Трехслойные стержни в терморадиационных полях

УДК 539.3

Старовойтов, Э. И. Трехслойные стержни в терморадиационных полях / 
Э. И. Старовойтов, М. А. Журавков, Д. В. Леоненко. – Минск : Беларуская навука, 2017. – 275 с. : ил. – ISBN 978-985-08-2141-6.

В монографии систематически изложены постановки и методы решения краевых задач 
по определению напряженно-деформированного состояния трехслойных стержневых элементов конструкций при однократных и квазистатических переменных нагрузках в терморадиационных полях. Учтены физически нелинейные свойства материалов слоев при комплексных силовых, тепловых и радиационных воздействиях. Приведен ряд аналитических решений 
и численный параметрический анализ напряженно-деформированного состояния трехслойных стержней. 
Адресуется научным сотрудникам, инженерам, аспирантам, магистрантам и студентам 
высших учебных заведений, которые занимаются исследованиями в области механики тонкостенных элементов конструкций. 
Табл. 3. Ил. 150. Библиогр.: 459 назв.

Рекомендовано  
Советом УО «Белорусский государственный университет транспорта»  
(протокол от 17 мая 2017 г. № 5)

Р е ц е н з е н т ы:

доктор физико-математических наук, профессор А. В. Чигарев,
доктор физико-математических наук, профессор Г. И. Михасев

ISBN 978-985-08-2141-6
© Старовойтов Э. И., Журавков М. А.,  
     Леоненко Д. В., 2017
© Оформление. РУП «Издательский дом 
    «Беларуская навука», 2017

Оглавление

введение .......................................................................................................................................
5

1. Основные уравнения механики деформируемого твердого тела ...............................
7

1.1. Упругое твердое тело ....................................................................................................
7
1.2. Теория малых упругопластических деформаций ....................................................
15
1.3. Физически нелинейные среды в терморадиационных полях .................................
20
1.4. Экспериментальные характеристики материалов ....................................................
21
1.5. Принцип возможных перемещений ...........................................................................
24
1.6. Температурное поле в трехслойных элементах конструкций ................................
25

2. Упругие трехслойные стержни с несжимаемым заполнителем .................................
29

2.1. Постановка краевой задачи теории упругости ............................................
29
2.2. Деформирование непрерывной поверхностной нагрузкой .....................................
33
2.3. Деформирование локальными нагрузками ...............................................................
44
2.4. Деформирование нагрузками различных форм .......................................................
52
2.5. Ступенчатый стержень ................................................................................................
61
2.6. Стержень с жесткостной накладкой ...........................................................................
74
2.7. Составной стержень ......................................................................................................
84

3. изотермическое деформирование упругопластических трехслойных стержней ...
91

3.1. Постановка и решение краевой задачи .......................................................................
91
3.2. Повторное знакопеременное нагружение ..................................................................
99
3.3. Циклическое деформирование ....................................................................................
105
3.4. Переменное деформирование локальными нагрузками ..........................................
113
3.5. Физически нелинейное деформирование ступенчатого стержня ..........................
131

4. Трехслойные упругопластические стержни в температурном поле .........................
142

4.1. Постановка краевой задачи термоупругопластичности...........................................
142
4.2. Решение краевой задачи термоупругопластичности ...............................................
147
4.3. Аналитическое решение задачи термоупругости ....................................................
150
4.4. Повторное термосиловое деформирование упругопластического стержня .........
156
4.5. Знакопеременное циклическое термосиловое деформирование ............................
160
4.6. Параметрический анализ решений ............................................................................
164

5. Деформирование трехслойного стержня в нейтронном потоке ..................................
169

5.1. Упругопластический трехслойный стержень при нейтронном облучении ..........
169
5.2. Аналитическое решение задачи радиационной упругости ....................................
176
5.3. Повторное знакопеременное нагружение упругопластического стержня ...........
180

5.4. Циклическое нагружение в нейтронном потоке .......................................................
183
5.5. Параметрический анализ НДС упругопластического стержня .............................
185

6. Трехслойный стержень со сжимаемым заполнителем .................................................
191

6.1. Постановка краевой задачи для термоупругого стержня ........................................
191
6.2. Общее решение краевой задачи для термоупругого стержня ................................
202
6.3. Случай равномерно распределенной нагрузки .........................................................
205
6.4. Деформирование упругого стержня локальными нагрузками ..............................
207
6.5. Упругопластический стержень при нагружении из естественного состояния .........
219
6.6. Знакопеременное нагружение в температурном поле .............................................
229
6.7. Упругопластический стержень в терморадиационном поле ...................................
237
6.8. Повторное знакопеременное нагружение в нейтронном потоке ............................
241

Библиографический список ............................................................................................................
245

Список публикаций авторов ...........................................................................................................
260

именной указатель ...........................................................................................................................
269

Предметный указатель ....................................................................................................................
271

Contents ................................................................................................................................................
273

ВВедение

В последнее время значительно возрос спрос на использование слоистых 
тонкостенных элементов конструкций в авиа-, ракето-, машино-, приборо- 
и судостроении, добыче и транспортировке энергоносителей. Это обусловливает необходимость разработки математических моделей и методов их 
расчета на различные виды и типы нагрузок. Стержни, пластины и оболочки, имеющие слоистую структуру, обычно набраны из материалов, которые 
обладают существенно различающимися физико-механическими свойствами. 
Несущие слои из материалов высокой прочности и жесткости предназначены 
для восприятия основной части механической нагрузки. Связующие, служащие для образования монолитной конструкции, обеспечивают перераспределение усилий между несущими слоями. Еще одна группа слоев предназначена 
для защиты от тепловых, химических, радиационных и других нежелательных воздействий. Такое сочетание слоев позволяет обеспечить надежную работу систем в неблагоприятных условиях окружающей среды, создавать конструкции, сочетающие высокую прочность и жесткость с относительно малой 
массой. 
Зарождение исследований трехслойных элементов конструкций пришлось 
на конец первой половины ХХ в., когда появились первые труды по механике 
многослойных сред (А. В. Дятлов, С. Г. Лехницкий [95–98], Н. Г. Ченцов [170, 171]). 
Существенный вклад в становление теории слоистых и композитных материалов и конструкций внесли А. Я. Александров [6, 7], С. А. Амбарцумян [8], 
Б. А. Антуфьев [10], М. Е. Бабешко [14–16], А. В. Березин [20], М. П. Биеник [195], 
В. В. Болотин [23], Л. Э. Брюккер [30], Ю. В. Василевич [32], Х. Вонг,  К. З. Галимов [42], А. Г. Горшков [13, 38, 49−52], Э. И. Григолюк [54−57], Я. М. Григоренко [58, 59], Б. В. Гулин [72], А. С. Еринген [211], В. А. Иванов, М. А. Ильгамов [72], А. А. Ильюшин [73, 74], В. Н. Кобелев [82], В. И. Королев [88, 89], 
Л. М. Куршин [94], А. Д. Лизарев [99], Г. И. Михасев [105], В. В. Можаровский [108], 
В. В. Москвитин [111−114], Х. М. Муштари [115, 116], Ю. В. Немировский [117, 
118], Ю. Н. Новичков [123, 124], В. Н. Паймушин [125−128], Б. В. Пикуль [130], 
Е. Д. Плантемма [263], Ю. М. Плескачевский [136], Б. Е. Победря [137, 138], 
А. П. Прусаков [143, 144], А. О. Рассказов [150], Е. Рейснер [268], А. В. Розе, 
Н. Б. Ростанина, Дж. Солвей [286], В. Е. Старжинский [108], М. Стейн [287], 

Н. Г. Тамуров [159], Д. В. Тарлаковский [49−51], С. П. Тимошенко [162],  
Дж. И. Фосс [213], Л. М. Хабип [222], А. В. Чигарев [172], П. П. Чулков [56, 57] 
и другие ученые [3, 4, 9, 10, 18, 19, 22, 36, 37, 53, 60, 61, 66, 68, 70, 77–81, 84, 
86, 90–92, 100–102, 106, 107, 119, 120, 122, 132–134,  139–142, 146, 151, 153–159, 
163–165, 167–169, 173, 177–182, 184, 185, 188–192, 194–196, 198, 200, 202–207, 
209–217, 219, 220, 222–227, 229–248, 251, 255, 256, 258–260, 262−266, 268, 270–
274, 279–285, 289, 292, 296–299, 301, 303–307]. 
Следует отметить, что первые работы по исследованию пластических 
свойств материалов при циклических нагружениях были опубликованы еще 
в конце XIX в. [294, 295]. В дальнейшем теория пластичности при однократных и переменных нагружениях получила развитие в трудах Г. Аккермана [182], И. Баушингера [187, 188], Дж. Ф. Белла [17], И. А. Биргера [21],  
Г. Л. Бровко [24−27], Г. И. Брызгалина [28, 29], Д. Л. Быкова [31], Р. А. Васина [33−35],  
Г. Г. Видемана [294, 295], Р. Л. Вулли [296], Г. П. Гусенкова [62−65], А. А. Ильюшина [73, 74], Г. Мазинга [253, 254], Н. А. Махутова [103], Р. Мизеса [255, 256], 
И. Н. Молодцова [109, 110], В. В. Москвитина [111−114], Г. В. Москвитина [62], 
В. И. Нигматуллина [121], Г. С. Писаренко [131], Б. Е. Победри [137, 138], И. В. Пучкова [145], Ю. Н. Работнова [147, 148], Ю. М. Темиса [145, 160, 161], Г. Хенки [225], 
Р. Хилла [166], M. T. Хубера [231], Ю. Н. Шевченко [174, 175] и других ученых 
[1, 2, 5, 12, 37, 67, 69, 71, 75, 85, 104, 129, 149, 152, 176, 195, 199, 201, 249, 250, 257, 
269, 275–278, 288, 290, 291, 300, 302]. 
В настоящее время поведение упругопластических трехслойных элементов конструкций в терморадиационных полях при однократных и циклических внешних нагрузках изучено недостаточно. Этой теме и посвящено предлагаемое исследование.
В процессе работы над книгой авторы основывались на собственных результатах [25-А – 139-А], опубликованных за последние 10 лет. Материалы, 
частично заимствованные из предыдущих монографий [1-А – 24-А], переработаны, решения выписаны для более широкого класса конструкционных элементов и проведен более подробный численный анализ. 

ОСнОвные УравненИя механИкИ  
ДефОрмИрУемОгО ТверДОгО Тела

Приведены постановки краевых задач квазистатики упругих твердых 
тел. Деформирование физически нелинейных сред в терморадиационных 
полях изложено в рамках теории малых упругопластических деформаций. Рассмотрены вариационные методы решения задач и метод упругих решений. Получены параметры упругости, функции нелинейности 
ряда конструкционных материалов и формула для расчета температуры в трехслойном элементе конструкций в тепловом потоке. 

1.1. Упругое твердое тело

под действием заданных нагрузок в точках твердого упругого тела возникает напряженное состояние. Для его описания вводится симметричный 
тензор напряжений второго ранга с шестью независимыми компонентами σij. 
первый индекс указывает нормаль к координатной площадке, на которой действует это напряжение, второй – обозначает ось, которой оно параллельно. 
Компоненты с одинаковыми индексами совпадают с напряжениями, нормальными рассматриваемой площадке. если индексы разные, то σij являются касательными напряжениями. растягивающие нормальные напряжения считаются положительными, сжимающие – отрицательными. 
предполагается, что компоненты напряжений sij связаны с объемными 
внешними силами ρFi (ρ – плотность материала) тремя уравнениями равновесия, справедливыми всюду внутри деформируемого тела:

 
σij,j + ρFi = 0. 
(1.1)

Запятая в нижнем индексе обозначает операцию дифференцирования по следующей за ней координате. Суммирование производится по повторяющемуся 
в члене уравнения латинскому индексу, здесь – по j от 1 до 3. 
Существуют координатные площадки, на которых касательные напряжения обращаются в нуль, а нормальные напряжения становятся экстремальными. Соответствующие оси координат называют главными осями тензора 
напряжений. Компоненты напряжений в этих осях обозначают s1, s2, s3 и называют главными значениями тензора напряжений. Главные оси нумеруются 
так, чтобы в алгебраическом смысле выполнялись условия s1 ≥ s2 ≥ s3. 
Для определения величин главных напряжений служит кубическое уравнение, которое называется вековым:

 

3
2
1
2
3
–  
 
–
 0,
s
s
+ s
=
J
J
J

1

1. Основные уравнения механики деформируемого твердого тела

где 

1
11
22
33
1
2
3,
= s
≡ s
+ s
+ s
= s + s + s
ii
J

2
11
22
22
33
33
11
(
)
 
–
/ 2 
–
ii
jj
ij
ij
J
=
s s
s s
≡ s s
+ s
s
+ s
s
2
2
2
12
23
31
s
− s
− s
=

1
2
2
3
3
1
 
,
= s s + s s + s s

3 =
J
s
≡
ij

11
12
13

21
22
23

31
32
33

s
s
s
s
s
s
s
s
s

1
2
3
 
.
= s s s
(1.2)

Можно показать, что все три корня векового уравнения – вещественные. 
Они являются главными значениями тензора напряжений. Их величины определяются характером внешней нагрузки и не зависят от первоначальной ориентации системы координат. Поэтому при повороте осей должны оставаться 
неизменными и величины коэффициентов J1, J2, J3 в вековом уравнении, определяемые формулами (1.2). В связи с этим J1, J2, J3 являются инвариантами 
тензора напряжений. 
На площадках, параллельных второй и равно наклоненных к первой и третьей главным осям, действуют максимальные касательные напряжения 

max
1
3
1 (
).
2
τ
=
s − s

Физическое содержание тензора напряжений определяется его тремя инвариантами, поэтому величины, от него зависящие (например, критерии пластичности), должны быть функциями J1, J2, J3 либо других инвариантных 
величин (например, главных напряжений). Это обстоятельство нужно учитывать при построении общих теорий механического поведения материалов.
Рассмотрим напряженное состояние, при котором на трех взаимно перпендикулярных площадках действуют только три одинаковых главных напряжения σ, равных среднему напряжению в данной точке тела: σ = (s11 + 
+ s22 +s33)/3. Тензор напряжений, описывающий такое напряженное состояние, называется шаровым (шаровой частью тензора напряжений).
Вычитая из тензора напряжений шаровую составляющую, получим девиатор тензора напряжений. Таким образом, тензор напряжений в каждой точке 
может быть представлен в виде суммы шаровой (σ) и девиаторной частей (sij): 

(
)
   
 
,
 1, 2, 3 .
s
=
+ sδ
=
ij
ij
ij
s
i j
(1.3)

Здесь δij – метрический тензор, его компоненты носят название символов 
Кронекера и в декартовой системе координат имеют вид

1,
,
0,
.
ij
i
j
i
j
=

δ
= 
≠


(1.4)

1.1. Упругое твердое тело

Разложение тензора напряжений на шаровую и девиаторную части имеет 
принципиальное значение при исследовании поведения упругих и неупругих 
тел под нагрузкой. Шаровая часть выделяет из напряженного состояния равномерное всестороннее растяжение или сжатие, при котором изменяется 
лишь объем данного элемента тела без изменения формы. Девиатор напряжений характеризует состояние сдвига, при котором изменяется форма элемента без изменения его объема. Как показывают опыты, материалы по-разному 
реагируют на всестороннее сжатие и напряжение сдвига.
По аналогии с тензором напряжений можно построить инварианты для 
введенных тензоров. При этом первые инварианты шарового тензора и тензора напряжений совпадают:

J1ш = 3s ≡ s11 + s22 +s33.

Первый инвариант девиатора напряжений равен нулю, так как 

1
11
22
33
11
22
33
 
–  
 
 
–  
 
 
–  
(
)
(
)
(
) 
–  3  
 0.
=
≡
s
s
+
s
s
+
s
s
= s
+ s
+ s
s =
d
ii
J
s
 

В теории пластичности широко используется понятие интенсивности 
тензора напряжений, которое было введено А. А. Ильюшиным [73]. Оно формально определяется через второй инвариант девиатора

2
2
3
3
.
2
s = −
=
u
d
ij ij
J
s s

Отсюда следует, что

s =
u

2
2
2
2
2
2
11
22
22
33
33
11
12
23
31
2
(
)
(
)
(
)
6(
)
2
s
− s
+ s
− s
+ s
− s
+
s
+ s
+ s
=

2
2
2

1
2
2
3
3
1
2
(
)
(
)
(
) .
2
=
s − s
+ s − s
+ s − s
(1.5)

Интенсивность тензора напряжений – инвариантная величина, так как выражается через второй инвариант девиатора. Числовой коэффициент в формуле (1.5) выбран так, чтобы в случае простого растяжения или сжатия (s11 = s1, 
все остальные компоненты равны нулю) выполнялось условие σu = |σ1|.
Под действием внешних сил все тела в большей или меньшей мере изменяют свою форму (деформируются). Точки тела меняют свое положение 
в пространстве непрерывно, т. е. в результате деформирования не возникает 
разрывов, пустот и трещин. Вектор u (рис. 1.1), имеющий начало в точке А 
недеформированного тела, а конец – в соответствующей точке А′ деформированного, называется вектором полного перемещения точки. Его проекции на 
оси координат обозначают через ui ≡ ui(x), где x ≡ (x1, x2, x3).

1. Основные уравнения механики деформируемого твердого тела

Как правило, в механике деформируемого твердого тела исследуются кинематически неизменяемые системы, не допускающие перемещения тела в пространстве как жесткого целого. В этом случае введенные перемещения для 
большинства рассматриваемых систем являются малыми по сравнению с геометрическими размерами тела. 
В общем случае компоненты деформации связаны с малыми перемещениями соотношениями Коши:

 

1 (
,
, )
2
e
=
+
ij
i
j
j i
u
u
,
 1, 2,
(
3 .)
 
=
i j
 
(1.6)

Компоненты деформаций (1.6) образуют тензор второго ранга, который, 
как и тензор напряжений, симметричен (εij = εji). Можно показать, что с его 
помощью полностью описывается деформирование произвольного волокна  
в окрестности рассматриваемой точки. 
Аналогично тому, как это было выполнено для тензора напряжений, можно 
изучить, в каких направлениях имеются только относительные деформа ции 
и отсутствуют сдвиги. Можно показать, что эти направления соответствуют 
экстремальным значениям относительных деформаций, которые на зываются 
главными деформациями и обозначаются через ε1, ε2, ε3. Для определения главных деформаций может быть использовано характеристическое уравнение

 

3
2
1
2
3
–  
 
–
 0.
e
e
+ e
=
I
I
I
 
 (1.7)

Коэффициентами в уравнении (1.7) будут три инварианта, не зависящие от 
ориентации системы координат: 

 
1
11
22
33
1
2
3
 
 
 
 
 
,
= e
+ e
+ e
= e + e + e
I

2
11 22
11 22
11 22
 
 
 
–
= e e
+ e e
+ e e
I
2
2
2
12
23
31
e
− e
− e
1 2
2 3
3 1
  
 
 
,
= e e + e e + e e

рис. 1.1

1.1. Упругое твердое тело

3 =
I

11
12
13

21
22
23

31
32
33

e
e
e

e
e
e
e
e
e

1 2 3.
= e e e
 
(1.8)

первый инвариант I1 имеет простой геометрический смысл. Это относительное изменение объема. В рамках теории упругости главные оси тензоров 
напряжений и деформаций для изотропной среды совпадают. 
тензор деформаций можно представить в виде двух составляющих тензоров

 
(
)
 
    
,
 1, 2, 3 ,
e
=
+ ed
=
ij
ij
ij
э
i j
 
(1.9)

где ε = θ / 3 ≡ (ε11 + ε22 +ε33) / 3 – шаровая часть тензора деформаций; δij – символы Кронекера (1.4); эij – компоненты девиатора тензора деформаций. 
Шаровой тензор в (1.9) описывает объемную деформацию. его первый инвариант совпадает с первым инвариантом тензора деформаций (1.8). Девиатор 
характеризует деформацию изменения формы. его первый инвариант равен 
нулю. 
Используя второй инвариант девиатора I2d, введем понятие интенсивности тензора деформаций εu по Ильюшину: 

 

2
2
4
2
3
3
e
= −
=
u
d
ij ij
I
э э  
 (1.10)

или 

 
e
=
u

2
2
2
2
2
2
11
22
22
33
33
11
12
23
31
2
(
)
(
)
(
)
6(
)
3
e
− e
+ e
− e
+ e
− e
+
e
+ e
+ e
=

2
2
2

1
2
2
3
3
1
2
(
)
(
)
(
) .
3
=
e − e
+ e − e
+ e − e
 
 (1.11)

В случае простого растяжения или сжатия ε11 = ε1, ε22 = ε33 = –νε1, ε12 = ε23= 
= ε31=0 (ν – коэффициент пуассона). тогда из (1.11) следует: εu = 2/3(1 + ν)|ε1|, 
а для несжимаемого материала (ν = 0,5) εu = |ε1|. Интенсивность тензора деформаций согласно (1.10) является инвариантной величиной. 
по известным трем дифференцируемым компонентам поля перемещений 
ui(x), (x ≡ x1 , x2 , x3) с помощью соотношений Коши (1.6) легко определяются 
шесть независимых компонент тензора деформаций. обратная операция затруднена, так как не всегда шести непрерывным компонентам εij(x) соответствует какое-либо непрерывное поле перемещений. если такое поле существует, то деформации называют совместными, в противном случае – несовместными. 

1. Основные уравнения механики деформируемого твердого тела

Совместные деформации связаны между собой соотношениями, которые 
называются уравнениями совместности деформаций (без суммирования по 
повторяющимся греческим индексам):

 
,
 
,
– 2
,
0   
,
1, 2, 3;
(
 
,)
aa ββ
ββ aa
aβ aβ
e
+ e
e
=
a β =
a ≠ β

, – 
,
 
,
,
– 
,
0 
(
)
( , ,
1, 2,
)
 3; 
.
aβ g
βg a
ga β
a
aa βg
e
e
+ e
e
=
a β g =
a ≠ β ≠ g  
(1.12)

таким образом, чтобы по шести непрерывным компонентам тензора деформаций найти соответствующее поле перемещений, необходимо выполнение шести дифференциальных уравнений совместности (1.12) относительно 
шести компонент тензора деформаций εij. В случае односвязной области они 
необходимы и достаточны, для многосвязной же – только необходимы. 
Для упругих изотропных линейных тел справедливы соотношения обобщенного закона Гука:

 
 2
.
s
=
µe
+ lθd
ij
ij
ij  
 (1.13)

Здесь объемная деформация

 
11
22
33
θ = e
+ e
+ e
=
11
22
33
1
2 (σ
σ
σ
).
E
− ν
+
+
 
 (1.14)

новые константы материала λ и μ называются параметрами Ламе. они 
связаны с модулем сдвига G, коэффициентом пуассона ν и модулем Юнга E 
следующими зависимостями:

 

λ
,
(1
)(1
2 )
E
ν
=
+ ν
− ν
μ
,
2(1
)
E
G
=
=
+ ν

.
2(
)
l
ν =
l + µ  
 (1.15)

Следовательно, из четырех упругих постоянных λ, μ, ν, E и объемного модуля K = E / 3(1 – 2ν) независимы только любые две. размерности величин λ, μ, 
K, E совпадают с размерностью напряжения. Эти параметры положительны. 
Коэффициент пуассона – величина безразмерная. ограничение его возможных значений следует из условия K > 0  и μ > 0: –1 ≤ ν ≤ 0,5. Значение ν = 0,5 
соответствует несжимаемому материалу. опыт показывает, что для всех известных изотропных материалов ν > 0. Было сделано много попыток доказать, 
что нижняя граница для ν равна 0, а не –1, но достичь этого не удалось [137]. 
Уравнения (1.13) можно разрешить относительно εij: 

 

1
3
.
2
1
ν


e
=
s
−
sd


+ ν


ij
ij
ij
G
 
при ν → 0,5 согласно (1.15) параметр Ламе λ → ∞, что соответствует несжимаемому материалу (θ = 0). В этом случае использование соотношений (1.13)