Категории и некоторые их приложения

Москва 
ИНФРА-М 
2020

КАТЕГОРИИ И НЕКОТОРЫЕ  
ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Г.В. КОНДРАТЬЕВ

МОНОГРАФИЯ

УДК 512.581(075.4)
ББК 22.144
 
К64

Кондратьев Г.В.
К64  
Категории и некоторые их приложения : монография / Г.В. Кондратьев. — 
Москва : ИНФРА-М, 2020. — 175 с. — (Научная мысль). — DOI 10.12737/20234.

ISBN 978-5-16-015978-2 (print)
ISBN 978-5-16-105149-8 (online)
В монографии излагается теория категорий первого порядка и строгих высших категорий. Особое внимание уделено ситуациям конкретного сопряжения и конкретной 
двойственности высшего порядка. Вводятся новые примеры конкретной двойственности, такие как: двойственность A.M. Виноградова, 2-двойственность Гельфанда — 
Наймарка, двойственность Понтрягина — Лукаша и др. В качестве внематематического приложения рассмотрено предсказание эмпирических данных, основанное на идее 
 естественности.
Может быть использована как учебное пособие по общей теории категорий и возможностям ее применения в математике и других науках.

УДК 512.581(075.4)
ББК 22.144

Р е ц е н з е н т ы:
Толен В., профессор (Йоркский университет, Канада);
Сташеф Дж., профессор (Пенсильванский университет, США)

ISBN 978-5-16-015978-2 (print)
ISBN 978-5-16-105149-8 (online)
© Кондратьев Г.В., 2017

Предисловие

Теория категорий уже давно зарекомендовала себя как удобное, гибкое и

выразительное средство в математике, логике, физике, компьютерных и ин
женерных науках. После первой негативной реакции математиков на слиш
ком высокий и, казалось бы, не всегда нужный уровень абстракции эта теория

получила полное признание в особенности благодаря прогрессу, сделанному

ей самой, и соответствующему выводу математики на более высокий концеп
туальный и в то же время экономный, обладающий большой вычислительной

мощью уровень. Это относится в первую очередь к таким областям, как алгеб
раическая топология и геометрия, гомологическая и универсальная алгебра,

формальная теория дифференциальных уравнений, основания математики и

логики, логические исчисления, теоретико-топосные модели физики, функ
циональное программирование.

Самым простым приложением теории категорий к другим наукам явля
ется использование ее языка и формулировка конкретной теории в рамках

категорных конструкций. Более глубоким является изучение свойств катего
рии, связанной с конкретной областью, и выражение конкретных предметных

понятий через эти свойства, а также доказательство категорных теорем в спе
цифической области. Зачастую такие теоремы очень важны (как, например,

то что пространства Келли в топологии образуют декартово-замкнутую кате
горию). Без средств теории категорий эти результаты плохо распознаваемы

и с трудом доказуемы.

Самым глубоким уровнем приложений является полная категорифика
ция конкретной прикладной области. Теоретически она всегда достижима,

но усилия, затрачиваемые на нее, возможно, не всегда адекватны сложности

и важности проблемы. В тексте в зависимости от задачи рассматриваются

разные уровни приложений теории категорий.

После стандартного материала по общей теории категорий (глава 1) и

некоторым дополнительным структурам на категории (глава 2) даются при
менения этой теории: к общим вопросам математики, таким как конкретная

двойственность, включающая 2-двойственность Гельфанда-Наймарка, обога
щение категории предпучками множеств и конструкция обобщенных много
3

образий, обсуждение некоторых видов инвариантов, возникающих в теории

категорий и геометрии (глава 3), а также к предсказанию поведения эмпири
ческих данных, основанному на принципе естественности (глава 4).

Приложения теории к упомянутым выше разделам математики, логики,

физики и программирования хорошо представлены в литературе и в данной

книге не рассматриваются (см. [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13]).

4

Оглавление

Предисловие
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3

1
Основы теории категорий
7

1.1. Категории и функторы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

1.2. Естественные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3. 2-категории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4. Сопряженные функторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5. Пределы и копределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2
Категории с дополнительной структурой
47

2.1. Моноидальная структура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2. Обогащение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.3. Расслоенные категории
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.4. Слабые ∞-категории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.4..1
Представимые ∞-функторы . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.4..2
(Ко)пределы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.4..3
Сопряжение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3
Приложения к общим вопросам математики
98

3.1. Конкретная двойственность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.1..1
Естественная и неестественная двойственность . . . . . . 100

3.1..2
Еще примеры конкретной двойственности . . . . . . . . . 107

3.2. Почти-объекты, почти-структуры
. . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.3. Обобщенные многообразия
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

3.3..1
Стэки и конструкция обобщенных многообразий . . . . . 149

3.4. Инварианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5

Оглавление

3.4..1
Гомотопические группы, ассоциированные с бесконечно
мерными категориями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

3.4..2
Двойственность и теория инвариантов . . . . . . . . . . . 158

4
Категорный анализ данных
163

4.1. Мотивирующие примеры для введения естественных преобра
зований в статистику . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.1..1
Естественное расширение данных
. . . . . . . . . . . . . 164

4.2. Внутренняя равномерная регулярность данных . . . . . . . . . . 164

4.3. Липшицева неопределенность как выражение равномерной непре
рывности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4.4. Теоретико-категорная модель данных . . . . . . . . . . . . . . . 167

4.5. Обсуждение естественной статистики
. . . . . . . . . . . . . . . 169

Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

6

Основы теории категорий

Категории представляют некоторую метатеорию математики. Они явля
ются теорией типов, лежащей за математическими объектами и представ
ляющей (прото)типы объектов, конструкций и отображений, используемых в

той или иной теории. Именно поэтому некоторые математики считают ее бес
смысленной, не несущей никакого содержания, и именно поэтому же другие

математики считают ее важной и фундаментальной, задающей общие прави
ла ‘на все случаи жизни’. На самом деле, теория категорий не только задает

какие-то рамки и типы, но и является вполне инструментальной, с большой

вычислительной мощью и, в то же время, с концептуальным взглядом на ве
щи. Стандартными ссылками по теории категорий являются [1, 14, 15, 12, 13].

1.1. Категории и функторы

Категории состоят из объектов и морфизмов (или стрелок). Морфизмы,

по смыслу самого названия, – это отображения, сохраняющие структуру объ
ектов. Как правило, математические теории изучает одну или несколько свя
занных между собой категорий.

Определение 1. Категория C состоит из двух классов: Ob(C) и Ar(C).

Элементы первого класса называются объектами, а второго морфизмами

(или стрелками) категории C. Имеются функции начала и конца стрелки

d, c : Ar(C) → Ob(C). На классе Ar(C) определен частичный закон компози
ции ◦ : Ar(C)×Ar(C) → Ar(C) : (f, g) → g◦f. Стрелка g◦f определена, если

и только если dg = cf, то есть конец первой стрелки совпадает с началом

второй. Класс объектов Ob(C) может быть произвольным. Класс стрелок

Ar(C) с операцией композиции ◦ должен удовлетворять двум аксиомам:

• (аксиома единицы) для каждого объекта C ∈ Ob(C) существует

7

Основы теории категорий

единичная стрелка 1C, такая что d1C = c1C = C и для всяких стрелок

f, g выполняется 1C ◦ f = f, g ◦ 1C = g в том случае, когда указанные

композиции определены,

• (аксиома ассоциативности) для любых трех стрелок f, g, h выпол
няется f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h в том случае, когда все композиции

определены.

Обозначение кружком ◦ для закона композиции функций является стан
дартным. Буквы d, c обозначают первые буквы слов domain и codomain. Сло
во ‘стрелка’ возникает естественно, так как обозначает вещь, имеющую на
чало и конец, f : df → cf. Когда написано f : A → B, это значит, что

df = A, cf = B. Класс стрелок {f ∈ Ar(C) | df = A, cf = B} называется

hom-множеством из A в B и обозначается hom(A, B) (в некоторых случаях

это множество может быть ‘большим’, то есть быть собственным классом).

Класс hom(A, B) может обозначаться также homC(A, B) или C(A, B), особен
но если нужно подчеркнуть, какая категория рассматривается.

Чтобы выразить, что одна композиция стрелок равна другой, например,

f ◦ g = h ◦ k, используют коммутативные диаграммы
B
f
C

A

g
k
D

h

. Очевид
но, могут быть коммутативные диаграммы более сложной формы, например,
A

f

g

α
B
p
q

C

k
D
l
E

, которая графически выражает, что p ◦ α = f, q ◦ α = g,

k ◦ p = l ◦ q, k ◦ f = l ◦ g, k ◦ p ◦ α = l ◦ q ◦ α (из первых трех равенств следуют

оставшиеся). Пунктирной стрелкой выражают единственность. В коммута
тивной диаграмме композиции стрелок вдоль любых двух путей с общим

началом и концом равны по определению.

Примерами категорий являются:

1. категория множеств Set с объектами, множествами, и стрелками, отоб
ражениями из одного множества в другое,

8

Основы теории категорий

2. категория групп Grp с объектами, группами, и стрелками, гомомор
физмами групп,

3. категория колец Rng с объектами, кольцами, и стрелками, кольцевыми

гомоморфизмами,

4. категория топологических пространств Top с объектами, топологиче
скими пространствами, и стрелками, непрерывными отображениями,

5. категория дифференцируемых многообразий Diff с объектами, диф
ференцируемыми многообразиями, и стрелками, дифференцируемыми

отображениями,

6. категория банаховых пространств Ban с объектами, банаховыми про
странствами, и стрелками, линейными непрерывными отображениями,

7. множество с отношением предпорядка P = (P, ≤) ( ≤ – рефлексивно и

транзитивно). Ob(P) = P, Ar(P) = ≤ ⊂ P 2 (то есть стрелки – это пары

(a, b), если a ≤ b), 1a = (a, a), (b, c) ◦ (a, b) = (a, c),

8. моноид M = (M, ·, e). Ob(M) = {∗} (одноэлементное множество),

Ar(M) = M, 1∗ = e (единица моноида), f ◦ g = f · g,

9. категория Data, состоящая из конечных множеств данных и вычисли
мых функций/процессов между ними.

Во всех примерах, исключая 7, 55, единичными стрелками являются тож
дественные отображения объектов, а композицией – обычная композиция

отображений g ◦ f(x) = g(f(x)).

Часто удобно выделять специальные типы стрелок категории C. К таким

относятся:

• монострелка (или мономорфизм) α : A → B, которая сократима слева,

то есть для любых двух ‘параллельных’ стрелок C
f
g
A , таких что

α ◦ f = α ◦ g, следует f = g,

• эпистрелка (или эпиморфизм) ω : A → B, которая сократима справа,

то есть для любых двух ‘параллельных’ стрелок B
x
y
C , таких что

x ◦ ω = y ◦ ω, следует x = y,

9

Основы теории категорий

• изострелка (или изоморфизм) f : A → B, которая имеет обратную

f −1 : B → A, то есть f −1 ◦ f = 1A, f ◦ f −1 = 1B.

Обычно монострелки инъективны, а эпистрелки сюръективны, как в ка
тегории множеств Set. Однако, это не является общим правилом. Извест
ным контрпримером является вложение натуральных чисел в рациональные

N → Q в категории колец, которое действительно является монострелкой

и инъективно, но также является эпистрелкой и не сюръективно. Отсюда

также следует, что не все стрелки, которые одновременно моно- и эпи-, –

изоморфизмы. Хотя обратное всегда верно.

Функторы играют роль отображений между категориями. Они переводят

объекты в объекты и стрелки в стрелки, сохраняя при этом закон компози
ции.

Определение 2. Функтор F : C → D из категории C в категорию D

– это отображение F : Ob(C) Ar(C) → Ob(D) Ar(D), такое что:

• если C ∈ Ob(C), то F(C) ∈ Ob(D),

• если f ∈ Ar(C), то F(f) ∈ Ar(D),

• если f ∈ Ar(C), то F(df) = dF(f), F(cf) = cF(f),

• если C ∈ Ob(C), то F(1C) = 1F(C),

• если композиция f ◦ g определена в C, то F(f ◦ g) = F(f) ◦ F(g).

Функторы иногда называются также ковариантными функторами. В том

случае, когда отображение F в определении 2 меняет местами начало и конец

стрелки, то есть F(df) = cF(f), F(cf) = dF(f), и меняет закон композиции

на противоположный F(f ◦ g) = F(g) ◦ F(f), оно называется соответствен
но контравариантным функтором. Если формально ввести двойственную

категорию Cop, имеющую те же объекты и стрелки, что и исходная C, но в

которой dop = c, cop = d, f ◦opg = g◦f (когда композиция g◦f определена в C),

то функтор F : Cop → D такой, как в определении 2, будет соответствовать

контравариантному функтору F : C → D (см. пример 2 ниже).

Примерами функторов являются:

10

Основы теории категорий

1. тождественный ковариантный функтор 1C : C → C, оставляющий все

на месте,

2. тождественный контравариантный функтор (·)op : C → Cop, не изме
няющий объекты и стрелки, но меняющий местами функции начала и

конца, d и c, и изменяющий закон композиции на противоположный.

Любой контравариантный функтор ˆF : C → D пропускается через

(·)op : C → Cop, то есть существует ковариантный функтор F : Cop → D,

такой что ˆF = F ◦ (·)op,

3. для всех примеров категорий, кроме 7, 55, существует забывающий

функтор U : C → Set, который сопоставляет объекту категории множе
ство, на котором определен этот объект, и стрелке – отображение мно
жеств. Иногда может забываться только часть структуры объекта, как

например, в функторе U : Rng → Grp, который сопоставляет кольцу

его аддитивную группу, а кольцевому гомоморфизму – гомоморфизм

аддитивных групп,

4. функтор вложения i : C → D категории C в объемлющую категорию D

(то есть классы объектов и стрелок категории C являются подклассами

объектов и стрелок категории D, а все операции в C – ограничениями

соответствующих операций в D). Например, имеются вложения кате
гории конечных множеств в категорию всех множеств FinSet → Set

или категории абелевых групп в категорию групп Ab → Grp. Функтор

вложения может рассматриваться как забывающий функтор,

5. ковариантный hom-функтор hom(C, −) : C → Set :
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨

⎪
⎪
⎪
⎩

A → hom(C, A)
на объектах

(f : A → B) → hom(C, f) :

⎧
⎨

⎩
hom(C, A) → hom(C, B)

g → f ◦ g
на стрелках

(предполагается, что для любой пары объектов C, A ∈ Ob(C) класс

hom(C, A) является множеством),

11

Основы теории категорий

6. контравариантный hom-функтор hom(−, C) : Cop → Set :
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨

⎪
⎪
⎪
⎩

A → hom(A, C)
на объектах

(f : A → B) → hom(f, C) :

⎧
⎨

⎩
hom(B, C) → hom(A, C)

g → g ◦ f
на стрелках

(предполагается, что для любой пары объектов A, C ∈ Ob(C) класс

hom(A, C) является множеством),

7. функтор π0 : Top → Set, сопоставляющий топологическому простран
ству множество его компонент связности, а непрерывному отображению

– отображение компонент связности,

8. касательный функтор T : Diff → Diff, сопоставляющий гладкому мно
гообразию пространство его касательных векторов, а гладкому отобра
жению – его дифференциал,

9. функтор вложения частично упорядоченных множеств (N, | ) → (N, ≤).

a | b, если a делит b в N, и a ≤ b, если a меньше или равно b в смысле

естественного порядка на N.

На классе объектов категории C имеется естественное нетривиальное от
ношение эквивалентности: A ≃ B, если объекты A и B изоморфны, то есть

существует изоморфизм f : A → B.

Утверждение 1. Если A ≃ B в категории C и F : C → D – функтор,

то F(A) ≃ F(B).

Доказательство. Если f : A → B является изоморфизмом в C с обратным

f −1 : B → A, то F(f) : F(A) → F(B) – изоморфизм в D с обратным

F(f −1) : F(B) → F(A), так как 1F(A) = F(1A) = F(f −1 ◦ f) = F(f −1) ◦ F(f)

и 1F(B) = F(1B) = F(f ◦ f −1) = F(f) ◦ F(f −1).

Таким образом, если можно установить, что F(A) ̸≃ F(B), то отсюда

следует, что A ̸≃ B. Например, поскольку {1, 2} ̸≃ {1} в Set, то топологи
ческое пространство, состоящее из двух кусков, не может быть изоморфно

пространству, состоящему из одного куска, в силу функтора πo (пример 7).

12