Опусы теоретической физики (Opera)

Туннельный эффект с точки зрения здравого смысла 
 
 
                                                                      
 
 
                          шив ее  и не разрушившись сам”. 1 
 
§1. Общие соображения 
 
В учебных пособиях обычно представляют так называемый туннельный промежуток в виде прямоугольного энергетического барьера высотой 
0
U . Эта высота есть значение потенциальной энергии, которой 
должна обладать частица, если попадет из пустого пространства внутрь 
барьера небольшой протяженности  d (рис.1). 
Что же касается определения самого понятия туннелирования, то 
написанное в учебных пособиях  вызывает у меня-читателя такую же 
резь в глазах, как от созерцания ликов членов политбюро бывшего 
СССР.2 Поэтому я рискну предложить своему читателю нижеследующее определение. 
Туннелирование есть акт мгновенного перехода точечной частицы, 
до того  движущейся  прямолинейно и равномерно, с одной стенки по- 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                 
1 Это сказал в нобелевской лекции Ивар Гиавер, получивший нобелевскую премию за 
экспериментальное доказательство существования щели в спектре “неспаренного” 
электрона сверхпроводника (выделенные слова – моя формулировка). Но, по-моему, 
сказанное Гиавером должно казаться странным любому нормальному человеку. Тем не 
менее, очевидно, что сам Гиавер представляет себе процесс туннелирования именно так, 
как он об этом сказал. А именно так потому, что, на мой взгляд, он как не понимал природу туннельного эффекта, наблюдая и интерпретируя вольт-амперную характеристику 
“туннельного контакта”  в 1960 году, так продолжал не понимать природу туннельного 
эффекта и в 1974 году (в этом году он получил нобелевскую премию). Я думаю, что он не 
понимает ее и сейчас – в 2007 году  (год написания этой книги). 
2 Так называли себя главари этого государства. 

“Инженеру весьма  странным покажется  утверждение, что если вы будете бросать теннисный  мяч в  стену достаточное  число   раз, то он 
в конце  концов  пройдет сквозь   стену, не  разру
d
0 
Х

Энергия

0
U  

кин
E
 

Рис.1. Зависимость потенциальной энергии (жирная линия), которой может обладать точечная частица, от координаты 
той точки пространства, где частица 
может находиться. Штриховая линия – 
кинетическая энергия частицы, движущейся слева направо. 

кин
E

тенциального барьера (из точки с координатой 
0
x =
) на другую (в точку 
с координатой x
d
=
) при условии, что кинетическая энергия частицы 
обязательно меньше “высоты” барьера и оказывается одной и той же как 
до сближения с барьером, так и после прохождения сквозь него. 
Конечно, с чем-то в этом определении можно согласиться, лишь считая это что-то не более, чем  разумной идеализацией. Но утверждать, 
что частица, обладая кинетической энергией, заведомо недостаточной 
для преодоления препятствия, на которое она налетает, тем не менее, 
оказывается позади препятствия… . Конечно, такое утверждение кажется удивительным. Ведь оно предполагает, что даже если вся кинетическая энергия перейдет в потенциальную (пусть, неведомо каким способом), последней все равно не хватит частице для преодоления высокого 
потенциального барьера. 
В интересах читателя, не считающего себя большим знатоком физики, постараюсь объяснить причину удивления. 
С этой целью я воспроизведу рис.1, сделав стенки барьера слегка наклонными (рис.2). Теперь хорошо видно, что существует очень небольшой внутрибарьерный промежуток, в котором действует сила, тормозящая частицу, если последняя движется в этом промежутке слева направо. Сила это равна, по определению, F
пот
grad E
= −

(
пот
E
– потен
циальная энергия частицы). В данном случае 
0

лев

U
х
Δ
= −
⋅
F
 

Если Вы считаете, что в некое мгновение вечности в некоторой точке Х-оси возникла точечная частица, наделенная в это мгновение скоростью V ; если Вы считаете, что достаточно далеко впереди находится 
конечной длины область, заполненная неким силовым полем, а частица 
достаточно долго будет двигаться именно перед этой областью, то частица, в конце концов, в эту область войдет. Если за время нахождения вну- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
Х

пот
Е
0
U

кин
E
 

Рис.2. Зависимость потенциальной энергии (жирная линия), которой может обладать точечная частица, от координаты 
той точки пространства, где находится 
частица. Штриховая линия – кинетическая энергия частицы. Частица движется 
слева направо. 
d

лев
х
Δ

Энергия

три отрезка Х-оси длиной  
лев
x
Δ
 скорость тормозящейся частицы успеет 

изменить знак (а это произойдет, если 
0
1
2
кин

U
E
>
), она повернет обратно.  

А теперь я предлагаю читателю обратить внимание на то, что ни 
стенки барьера, ни его внутренность не являются веществом,  состоящим из плотно прилегающих одна к другой частиц массой покоя, отличной от нуля. Препятствием на пути частицы является только силовое 
поле – материальный континуум – такая сплошная среда, масса покоя 
каждой точки которой точно равна нулю. Вот, почему прохождение 
точечной частицы сквозь потенциальный барьер путем туннелирования ничего общего не имеет с воображаемым проникновением 
теннисного мяча сквозь стенку некоего помещения. 
Если прочесть все, что написано о туннельном эффекте в монографиях и учебных пособиях такими корифеями, как Ландау и Лифшиц, 
как Давыдов,  как Бом, Шифф, Вихман, Савельев,  как Левич, Вдовин и 
Мямлин  (извиняюсь перед неназванными), то смысл написанного ими 
сводится к тому, что туннелирование точечной частицы невозможно 
в классической механике, но возможно в квантовой механике, потому что свойства макроскопически большого тела (например, теннисного мяча) принципиально отличаются от свойств микрочастицы, из-за чего и приходится описывать ее состояние в рамках именно квантовой механики. 
Однако, даже испытывая вполне понятный трепет дилетанта перед 
корифеями, рискну назвать их утверждение абсолютно бессмысленным. 
И не только потому, что размеры объекта не входят в соотношения и 
уравнения обеих механик. Просто-напросто, в ситуации (или, если 
угодно, в обстановке), в которой может оказаться точечная частица, не 
может оказаться объект, считающийся – совершенно произвольно – 
достаточно большим.3 И вот, что отсюда следует.  
Некий эффект (некое явление) либо реально существует, либо является продуктом воспаленного воображения.4 Но если эффект реально 
существует, то не в рамках квантовой или неквантовой механики существует, а в рамках квантовой или неквантовой механики может быть 
адекватно описан. 

                                                 
3 Замечу, что назвать объект достаточно (макроскопически) большим на основании сравнения его с объектом точечным абсолютно бессмысленно. 
4 Я не касаюсь сообщений о явлениях и эффектах, подпадающих под статью 159 УК РФ,  
действовавшего в 2007 году  (год  написания этой книги). 

Что же касается именно туннельного эффекта, то, признав его столь 
же реальным явлением, сколь отталкивание друг от друга двух электронов, я предлагаю, пусть с грустью, но согласиться с тем, что туннельный эффект остается столь же необъяснимым, сколь факт взаимодействия точечных заряженных частиц. В таком случае единственное, что 
требуется,– это разработать адекватное описание туннельного эффекта.5 
В связи с этим замечу, что нет ничего удивительного в невозможности 
адекватно описать (описать, но не объяснить) некое явление, используя 
понятия и математический аппарат неквантовой механики или же, наоборот, используя понятия и математический аппарат квантовой механики. 
Удивить, на мой взгляд, должно другое. Например, то, что уравнение 

                                       

2

2
1
( , )
d r
F r t
m
dt
=
⋅

(Н.1) 

(считая, простоты ради, массу частицы не зависящей от её скорости) 
неприменимо для описания состояния точечной электрически заряженной частицы, вечно находящейся в сферически симметричном статическом поле притягивательного потенциала. Но неужели это уравнение 
неприменимо просто потому, что оно в рассматриваемой ситуации 
несправедливо? Неужели мы верили в универсальность второго закона 
Ньютона без достаточных к тому оснований? А ведь давно сказано было 
умным человеком, что никакое множество экспериментов не способно 
служить подтверждением предложенного соотношения между физическими величинами, но достаточно всего лишь одного эксперимента, 
чтобы его опровергнуть.6 Действительно, соотношение или уравнение, 
отражающее то, что мы не можем объяснить, почему и называем это 
необъяснимое законом Природы, возникает при  обобщении результатов ограниченного числа экспериментов. Но тогда не может быть никакой априорной уверенности в справедливости написанного соотношения–уравнения в любых ситуациях. Подчеркну: речь идет не о том, что 
в рамках квантово-механического способа описания взаимодействия 
объекта с внешней средой второй закон Ньютона всего лишь не используется (используется уравнение Шредингера), а о том, что существуют ситуации, в которых уравнение  (Н.1)  неправильно описывает 
взаимодействие. Неправильно – означает, что результат использования  
этого уравнения находится в полном противоречии с фактически наблюдаемыми проявлениями. 
                                                 
5 Забегая вперед, рискну предложить назвать выражение для туннельной прозрачности 
законом Природы – по аналогии с тем, как называют законом Природы (законом Кулона) 
выражение для силы взаимодействия двух точечных, заряженных, покоящихся частиц. 
6 В связи с проблемой универсальности второго закона Ньютона см. Приложение к этому опусу. 

Вернемся, однако, к туннельному эффекту. 
Если, имея в виду ознакомиться с этим эффектом, Вы обратитесь к 
учебным пособиям, то обнаружите, что их авторы, приступая к описанию туннельного эффекта, не отвлекаются ни на объяснения, ни даже 
на комментарии, а сразу предлагают, имея в виду рис.1, составить и 
решить очень простенькие уравнения, описывающие – каждое – стационарное состояние частицы в соответствующей области пространства: 
0
x
−
≤
≤
∞
;  0
d
x
≤
≤
 ;  d x
≤
≤∞ .7  Эти, стационарные уравнения 

Шредингера выглядят так: 
В первой и третьей областях (вне барьера)    

                            

2
2

2
0
d
P

dx

Ψ
⎛
⎞
+
⋅ Ψ =
⎜
⎟
⎝
⎠
,                                          (Ш.I) 

причем неизвестной величиной является только Ψ -функция, поскольку решение уравнения (Ш.I) имеет один и тот же вид при любом значении Х-составляющей импульса P

(в рассматриваемой си
туации 
ex
P
P
=
⋅
). Таким образом, вполне определенное значение им
пульса частице попросту приписывается, и нас, стало быть, просто вынуждают считать частицу движущейся вечно прямолинейно и равномерно в 
определенном направлении вдоль Х-оси в первой и третьей областях.  
Во второй области (внутри барьера)    

                             

2

0
2
2
2
(
)
0
d
m

dx
U
E
Ψ +
⋅
⋅
−
Ψ =
.                     (Ш.2,а)   

Что же касается присутствующей в этом уравнении полной энергии E , 

то авторы многочисленных Квантовых механик считают ее равной 

2

2
P
m , 

то есть, совпадающей с кинетической, причем импульс P  совпадающим 
с импульсом P , присутствующим в уравнении (Ш.1). Это соответствует 
одному из условий определения понятия “туннельный эффект”: неизменность энергии частицы до, после и в “процессе” туннелирования. Тем 
не менее, уравнение (Ш.2,а) никак не связано с уравнением (Ш.1).8 

                                                 
7 Объяснения и комментарии сводятся просто к заявлению типа  то, что не может быть 
в классической механике, может быть в механике квантовой. 
8 Поскольку уравнение Шредингера является уравнением на собственные значения с двумя 
неизвестными, одно из них – собственное значение оператора Гамильтона (энергия E ) – 

Таким образом, уравнение (Ш.2,а) принимает вид 

                               

2
2
0
2
2
2
0
m U
P
d

dx

⋅
−
Ψ −
⋅ Ψ =
.                               (Ш.2,б) 

Подчеркну, что и в этом уравнении приписать частице точно определенный (по модулю и направлению) импульс означает попросту постулировать (именно постулировать), что не только  вне, но и внутри барьера частица движется вечно прямолинейно и равномерно, 
причем обладая всё тем же импульсом P

(потенциальная энергия частицы, движущейся внутри барьерного промежутка, от Х-координаты не зависит, следовательно, сила на частицу не действует).  
Сопоставление уравнений (Ш.1) и (Ш.2,б) свидетельствует: не приводя никаких аргументов, авторы Квантовых механик заранее считают, 
что частица, обладавшая чисто кинетической энергией и надвигавшаяся 
на барьер ограниченной сверху протяженности, сквозь него обязательно 
проходит и движется в том же направлении с точно такой же энергией. 
Это и означает, что туннельный эффект нам не объясняют, а всего лишь 
описывают, считая эффект действительно существующим. 
Теперь – немного математики. 
Если к уравнению (Ш.1) подходить не как к уравнению состояния 
частицы, движущейся в одном направлении вечно прямолинейно и равномерно, а как к обыкновенному дифференциальному уравнению, то 
решениями его (в первой и третьей областях) будут функции  

1
2

P x
P x
⋅
⋅
⋅
− ⋅
Ψ
=
⋅
+
⋅
i
i
(1)
a
a
e
e
,    
1
2

i
i
(3)
C
C
e
e

P x
P x
⋅
⋅
⋅
− ⋅
Ψ
=
⋅
+
⋅
,  

 
где 
1
i ≡
− , а величины  
1
2
1
2
C
C
a , a ,
,
– константы, для нахождения 
которых требуется представить в явном виде граничные условия.   

Тем не менее, слагаемое 
1
2 exp(
)
C
i
P x

−
− ⋅
⋅
⋅
⋅
авторы всех Квантовых механик дружно исключают, оставляя решение в виде  
                         
(3) =C
Ψ
⋅
1
exp(
)
i
P x

−
⋅
⋅ ⋅
.  

                                                                                                         
следует находить, исходя из каких-то условий. В тех же самых Квантовых механиках, в 
которых рассматривается туннельный эффект, приводится, только на других страницах, 
уравнение в виде (Ш.2,а) (с двумя неизвестными – Ψ -функцией и полной энергией E ), 
которое описывает совершенно иное состояние точечной частицы, нежели  описывает состояние частицы, вынужденной туннелировать сквозь потенциальный барьер это же самое 
уравнение (Ш.2,а). 

Хотя исключение одного из слагаемых никак не комментируется, я 
замечу, что исключение неудобного слагаемого возвращает уравнению (Ш.1) применительно к третьей, “забарьерной”, области пространства статус уравнения состояния частицы, решение которого в виде  

                                   
(3)=C
Ψ
⋅
1
exp(
)
i
P x

−
⋅
⋅
⋅
отражает убеждение в том, что частица, во-первых,  обязана пройти 
сквозь П-образный барьер, и, во-вторых, пройдя, будет двигаться в том 
же самом направлении, в котором двигалась, ещё не налетев на барьер, 
и с тем же импульсом.  

Но вот слагаемое 
1
2 exp(
)
i
a
P x

−
⋅
⋅
⋅
⋅
все авторы сохраняют, мо- 
тивируя тем, что оно описывает движение частицы в отрицательном направлении Х-оси из-за отражения частицы передней стенкой П-образного барьера. Однако это уже какие-то чудеса: ведь речь может идти 
только о всё той же, одной единственной частице. Посудите сами, в 
рамках квантово-механического (статистического) способа описания 
состояния точечной частицы, движущейся прямолинейно и равномерно, 
частица эта считается сплошной средой – бесконечно протяженным во 
всех направлениях континуумом, который допустимо представить себе 
состоящим из бесконечно большого числа частей (то есть,– “долей” точечной частицы) одинаково бесконечно малого размера каждая.  
Хотя квантовая механика даже многим корифеям представляется чем-то 
непостижимым для нормального разума, но и в рамках квантовой механики  
каждой доле частицы необходимо приписать – в любой момент времени – 
одинаковую по величине  и направлению скорость, а иначе частица не будет 
выглядеть цельным объектом, каковым она является на самом деле.  

Таким образом, сохранение слагаемого 
1
2 exp(
)
i
a
P x
−
⋅
⋅
⋅
⋅
нель- 
зя интерпретировать как попытку описать движение некоторой доли 
частицы в направлении, противоположном движению другой её доли. 
Сохранение упомянутого слагаемого есть просто не всеми осознанный 
искусственный прием, позволяющий отразить уменьшение той доли 
частицы, которая в присутствии на Х-оси барьера постоянно движется 
в положительном направлении Х-оси, находясь слева от барьера (при 
этом существуют и две другие движущиеся доли частицы – внутрибарьерная и забарьерная). 
Теперь я замечу, что целью описания туннельного эффекта во всех  
Квантовых механиках является исключительно расчет так называемой 
туннельной прозрачности. В связи с этим предлагаю читателю вспом

нить, как описывают во всех учебных пособиях прохождение света 
сквозь пластинку из какого-либо вещества. 
Допустим, что электромагнитное поле в виде плоской монохроматической волны и жестко связанная с бесконечно массивной Х-осью пластинка существуют вечно, что волновой фронт вечно движется в положительном направлении Х-оси слева – направо, а волновой вектор перпендикулярен плоскости пластинки. Допустим, простоты ради, что скорость фронта волны одна и та же, как вне, так и внутри пластинки. Обозначим символом 
0I  интенсивность света в отсутствие пластинки. 

Понятно, что в присутствии пластинки интенсивность света левее пластинки оказывается меньше, чем 
0I , из-за того, что пластинка хоть 

чуть-чуть, но свет отражает.9 Кроме того, проходя внутри пластинки, 
поле теряет часть импульса и энергии на раскачивание электронов атомов. В свою очередь раскачивающиеся электроны часть поглощенных 
импульса и  энергии излучают в виде света той же длины волны и частоты, а часть передают ядрам атомов, из-за чего пластинка нагревается, 
отдавая в окружающую среду часть полученной электронами энергии в 
виде тепла. В результате интенсивность света, выходящего из пластинки  (
вых
I
), оказывается еще меньше. 

Хорошо известно равенство  
вых
0
1
2
I
=I
k
exp(-k
)
d
⋅
⋅
⋅
, в котором: 

0
1
1
I k
I
⋅
=
– интенсивность света, образно выражаясь, только-только вошед
шего в пластинку на ее передней  границе (
1k – коэффициент отражения);  

2
k – коэффициент поглощения света;  d –толщина пластинки.  
Коэффициент отражения света естественно определить как отношение интенсивности света в пространстве перед пластинкой в ее присутствии к интенсивности света, испускаемого источником в отсутствие 
пластинки. А вот коэффициент пропускания света естественно определить как отношение интенсивности света на выходе из пластинки к ин- 

тенсивности света на входе в пластинку, то есть,– величину 
1
(
)
вых
I
I
. 
На всякий случай обращаю внимание читателя на то, что и перед 
пластинкой, и внутри,  и позади нее фронт волны поля движется с 
одной и той же по величине и направлению скоростью ç, так что неизменная во времени плотность потока энергии поля в присутствии пла
                                                 
9 Тем самым пластинка выступает в роли источника света (источника “вторичного” излучения). 

стинки повсюду перед пластинкой равна 
1I ,10 а повсюду позади нее 

равна вых
I
. Разность интенсивностей 1
вых
I
I
−
 и есть то, что непрерывно 
теряется внутри пластинки (переходит в тепло).  
А теперь замечу, что отнюдь не возбраняется представить описанный только что процесс как “туннелирование” движущихся прямолинейно и равномерно квазичастиц – фотонов – сквозь пластинку 
конечной толщины, а “туннельной прозрачностью” назвать отношение 
0
1
2
вых
(I
I )
k exp(-k
)
d
=
⋅
⋅
. Но “туннелирование” фотонов должно удивлять. Посудите сами: так как все фотоны абсолютно неотличимы 
друг от друга, следовало бы ожидать, что либо все пройдут сквозь пластинку (по каким-то причинам), либо ни один не пройдет (тоже по каким-то причинам). Увы, проходит сквозь пластинку не всё множество 
фотонов.11 Таким образом, оперируя понятием фотона (псевдоточечной 
частицы), мы обрекаем себя на непонимание, почему сквозь пластинку 
проходят не все фотоны, и тогда нам приходиться вводить понятие вероятности случайного проникновения одного фотона сквозь препятствие.  
Теперь вернемся к такому способу описания состояния одной точечной частицы, в рамках которого она представляется сплошной, неразрываемой  средой, что, в свою очередь, позволяет ввести понятие объемной (или поверхностной, или, как в рассматриваемой ситуации,– линейной) концентрации долей частицы. Плотность же потока, создаваемого движущейся частицей, есть произведение упомянутой только что 
концентрации долей на скорость, одинаковую для каждой доли. Как 
видим, эта плотность потока является точным аналогом интенсивности 
света, если измерять последнюю в  
2
штуках фотонов см с⋅   
Однако, описывая туннельный эффект и представляя одну движущуюся точечную частицу бесконечно большим числом долей бесконечно малой протяженности, описывающие не замечают, что речь идет 
о таком стационарном состоянии частицы, в котором часть её отнюдь 
не поглощается барьером.  А это означает, что плотность постоянного 
                                                 

10 Плотность потока энергии и называется интенсивностью, если измерять ее в 
2
Вт см
. 
Учитывая, что поле – это континуум, интенсивность можно также представить себе как 

объемную плотность энергии поля (

3
Дж см ), умноженную на скорость перемещения (ç)  
бесконечно малого элемента объема, одинаковую для каждого такого элемента. 
11 Мы, однако, не унываем, поскольку хорошо понимаем, что это следствие представления 
реально существующего материального континуума – поля – как множества псевдочастиц. 

потока, созданного вечно движущейся равномерно и прямолинейно частицей, должна быть одной и той же в каждой точке Х-оси – и вне, и 
внутри барьера. Но вспомните: авторы Квантовых механик предложили 
нам считать (постулировать), что частица, пребывая внутри барьера, обладает тем же импульсом (той же скоростью), что и пребывая вне барьера. Однако если скорость частицы повсюду на Х-оси одна и та же, значит 
одинакова скорость каждой доли частицы, а тогда и “концентрация частицы” (концентрация долей частицы) не может быть зависящей от Х-координаты. Но уже из этого следует, что ни о каком, согласно определению 
понятия туннелирования, мгновенном пролете частицы сквозь промежуток длиной d  речи быть не может. Тогда, где же  туннелирование?  
Далее, мгновенное прохождение внутрибарьерного промежутка чис- 
то формально означало бы равенство там нулю стационарной концентрации долей частицы при том, что скорость прохождения должна была 
бы считаться бесконечно большой. А теперь напомню, что в рамках 

квантовой механики величина 

2
Ψ  и есть не зависящая от времени кон
центрация (в рассматриваемой ситуации – линейная) долей частицы, 
“растянувшейся” вдоль всей (и внутри барьера) бесконечно протяженной 
Х-оси, а выражение, играющее роль определения плотности потока в любой точке Х-оси, в рассматриваемой ситуации имеет вид 

                        

2
i
(
)
d
d
dx
dx
m
J
Ψ
Ψ
⋅ Ψ ⋅
− Ψ ⋅
=
, 

причем, согласно постулированной независимости плотности постоянного потока от координаты, должно иметь место сквозное  равенство   

                              
(1)
(2)
(3)
J
J
J
=
=
    

(и в этом ещё предстоит убедиться). 
Однако, даже не вычислив значений констант в решениях уравнений (Ш.1), (Ш.2),  мы находим, что  

  

2
2
(
)
d
d
P
dx
dx
m
J
m

Ψ
Ψ
⋅ Ψ
=
⋅ Ψ
⋅
− Ψ
⋅
=
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
i
 ,       

2
P
m
J
⋅
=
(3)
C , 

откуда должно следовать, что 

2
2
Ψ
=
(1)
C .