Квантовая механика частиц со спином в магнитном поле

УДК 530.145:539.12 

Квантовая механика частиц со спином в магнитном поле / Е. М. Овсиюк [и др.] ; Нац. акад. 
наук Беларуси, Ин-т физики им. Б. И. Степанова. – Минск : Беларуская навука, 2017. – 509 с. : ил. –
ISBN 978-985-08-2132-4.

В монографии изложен тетрадный метод обобщения уравнений для частиц различных спинов, учитывающий не
евклидовую геометрию пространства–времени. В пространствах постоянной кривизны Лобачевского и Римана найдены 
точные решения уравнений Шредингера и Дирака во внешнем магнитном поле. На основе матричного формализма 
Даффина–Кеммера–Петье в пространстве Минковского найдены точные решения релятивистского уравнения для частицы 
со спином 1 во внешнем магнитном поле, выполнен анализ этой задачи также и в нерелятивистском приближении.  
В присутствии магнитного поля в пространстве Минковского построены точные решения обобщенных уравнений для 
скалярной и векторной частиц, несущих кроме электрического заряда дополнительную электромагнитную характеристику – поляризуемость. В пространстве Минковского в уравнении Дирака учтено дополнительное взаимодействие через 
аномальный магнитный момент частицы, построены точные решения этого обобщенного уравнения в присутствии 
однородных магнитного и электрического полей. Исследовано поведение частиц со спинами 0, 1/2 и 1 в магнитном 
поле при ограничении на 2-мерные плоскости Лобачевского и Римана. Во внешних электрическом и магнитном полях 
исследовано квантово-механическое поведение частицы Кокса – скалярной частицы с дополнительной внутренней 
структурой. Рассматриваются случаи всех трех геометрий пространства: Евклида, Лобачевского и Римана.
Адресуется научным работникам, преподавателям высших учебных заведений, а также аспирантам и студентам, 
специализирующимся в области теоретической физики.
Ил. 21. Библиогр.: 176. назв.

Рекомендовано ученым советом ГНУ «Институт физики имени Б. И. Степанова  
Национальной академии наук Беларуси» (протокол от 31 мая 2016 г. № 4)

А в т о р ы

Е. М. Овсиюк , О. В. Веко, Я. А. Войнова, В. В. Кисель, В. М. Редьков

Р е ц е н з е н т ы

доктор физико-математических наук, профессор В. А. Плетюхов,
доктор физико-математических наук, профессор В. В. Тихомиров 

ISBN 978-985-08-2132-4
© Оформление. РУП «Издательский дом  
    «Беларуская навука», 2017

1.
11

1.1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

1.2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
14

1.3.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16

1.4.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21

1.5.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24

1.6.
. . . . . . . . . . . . .
26

2.
27

2.1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27

2.2.
. . . . . . . . . . . . . . .
28

3.
31

3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . .
32

4.
35

4.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35

4.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38

5. , 41

5.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41

5.2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43

5.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46

5.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54

5.5.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57

6. 59

6.1.
. . . .
59

6.2. . . . . . . . . . . . . . .
64

6.3.
. . . .
66

6.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68

3

. . , . . , . . , . . , . . 7. 0 1/2 73

7.1. . . . . . . . . . . . .
73

7.2. 2-. . . .
78

7.3.
S2, (r, ϕ) . . . . . . . . . . . .
80

7.4. S2, (x, y)
. . . . . . . . . . . . . .
82

8.
-87

8.1. S3 H3 . . . . . . . . . . . . . . . . .
87

8.2.
, 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89

8.3.
H3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90

8.4.
Z(z) H3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96

8.5.
S3
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
99

8.6.
Z(z) S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

9.
, 105

9.1.
E3, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

9.2.
r-. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

9.3. , . . . . . . . . . . . . . 108

9.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

10. 131

10.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

10.2. z-. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
10.3. r-. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

11. 139

11.1. S3 . . . . . . . . . . . . . . 139
11.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

11.3. z-. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
11.4. r-. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

12. 1/2 , 147

12.1. S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
12.2. z-. . . . . . . . . . . 148
12.3. . . . . . . 149

12.4. . . . . . . . . . . . . . . . 151

13. , 155

13.1. , . . . . 155

13.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

13.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
13.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

14. ,
167

14.1. Σ3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

14.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

15. 177

15.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
15.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

15.3. . . . . . . . . . . . . . . . 185
15.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

16. 189

16.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
16.2. Jz = 0 , 193
16.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

16.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
16.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

16.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

16.7.  Jz
. . . . . . . . . . . . . . . . 213

16.8. . . . . . . . . . . . . . 220

17. , 223

17.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
17.2. -. . . . . . . . . . . . . 226
17.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

17.4. , . . . . . . . . 232

17.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

17.6. Jz = 0 . . . . . . . . . . . . . 239

18. 1 241

18.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

18.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

19. 1 , 247

19.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

20. S = 1 , 253

20.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

20.2. , . . . . . . . . . . . . . . . . 255

. . , . . , . . , . . , . . 20.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

20.4. f0(r), . . . . . . . . . . . 260
20.5. f+(r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
20.6. f− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

21. 285

21.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
21.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

21.3. , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

22. 295

22.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
22.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

22.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

22.4. . . . . . . . . . . . . . 306

23. , 315

23.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
23.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
23.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

24. 1 325

24.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

24.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
24.3. 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

24.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
24.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

25. 1 349

25.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
25.2. 2-, . . . . . . . . . . . . . 350

25.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
25.4. . . . . . . . . . . . . . . . 354
25.5. 1 S2 . . . . . . . . . . . . . . . . 357
25.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
25.7. . . . . . . . . . . . . . . . 360

26. S3
363

26.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

26.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

26.3. (r, z) . . . . . . . . . . . . . . 367

27. 1 371

27.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

27.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
27.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

27.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
27.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
27.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

28. 395

28.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

28.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
28.3. , . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

28.4. . . . . . . . . . . . . . 417
28.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
28.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

28.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

29. 433

29.1. . . . . . . . . . . . . 433
29.2. . . . . . . . . . . . 435

29.3. z
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

29.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
29.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
29.6. . . . . . . . . . . . . . 448
29.7. . . . . . . . . . . . . . 450

30. 457

30.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
30.2. H3 . . . . . . . . . . . . . . 459
30.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

30.4. H3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

30.5. H3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

30.6. H3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
30.7. F(r, z) = 0, H3 . . . . . . . . . . . . . . 475
30.8. , . . 476
30.9. . . . . . . . . . . . . . . . 480

30.10.. . . . . . . . . . . . . . 482
30.11.S3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

30.12.S3
. . . . . . . . . . . . . . . 485

30.13.SO(4)-. . . . . . . . . . . . . 488

. . , . . , . . , . . , . . 30.14.H3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 492

30.15.. . . . . . . . . . . . . 497

503

, , . . . , . . . (. [13]). 1/2. .

, -, , , , . 19281932 .
. , . . , . . , . , . . : 3-, . . H3 S3. , ,
H3 S3.

, . . ; .

, 1, 10. . , -, .

1, 9

. . , . . , . . , . . , . . , . , , , , .

, , .

-; : , ,
.

. , . . : SO(3, 1) H3 SO(4) S3. , : , .

, .

. [4], . . [5], . [6], . [7], . . [8],

. [9], . [10], . . [11], . [12], . [13],
. [14], . , . , . [15], . . [16], . . [17], . . [18], . . [19], . [20],
. . [21], . . [22]. , . . [2325]. . . [2729] . . [30, 31], [3234].
[3538].

. . . . , . . , . . ,
. . , . . , . . , . . ; . . , . . . . . . , . . ,
. . , . . . , .

1.1.
( iγa ∂a − m) Ψ(x) = 0
(1.1)

(. [35]):

[ iγα(x) ( ∂α + Γα(x) ) − m ] Ψ(x) = 0 ,
(1.2)

γα(x) = γa eα

(a)(x) , eα

(a)(x) , Γα(x) = 1

2 σab eβ

(a) ∇α ( e(b)β ) ,

∇α . [25]

ψ(x) =

ξ(x)
η(x)

, ξ(x) =

ξ1

ξ2

, η(x) =

η˙1
η˙2

, γa =

0
¯σa

σa
0

,

σa = (I, +σk), ¯σa = (I, −σk) , (1.1) :

i σα(x) [ ∂α + Σα(x) ] ξ(x) = m η(x) ,
i ¯σα(x) [ ∂α + ¯Σα(x) ] η(x) = m ξ(x) .
(1.3)

(1.3) :

σα(x) = σa eα

(a)(x) ,
¯σα(x) = ¯σa eα

(a)(x) ,

Σα(x) = 1

2 Σab eβ

(a) ∇α(e(b)β) ,
¯Σα(x) = 1

2

¯Σab eβ

(x) ∇α(e(b)β) ,

Σab = 1

4 ( ¯σa σb − ¯σb σa ) ,
¯Σab = 1

4 ( σa ¯σb − σb ¯σa ) ,

. . , . . , . . , . . , . . Σα(x) ¯Σα(x) . m = 0, (1.3) η(x) ξ(x).

(1.3). Ψ(x) = (ξ(x), η(x)) (xα) :

ξ′(x) = B(k(x)) ξ(x) ,
η′(x) = B+(¯k(x)) η(x) .
(1.4)

B(k) SL(2, C) . 4-:

B(k) = σa ka ,
det B = k2
0 − k2
j = +1 ,

B+(k) = B(k∗) ,
B−1(k) = B(¯k) ,
¯k = (k0, −kj) .

(1.3) ξ′(x) η′(x) iB(k)σαB(k)
[
∂α + B(k) ΣαB(¯k) + B(k)∂αB(¯k)
]
ξ′(x) = mη′(x) ,

iB(k)¯σαB(k∗)
[
∂α + B(¯k∗)¯ΣαB(k)∗ + B(¯k∗)∂αB(k∗)
]
η′(x) = mξ′(x) .

B(¯k∗(x))σaB(¯k(x)) = σbL a
b (x) ,
B(k(x))¯σa B(k∗(x)) = ¯σbL a
b (x) ,
(1.5)

L a
b (x) 4-, L a
b (x) = 1

2 Sp
[ ¯σb B(¯k) σa B(¯k)
]
=

= 1

2 Sp [ σb B(k(x))¯σa B(k∗(x)) ] = L a
b (k(x), k∗(x)) ,
(1.6)

i σ
′α(x) [ ∂α + Σ′
α(x) + ∆α(x) ] ξ′(x) = m η′(x) ,

i ¯σ
′α(x) [ ∂α + ¯Σ′
α(x) + ¯∆α(x) η′(x) = m ξ′(x) .
(1.7)

(σ
′α, ¯σ
′α, Σ′
α , ¯Σ′
α) , (σα, ¯σα, Σα, ¯Σα), e′α
(a)(x), :

e′α
(b)(x) = L a
b (k(x), k∗(x)) eα
(a)(x) .

Sp (¯σkσl¯σaσb) = 2 ( gklgab − gkaglb + gkb gla − iϵklab ) ,

Sp (σk¯σlσa¯σb) = 2 ( gklgab − gkaglb + gkbgla + iϵklab ) ,

L (1.6) L a
b (k, k∗) = ¯δc
b [ −δa
c kn k∗
n + kc ka∗ + k∗
c ka + i ϵ anm
c
kn k∗
m ] ,
(1.8)

¯δc
b :

¯δc
b =








0, c ̸= b ;
+1, c = b = 0 ;
−1, c = b = 1, 2, 3 .

L . , L b
a (k, k∗) = gbc L d
c (¯k, ¯k∗) gda .
(1.9)

(¯gbc = gba¯δc
a)

¯δc
a ( −δb
c kn k∗
n + kc kb∗ + k∗
c kb + i ϵ bnm
c
kn k∗
m ) =

= ¯gbc (
−δd
c ¯kn ¯k∗
n + ¯kc ¯kd∗ + ¯k∗
c ¯kd + iϵ dnm
c
¯kn ¯k∗
m
)
gda ,

( ¯δc
a ϵ bnm
c
) kn k∗
m = ( ¯gbc ϵ dnm
c
gda ) ¯kn ¯k∗
m .

, a b, .

, L(k, k∗) . , L . , L ,
. . L 0
0 (k, k∗) ≥ +1. L 0
0 L 0
0 = ( −kn k∗
n + 2 k0 k∗
0 ) = ( k0 k∗
o + kj k∗
j )

, ( | Z0 | + | Z2 | + | Z2 | + | Z3 | ) ≥ | Z0 + Z1 + Z2 + Z3 |

Z0 = k0k0, Z1 = −k1k1, Z2 = −k2k2, Z3 = −k4k4 B(k), L 0
0 ≥ | k0 k0 − kj kj | = +1 .

det L(k, k∗) = (k0 k0 − kj kj)2 (k∗
0 k∗
0 − k∗
j k∗
j )2 = +1

.

(. (1.7)) ∆α(x) ¯∆α(x) ∆α(x) = B(k) ∂α B(¯k) − 1

2 Σnm L a
n gab ∂α L b
m ,

. . , . . , . . , . . , . . ¯∆α(x) = B(¯k∗) ∂α B(k∗) − 1

2
¯Σnm L a
n gab ∂α L b
m .

, . , (1.5), ∆α(x) ¯∆α(x) ∆α(x) = −1

4 B(k) [ ¯σb B(k∗)∂αB(¯k∗) σb ] B(¯k) ,

¯∆α(x) = −1

4 B(¯k∗) [ σb B(¯k)∂αB(k) ¯σb ] B(k∗) .

B(k∗) ∂α B(¯k∗) = −⃗σ {(k∗
0 ∂α ⃗k ∗ − ⃗k ∗ ∂α k∗
0) + i [⃗k ∗ ∂α ⃗k ∗ ] } ,

B(¯k) ∂α B(k) = −⃗σ {(k0 ∂α ⃗k − ⃗k ∂α k0) + i [⃗k ∂α ⃗k ] }

¯σa ⃗σ σa ≡ 0 , σa ⃗σ ¯σa ≡ 0 , , ∆α(x) ¯∆α(x) .

, ξ′(x) η′(x) iσ
′α(x)
(
∂/∂xα + Σ′
α(x)
)
ξ′(x) = m η′(x) ,

i ¯σ
′α(x) ( ∂/∂xα + ¯Σ′
α(x) ) η′(x) = m ξ′(x) ,

(1.3). , () SL(2, C). . , gαβ(x) eβ
(a)(x) L b
a (x), (1.3) , , , , , .

(1.3) , ψ(x) = (ξ(x), η(x)) : ψ′(x′) = ψ(x).

1.2.
 ,
. ,
: ξ′ = B(k)ξ , η′ = B(¯k∗)η . , S = B(k) ⊕ B(¯k∗) I, γ5, γa, γ5γa, σab, , , .

S(k, k∗) S(k, k∗) =

σa ka
0
0
¯σa ka

(1.10)

:

S = Φ I + ˜Φ γ5 + Φa γa + ˜Φa γ5 γa + Φab σab .
(1.11)

(1.10) σa ka
0
0
¯σa ka

= Φ

I
0
0
I

+ ˜Φ

−I
0
0
+I

+

+Φa

0
¯σa

σa
0

+ ˜Φa
0
−¯σa

σa
0

+ Φab
Σab
0
0
¯Σab

.

, 0 = Φa ¯σa − ˜Φa ¯σa ,
0 = Φa σa + ˜Φa σa ,

σa ka = ϕ − ˜Φ + Φab Σab ,
σa ka = ϕ + ˜Φ + Φab ¯Σab .

, Φa = 0 ˜Φa = 0. ¯σc,
σc , kc = (Φ − ˜Φ) g0c + Φ0c − i/2 Φab ϵabc0 ,

k∗c = (Φ + ˜Φ) g0c + Φ0c + i/2 Φab ϵabc0 .

(Φ, ˜Φ, Φab), Φ = (k∗
0 + k0)/2 ,
˜Φ = (k∗
0 − k0)/2 ,

Φ01 = (k∗
1 + k1)/2 ,
Φ23 = (k∗
1 − k1)/2i ,

Φ02 = (k∗
2 + k2)/2 ,
Φ31 = (k∗
2 − k2)/2i ,

Φ03 = (k∗
3 + k3)/2 ,
Φ12 = (k∗
3 − k3)/2i .

(1.11), S(k, k∗) = 1

2(k0 + k∗
0) − 1

2(k0 − k∗
0)γ5 + k1(σ01 + iσ23) + k∗
1(σ01 − iσ23) +

+k2(σ02 + iσ31) + k∗
2(σ02 − iσ31) + k3(σ03 + iσ12) + k∗
3(σ03 − iσ12) .
(1.12)

ka = ma − ina :

S(ma, na) = (m0 + n0iγ5) + (m1σ01 + m2σ02 + m3σ03)+

+(n1σ23 + n2σ31 + n3σ12) = m0 + n0iγ5 + miσ0i + 1

2ϵijkniσjk .

, . , (iγ5
M)∗ = iγ5
M ,
(σab
M)∗ = + σab
M ,
(1.13)

, , S(k, k∗) (1.12) .

. . , . . , . . , . . , . . 1.3.
, , .
, , .

{ γα(x) [ iℏ (∂α + Γα(x)) − e

c Aα ] − mc } Ψ(x) = 0 .
(1.14)

(1.14) [25]:

γ0 =

I
0
0
−I

, γi =

0
σi

−σi
0

, Ψ =

φ(x)
Ξ(x)

.

γβ(x) Γβ(x) (σβ(x) = σieβ
(i)(x), i = 1, 2, 3 )

γβ(x) =

eβ
(0)(x)
σβ(x)

−σβ(x)
−eβ
(0)(x)

, Γβ(x) =

Bβ(x)
Cβ(x)
Cβ(x)
Bβ(x)

,
(1.15)

Bβ(x) Cβ(x) , Bβ(x) = 1

4 [ eα
(0)(x)∇βe(0)α(x) − σα(x)∇βσα(x) ] ,

Cβ(x) = 1

4 [ eα
(0)(x)∇βσα(x) − σα(x)∇βe(0)α(x) ] .

(1.15) (1.14), Ω(x)
Π(x)
−Π(x)
−Ω(x)

φ(x)
Ξ(x)

= mc

φ(x)
Ξ(x)

,
(1.16)

Ω(x) = eα
(0)(x) [ iℏ (∂α + Bα(x)) − e

c Aα(x) ] + iℏ σα(x) Cα(x) ,

Π(x) = iℏ eα
(0)(x) Cα(x) + σα(x) [ iℏ (∂α + Bα(x)) − e

c Aα(x) ] .
(1.17)

, ()
φ(x)
Ξ(x)

= exp(−imc2

ℏ
t)

Ψ1(x)
Ψ2(x)

,
(1.18)

(1.16) Ω(x) Ψ1 + Π(x) Ψ2 = mc (+1 − e0
(0)) Ψ1 ,

Π(x) Ψ1 + Ω(x) Ψ2 = mc (−1 − e0
(0)) Ψ2 .
(1.19)