Геометрия и графика, 2020, № 4

Г Е О М Е Т Р И Я  И  Г РА Ф И К А

Свидетельство о регистрации  
средства массовой информации 
от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523

Издатель:  
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 
127282, Москва, ул. Полярная,  
д. 31В, стр. 1 
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86 (доб. 501)  
Факс: (495) 280-36-29 
E-mail: books@infra-m.ru 
http://www.infra-m.ru

Главный редактор: 
Ищенко А.А., д-р хим. наук, профессор, МИРЭА – 
Российский технологический университет, 
институт тонких химических технологий (МИТХТ)

Выпускающий редактор:  
Склянкина Д.С.

Отдел подписки:  
Меркулова Н.Б.  
Тел.: (495) 280-15-96, доб. 590 
e-mail: podpiska@infra-m.ru

© ИНФРА-М, 2020

Подписано в печать 25.12.2020.  
Формат 60x90/8. Бумага офсетная. 
Тираж 1000 экз. Заказ № 

САЙТ: www.naukaru.ru  
E-mail: mag4@naukaru.ru

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

Гирш А.Г.  
Окружности на комплексной плоскости . . . . . . . . . . . . . . .3

Абдурахманов Ш.
Применение механизмов, отмечающих центры 
тяжестей симплексов в их 2-мерных проекциях как 
аксонографов многомерных пространств . . . . . . . . . . . .13

Иващенко А.В., Ваванов Д.А.
Общий анализ формы линии пересечения двух 
однотипных поверхностей второго порядка . . . . . . . . .24

Рязанов С.А., Решетников М.К.
Расчет координат модифицированного профиля 
производящей поверхности зуборезного 
инструмента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 
ПРЕПОДАВАНИЯ

Сальков Н.А.
Качество геометрического образования при 
различных подходах к методике обучения . . . . . . . . . . .47

Сальков Н.А., Кадыкова Н.С
Феномен присутствия начертательной геометрии 
в других учебных дисциплинах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

Игнатьев С.А., Фоломкин А.И., 
Муратбакеев Э.Х.
Визуализация задач начертательной геометрии 
посредством Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

2020. Том 8. Вып. 4
Научно-методический журнал

Выходит 4 раза в год

Издается при поддержке:
МИРЭА – Российского технологического университета, Московского государственного академического художественного института (МГАХИ) 
им. В.И. Сурикова, Омского государственного 
технического университета (ОмГТУ), Московского 
государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК)

2020. Vol. 8. Issue 4
Scientific and methodological journal

Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181

GEOMETRY & GRAPHICS

ISSN 2308-4898

DOI 10.12737/issn.2308-4898

Журнал «Геометрия и графика» включен в перечень 
ведущих научных журналов, в которых по рекомендации BAK РФ должны быть опубликованы научные 
результаты диссертаций на соискание ученых степеней 
кандидата и доктора наук.

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 

Анатасян Сергей Левонович, д-р пед. наук, профессор.
 
Московский педагогический государственный университет 
(МПГУ), Москва (Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).
Аристов Виталий Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Российский химико-технологический университет имени  
Д.И. Менделеева (Россия).
 
D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, 
Moscow (Russia).
Бородкин Николай Николаевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Тульский государственный университет, Тула (Россия).
 
Tula State University, Tula (Russia).
Виноградов Виктор Никонович, д-р пед. наук, профессор,  
кавалер ордена и медали Франциска Скорины. 
 
Витебский государственный университет имени П.М. Машерова 
(Беларусь).
 
Masherov Vitebsk State University, Vitebsk (Belarus).
Волошинов Денис Вячеславович, д-р техн. наук, профессор.
 
Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций, Санкт-Петербург (Россия).
 
Saint-Petersburg State University of Telecommunications,  
St.-Petersburg (Russia).
Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент.
 
МИРЭА – Российский технологический университет (Россия).
 
Russian Technological University (Russia).
Hirsch Anton, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, University 
of Kassel, Kassel (Germany).
Дворецкий Александр Тимофеевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Академия строительства и архитектуры ФГАОУ ВО «КФУ им. 
В.И. Вернадского», Симферополь (Россия).
 
Crimean Academy for Environmental and Resort Construction, 
Simferopol (Russia).
Иванов Геннадий Сергеевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
 
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).
Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
 
МИРЭА – Российский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
 
Russian Technological University (Russia).
Карташев Эдуард Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
МИРЭА — Российский технологический университет, институт тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
 
Russian Technological University (Russia).
Лепаров Михаил Николаевич, канд. техн. наук, профессор.
 
Софийский технический университет, София (Болгария).
 
Technical University of Sofia, Sofia (Bulgaria).
Ломов Станислав Петрович, действительный член (академик) 
Российской академии образования, академик-секретарь 
Отделения общего среднего образования РАО, д-р пед. наук, 
профессор. Московский государственный областной университет, Москва (Россия).
 
Moscow Region State University, Moscow (Russia).
Ломовской Виктор Андреевич, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Институт физической химии и электрохимии им. А.Н. Фрумкина Российской академии наук, Москва (Россия).
 
Institute of Physical Chemistry and Electrochemistry named 
after A.N. Frumkin of the Russian Academy of Sciences, Moscow 
(Russia).
Manevich Michael, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, Lev 
Institute-JCT, Jerusalem (Israel).
    Ariel University, Science Park, Ariel (Israel).
Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор.
 
Московский государственный университет геодезии и картографии, Москва (Россия).
 
Moscow State University of Geodesy and Cartography, Moscow 
(Russia).
Плоский Виталий Алексеевич, д-р техн. наук, профессор, 
президент Украинской ассоциации по прикладной геометрии, 
проректор по научной работе. Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Киев (Украина). 
 
Kiev National University of Construction and Architecture, Kiev 
(Ukraine).
Ротков Сергей Игоревич, д-р техн. наук, профессор. 
 
Нижегородский государственный архитектурно-строительный 
университет, Нижний Новгород (Россия). 
 
Nizhny Novgorod State Architectural and Construction University, 
Nizhny Novgorod (Russia).

Присланные рукописи не возвращаются.
Точка зрения редакции может не совпадать с мнением авторов публикуемых 
материалов.
Редакция оставляет за собой право самостоятельно подбирать к авторским 
материалам иллюстрации, менять заголовки, сокращать тексты и вносить 
в рукописи необходимую стилистическую правку без согласования с 
авторами. Поступившие в редак цию материалы будут свидетельствовать 
о согласии авторов принять требования редакции.
Перепечатка материалов допускается с письменного разрешения редакции.
При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и графика» обязательна.
Редакция не несет ответственности за содержание рекламных материалов.

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор.
 
Московский государственный академический художественный 
институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия).
 
Surikov Moscow State Academic Art Institute, Moscow, (Russia).
Согомонян Коля Амазаспович, д-р техн. наук, профессор. Армянский 
национальный политеxнический университет. Ереван (Армения).
 
Armenian National Polytechnic University, Yerevan (Armenia).
Субочева Марина Львовна, д-р пед. наук, профессор.
 
Московский педагогический государственный университет (МПГУ), 
Москва (Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).
Schröcker Hans-Peter, Ph.D., Associate Professor, University Innsbruck, 
Innsbruck (Austria).
Stachel Hellmuth, D., Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 
(Austria).
Столбова Ирина Дмитриевна, д-р техн. наук, профессор.
 
Пермский национальный исследовательский политехнический 
университет, Пермь (Россия).
 
Perm National Research Polytechnic University, Perm (Russia).
Толок Алексей Вячеславович, д-р техн. наук, профессор. Московский  
государственный технический университет «СТАНКИН» (Россия). 
STANKIN Moscow State Technical University, Moscow (Russia)
Шаронова Наталья Викторовна, д-р пед. наук, профессор. Московский педагогический государственный университет (МПГУ), Москва 
(Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).
Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор. Московский государственный университет имени  
М.В. Ломоносова, Москва (Россия).
 
Lomonosov Moscow State University, Moscow (Russia).
Щеглов Георгий Александрович, д-р техн. наук, профессор.
 
Московский государственный технический университет имени 
Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
 
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).
Weiss Günter,  Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 
(Austria).

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
МИРЭА – Российский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ), гл. редактор (Россия).
Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор.
 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 
первый зам. гл. редактора (Россия).
Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор. 
 
Московский государственный академический художественный 
институт имени В.И. Сурикова, зам. гл. редактора (Россия).
Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент. 
МИРЭА – Российский технологический университет, зам. гл. 
редактора (Россия).
Кадыкова Нина Серафимовна, канд. техн. наук, доцент. 
 
МИРЭА — Российский технологический университет, ответственный секретарь (Россия).

Кайгородцева Наталья Викторовна, канд. пед. наук, доцент. 
 
Омский государственный технический университет (Россия).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор. 
Московский государственный университет геодезии и картографии (Россия).

Рустамян Вячеслав Владимирович, старший преподаватель. 
МИРЭА — Российский технологический университет (Россия). 

Ефремов Алексей Вячеславович, преподаватель МИРЭА —  
Российский технологический университет (Россия).

GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 4. 3–12 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2020    

УДК 514
DOI: 10.12737/2308-4898-2021-8-4-3-12

А.Г. Гирш
Д-р техн. наук, доцент
Кассельский университет,
Германия, 34109, г. Кассель, Мюнхенбергштрассе, 19

Окружности на комплексной 
плоскости

Аннотация. Евклидова плоскость и евклидово пространство 
не содержат мнимых образов по определению, но неразрывно 
связаны с ними через частные случаи и это ведет к необходимости расширения геометрии в область мнимых значений. 
Такое расширение, т.е. добавление к полю вещественных 
координат плоскости или пространства, поля мнимых координат приводит к различным вариантам пространств разной 
размерности, в зависимости от заданной аксиоматики. Ранее 
в ряде статей были показаны примеры решения некоторых 
актуальных задач геометрии с использованием мнимых геометрических образов [2; 9; 11; 13; 15]. В данной статье рассматриваются конструкции ортогонального и диаметрального положения окружностей на комплексной плоскости. Сделано 
обобщение предложения об окружности на комплексной 
плоскости, ортогонально пересекающей три данные, на предложение о сфере в комплексном пространстве, ортогонально 
пересекающей четыре данные сферы. Исследования показали, 
что диаметральное положение окружностей на евклидовой 
Е-плоскости есть признак ортогонального положения мнимых 
составляющих окружностей на псевдоевклидовой М-плоскости. 
В конструкции вовлечены и рассмотрены действительные, 
мнимые и вырожденные в точку окружности, показаны их 
формы, свойства и признаки их ортогонального положения. 
Приведено построение радикальных осей и радикального 
центра для окружностей одного и разных видов. Сделано 
расширение 2D взаимного ортогонального положения окружностей на 3D-сферы. На рисунках мнимые образы показаны 
штриховыми линиями.
Ключевые слова: окружность: действительная, мнимая, 
вырожденная; действительная окружность мнимое дополнение, мнимая окружность действительное дополнение, нуль- 
окружность левая и правая изотропы, прямой угол: действительный, мнимый; радикальная ось, радикальный центр, 
сферa.

A.G. Hirsch
Doctor of Engineering, Associate Professor,
University of Kassel,
19, Monkebergstrasse, Kassel, 34109, Germany

Circles on the Complex Plane

Abstract. The Euclidean plane and Euclidean space themselves 
do not contain imaginary elements by definition, but are inextricably linked with them through special cases, and this leads to the 
need to propagate geometry into the area of imaginary values. Such 
propagation, that is adding a plane or space, a field of imaginary 
coordinates to the field of real coordinates leads to various variants 

of spaces of different dimensions, depending on the given axiomatics. Earlier, in a number of papers, were shown examples for solving some urgent problems of geometry using imaginary geometric 
images [2; 9; 11; 13; 15]. In this paper are considered constructions 
of orthogonal and diametrical positions of circles on a complex 
plane. A generalization has been made of the proposition about a 
circle on the complex plane orthogonally intersecting three given 
spheres on the proposition about a sphere in the complex space 
orthogonally intersecting four given spheres. Studies have shown 
that the diametrical position of circles on the Euclidean E-plane 
is an attribute of the orthogonal position of the circles’ imaginary 
components on the pseudo-Euclidean M-plane. Real, imaginary 
and degenerated to a point circles have been involved in structures 
and considered, have been demonstrated these circles’ forms, 
properties and attributes of their orthogonal position. Has been 
presented the construction of radical axes and a radical center for 
circles of the same and different types. A propagation of 2D mutual orthogonal position of circles on 3D spheres has been made. 
In figures, dashed lines indicate imaginary elements.
Keywords: circle: real, imaginary, degenerated; real circle + 
imaginary complement; imaginary circle + actual complement; 
zero circle + left and right isotropies; right angle: real, imaginary; 
radical axis; radical center; sphere.

Введение

Окружность как геометрически простой элемент 
широко применяется в геометрических конструкциях наряду с прямой линией и точкой. Конструкции 
с окружностями несут такие громкие названия, как 
«Задача Аполлония», «Задача Монжа», «Теорема 
Гамильтона», «Теорема Декарта», «Круги Вилларсо», 
«Круги Джонсона», «Круги Форда», «Круги Эйлера», 
«Линии Жаргонна», и мн. др. [1; 2; 11–14; 19; 21; 22]. 
Конструкции ортогональных окружностей на евклидовой плоскости известны и входят в школьную 
программу по геометрии [16; 17]. Особенность предлагаемых здесь конструкций заключается в том, что 
построения реализуются на комплексной плоскости, 
а сами окружности могут быть как действительными, 
так и мнимыми. Мнимая окружность имеет форму 
равнобочной гиперболы и содержит действительную 
окружность своим носителем как свое действительное дополнение. Действительная окружность на 
комплексной плоскости также содержит мнимое 
дополнение в форме равнобочной гиперболы.  
О форме и свойствах комплексных фигур — подробно в [5–9; 20]. Ортогональное положение однородных 
и разнородных окружностей, в порядке расширения 
их на 3D, перенесено на сферы с указанием новых 
свойств конструкций.

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2020 
GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 4. 3–12

1. Окружности на комплексной плоскости

Окружность как фигура на комплексной плоскости подобно комплексному числу представлена своими действительной и мнимой частями. На действительной Е-плоскости окружность задана тремя параметрами и кроме того, что она круглая, мало что 
можно добавить. На мнимой М-плоскости картина 
более оживленная — здесь различают уже два вида 
окружностей (рис. 1): 
1) действительная окружность k(O1, r1) имеет мнимое 
дополнение в форме равнобочной гиперболы с 
действительной осью по линии центров u, в случае присутствия второй окружности  q(O2, r2);
2) мнимая окружность mq(O2, r2) имеет форму равнобочной гиперболы с мнимой осью по линии 
центров u и имеет своим действительным допол
нением окружность q(O2, r2), служащую носителем 
окружности mq(O2, r2).
Для дальнейшего важно положение мнимой составляющей окружности в операции пересечения. 
Положение оси i гиперболы km определяется в геометрической операции и зависит от положения второй фигуры, вступающей в операцию. Если второй 
фигурой будет, например, прямая линия g, то ось i 
будет направлена параллельно этой прямой (рис. 2); 
если второй фигурой будет окружность, то их оси i 
будут направлены перпендикулярно линии центров 
окружностей. Мнимая окружность mq содержит окружность q своим действительным дополнением, которая 
служит носителем мнимой окружности. Окружность 
q в операциях не участвует, по ней скользят мнимые 
гиперболические ветви mq, чтобы занять положение 
в геометрической операции в соответствии с поло
Рис. 1. а) действительная окружность k и ее мнимое дополнение km; b) мнимая окружность mq и ее действительное дополнение q.

Рис. 2. Подвижность мнимых образов в операции пересечения окружности с прямой линией g: а) мнимое дополнение km окружности k; 
b) mq — мнимая окружность с действительным дополнением q.

жением оси i, например, в пересечении с прямой или 
в пересечении с другой окружностью. 
Рассмотрим два возможных взаимных положения 
двух окружностей k и q на Е-плоскости ортогональное и диаметральное, и при этом соответствующее 
положение их мнимых составляющих на М-плоскости.
Предложение 1. Если на Е-плоскости две окружности k(O1, r1) и q(O2, r2) находятся в ортогональном 
положении, то они пересекаются в точках T на прямой 
p, которая является 1) полярой точки O1 относительно окружности (O2) и 2) полярой точки O2 относительно окружности (O1) (рис. 3, а).
Предложение 2. Если на Е-плоскости две окружности k(O1, r1) и q(O2, r2) находятся в ортогональном 
положении, то на М-плоскости мнимое дополнение km 
окружности (O1) пересекает окружность (O2) в диаметральных точках V2, а мнимое дополнение qm окружности (O2) пересекает окружность (O1) также в диаметральных точках V1 (рис. 3, b). 
Действительно, пусть, к примеру, числа 3, 4, 5 
определяют катеты и гипотенузу прямоугольного 
треугольника O1TO2. Тогда мнимое дополнение km 
окружности k(O1, 3) пересечется с диаметральной 
прямой x = 5 в точках: {km(x2 – y2 = 32), x = 5} ⇒ y = ±4. 
Точки (5; ±4) определяют диаметральные точки V2 
окружности q(O2, 4).  
Мнимая окружность mq носителя q(O2, 4) пересечется с диаметральной прямой x = 0 в точках: {mq ((x – 
– 5)2 – y2 = 42), x = 0} ⇒ y = ±3. Точки (0; 3) определяют диаметральные точки V1 окружности k(O1, ±3). 
Предложение 2 доказано. 

2. Касательная прямая к мнимой окружности

Алгоритм построения точек равнобочной гиперболы.
1. Пусть дана окружность k(O, OV) и прямая u, O ∈ u.

2. Пусть u мнимая ось гиперболы h(O), а диаметр 
VOV ее действительная ось,  VOV ⊥ u.
3. Проводят ряд секущих прямых ai (i = 1, 2, 3, ... n), 
параллельных диаметру VOV, где Ai точки на оси u.
4. Радиусом AiV на прямой ai делают засечки. Эти 
засечки есть точки гиперболы h.
Построение касательной прямой к действительной 
окружности k из некоторой точки P плоскости опирается на построение поляры p точки P относительно окружности k (рис. 3, а). Поляра p проходит через 
точку Q, инверсную точке P относительно окружности k и пересекает окружность k в точках касания T. 
Построение касательной прямой к мнимой окружности mq из некоторой точки P плоскости опирается 
на построение антиполяры p′ точки P относительно 
окружности-носителя q (рис. 3, b). Поляра p и антиполяра p′ точке P относительно окружности q лежат 
симметрично относительно диаметра OV окружности 
q. Точки касания T′ на антиполяре p′ получаются 
засечками дугой окружности (Q′, Q′V). Здесь проводятся параллели от построений с действительной 
окружностью к построениям с мнимой окружностью. 
Укажем на электронный ресурс по вычерчиванию 
коник, позволяющий ускорить решение задач и повысить точность построений [4].

3. Признаки ортогональности двух 
окружностей

1. Касательные прямые к одной из ортогональных 
окружностей в точке их пересечения проходят 
через центр другой окружности (рис. 3).
2. Две пересекающиеся окружности ортогональны, 
если касательные к ним из центров окружностей 
в точке пересечения T взаимно перпендикулярны (рис. 3, а) действительный прямой угол ∠T 
(рис. 3, b) — мнимый прямой угол ∠T ′.

GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 4. 3–12 
 ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2020    

Рис. 3. а) ортогональные действительные окружности (O1) и (O2);  b) ортогональные действительная окружность (O1) и мнимая окружность (O2)

Справедливость предложения вытекает из способа построения точек гиперболы (О) (рис. 3, b, см. §2 
Алгоритм). Проводится прямая, параллельная действительной оси гиперболы; из точки пересечения с 
мнимой осью гиперболы как из центра точки V′, V′ 
засекаются на этой прямой в точках гиперболы; новые точки гиперболы получаются на новой прямой. 
Диаметр VV секущей окружности (P) есть одна из 
таких прямых.

4. Е-диаметральное и М-ортогональное 
пересечение окружностей

Пусть на Е-плоскости окружность k(P) диаметрально пересекает окружность q(О) в точках Vq ее 
вертикального диаметра (рис. 4, а). Прямая, проходящая через точки пересечения окружностей, есть 
их радикальная ось. Поляра p получается в инверсии 
точки P относительно окружности q(О). Поляра p 
пересекает окружность q(О) в точках T касания касательных прямых из точки P к окружности q(О). 
На М-плоскости (рис. 4, b), строится антиполяра 
p′ точки P относительно окружности q(О). Поляра p 
и антиполяра p′ одинаково удалены от радикальной 
оси окружностей. Q = p′ × u. Точку Vq вращением 
вокруг точки Q совмещают с антиполярой p′ в точке 
T ′. Обе окружности на М-плоскости состоят из двух 
частей — действительной и мнимой. Мнимые гиперболы km и mq пересекаются в точках T ′ под мнимым 
прямым углом. 
Одна из гипербол — гипербола km с действительной осью по линии центров u(PО) служит мнимым 
дополнением окружности k(P). Вторая гипербола — 
гиперболa mq считается мнимой окружностью, она 

Поляра p точки P относительно окружности (O2) 
проходят через точку T ее ортогонального пересечения с окружностью (O1) (рис. 3, а). Антиполяра p′ 
точки P относительно мнимой окружности (O2) проходят через точку T ′ ее ортогонального пересечения 
с окружностью (O1) (рис. 3, b).
3. Радиусы окружностей (O1) и (О2) в точке T их 
пересечения сходятся под прямым углом — действительный прямой угол (рис. 3, а), мнимый 
прямой угол (рис. 3, b).
4. Две окружности ортогональны, если их радиусы 
(r1, r2) и межцентровое расстояние (d) связаны 
соотношением d
r
r
2
1
2
2
2
=
+
:  
 
а) d
r
r
2
1
2
2
2
=
+
 обе окружности действительные, 
например, 52 = 42 + 32; 
 
b) d
r
ir
2
1
2
2
2
=
+(
) окружности разнородные, например, 42 = 52 + (3i)2;  
 
с) две мнимые окружности не могут иметь ортогонального положения.
Предложение 3. Если на Е-плоскости большая окружности k(O1, r1) пересекает меньшую окружность q(O2, 
r2) в диаметральных точках V2, то на М-плоскости 
мнимая окружность mq(O2) также пересекает окружности (O1) в диаметральных точках V1 [5, с. 145; 7,  
с. 96].
При этом окружность, которую пересекают диаметрально, будет действительным носителем q мнимой окружности. Далее, из конструкции рис. 3, b 
вытекает важное свойство. 
Предложение 4. Если на Е-плоскости большая окружности k(O1, r1) пересекает меньшую окружность q(O2, r2) 
в диаметральных точках V2, то на М-плоскости мнимая окружность mq(O2) пересекает мнимое дополнение 
km окружности (O1) в точках T ′ ортогонально.

Рис. 4. a) E-плоскость: окружность k(P) диаметрально пересекает окружность q(O); b) М-плоскость: мнимая окружность mq (O) ортогонально 
пересекается с мнимым дополнением km (P)

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2020 
GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 4. 3–12

имеет окружность q(O) своим действительным дополнением.
Итак, на рис. 4, а касательная к окружности (О) 
из точки P вместе с радиусом окружности образуют 
прямой угол ∠PTО с вершиной T на поляре p. На 
М-плоскости (рис. 4, b) антиполяра p′ вместе с точкой T ′ сменили положение и угол ∠PT ′О образуется касательной PT ′ к гиперболе mq и радиусом OT ′, 
касающегося мнимого дополнения km окружности k. 
Фигура мнимого прямого угла существенно отличается от привычного вида прямого угла. Основная 
особенность мнимого прямого угла ∠PT ′О (рис. 4, b) 
состоит в том, что он своей биссектрисой имеет 
изотропную прямую s, а угол между боковыми лучами не является характерным признаком.
Задача 1 «One circle»
Даны мнимая окружность mq(О, 3i) и точка P(0; –5). 
Построить окружность k(P), ортогонально пересекающую данную окружность mq (рис. 4, b).
Решение.
1. Строят прямой угол ∠PVqQ, Q ∈ u.
2. Строят антиполяру p′ точки P относительно окружности k, p′ ∈ Q, p′ ⊥ u.
3. Точку Vq поворачивают вокруг точки Q до совмещения с прямой p′ в точке T ′. t(PT ′) — касательная прямая к мнимой окружности mq.
4. Окружность k(P, PVq) — искомая. Ее мнимое дополнение km ортогонально пересекает мнимую 
окружность mq в точке T ′. OT ′ — касательная 
прямая к мнимому дополнению km окружности 
k(P, PVq).
5. Прямые PT ′ и OT ′ пересекаются под мнимым 
прямым углом. Изотропная прямая s есть биссектриса ∠PT ′O, что доказывает угол как мнимый 
прямой.

Следствия. 1) Окружность k диаметрально пересекает окружность q. 2) Мнимое дополнение km окружности k(P, PVk) ортогонально пересекает мнимую 
окружность mq(0, 3i) под мнимым прямым углом 
∠PTО. 
Условие задачи выполнено (см. предложение 4). 
Положение касательных прямых к гиперболам в 
данной точке T позволяет проверку. Конструкция 
касательной прямой опирается на свойство, что касательная в точке T делит пополам угол между фокусами TF1 и TF2 гиперболы. Уравнение y = mx + n 
определяет касательную к гиперболе xx

a

yy
b

T
T
2
2
1
−
=  в 

точке T(xT, yT), если удовлетворяется условие касания, 
что a2m2 – b2 = n2 [12, c. 274].

5. Радикальная ось двух окружность на 
комплексной плоскости

Радикальная ось двух окружностей есть ГМТ из 
которых длины касательных к обеим данным окружностям равны между собой. Радикальная ось двух 
окружностей проходит через точки их пересечения. 
Если окружности не пересекаются, то для приведения 
их к пересечению существуют три способа их расширения по числу пар, которые можно составить из двух 
видов окружностей — действительной и мнимой.
Построение радикальной оси двух окружностей
Случай а. Если действительные окружности пересекаются, то их радикальная ось (р.о.) проходит через их точки пересечения. Если данные окружности 
не пересекаются, то их можно привести к пересечению на радикальной оси касательным расширением 
обеих окружностей на одну и ту же касательную 
величину δ (рис. 5, а).

Рис. 5. Построение радикальной оси двух окружностей: а) обе окружности действительные; b) обе окружности мнимые; 
с) одна окружность действительная, вторая — мнимая 

GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 4. 3–12 
 ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2020    

Случай b. Если данные непересекающиеся окружности мнимые, то их можно привести к пересечению 
на радикальной оси расширением обеих окружностей 
на одну и ту же величину δ для боковых сторон равнобедренного треугольника с основанием на диаметрах (рис. 5, b).
Случай c. Если данные непересекающиеся окружности разнородные, то их можно привести к пересечению на радикальной оси касательным расширением действительной окружности на величину δ и 
построением равнобедренного треугольника со сторонами δ и основанием на диаметре для мнимой 
окружности (рис. 5, c).
Задача 2 «Two circle» 
Даны две окружности (O1), (O2) и точка P в пересечении радикальной оси с линией центров. Построить 
окружность k(P), ортогонально пересекающую обе 
данные окружности.
Анализ условия:
a)  центр P искомой окружности k должен лежать на 
радикальной оси данных окружностей (O1), (O2) 
в пересечении с линией центров u. Радикальная 
ось окружностей (O1), (O2) проходит через точки 
их пересечения;
b)  если окружности (O1), (O2) пересекаются, то центр 
P искомой окружности k не должен быть внутренней точкой, т.е. должен лежать в области наложения кругов (O1), (O2);
c)  если точка P лежит во внутренней области окружностей (O1), (O2), то отсюда следует, что задача не 
имеет решения в области действительных значений.
Если задача не имеет действительного решения 
по конструкции рис. 3, а, то следует перейти к решению задачи по конструкции (рис. 3, b), если оно 
не противоречит условию задачи.
Решение.
1. Строят радикальную ось р.о. данных окружностей 
(O1), (O2) и точку P пересечения р.о. с линией 
центров u.

2. Строят антиполяры 
′
′
p
p
1
2
и
 точки P относительно 
данных окружностей. Антиполяры пересекают 
линию центров в точках Q1 и Q2.
3. Искомая окружность k с центром в точке P проходит через точки V1, V2 данных окружностей.
4. Точку V1 вращением вокруг точки Q1 совмещают 
с прямой 
′p1  в точке T1. Аналогично, точку V2 
вращением вокруг Q2 совмещают с прямой 
′p2  в 
точке T2. В точках T1, пересекаются касательные 
tP и tO1  гиперболических ветвей m1 и mk, соответственно m2 и mk.
5. Гиперболические ветви m1, m2 мнимых окружностей пересекают мнимое дополнение km окружности k(P) под мнимым прямым углом. Мнимый 
прямой угол показан серым цветом с изотропной 
прямой s в качестве биссектрисы (рис. 6).
Доказательством того, что углы, под которыми 
пересекаются касательные прямые к гиперболическим 
ветвям в точках их пересечения, мнимые, служат 
среди прочего изотропные прямые s из вершин углов 
как их биссектрисы. Углы составлены касательными 
прямыми к гиперболическим ветвям: в точке T1 ∠O1T1P 
и в точке T2 ∠O2T2P — мнимые прямые. Обращаем 
внимание, что точка P лежит в пересечении радикальной оси p.o. двух мнимых окружностей и линии 
центров u, как и требовалось в условии задачи. 
Радикальная ось действительных окружностей проходит через точки пересечения окружностей и не 
совпадает с радикальной осью тех же окружностей 
как носителей мнимых окружностей (см. рис. 6).

6. Радикальный центр трех окружностей 

В задаче построения окружности, ортогонально 
пересекающей каждую из трех данных окружностей, 
различают четыре различных случая по однородности и разнородности данных окружностей:
1) все три окружности действительные;
2) одна из окружностей мнимая;

Рис. 6. Окружность k(P) ортогонально пересекает мнимые окружность (O1) и окружность (O2)

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2020 
GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 4. 3–12

3) одна из окружностей действительная;
4) все три окружности мнимые.
Отдельно нужно упомянуть нуль-окружность, она 
может трактоваться как вырожденный случай как 
действительной, так и мнимой окружности, радиус 
которой принимает значение нуль [10], при этом она 
продолжает оставаться окружностью. Нуль-окружность 
также, как и полная окружность, имеет действительную и мнимую составляющие — нуль-окружность 
состоит из пары изотропных прямых, пересекающихся в действительной точке. Простейший пример 
окружности, ортогонально пересекающей три данные 
нуль-окружности — это известная действительная 
окружность, проходящая через три действительные 
точки. Каждая пара окружностей имеет свою радикальную ось (рис. 5). Радикальные оси пересекаются в одной точке — в радикальном центре P трех 
данных окружностей (рис. 7).
Предложение 5. На комплексной плоскости три 
окружности однородные, разнородные или вырожденные 
всегда имеют четвертую окружность с центром в 

радикальном центре данных окружностей, нормально 
пересекающую каждую из данных.
В точках пересечения четвертой окружности с 
данными их радиусы попарно составляет действительный или мнимый прямой угол (рис. 8).
Задача 3 «Three circle», Power center
Даны три окружности k(O1, 2), m(O2, 3i) и n(O3, 0). 
Построить окружность q(P), ортогонально пересекающую каждую из трех данных (рис. 9).
Решение.
1. Радикальный центр P трех окружностей (O1), (O2), 
(O3) есть точка пересечения радикальных осей пар 
данных окружностей (см. рис. 5). 
2. Искомая окружность q(P) ортогонально пересекает 
окружность (O1) в точке T под прямым углом ∠PTO1, 
искомая окружность q(P) диаметрально пересекает 
окружность (O2) и проходит через центр третьей 
нуль-окружности (O3). Наличие нуль-окружности 
среди трех данных позволяет сразу, без дальнейших 
построений, провести искомую окружность q проходящей через точку O3 — окружность q(P, PO3).

Рис. 7. а) радикальный центр P трех окружностей — внешняя точка относительно окружностей; b) радикальный центр P как внешняя точка определяет 
ортогональную окружность Монжа; с) вспомогательная окружность для построения точек T

Рис. 8. a) радикальный центр P трех окружностей — внутренняя точка; b) радикальный центр P как внутренняя точка определяет диаметральную 
окружность, пересекающую три данные под мнимым прямым углом

GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 4. 3–12 
 ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2020    

3. Поляра p точки P относительно окружности (O1) 
проходит через точки T пересечения окружностей T12 = q × k, что обеспечивает ортогональное 
положение этой пары действительных окружностей.
4. Антиполяра p′ точки P относительно окружности 
(O2) проходит через точки T пересечения мнимой 
окружности (O2) с мнимым дополнением qm окружности q(P).
5. Мнимое дополнение qm окружности q(P) под мнимым прямым углом пересекает мнимую окружность 
m(O2) в точках T. Точки пересечения лежат симметрично линии центров u2 и прямые через точки 
T, идущие 45° к оси u2 есть биссектрисы s прямого угла ∠O2TP, под которым пересекаются гиперболические ветви qm(P) и mq(O2). Эти прямые s 
суть изотропные прямые [6; 11].
6. Обращаем внимание, что все три данные окружности разнородные: действительная, мнимая, 
нуль-окружность, правильное положение радикального центра P было обеспечено способами 
построения радикальных осей по схеме рис. 5.

7. Расширение 2D-конструкций до 
3D-конструкций

Окружности на плоскости могут быть рассмотрены как ортогональные проекции сфер, при этом 
свойства окружностей переносятся на сферы и составляют часть их свойств, при этом меняются соответствующие термины: окружность есть проекция 
сферы, гипербола есть проекция двуполостного или 
однополостного гиперболоида. На рис. 1, а дана 
проекция действительной сферы (O) с ее мнимым 
дополнением — однополостным гиперболоидом с 
осью вращения по направлению оси i (штриховая 

линия). На рис. 1, b дана проекция сферы (O) как 
действительное дополнение мнимой сферы и как 
ее носитель, мнимая сфера имеет форму двуполостного гиперболоида с осью вращения по оси i 
(штриховая линия). Переход от окружностей к 
сферам есть переход в более высокое пространство, 
где три сферы могут иметь общую радикальную 
ось, а четыре сферы могут иметь общий радикальный центр.
В ортогональном пересечении сфер (O1) и (O2) 
следует различать три случая:
1) сферы действительные;
2) сферы мнимые;
3) сферы разнородные.
Случай 1 действительных сфер позволяет строить 
сферу, ортогональную четырем данным сферам. Случай 2 мнимых сфер может иметь только несобственное решение. В случае 3 разнородных сфер в операцию с мнимыми сферами в форме однополостных 
гиперболоидов вступают мнимые дополнения действительных сфер в форме двуполостных гиперболоидов, поверхности могут пересекаться под мнимым 
прямым углом. 
Предложение 6. В комплексном пространстве четыре сферы однородные, разнородные или вырожденные 
с некомпланарными центрами всегда определяют пятую 
сферу с центром в радикальном центре данных сфер, 
ортогонально пересекающую каждую из данных.
Доказательством предложения служит наличие у 
четырех сфер с некомпланарными центрами общего 
радикального центра [21, с. 148].
Как и в случае с окружностями радикальный центр 
четырех сфер может быть внешней точкой относительно данных сфер, в этом случае сферы пересекаются под действительным прямым углом, но может 
оказаться внутренней точкой данных сфер, в таком 
случае пятая сфера будет пересекать данные сферы 
под мнимым прямым углом.

Заключение

Построение окружности, нормально пересекающей одну, две или три данные окружности на комплексной плоскости возможно независимо от вида 
окружностей и от набора таких окружностей, что 
показано в данной статье. В отличие, к примеру, от 
задачи Аполлония для мнимых окружностей на комплексной плоскости, которая скорее всего не решается. Переход от окружностей к сферам есть переход 
в пространство более высокого измерения, в котором 
число участвующих в операции сфер, ожидаемо, 
больше числа окружностей на плоскости. Сделано 
обобщение предложения об окружности на комплексной плоскости, ортогонально пересекающей 

Рис. 9. Окружность q(P) ортогонально пересекает три разнородные 
окружности (O1), (O2) и (O3)

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2020 
GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 4. 3–12

три данные, на предложение о сфере в комплексном 
пространстве, ортогонально пересекающей четыре 
данные сферы.
Евклидова плоскость и евклидово пространство 
неразрывно связаны с комплексными величинами и 
мнимыми образами, и это ведет к необходимости 
расширения геометрии в область мнимых значений, 
к осознанию и освоению мнимых образов как освоению нового пространства. Так, неожиданно простой 
оказалась конструкция ортогонального положения 
окружностей на мнимой плоскости положение оказалось диаметральным. 

С учетом возможностей быстрого счета и машинной графики решение задач с комплексными фигурами и мнимыми образами не составляет принципиальных трудностей. В данной статье рассмотрена 
одна из конфигураций окружностей на комплексной 
плоскости. Геометрических конструкций на комплексной плоскости и в комплексном пространстве 
должно быть больше, комплексную геометрию надо 
осваивать. Это не только расширение состава применяемых фигур, но и расширение уровня задач и 
уровня геометрического мышления, это более высокий уровень конструктивной геометрии.

Литература

1. Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1. [Текст] /  
Ж. Адамар. — М.-Л.: Учпедгиз, 1948. — 608 с.
2. Волошинов Д.В. Алгоритмический комплекс для решения задач с квадриками с применением мнимых 
геометрических образов [Текст] / Д.В. Волошинов // 
Геометрия и графика. — 2020. — Т. 8. — № 2. — С. 3–32. —  
DOI: 10.12737/2308-4898-2020-3-32.
3. Волошинов Д.В. Визуально-графическое проектирование единой конструктивной модели для решения аналогов задачи Аполлония с учетом мнимых геометрических образов [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и 
графика. — 2018. — Т. 6. — № 2. — С. 23–46. — DOI: 
10.12737/article_5b559c70becf44.21848537.
4. Волошинов Д.В. Единый конструктивный алгоритм построения фокусов кривых второго порядка [Текст] / 
Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. — 2018. —  
Т. 6. — № 2. — С. 47–54. — DOI: 10.12737/article_5b559d
c3551f95.26045830.
5. Гирш А.Г. Комплексная геометрия — евклидова и псевдоевклидова [Текст] / А.Г. Гирш. — М.: Маска, 2013. — 
216 с.
6. Гирш А.Г. Мнимости в геометрии [Текст] / А.Г. Гирш // 
Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — № 2. — C. 3–8. — 
DOI: 10.12737/5583. 
7. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия [Текст] /  
А.Г. Гирш. — М.: Маска, 2008. — 216 с.
8. Гирш А.Г. Начала комплексной геометрии. Избранные 
задачи комплексной геометрии с решениями. Часть II — 
3D [Текст] / А.Г. Гирш. — Кассель, 2014. — 112 с.
9. Гирш А.Г. Начала комплексной геометрии. Сборник задач по комплексной геометрии с решениями. Часть I — 
2D [Текст] / А.Г. Гирш. — Кассель, 2012. — 191 с.
10. Гирш А.Г. Новые задачи начертательной геометрии 
[Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. — 2019. —  
Т. 7. — № 4. — C. 18–33. — DOI: 10.12737/2308-48982020-18-33.
11. Гирш А.Г. О пользе мнимостей в геометрии [Текст] /  
А.Г. Гирш // Геометрия и графика. — 2020. — Т. 8. —  

№ 2. — С. 33–40. — DOI:10.12737/2308-4898-2020- 
33-40. 
12. Гирш А.Г. Графические алгоритмы реконструкции кривой второго порядка, заданной мнимыми элементами [Текст] / А.Г. Гирш, В.А. Короткий // Геометрия и 
графика. — 2016. — Т. 4. — № 4. — C. 19–30. — DOI: 
10.12737/22840. 
13. Гирш А.Г. Мнимые точки в декартовой системе координат [Текст] / А.Г. Гирш, В.А. Короткий // Геометрия и 
графика. — 2019. — Т. 7. — № 3. — C. 28–35. — DOI: 
10.12737/article_5dce651d80b827.49830821.
14. Иванов Г.С. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 2. —  
С. 3–8. — DOI: 10.12737/12163.
15.  Короткий В.А. Мнимые прямые в декартовой системе координат [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия 
и графика. — 2019. — Т. 7. — № 4. — C. 5–17. — DOI: 
10.12737/2308-4898-2020-5-17.
16. Понарин Я.П. Элементарная геометрия [Текст]: В 2 т.  
Т. 2: Стереометрия, преобразование пространства / 
Я.П. Понарин. — М.: МЦНМО, 2006. — 256 с.
17. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии [Текст] / В.В. Прасолов. — М.: МЦНМО, 2006. — 640 с.
18. Программа для ЭВМ «Построение кривой второго порядка, проходящей через данные точки и касающейся 
данных прямых» [Текст] / В.А. Короткий // Свидетельство о государственной регистрации № 2011611961 от 
04.03.2011.
19. Яглом И.М. Комплексные числа и их применение в гео- 
метрии [Текст] / И.М. Яглом. — М.: Едиториал УРСС, 
2004. — 192 с.
20. Duden Rechnen und Mathematik. Mannheim, Wien, Zürich: Dudenverlag, 2000. 720 p.
21. Hirsch A. Extension of the 'Villarceau-Sektion' to Surfaces of 
Revolution with a Generating Conic // Jurnal for Geometriy 
and Graphics. 2000. V. 6. I. 2, pp. 121–132.
22. Stachel H. Remarks on A. Hirsch's Paper conserning Villatceau-Sections // Jurnal for Geometriy and Graphics. 2002. 
V. 6, pp. 133–139.

GEOMETRY & GRAPHICS (2020). Vol. 8. Iss. 4. 3–12 
 ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2020