Математика для студентов экономических специальностей. Часть 1

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Г.С. ЖУКОВА

МАТЕМАТИКА

ДЛЯ СТУДЕНТОВ

ЭКОНОМИЧЕСКИХ
СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

В 2 ЧАСТЯХ

ЧАСТЬ 1

Учебное пособие

Москва

ИНФРА-М

2019

УДК [51+33](075.8)
ББК 22.1:65я73

Ж86

Р е ц е н з е н т ы :

Н.Н. Пилипенко, доктор экономических наук, профессор 

Российского 
государственного 
социального 
университета, 

заслуженный деятель науки РФ;

Л.С. Гордеев, доктор технических наук, профессор Российского 

химико-технологического университета имени Д.И. Менделеева

Жукова Г.С.

Ж86
Математика для студентов экономических специальностей :

учебное пособие : в 2 частях. Часть 1 / Г.С. Жукова. — Москва : 
ИНФРА-М, 2019. — 335 с. — (Высшее образование).

ISBN 978-5-16-108298-0 (online)

Цель книги — помочь студентам экономических специальностей 

изучить основные положения высшей математики, дать необходимую, 
но минимальную по объему математическую базу, позволяющую 
овладеть приемами, методами анализа большого круга практических 
задач.

В части 1 книги обсуждаются элементы теории множеств, век
торной алгебры, аналитической геометрии на плоскости и в пространстве, линейной алгебры, дифференциального и интегрального 
исчисления функции одной переменной. Кроме того, Вашему вниманию предложен краткий очерк истории математики.

Изложенный в книге теоретический материал, большое число 

задач с подробным анализом и решениями, цикл практических занятий по курсу «Математика», варианты самостоятельных работ для 
контроля полученных знаний будут полезны преподавателям, 
аспирантам и студентам вузов.

УДК [51+33](075.8)

ББК 22.1:65я73

ISBN 978-5-16-108298-0 (online)
© Жукова Г.С., 2019

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

В в е д е н и е
3

В В Е Д Е Н И Е

Требования к математической подготовке современного 

специалиста постоянно возрастают. Кроме хороших знаний по 

своей специальности ему необходимо уметь использовать в 

своей практической деятельности возможности вычислительной техники, 
современные математические методы, 

уметь выбирать наиболее подходящие к анализу его задачи 

комбинации существующих методов, уметь не только принимать решения, но обосновывать их правильность и оптимальность. Современный специалист должен быстро и качественно анализировать с помощью математических средств и методов огромные по объему массивы различного рода информации, необходимой для его успешной профессиональной работы. 

Поэтому математика прочно заняла место одного из главных 

средств познания проблем любой другой науки.

Основу данной книги «Математика для студентов экономических специальностей» (в 2-х частях) составили курсы лекций 

и практических занятий, которые автор проводит на протяжении многих л е т в Московском государственном социальном университете и Российском химико-технологическом университ е т е  им. Д.И.Менделеева. Соответствие государственным 

стандартам высшего профессионального образования, предназначенным для студентов экономических специальностей, предопределило содержание, объем предлагаемого материала и 

характер его изложения.

В в е д е н и е

Основная цель этой книги -  помочь студентам изучить основные положения высшей математики, дать необходимую, но 

минимальную по объему математическую базу, позволяющую 

овладеть устойчиво математическими приемами, методами 

анализа большого круга практических задач.

Мы излагаем «Высшую математику» как дисциплину, обучающую студентов определенным навыкам логического мышления, использования количественных методов анализа, необходимых им при изучении спецкурсов, написании курсовых и дипломных работ, умению не только осмыслить и высказать суждение по тому или иному вопросу, но проверить его правильность.

В части I книги обсуждаются элементы теории множеств, 

векторной алгебры, аналитической геометрии на плоскости и 

в пространстве, линейной алгебры, дифференциального и интегрального исчисления функции одной переменной. Кроме т о го, Вашему вниманию предложен краткий очерк истории математики. Весь э т о т  материал мы излагаем студентам первого 

курса в первом семестре из расчета 6 аудиторных часов в неделю.

В части II книги обсуждаются элементы теории функций 

нескольких переменных, числовые и степенные ряды, ряды Тейлора и Маклорена, дифференциальные уравнения первого и 

второго порядков, элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики. Э т о т  материал мы 

излагаем студентам во втором и частично в третьем  семестрах из расчета 6 аудиторных часов в неделю.

В в е д е н и е
5

Придерживаясь мнения, что  математическими приемами и 

методами анализа различных задач можно устойчиво овладеть 

только, решая достаточное число аналогичных примеров, в 

книге по всем перечисленным выше разделам математики 

предложен цикл практических занятий и контрольных работ.

Схема изложения материала каждого параграфа следующая:

1. Справочный теоретический материал, необходимый для 

успешного усвоения темы;

2. Разбор примеров (с подробным их решением и анализом);

3. Перечень задач для самостоятельного решения;

4. О тветы  ко всем задачам.

Нумерация формул, теорем, рисунков, таблиц, замечаний, 

примеров с решениями, примеров для самостоятельной работ ы  в каждом параграфе самостоятельная.

Надеемся, что эта книга будет полезна преподавателям 

вузов и студентам экономических специальностей, желающим 

изучить математику.

§ 1. Элементы теории множеств

§_!■ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

1. МНОЖЕСТВА

О п р е д е л е н и е  1. 
Множество -  это любая совокупность 
объектов, называемых элементами множества.

Множества обозначают большими буквами: А, В, 
Элементы множества обозначают малыми буквами: a ,b ,n,.... 
Запись: 

а е  А означает, что элемент а есть элемент множества А. В противном случае пишут: а €  А.

О п р е д е л е н и е  2. 
Множество считается заданным, если о 
любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или 
нет.

О п р е д е л е н и е  3. 
Множество, не содержащее ни одного 
элемента, называется пустым и обозначается символом 0 .

О п р е д е л е н и е  4. 
Множество А называется конечным. 
если оно содержит конечное число 
п(А ) 
элементов.

О п р е д е л е н и е  5. 
Два множества называются равными. 
если они состоят из одних и тех же элементов.

О п р е д е л е н и е  6. Множество А называется подмножеством множества В , если любой элемент множества А 
является 
элементом множества В .

Используют запись: A d  В  или Bd> А (отношения включения).

О п р е д е л е н и е  7. 
Множество А называется универсальным множеством для данного рассуждения, если в ходе этого рассуждения участвуют только подмножества множества А.

З а м е ч а н и е  1. Чтобы наглядно изображать множества и отношения между ними, на плоскости рисуют геометрические фигуры 
(как правило, круги), которые находятся между собой в этих отношениях. Универсальные множества отождествляют с плоскостью, изображая обычно в виде квадрата, внутри которого рисуют все другие 
множества, участвующие в ходе этого рассуждения. 
Изображение

§1. Элементы теории множеств
7

множества с помощью геометрической фигуры называется диаграммой множества (или диаграммой Эйлеоа-Венна).

Способы задания множеств:

1) С помощью перечисления его элементов:

2) Описанием характеристического свойства элементов множества:

А = {х \ Р (х )}.

Читают: множество всех таких элементов X, для которых имеет место условие Р(х).

С войства отнош ения включения:

1) А с  А;
2) Если В с  А и А с С  , то В с С  ,
3) Если В С А и А с  В , то А -  В .

2. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

О п р е д е л е н и е  8. 
Числовыми множествами называются 
такие множества, все элементы которых являются числами.

Обозначение некоторых числовых множеств

N  -  множество натуральных чисел: N  = {l;2;3;..

Z -  множество целых чисел: Z = {0 ;± 1 ;± 2 ;...};

R -  множество вещественных чисел: R -  ( -  °°;+°°);

(a ;b )~  интервал: (a ;b )=  {х| a < х <  b];

[а;б]-отрезок: [а ;б ]= {х|я < .х< £ > };

(a;b] и [a;b) -  полуинтервалы:

[a \b \=  {х| а < х < б }, 
[a;b )~  {х| а < х < б };

§1. Элементы теории множеств

Промежуток -  общее название для интервала, отрезка и полуин
Множества можно комбинировать друг с другом и получать другие 
множества. Для этого используются операции: 
объединение множеств, пересечение множеств, дополнение к подмножеству, разность 
множеств, прямое произведение множеств.

О п р е д е л е н и е  9. 
Объединением множеств А \л В  
называется множество, обозначаемое А и  В (или А + В), состоящее 
из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А 
или В  
(рис. 1):

С в о й с т в а  объединения множеств:

1) А и В =  В и  А,
2) ( Л и В ) и С =  А и ( В и С ) ,

3) Если А с  В, то А и В = В ,
4) А и А = А ,
5) А и 0  = А.

тервала.

3. ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ

Рис. 1

§1. Элементы теории множеств
9

4. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

О п р е д е л е н и е  10. Пересечением множеств А и В называется множество, обозначаемое А п  В 
(или А В), состоящее 
из элементов, которые одновременно принадлежат и множеству А , 
и множеству В (рис. 2):

1) А п В =  В п А ,
2) ( А п В ) п С  = А п ( В п С ) ,

3) Если А с В ,  то А п В = А ,
4) А п А  = А,
5) А п 0  = 0 .

Связь между операциями объединения и пересечения:

1) А п ( В и С ) = ( А п В ) и ( А п С ) ,  то есть А(В + С) = АВ + АС;

2) А и ( В п С ) = ( А и В ) п ( А и С ) ;

3) 
п(А и  В ) -  n(A) + n{B) -  n(A п  В) .

З а м е ч а н и е  2. При решении уравнений или неравенств, которые обозначим (А) и (В), если возникает необходимость в объединении или пересечении множеств их решений, для обозначения 
этого факта используют, соответственно, символику:

Рис. 2

С в о й с т в а  пересечения множеств:

или

§1. Элементы теории множеств

5. ДОПОЛНЕНИЕ К МНОЖЕСТВУ

О п р е д е л е н и е  11. Дополнением к множеству А во множестве V (если A c  V) называется множество А 
всех тех элементов V, которые не Лринадлежат А (рис. 3):

А = {х е  У\ хе. а ].

V

Рис. 3

С в о й с т в а  дополнения к множеству:

1) 
А п  В и  А п  В = А, то есть 
АВ + АВ = А ;

2) 
А и А = У ,  то есть А + А -  V \

3) 
А п  А -  0  , то есть АА = 0  ;

4) n(v) = п(А) + п(А ) , если A c V .

З а м е ч а н и е  3. Любые два подмножества А и В множества V разбивают множество V на четыре области (рис. 4):

Z), = АВ , 
D 2 = A B ,

d 4 = a b .
D3 = A B ,