

линиями, так и прямыми линиями. В точке М„ координатные оси Ои 
и Ov 

выбирают на касательных к соответствующим координатным линиям. Орты 

этих координатных осей обозначают обычно ёи,

Система координат называется ортогональной криволинейной системой 

координат. если в любой точке 
плоскости 
R2 
координатные линии 

ортогональны, то есть ёи _1_ё„.

Например, в полярной системе координат

и = р (0<р< +оо)-  расстояние от полюса О до точки М; 

v = tp (0 < <р < 2л) -угол между полярной осью и лучом ОМ.

7

Связь 
между 
прямоугольными 
координатами 
(х,у) 
и 
полярными 

координатами (p,ip) точки м  задается формулами: х = р соыр, y = ps'm<p. В

этом случае любая точка 
М0(р0,<р0) 
находится на пересечении двух 

координатных линий: р = р0 (то есть окружности с центром в точке О радиуса 

р0) и <р = <р0 (то есть луча, проходящего через точку М„ и выходящего из 

полюса О). Полярная система координат является ортогональной (см. рис. 1).

Аналогично вводятся криволинейные координаты в R \ Пусть вместе с 

прямоугольными координатами x,y,z положение точки M(x;y;z) определено 

тройкой (u,v,w) криволинейных координат, связанных с x,y,z формулами: 

u = a(x,y,z), v = b(x,y,z), w = c(x,y,z) (или х = A(u,v, w), y = B(u,v,w), z = C(u,v,w)).

Множество точек пространства R \ для которых фиксирована одна из 

координат u,v,w, называется координатной поверхностью системы координат 

(u,v,w). Множество точек из R3, для которых фиксированы две из координат 

u,v,w, называется координатной линией системы координат (u,v,w). Система 

координат (u,v,w) называется ортогональной. если в любой точке M{u,v,w) 

пространства R3 координатные линии ортогональны.

Любая точка 
M0(u0,v„,w0) находится на пересечении трех координатных 

поверхностей (то есть u = u0,v = v0,w=w0) или трех координатных линий. В точке 

M0(u0,v0,w0) координатные оси 
Ou,Ov,Ow 
выбирают на касательных к 

соответствующим координатным линиям. Орты этих координатных осей 

обозначают обычно ё„, ev,ew.

р

Ро

Рис. 1

Цилиндрическая система координат

Положение точки M{x,y,z) определим величинами:

• числом р 
(0 < р < +оо) -  расстоянием от точки м  до оси Oz;

8

• углом tp 
(0 <<р< 2п), образованным с плоскостью Oxz полуплоскостью, 

проходящей через ось Oz и точку М;

•  ЧИСЛОМ Z 
(—ОО <  Z <  + оо).

Переход от прямоугольных 
координат 
x,y,z 
к цилиндрическим 

координатам p,ip, z осуществляется по формулам: х = pvosxp, y = psin<p, z = z. 

Точкам оси Oz соответствует р  = 0, координата <р у них не определена.

В цилиндрической системе координат любая точка M0(p0,<p0,z0) находится 

на пересечении трех координатных поверхностей: р = р0 -  кругового цилиндра, 

проходящего через точку М0 и с осью вращения Oz; <р = (р0 -полуплоскости, 

проходящей через точку 
М0 и ось Oz; z = z0-  плоскости, проходящей через 

точку М0 параллельно плоскости Оху (см. рис. 2).

Сферическая система координат

Положение точки M(x,y,z) определим величинами:

• длиной г 
(0 < г < +оо) отрезка о м ;

• углом 
ip 
(0<<р< 2л), 
который 
образует 
плоскость 
Oxz 
с 

полуплоскостью, проходящей через ось Oz и точку М;

• углом 
в 
(О<0<к), образованным отрезком ом  с положительным 

направлением оси Oz.

Переход от прямоугольных координат x,y,z к сферическим координатам 

г,<р,в осуществляется по формулам:

x = r-sm#-cos$!>, у  = /-sin в sin ip, z = rcos0.

Началу координат соответствует г = 0, значения углов <р,0 не определены. 

Для всех точек оси Oz не определена координата <р, а угол в равен 0 или п.

9

В сферической системе координат любая точка М0(г0,<р0,в0) находится на 

пересечении трех координатных поверхностей: г = г0 -сферы с центром в начале 

координат радиуса г0; /р = <р0-  полуплоскости, проходящей через точку М0 и 

ось Oz; в = вп -  кругового конуса, проходящего через точку Ма с вершиной в 

начале координат и осью вращения Oz (см. рис. 3).

3. ФУНКЦИЯ. ГРАФИК

О п р е д е л е н и е  10. Если для любой точки Л / ( х , ; . и з  множества 

D c R " 
по некоторому правилу или закону /  
поставлено в соответствие 

определенное число 
и из множества Ec^R, то говорят, что на множестве D

задана функция « = /(*,,...,*„) п переменныхх,.....х_. При этом множество D

называется областью 
определения функции /  и обозначается 
D (f), а

множество 
£  = {м = /(x ,,...,x „ )| (x,;...;xn) s £>} из 
R 
называется множеством 

значений функции /  и обозначается Е(/ ) .

О п р е д е л е н и е  11. Частным значением функции и = f(xn...,x„) в 

точке М(х";...\хп") называется число и0, равное/(х,11,...,^ 0).

О п р е д е л е н и е  12. Графиком (Ьункиии и = /(х,,...,х„) называется 

множество точек в R"*' с координатами (x,;...;x„;/(x,,...,x„)), где (x,;...;xj е D.

О п р е д е л е н и е  
13. Линией уровня функции z = f(x,y) двух 

переменных называется множество точек плоскости R1, в каждой из которых 

функция /  принимает одно и то же значение: f{x,y)=c, где с = const.

З а м е ч а н и е .  Аналогичное понятие вводится для функции любого 

числа и > 3 переменных. Однако в этом случае вместо термина «линии уровня» 

используют термин «поверхности уровня».

10

4. П РИ М ЕРЫ  С РЕШ ЕН ИЯМ И

и м е р 1. Площадь прямоугольника со сторонами х и у выражается 

формулой: S = х- у.

Поэтому 
S = S(x, у) -функция двух переменных. Для нее областью 

определения является множество D <= R1 точек (х;у), у которых х > 0, у > 0 (рис. 

4). Множество значений функции: я  = (0;+оо).

Рис. 4

Б Л  и м е р 2. Функция и = 1п(х2 -4у + 8) -  функция двух переменных * и 

у. Область ее определения -  часть плоскости, заштрихованная на рис. 5, для 

любой точки (х;у) которой выполняется неравенство: х2 -4у + 8>0. Множество 

значений функции: E = R.

У '

2-
О
X

Рис. 5

ILi l  и м е р 3. Функция z = x2+y2 -функция двух переменных, для 

которой D = R2, Я = [0;+оо). Графиком функции является круговой параболоид в 

пространстве R3 (рис. 6) с вершиной в точке 0(0;0;0).

и