Численные методы. Практикум

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 

ПРАКТИКУМ

А.В. ПАНТЕЛЕЕВ
И.А. КУДРЯВЦЕВА

Рекомендовано 
Редакционно-издательским советом 
Московского авиационного института 
(национального исследовательского университета) 
в качестве учебного пособия

Москва
ИНФРА-М
2020

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 519.6(075.8)
ББК 22.193я73
 
П16

Пантелеев А.В.
П16  
Численные методы. Практикум : учебное пособие / А.В. Пантелеев, И.А. Кудрявцева. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 512 с. — (Высшее образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-012333-2 (print)
ISBN 978-5-16-105242-6 (online)
В учебном пособии изложены классические численные методы решения систем 
линейных алгебраических уравнений, нелинейных уравнений и систем, нахождения 
собственных значений и векторов, методы теории приближения функций, численного дифференцирования, интегрирования и решения дифференциальных уравнений. В каждом разделе изложены постановка задачи, пошаговые алгоритмы решения, 
подробные решения типовых примеров. Приведены способы реализации описанных 
алгоритмов в системах компьютерной математики.
Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования последнего поколения.
Для студентов, аспирантов технических вузов и университетов, изучающих численные методы и их приложения.

УДК 519.6(075.8)
ББК 22.193я73

Р е ц е н з е н т ы:
кафедра прикладной информатики Московского государственного психолого-педагогического университета (заведующий кафедрой доктор технических 
наук, профессор Куравский Л.С.);
кафедра прикладной математики Московского государственного психологопедагогического университета (заведующий кафедрой доктор физико-математических наук Яшин А.Д.);
Синицын В.И., доктор физико-математических наук (Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» Российской академии наук)

ISBN 978-5-16-012333-2 (print)
ISBN 978-5-16-105242-6 (online)
© Пантелеев А.В., 
Кудрявцева И.А., 2016

................................................................................................................................ 7 
...................................................................................................................................... 8 

1. ................... 18 

 
1.1. .............................................................................................. 18 

 
1.2. ................................................................................................... 20 
 
 
1.2.1.  ............................................................................................ 20 
 
 
1.2.2. ....................................................................................... 27 
 
 
1.2.3.  LU-........................................................... 31 
 
 
1.2.4.  ...................................................................... 37 
 
 
1.2.5.  QR-........................................................... 40 

 
1.3. ........................................................................................ 48 
 
 
1.3.1. ........................................................................ 48 
     1.3.2. ......................................................................................... 53 
 
1.3.3.  .................................................................................... 62 
 
1.3.4.  .......................................................................................... 65 

1.4.                      
   
................................................................................ 68 
 
1.4.1. MATLAB .................................................................. 68 
 
1.4.2. MathCAD .................................................................. 73 
 
2. 
             ........................................................................... 85 

 
2.1. .............................................................................................. 85 
 
2.2. ....................................................... 86 
 
2.3. ................................................................................................... 90 
      2.4. ................................................................................................ 93 
 
2.5. LU-.................................................................... 100 
 
2.6. QR-.................................................................... 101 
 
2.7.                        ............................................. 108 
 
2.7.1. MATLAB ................................................................ 108 
 
2.7.2. MathCAD ................................................................ 109 
          
3. ........................................................ 115 
       3.1. ............................................................................................ 115 
       3.2. ............................................................................................. 116 

3.3. ........................................................................... 118 
       3.4. ........................................................................................................ 122 
 
3.5. ................................................................................. 125 
 
3.6. ................................................................................................. 131 
 
3.7. ....................................................................... 136 
 
3.8.                        ........................................................................................................ 140 
 
3.8.1. MATLAB ................................................................ 140 
 
3.8.2. MathCAD ................................................................ 145 
 
4. ........................................... 155 
       4.1. ............................................................................................ 155 
 
4.2. ................................................................................. 156 
 
4.3. ................................................................................................... 159 
 
4.4. ................................................................................................. 161 
 
4.5. ....................................................................... 167 
 
4.6.                        ........................................................................................................ 172 
 
4.6.1. MATLAB ................................................................ 172 
 
4.6.2. MathCAD ................................................................ 175 

5. .......................................................................... 182 

      5.1. ............................................................................................ 182 

 
5.2. ..................................................................................... 184 
       
5.2.1.  .......................................... 184 
          
5.2.2. ......................................... 192 
 
 
5.2.3. ........................................... 203 

 
5.3. .............................................................. 211 
 
 
5.3.1.  ............................................ 211 
 
 
5.3.2.  ..................................... 226 
 
5.4.                        ........................................................................................................ 242 
 
5.4.1.  MATLAB............................................................... 242 
 
5.4.2.  MathCAD............................................................... 249 
 
 
 
  
6. ........................................................ 257 
 
6.1. ............................................................................................ 257 

 
 
6.2. ................................................... 257 
 
 
 
6.2.1. .................................................. 257 
 
       
6.2.2. .................................................. 258 

6.2.3.  ............................................ 261 
 
 
 
6.2.4.  .................................................. 264 
 
 
6.2.5.   
                           
............................................................................. 266 
 
6.3.                        ........................................................................................................ 269 
 
6.3.1. MATLAB ................................................................ 269 
 
6.3.2. MathCAD ................................................................ 271 
 
7. ............................................................... 278 
 
7.1. ............................................................................................ 278 

 
 
7.2. ........................................................... 279 
 
 
 
7.2.1.  .................................................. 279 
 
 
 
7.2.2. .................................................. 282 
 
 
 
7.2.3. .............................................. 283 
 
7.3.                        ........................................................................................................ 290 
 
7.3.1. MATLAB ................................................................ 290 
 
7.3.2. MathCAD ................................................................ 292 

8. .............. 299 

 
 
8.1. ............................................................................................ 299 

 
 
8.2. .... 308 

 
 
 
8.2.1.  ............................................................................ 308 
              
8.2.2.  -............................................................................ 311 
 
 
8.2.3.  .................................................... 311  
              
8.2.4.  -........................................................................... 311 
 
 
8.2.5.  -................................................................. 318 
 
 
8.2.6.  ............................................................................... 320  
              
8.2.7.  ................................................................................. 321 
 
 
8.2.8.  ................................................................................ 322  
              
8.2.9.  .......................................................................... 323 
 
 
8.2.10.  ..................................................................... 323 
 
 
8.2.11. ..................................................... 324 
 
 
8.2.12. ................................................................ 327 

 
8.3. 334 
              
8.3.1. ........................................................................... 334 
 
 
8.3.2. ....................................................................................... 335  
              
8.3.3. -...................................................................... 335 
 
 
8.3.4. ........................................................................................... 340 

8.3.5. ......................................................................... 342  
              
8.3.6. ................................................................... 342 
 
 
8.3.7. -............................................................... 342  
 
8.4.                        ........................................................... 344 
 
8.4.1. MATLAB ................................................................ 344 
 
8.4.2. MathCAD ................................................................ 350 

9. ......................................................................... 364 
 
9.1. .................................................... 364 
 
9.2. ....................................................................................................... 367 
 
9.3. ........................................................................ 373 
 
9.4. ................................................................................................ 381 
 
9.5. ............................................................................. 386 
 
9.6. ... 395 
 
9.6.1. MATLAB ................................................................ 395 
 
9.6.2. MathCAD ................................................................ 398 
 
10. 
                  ...................................................................................... 410 
10.1. ....................................................... 410 
10.2. ........................................................... 425 
 
10.3. ................................ 433 
 
10.4. 
          ............................................................... 440 
 
  
10.4.1. .......... 440 
 
 
10.4.2. ........ 448 
 
   
10.4.3. ............ 454 
 
10.5. ...................................................................................................... 458 
 10.6.  
         ...................................................................................................... 462 
           10.7.                      ............................................................. 470 
 
10.7.1. MATLAB................................................................. 470 
 
10.7.2. MathCAD................................................................. 483 
 
. 
MATLAB  MathCAD .................................................................................. 491 
 
.............................................................................................................................. 507 
 
......................................................................................................... 510 

«». , . , , ().  
, . [23, 24], «»  , , , ..-.., . .. . 
, , , , .  
, MathCAD MATLAB. , , . . 
MathCAD MATLAB [15–18, 27, 32, 37, 41–42, 57]. 
. , -, m  – n – . .  
, . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

.1. 
 
 
, . 
. 

1. . , .. . 
, .  

2. , , . :     
– () , , , ; 
– () , , ; 
–  () . 
, ,      
, «» . , , , . 

3. , (, -) , . (), – , , ().      

4. . 

5. . 

6. : .  
. . .1. 
 
 
, . , . , , , , 
. , , . 
 
– , , . , , , . 

. .1 
 
 
, , . . 
 

.2.  
 
. . , ((. . .1)). .  
 
()      
, , . 

 

, 


,          


       

       

, , ,  -, , . -(, -); . () ().  

, , . 

. 

x  – , , , , xˆ – .  

xˆ x
x
x
ˆ
ˆ
(xˆ
x ). 

xˆ x

x
ˆ

ˆ
(– ,
0
xˆ
). , .  

x , , , , )
ˆ
(x
: 

)
ˆ
(
ˆ
ˆ
x
x
x
x
.  

, , , : 
)
ˆ
(
ˆ
)
ˆ
(
ˆ
x
x
x
x
x
. 

, x -(-), xˆ )
ˆ
(x
b
a,
 (. .2). 

. .2 

xˆ x

x
x
ˆ

)
ˆ
(
)
ˆ
(
. x
x
x
ˆ
)
ˆ
(
)
ˆ
(
.  

xˆ
)
ˆ
(
ˆ
x
x
a
)
ˆ
(
ˆ
x
x
b
)
ˆ
(x
)
ˆ
(x

, «» . 

, . 

n , , n-, . , , . 

n
10
, , n-. 

, .. . 

n
, 

n-. : 

) 5 , ; 

) 5 5 , ; 

) 5 , , , , . 

.1.
...
,141592654
3
, .  

1. 14
3,
ˆ x
. 14
3
002
0
14
3
,
,
,
;     
%
,
%
)
,
/
,
(
)
,
(
064
0
100
14
3
002
0
14
3
. 

 
2. 141
3,
ˆ x
, ;
,
,
,
141
3
0006
0
141
3
%
,
%
)
,
/
,
(
)
,
(
02
0
100
141
3
0006
0
141
3
. , . : 

)
(
ˆ
;
ˆ
1
x
x
x
x
. 
 

,  
%)
,
(
,
;
,
,
02
0
1
141
3
0006
0
141
3
. 

, , x ( 1/2 .) . , 63
5,
ˆ x
005
0,
. 

.2. 928525750
3,
x
, , .. . 

(..””–“”), 9285258
3,
x
 (.””, 5 , , ); 
928526
3,
x
 (.””,5); 
92853
3,
x
 (.””, 5 ); 

9285
3,
x
 (. .”a”); 
929
3,
x
(. .””); 
93
3,
x
 (. .””); 
9
3,
x
(. .”a”); 

4
x
(. .””). .3. :  

2,396037;    0,00167;     3250000;    0,00005. 

, , :   2,396037;    0,00167;     3250000;    0,00005. .4. : 

 
a) 
00001
0
004507
0
,
;
,
x
 ;         ) 
00006
0
004507
0
,
;
,
x
; 

) 
0000005
0
0208700
0
,
;
,
x
;      ) 
03
0
396
12
,
;
,
x
; 

) 
007
0
037862
0
,
;
,
x
;              ) 
0004
0
999785
9
,
;
,
x
. 

: 
)  
00001
0
07
45
00
0
,
,
, 4
10
5
0
00001
0
,
,
; 

)  
00006
0
507
4
00
0
,
,
, 3
4
10
5
0
00006
0
10
5
0
,
,
,
; 

)  
0000005
0
0
20870
0
0
,
,
, 6
10
5
0
0000005
0
,
,
; 

)  
03
0
96
3
12
,
,
, 1
10
5
0
03
0
,
,
; 

) 
007
0
037862
0
,
,
, 1
2
10
5
0
007
0
10
5
0
,
,
,
 (); 

)  
0004
0
785
999
9
,
,
, 3
10
5
0
0004
0
,
,
.. 
(). 

.3. ,                     

«O k
h » (h – ), b
a
Ck
,
 , . . 

1. )
(h
R
 – h (, 
)
(h
R
 –   ) R
D
0
h
, R
D
h . 

, 0
h
h k
ch
h
R
)
(
, const
c
, h, k  – , 
0
0 h
, )
(
)
(
k
h
O
h
R
, )
(h
R
«O k
h » 0
h
. 

k (). 

2. )
(x
f
G
b
a
,
k . , )
(x
f
G
Ck
, G
C
f
k
. 0
k
G
C0
G
C
 (b
a,
).  

3. ]
,
[
)
(
b
a
C
x
f
k 1
. ]
,
[
b
a
x
0
: 

,)
(
)
(

!

)
(
)
(

)!
(

)
(

)
(

!

)
(
...
)
(

!

)
(
)
)(
(
)
(
)
(

)
(
)
(

)
(

k

j

k

j

j

k

k

k

k

x
R
x
x

j

x
f
x
x

k

f

x
x

k

x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f

0

1
0

0
1

0

1

0

0
2

0

0

0
0
0

1

2

 
(.1) 

;
],
,
[
0
x
x
b
a
x
– , x 0
x ; 

1

0

1

1
1

k

k

k
x
x

k

f
x
R
)
(

)!
(

)
(
)
(

)
(

– . , , . 

)
(
)
(
x
f
k 1
]
,
[
b
a
, , .. )
(
)
(

]
,
[

x
f
M
k

b
a

k

1

1
max
. 1

0

1

1
1

k
k

k
x
x

k

M
x
R

)!
(

)
(
. 

, )
(
)
(
1
1

0
1

k
k

k
h
O
x
x
O
x
R
, 

0
x
x
h
. (.1) )
(
)
(

!

)
(
)
(

)
(

k

j

k
j

j

h
O
x
x

j

x
f
x
f

0

1

0

0
. 
(.2) 

1
k
),
(
)
(
)
(
)
(
2

0
0
0
h
O
h
x
f
x
f
h
x
f
),
(
)
(
)
(
)
(
2

0
0
0
h
O
h
x
f
x
f
h
x
f
2
k
 – )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3

0

2

0
0
0
2

h
O
x
f
h
h
x
f
x
f
h
x
f
, 
 

(B.3) 
 

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3

0

2

0
0
0
2

h
O
x
f
h
h
x
f
x
f
h
x
f
. 
 

(.2). 1
ix
x
, 
ix
x
0
, 

i
i
i
x
x
h
1
1
, 1
i
i x
x ,
]
,
[
]
,
[
b
a
x
x
i
i
1
. )
(

!

)
(
...

!

)
(
)
(
)
(
)
(

)
(

1
1
1

2

1
1
1
2

k
i

k
i

i

k

i

i

i
i
i
i
h
O
h

k

x
f
h
x
f
h
x
f
x
f
x
f
.  
(.4) 

)
(
1
1
i
i
x
f
f
, 
)
( i
i
x
f
f , 
,...
,
),
(
)
(
)
(
2
1
p
x
f
f
i

p
p

i
, , 1
1
1

k
i

k

h

k
f

)!
(

)
(
)
(

, 
)
,
(
1
i
i x
x
, (.4) )
(

)!
(
!

...

!

)
(

)
(

1

1
1

1

2

1
1
1
1
2

k

k
i
k
i

k

i

i

i

i
i
i
i
f

k
h
h

k
f
h
f
h
f
f
f
,  
)
,
(
1
i
i x
x
.  
(.5) 

4. [6]. 

.1. ]
,
[
)
(
b
a
C
x
f
, 
]
,
[
b
a
i , (
1,..., )
i
n
– , ]
,
[
b
a
. ]
,
[
b
a
, )
(
)
(
...
)
(
f

n

f
f
n
1
. 

 
5. -«» . , (, -)  , , . 

-() 

1

n

x

x

x

x , : 

 
1. 
0
x x , 0
x , x – ; 
 
2. 
x
x
; 

 
3. x
y
x
y
x y (
1)
n.