Квантовая механика в космологических моделях де Ситтера


            НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ Институт физики имени Б. И. Степанова





     КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
     В КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
     ДЕ СИТТЕРА



















                             Минск
«Беларуская навука» 2016

УДК 530.145:539.12

    Квантовая механика в космологических моделях де Ситтера / О. В. Веко [и др.]. - Минск : Беларуская навука, 2016. - 515 с. -ISBN 978-985-08-2027-3.
    В книге развивается квантовая механика частиц со спином 0, 1/2, 1 в предположении неевклидовости пространства-времени. Исследуются случаи геометрий Минковского, Лобачевского, Римана и де Ситтера. Акцент делается на точно решаемых задачах. В основу обобщения волновых уравнений положен тетрадный формализм Тетроде-Вейля- Фока-Иваненко. Исследованы следующие квантово-механические системы: атом водорода на основе уравнений Клейна- Фока- Гордона и Дирака в статических моделях де Ситтера; частица со спином 1/2 в поле абелева монополя на фоне геометрий де Ситтера; нерелятивистская векторная частица в полях абелева монополя, Кулона и осциллятора на фоне плоского пространства Минковского; частица со спином 1 в полях Кулона и осциллятора на фоне пространств Лобачевского и Римана в нерелятивистском приближении Паули; частицы спина 0 и 1/2 в расширяющемся и осциллирующем пространствах де Ситтера -даны релятивистское и нерелятивистское описания. Развит метод решения дифференциальных уравнений 4-го порядка на основе метода факторизации.
    Предназначена для научных работников и аспирантов, занимающихся вопросами физики элементарных частиц, классической и квантовой теории поля. Может быть использована в качестве учебного пособия.
    Ил. 9. Библиогр.: 250 назв.


А в т о р ы:
О. В. Веко, К. В. Дашук, В. В. Кисель, Е. М. Овсиюк, В. М. Редьков

Р е ц е н з е н т ы:
доктор физико-математических наук Ю. А. Курочкин, доктор физико-математических наук, профессор В. А. Плетюхов
















ISBN 978-985-08-2027-3

© Оформление. РУП «Издательский дом «Беларуская навука», 2016

ОГЛАВЛЕНИЕ






Предисловие.............................................. 9

1. Атом водорода и геометрии пространств де Ситтера....  11
      1.1. Введение..................................... 11
      1.2. Разделение переменных в пространстве де Ситтера.... 12
      1.3. Качественное рассмотрение.................... 14
      1.4. Анализ классического движения в пространстве де Ситтера ............................................. 17
      1.5. Сведение радиального уравнения к уравнению Гойна 21
      1.6. Вычисление корней уравнения pᵣ = 0........... 25
      1.7. Вычисление интеграла......................... 27
      1.8. Кулоновская задача в пространстве анти де Ситтера и функции Гойна................................... 30
      1.9. Качественный анализ задачи в пространстве анти де
      Ситтера........................................... 36
      1.10. ВКБ-анализ в пространстве анти де Ситтера.. 39
      1.11. Частица со спином 1/2 в кулоновском поле на фоне пространства де Ситтера........................... 40
      1.12. Частица со спином 1/2 в кулоновском поле в пространстве анти де Ситтера........................... 46
      1.13. Выводы...................................... 50

2. Частица со спином 1/2 в присутствии абелева монополя на фоне пространства-времени де Ситтера.................... 51
      2.1. Уравнение Дирака в статических координатах де Ситтера.............................................. 51
      2.2. Разделение переменных в поле монополя........ 52
      2.3. Решение радиальных уравнений................. 58
      2.4. Решение радиальных уравнений при j ₘᵢₙ....... 64
      2.5. Стоячие и бегущие волны, j > jₘᵢₙ............ 70

О. Веко, К. Дашук, В. Кисель, Е. Овсиюк, В. Редьков

     2.6. Стоячие и бегущие волны при j = j ......... 74
     2.7. Обсуждение и выводы........................ 75


3. Частица со спином 1/2 в присутствии абелева монополя на фоне пространства анти де Ситтера................... 79

      3.1. Разделение переменных............................
      3.2. Решение радиальных уравнений при j ₘᵢₙ...........
      3.3. Предельный переход к пространству Минковского....
      3.4. Разделение переменных в поле магнитного заряда, j > j ................................................
          min
      3.5. Решение уравнений при j > j
Jmin


79
81
84

87
88

4. Векторная частица в поле магнитного заряда, нерелятивистское приближение в пространстве Минковского........ 93

      4.1. Введение.................................... 93
      4.2. Разделение переменных в релятивистском уравнении Даффина- Кеммера........................ 94
      4.3. Нерелятивистское приближение................. 101
      4.4. Решение радиальной системы уравнений....... 107
      4.5. Явные представления для трех классов решений. 117
      4.6. Случай минимального значения j............... 120
      4.7. Частица в полях Кулона и магнитного заряда... 121
      4.8. Частица в полях квадратичного потенциала и магнитного заряда.............................. 123
      4.9. Заключение................................. 124


5. Векторная частица в сферически-симметричных потенциалах, нерелятивистское приближение в пространстве Лоба
чевского............................................... 125
      5.1. Введение.................................... 125
      5.2. Разделение переменных в уравнении Даффина-Кеммера........................................... 131
      5.3. Нерелятивистское приближение................ 137
      5.4. Частица в присутствии монополя в состояниях минимального j, учет кулоновского и осцилляторного потенциалов....................................... 145
      5.5. Частица со спином 1 в отсутствие монопольного поля.............................................. 150

Квантовая механика в космологических моделях де Ситтера

5

      5.6. Частица со спином 1 в кулоновском поле притяжения.. 156
      5.7. Частица в осцилляторном поле............... 167
      5.8. Релятивистская задача в поле осциллятора, случай пространства Лобачевского....................... 175
      5.9. Релятивистская частица в поле осциллятора, случай плоского пространства........................... 180
      5.10. Выводы.................................... 182

6. Векторная частица в сферически симметричных потенциалах, нерелятивистское приближение в сферическом пространстве ............................................ 183
      6.1. Разделение переменных в модифицированном уравнении Даффина-Кеммера....................... 183
      6.2. Нерелятивистское приближение............... 187
      6.3. Частица в состояниях минимального j: учет кулоновского потенциала......................... 195
      6.4. Частица в состояниях минимального j: учет осцилляторного потенциала....................... 197
      6.5. Частица в отсутствие монопольного потенциала. 198
      6.6. Частица в кулоновском поле притяжения...... 204
      6.7. Частица в осцилляторном поле............... 211

7. Сферические волны для поля со спином 1 в статической метрике де Ситтера, матричный 10-мерный формализм....... 219
      7.1. Разделение переменных...................... 219
      7.2. Решение радиальных уравнений............... 222
      7.3. Расходящаяся, сходящаяся и стоячая волны..... 228
      7.4. Безмассовый предел......................... 230

8. Сферические волны для поля со спином 1 в статической метрике анти де Ситтера, матричный 10-мерный формализм . 231
      8.1. Постановка задачи. Разделение переменных... 231
      8.2. Решение радиальных уравнений при j > 0..... 234
      8.3. Безмассовый предел частицы со спином 1..... 239

9. Скалярная частица в нестатических Вселенных де Ситтера . ... 241
      9.1. Нерелятивистский предел в теории скалярной частицы на фоне римановой геометрии............. 241

О. Веко, К. Дашук, В. Кисель, Е. Овсиюк, В. Редьков

      9.2. Уравнение Шредингера в пространствах де Ситтера
      и анти де Ситтера, нестатические координаты.... 246
      9.3. Уравнение Клейна- Фока- Гордона в гравитационном поле........................................... 256
      9.4. Частица Клейна- Фока- Гордона в нестатической модели де Ситтера.............................. 257
      9.5. Частица Клейна- Фока- Гордона в модели анти де Ситтера........................................ 264

10. Частица со спином 1/2 в нестатических Вселенных де Ситтера.............................................. 267

      10.1. Уравнение Дирака в ортогональных координатах. 267
      10.2. Нейтрино в пространстве де Ситтера....... 284
      10.3. Уравнение Паули в расширяющейся Вселенной де Ситтера........................................ 286
      10.4. Частица со спином 1/2 в осциллирующей Вселенной анти де Ситтера...................... 292
      10.5. Уравнение Паули в осциллирующей Вселенной.... 303

11. Частица со спином 1 в нестатических пространствах де Ситтера, тетрадный формализм............................ 309

      11.1. 10-мерный матричный формализм, разделение переменных......................................... 309
      11.2. Условие Лоренца.......................... 323
      11.3. Электромагнитное поле в формализме Майораны- Оппенгеймера в расширяющейся Вселенной де
      Ситтера ....................................... 334
      11.4. Связь между формализмами Майораны- Оппенгеймера и Даффина- Кеммера........................ 345
      11.5. Электромагнитное поле в формализме Майораны-Оппенгеймера во Вселенной анти де Ситтера...... 359
      11.6. Частица со спином 1 в пространстве анти де Ситтера, формализм Даффина- Кеммера..................... 367
      11.7. Связь между формализмами Майораны- Оппенгеймера и Даффина- Кеммера в пространстве анти де
      Ситтера........................................ 371

Квантовая механика в космологических моделях де Ситтера

7

12. Частицасоспином 1, нерелятивистскоеприближение в нестатических метриках де Ситтера.......................... 385
      12.1. Нерелятивистское приближение для векторной ча      стицы в расширяющейся Вселенной де Ситтера...... 385
      12.2. Нерелятивистское приближение для векторной ча      стицы в осциллирующей Вселенной анти де Ситтера.. 402

13. Частица Дирака—Кэлера в пространствах постоянной кривизны: релятивистское и нерелятивистское описания, точные решения............................................... 421
      13.1. Нерелятивистское приближение в римановом пространстве......................................... 421
      13.2. Двумерный спинорный формализм............. 424
      13.3. Нерелятивистское уравнение в пространстве Минковского........................................ 429
      13.4. Сферически-симметричные решения в плоском пространстве, релятивистский случай.................. 431
      13.5. Состояния со значением j = 0.............. 436
      13.6. Сферически-симметричные решения в плоском пространстве, нерелятивистский предел........... 438
      13.7. Явный вид решений и калибровочные преобразования .......................................... 444
      13.8. Точные решения в сферическом пространстве Римана, нерелятивистское приближение.............. 446
      13.9. Решение радиальных уравнений в сферическом пространстве......................................... 451
      13.10. Решения в пространстве Лобачевского, нерелятивистское приближение............................ 457
      13.11. Решение уравнений в гиперболическом пространстве    461

14. Дублет дираковских частиц в поле неабелева монополя, нерелятивистское описание............................. 467
      14.1. Введение.................................. 467
      14.2. Уравнение Паули для дублета фермионов, общий анализ.......................................... 468
      14.3. Неабелев монополь, калибровка Швингера..... 470

     14.4. Разделение переменных в релятивистском уравнении. 475
      14.5. Дискретный оператор отражений в изотопическом и координатном пространствах..................... 477
      14.6. Решение уравнений для случая простейшего монопольного потенциала.............................. 480
      14.7. Дублет в нерелятивистском приближении Паули, слу      чай j = 0....................................... 482
      14.8. Дублет в нерелятивистском приближении: случай j > 0   488
     14.9. Выводы..................................... 492
Заключение............................................ 493
Литература............................................ 497

Предисловие




    Физические задачи, допускающие точное аналитическое решение, всегда привлекали пристальное внимание. В настоящей работе будут исследованы некоторые новые точно решаемые задачи, возникающие при обобщении классической теории поля (главным образом речь идет об электромагнитном поле) и квантовой механики в пространствах с псевдоримановой геометрией [1-3].
   Многие традиционные задачи квантовой теории и теории поля [4-6] при их обобщении на пространства с неевклидовой геометрией допускают исчерпывающую аналитическую трактовку. Причем, также как и большинство задач в пространстве Минковского они поддаются анализу в терминах гипергеометрических функций - решений дифференциального уравнения с тремя особыми точками [7, 8]. Однако в настоящее время задачи теории поля и квантовой механики все чаще приводят к необходимости решать дифференциальное уравнение с четырьмя особыми точками - уравнение Гойна [9-11]. Хотя это уравнение и его решения известны уже много лет, развитый для этих функций аппарат все еще является недостаточно разработанным, чтобы его можно было эффективно использовать при исследовании физических задач.
   Часто с помощью специальных приемов многие задачи, приводящие к уравнению Гойна, удается преобразовывать к форме, поддающейся трактовке в гипергеометрических функциях. Ряд таких примеров рассмотрен в настоящей книге. Кроме того, изложен анализ нескольких задач, решение которых возможно только в функциях Гойна. При этом оказывается, что использование простого условия, выделяющего так-называемые трансцендентные (неполиномиальные) функции Гойна, часто позволяет придти к разумным правилам квантования энергии в системах, где возможно существование связанных состояний. Применительно к нескольким квантово-механическим задачам развит также метод факторизации при решении дифференциальных уравнений четвертого порядка.
   В большей части настоящей работы в качестве обобщенных геометрических моделей используются статическое (сферическое) пространство-время Эйнштейна и его гиперболический аналог - пространство Лобачевского; мы будем поль

9

О. Веко, К. Дашук, В. Кисель, Е. Овсиюк, В. Редьков

зоваться терминами пространство Римана S ₃ и пространств о Лобачевского H3, поскольку все интересные геометрические свойства 4-мерных моделей сосредоточены именно в их пространственных частях. Рассматривается ряд физических систем на фоне более сложных моделей: пространства-времени де Ситтера первого и второго рода (де Ситтера и анти де Ситтера).
   В основу обобщения квантово-механических уравнений на модели пространств с неевклидовой геометрией положен тетрадный формализм Тетроде-Вейля-Фока-Иваненко. Акцент сделан на получении точных аналитических решений.
   Авторы благодарны сотрудникам Лаборатории теоретической физики Института физики Национальной академии наук Беларуси за обсуждение на лабораторных семинарах составивших основу книги результатов и дружескую критику.
   Авторы признательны рецензентам Юрию Андреевичу Курочкину и Владимиру Анестиевичу Плетюхову за интерес к работе и полезные советы.
   Авторы также благодарны Президиуму Национальной Академии наук Беларуси за поддержку издания книги.

    Глава 1



Атом водорода и геометрии пространств де Ситтера


1.1.  Введение

    В контексте развития квантовой теории в литературе постоянное внимание уделяется геометрическим моделям де Ситтера (см., например, [12, 13]). В частности, долгую историю имеет проблема описания частиц с разными значениями спина на фоне этих пространственно-временных геометрий - см. [ 14]—[42]. В работе исследуется влияние геометрий де Ситтера на квантово-механическое описание атома водорода на основе уравнения Клейна-Фока-Гордона. Анализируются оба случая геометрий: де Ситтера dS и анти де Ситтера AdS.
   В случае пространства dS проведен качественный анализ классического выражения для квадрата обобщенного радиального импульса p2(r). Уравнение p2 = 0 сводится к полиному четвертой степени; характер расположения корней полинома говорит, что существует режим трех положительных вещественных корней и одного отрицательно вещественного корня, который отвечает ситуации нахождения частицы в эффективной потенциальной яме с расположенной справа запрещенной для классического движения областью; далее существует область разрешенная для классического движения.
   Другими словами, геометрия де Ситтера интересна тем, что атом водорода оказывается здесь принципиально нестабильной квантово-механической системой; электрон может туннелировать из потенциальной ямы через потенциальный барьер в область, далекую от места расположения центрального заряда. Соответствующее квантово-механическое уравнение сведено к уравнению типа Гойна с четырьмя особыми точками [9-11]; выполнен анализ возможных решений.


И

О. Веко, К. Дашук, В. Кисель, Е. Овсиюк, В. Редьков

    Найдены приближенные значения корней полинома 4-й степени, на этой основе вычислены основной член и первая по кривизне поправка к уровням энергии (вещественной части уровней); оценена вероятность распада системы.
    Аналогичное исследование выполнено для случая пространства AdS: проведен качественный анализ классического выражения для квадрата обобщенного радиального импульса р2(г); уравпение р2 = 0 также сводится к полиному четвертой степени. Характер расположения корней полинома говорит, что возможен только режим двух положительных вещественных корней и двух отрицательных, который отвечает ситуации нахождения частицы в эффективной потенциальной яме с расположенной справа запрещенной для классического движения областью вплоть до бесконечности.
    Другими словами, геометрия пространства анти де Ситтера интересна тем, что атом водорода оказывается здесь принципиально стабильной квантово-механической системой. Соответствующее квантово-механическое уравнение также сведено к уравнению типа Гойна. Найти спектр энергии точно из анализа этого уравнения не удается. Проведен ВКБ-анализ возникающего дифференциального уравнения, получено приближенное правило квантования для атома водорода в пространстве анти де Ситтера.
    Также в обеих геометрических моделях исследуется кулоновская задача для частицы со спином 1/2. Хотя качественно поведение фермионов в моделях де Ситтера в кулоновском поле не отличается от поведения скалярных частиц, но математическое описание ситуации оказывается существенно более сложным: возникающие дифференциальные уравнения второго порядка уравнения имеют 8 особых точек - в такой ситуации можно выполнять только численный анализ. Отметим, что аналогичные задачи для дираковской частицы в пространствах Лобачевского и Римана сводятся к уравнениям с пятью особыми точками [43].


1.2. Разделение переменных в пространстве де Ситтера


Найдем поле, создаваемое точечным зарядом в пространстве де Ситтера

       dS² =  ^1 —  Г2^ dt² — ^1 — Г2^   dr² —  г²(d0² + sin² 0dф²).    (1.1)


Начало сферической системы координат поместим в точку нахождения заряда. Решение уравнений Максвелла для точечного источника в этом пространстве дает

             д V—gFва(х) = — 4пJа, Aа = (-, 0, 0, 0) . (1.2)
         —-доха                       Гг )

Квантовая механика в космологических моделях де Ситтера

13

   Рассматриваем уравнение Клейна-Фока-Гордона
[(ihVа + -Aа) (ihVа + eAа) - M²c²] Ф = 0,



в пространстве де Ситтера и с потенциалом, определенным согласно (1.2); переменные разделяются подстановкой Ф = e—iet/hYₗₘ(0, ф) f (r):


- "12 TT¹² ² g¹¹ Tf + r² dr dr

’ g ⁰⁰(e + eA o)²

c ²h²

Радиальное уравнение принимает вид

(e + e²/r )²

c² h²

l(l + 1)

r²

d² f 2(1 - 2r²/p²) dr²    + r(1 - r²/p²)

Т f + dr

    1       (M ² c ²
(1 - r²1p²)² \ h² ⁺

Соответствующее уравнение Гамильтона-Якоби выглядит так:

g⁰⁰

(SS e V „fdS\²
[d7- ⁻ ~cA⁰) ⁺ g [7^) ⁺

+g 00 ®²+g фф Ш² - m 2 c 2=o. \d0 J  \oф/

(1.3)

(1.4)

Очевидно, что траектория движения будет плоской, поэтому можно зафиксировать координату 0 = П, и функцию действия искать в виде

S(t,r, ф)

соответственно для квадрата обобщенного импульса получим представление

  ₂   (e + e²/"с)²       1          / ₂ ₂ L²\
Pr =      c²       (1 - r²/р²)² ⁻ M c ⁺ Т²) 1

1
Т^Тр² .

(1.5)

   Таким образом, классическая задача о движении частицы в кулоновском поле в пространстве де Ситтера сводится к нахождению интеграла P pᵣ dr, где pᵣ определяется согласно (1.5), а квантовая - к решению дифференциального уравнения (1.3).

+



M ² c⁴



f = 0.

l ⁽l + 1) A _
r²    / 1

—e t + L ф +

У p(r)dr;



1
y p²

f = 0.

О. Веко, К. Дашук, В. Кисель, Е. Овсиюк, В. Редьков

1.3. Качественное рассмотрение


     Проведем вначале качественное исследование задачи, основанное на анализе выражения для квадрата импульса. Удобно для сравнения рассматривать параллельно случаи плоского и искривленного пространств.
   Квадрат импульса свободной частицы в плоском пространстве обращается в ноль в точках rо:

         рГ = f Д - M² с² - L2 ^ =^ rо = ±а II² ₂ с .                  (1.6)
\ с²           r² )             V е² — М²с⁴


Движение возможно только в тех областях значений переменной г, в которых Pr > 0, и при е > Мс² такая область существует.
   Рассмотрим теперь таким же образом свободную частицу в пространстве де Ситтера. Квадрат импульса равен

P

2 r

--------        - f M² с ² + ^ с²(1 — r²/р²)²  \          r² }


1
1 — r² / р² ’

около начала координат и на горизонте (в области r ~ р) квадрат импульса ведет себя соответственно так:

P2(r ~ 0)

P2(r ~ р)

е²

с²(1

Г² \2 р² )

—ОО.

~



L ²/r²,

~



Найдем точки обращения импульса в ноль:

r⁴ + r

2 Р²

М ² с ²

(

е²

с²

⁺ Р²

L²

Р²



М ² с⁴

L ²

)



М ² с ²

= 0,

корни этого уравнения 4-й степени равны

r о = ± Р

--±

a²      l²
4 Т ⁺ М² с²р²,

(1.7)

A

2

где


е² — М² с⁴      L ²
М ² с⁴  ⁺ М ² с ²р².


(1.8)

Всего есть четыре корня, причем два из них всегда вещественны, один из них - всегда положительный, другой - всегда отрицательный. Расположение и характер корней указывают на то, что качественно движение свободной частицы в пространстве де Ситтера не отличается от движения в плоском пространстве.

Квантовая механика в космологических моделях де Ситтера

15

Рис. 1.1: Кулоновская задача в плоском пространстве

   Теперь рассматриваем частицу в кулоновском поле на фоне плоского пространства. Здесь квадрат радиального импульса равен

рГ ^t+s/p - М2222 ₊ LX. с²       \   r² }

(1.9)

Асимптотическое поведение следующее:

Р2 (r ~ 0)

L² - е⁴/с²

е² — М ² с⁴ с ²

Найдем точки поворота (нули) функции pr:

Г ⁰  е² — М² с⁴

е ²е с²

/е⁴е² , ,ᵣ₂ ' '
\ с4 ⁺ ⁽L ² — 22)

е² — М² с⁴ с ²

(1.Ю)

p2(r ~ ж) ~

с

2



Если (L² — е⁴/с²) > 0, е < Мс² и выражение под корнем в (1.10) положительно:


е >мс ² У¹ - eLr,


(мп

то будут существовать два положительных корня; при этом (схематический) график функции р2 (рис. 1.1).
   Сравним теперь эту ситуацию с той, которая реализуется в пространстве де Ситтера. Здесь квадрат радиального импульса равен

                =    е          _ (м2с2 + L2)      =                
pr2                 с2     (1 --- р2)2    \         r2/1 --- р2     
       1        Г М2с2 r4 + f е2   М2с2 + L2 A r2 +2e2е r + ( e4 L2)
r 2(1 --- р2 )2 [ р2 r 1 \с2 М с 1 р2) r 1 с2 r 1 (с2 L )           
       =        1       М2 с2 .       ..       ..       ..       .  
                = г/л    r 2,9     О (r r 1)(r r 2)( r r 3)( r r 4).
                Г2(1 --- p2 )2 P                                    

(1.12)

О. Веко, К. Дашук, В. Кисель, Е. Овсиюк, В. Редьков

Рис. 1.2: Кулоновская задача в пространстве де Ситтера

На горизонте (r ^ р) и около начала координат квадрат импульса ведет себя так:

Р2(Г ^ р) -■ 2     ¹ r^  =^ + X.
c²⁽¹ - р2⁾²

L ²

— e⁴/cc _

Р2(r ^ 0)

r²

(1.13)

~ —

т. е. график функции pc в пространстве де Ситтера (рис. 1.2) указывает на то, что имеем дело с нестабильной квантово-механической системой.
   Обсудим смысл обращения импульса в бесконечность в области горизонта r ~ р. Выясним физический смысл этого факта. Этот вопрос тем более возникает в связи с квантово-механической задачей — ситуация внешне выглядит так, как если бы горизонт действовал как притягивающая область и может появиться мысль о ситуации падения частицы на горизонт, т. е. вообще - о незаконности постановки одночастичной задачи во внешнем кулоновском поле в пространстве-времени де Ситтера.
   Для прояснения этого вопроса найдем радиальную скорость, измеренную в собственном времени:

Рг - Mc ds -(1 — rc-) cdт, ds Р Р /
vr=( dr)’-M (1—Р-)⁻;

т. e.
            V      I(£ + e²/r)²   1+      L²   yq ~c^
             r C M     M²c⁴        у    M² c² r² ) \   p²/

На горизонте радиальная скорость равна

\Г - c

л/(е + e² / p)² Mc ²

-^ | е + p |< M²c⁴;

(1.14)



(1-15)



(1.16)