Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы

УДК 539.12:530.145.6

Плетюхов, В. А. Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени 
свободы / В. А. Плетюхов, В. М. Редьков, В. И. Стражев. – Минск : Беларуская 
навука, 2015. – 326 с. – ISBN 978-985-08-1886-7.

В книге изложены основные положения теории релятивистских волновых уравнений с расширенным (включая кратные) набором неприводимых представлений группы Лоренца. На основе развитого подхода рассматривается возможность описания внутренних степеней свободы, 
а также структуры элементарных частиц. Исследованы способы совместного описания частиц 
с ненулевой и нулевой массой в рамках не распадающихся по группе Лоренца уравнений. Приведена схема вторичного квантования РВУ с внутренними степенями свободы, соответствующими 
некомпактным группам симметрии. Существенное внимание уделено уравнениям дираковского 
типа, в первую очередь уравнению Дирака–Кэлера, причем не только в континууме, но и в решеточном пространстве. В книгу включены необходимые сведения из теории РВУ в подходе 
Гельфанда–Яглома и ковариантные методы Ф. И. Федорова.

Предназначена для научных работников и аспирантов, занимающихся вопросами физики 
элементарных частиц, классической и квантовой теории поля. Может быть использована в качестве учебного пособия.
Табл. 2. Библиогр.: 175 назв.

Р е ц е н з е н т ы:
доктор физико-математических наук М. И. Левчук,
доктор физико-математических наук, профессор И. Д. Феранчук

ISBN 978-985-08-1886-7
© Плетюхов В.А., Редьков В.М., 

Стражев В.И., 2015

© Оформление. РУП «Издательский дом 

«Беларуская навука», 2015

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

1.
Релятивистские волновые уравнения с минимальным набором представлений группы Лоренца . . . . . . . . . . . .
9

1.1. Основные положения теории РВУ  . . . . . . . . . . . . .
9

1.2. Релятивистские волновые уравнения для частиц с низшими 

спинами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17

1.3. К теории частиц со спином 3/2. . . . . . . . . . . . . . . .
23

1.4. Релятивистское волновое уравнение для частицы со спи- 
ном 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28

1.5. Частицы с переменным спином и составная структура ад- 
ронов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34

2. Релятивистские волновые уравнения с кратными представ
лениями группы Лоренца  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1. Анализ условий распадения РВУ с кратными представлениями  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43

2.2. РВУ с кратными представлениями для частиц со спинами  
0 и 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54

2.3. О физической неэквивалентности различных РВУ для 

частиц со спинами 0 и 1  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61

2.4. Волновые уравнения для спина 1/2 . . . . . . . . . . . . .
70

2.5. РВУ с кратными представлениями для частицы со спином 

3/2  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77

2.6. РВУ с кратными представлениями для S=2  . . . . . . . .
82

В.А. Плетюхов, В.М. Редьков, В.И. Стражев

3.
Кратные представления и внутренние степени свободы  
частиц. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91

3.1. Диракоподобные уравнения, поля с переменным спи
ном . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91

3.2. Уравнение Дирака–Кэлера как РВУ с кратными представле- 
ниями  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97

3.3. Об описании дираковских частиц с внутренними степенями свободы посредством тензорных полей . . . . . . . . .
104

3.4. Вещественное поле Дирака–Кэлера и дираковские час
тицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111

3.5. Обобщения уравнения Дирака–Кэлера . . . . . . . . . . .
117

3.6. Тензорная формулировка полевых систем с набором спиновых состояний 1, 2 и 0, 1, 2 . . . . . . . . . . . . . . . .
127

3.7. Об алгебраических обобщениях уравнения Дирака– 
Кэлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137

3.8. Внутренние степени свободы в теории частиц со спином  
3/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140

4.
Безмассовые калибровочно-инвариантные массивные поля 
в теории обобщенных РВУ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149

4.1. О совместном описании безмассовых полей с различными 

спиральностями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149

4.2. Безмассовые поля в теории Дирака–Кэлера . . . . . . . .
172

4.3. Массивные калибровочно-инвариантные поля в теории 

РВУ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
184

4.4. Совместное описание массивных и безмассовых полей. 

Выводы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
189

4.5. Механизм Кальба–Рамонда и теория РВУ . . . . . . . . .
193

5.
О связи спина и статистики в теории РВУ с внутренними 
степенями свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201

5.1. К вопросу о вторичном квантовании РВУ с использованием 

индефинитной метрики  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201

Релятивистские волновые уравнения …
5

5.2. Вторичное квантование РВУ с внутренними степенями 

свободы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
205

5.3. Вероятностная интерпретация теории. . . . . . . . . . . .
215

5.4. Квантование SU(1, 1)-инвариантных дираковского и скалярного полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
221

5.5. Квантование SU(2, 2)-инвариантного дираковского поля 

и поля Дирака–Кэлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
229

5.6. Квантовая формулировка алгебраических обобщений 

уравнения Дирака–Кэлера . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235

6.
Геометрические фермионы на решетке . . . . . . . . . . . .
241

6.1. Решеточное описание набора антисимметричных тензорных полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241

6.2. Симметрийные свойства дирак-кэлеровского решеточного 

лагранжиана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
246

6.3. Редукция решеточного лагранжиана и интерпретация внутренних степеней свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . .
250

6.4. О решеточной форме 16-компонентной теории Дирака . .
254

6.5. Матричная форма тензорных обобщений уравнения Дира
ка–Кэлера в решеточном пространстве . . . . . . . . . . .
256

6.6. Геометризованное введение массы и калибровочного взаимодействия в решеточной модели . . . . . . . . . . . . .
264

7.
Подход Гельфанда–Яглома в теории РВУ . . . . . . . . . . .
271

7.1. Уравнения, инвариантные относительно собственной 

группы Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
271

7.2. Уравнения, инвариантные относительно полной группы 

Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
278

7.3. Лагранжева формулировка . . . . . . . . . . . . . . . . . .
284

7.4. Масса и спин частицы, РВУ и структура матрицы Г4  . . .
291

7.5. Два типа уравнений для полей с нулевой массой. . . . . .
294

7.6. 2-компонентное уравнение для поля с нулевой массой, 

анализ в подходе Гельфанда–Яглома . . . . . . . . . . . .
297

В.А. Плетюхов, В.М. Редьков, В.И. Стражев

8.
Метод проективных операторов Ф. И. Федорова. . . . . . .
301

8.1. Усеченные минимальные полиномы. . . . . . . . . . . . .
301

8.2. Проективные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
302

8.3. Дефинитность энергии и заряда . . . . . . . . . . . . . . .
307

8.4. Расчет вероятности перехода частицы из одного состояния 

в другое  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
310

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
311

, , ,
, , .
-. . , , . -, . . , -, , (). ,  . . , . (), .
, , , , . 7

.. , .. , .. , (1/2, 0 1, 3/2). 19551957 . 1/2 , . , 1928 , (), . 1/2 . , . , , . 1960-1970-. . . . , . .
, . . , . . , . . , . . . . , -, . s , () . , , . . .

1.

1.1.
(), [1], [2, 3], [4, 5], -[6, 7], [8, 9], [10, 11].
,
. , , . , () ,
 ,
(Γµ∂µ + Γ0)ψ = 0
(µ = 1, ..., 4).
(1.1)

ψ , Γµ Γ0 9

.. , .. , .. ; gµν = diag(1, 1, 1, 1), x4 = ict. ,
Γ0 (det Γ0 ̸= 0), (1.1)
mΓ−1
0
(Γµ∂µ + mI)ψ = 0,
(1.2)

m , , I ().
(1.1) (1.2) :

(a) ;
(b) ;
(c) .

(1.2), (a)(c), ; (1.1), Γ0 , , , (a)(c) . (1.2) , (1.1) () .
, . (a) , T , .
1, τ ∼ (l1, l2) τ′ ∼ (l′
1, l′
2)
, l′
1 = l1 ± 1/2, l′
2 = l2 ± 1/2 (+ − ). (b) , T τ ∼
(l1, l2) ˙τ ∼ (l2, l1).

1, [12]

...
11

T , τ , (T) , T. , () .
(1.1), (1.2) Γ4 Γ0; ,
Γi (i = 1, 2, 3) Γ4 Ji4 T:

Γi = [Ji4, Γ4].
(1.3)

, (1.2), , Γ4 Γ4 = ⊕
∑

s
C s ⊗ I2s+1.
(1.4)

I2s+1 2s + 1; Cs .
Cs cs
ττ′; τ, τ′ , T; s | l1 − l2 |≤ s ≤ l1 + l2,
| l′
1 − l′
2 |≤ s ≤ l′
1 + l′
2.
(1.5)

cs
ττ′ τ, τ′. , (1.5),
, Cs. , s , , , Cs.
m(s)
k m ±λ(s)
k
Cs m(s)
k
=
m

| λ(s)
k
|
.
(1.6)

.. , .. , .. (a) cs
ττ′:

cs
ττ′ = cττ′
√

(s + l+ + 2)(s − l+ − 1), l′
+ = l+ + 1,
l′
− = l−,

cs
ττ′ = cττ′
√

(s + l− + 1)(s − l−), l′
+ = l+,
l′
− = l− + 1, (1.7)

cs
ττ′ = cττ′ (s + 1

2), l′
+ = l+,
l′
− = l−,

l+ = l1 + l2, l− =| l1 − l2 |,
l′
+ = l′
1 + l′
2, l′
− =| l′
1 − l′
2 |;

cττ′ () .
(b)cττ′ :

cs
ττ′ = cs
˙τ ˙τ′,
˙τ ̸= τ, ˙τ′ ̸= τ′;

cs
ττ′ = ±cs
˙τ ˙τ′,
˙τ = τ, ˙τ′ ̸= τ′,
(1.8)

˙τ ̸= τ, ˙τ′ = τ′.

(+) (1.8) (, ˙τ =
τ, ˙τ′ ̸= τ′) , P Rτ, Rτ′ Pξτ
sm = (−1)sξτ
sm,
Pξτ′
sm = (−1)sξ ˙τ′
sm,
(1.9)

(−) , Pξτ
sm = (−1)s+1ξτ
sm,
Pξτ′
sm = (−1)sξ ˙τ′
sm.
(1.10)

, (±) . τ = ˙τ, τ′ = ˙τ′ cττ′ ̸= 0 , P Rτ, Rτ′.
cττ′ .
L = − ¯ψ (Γµ∂µ + m) ψ,
(1.11)

...
13

(1.2), -¯ψψ = ψ+ηψ, η . η , (1.4):

η = ⊕
∑

s
ηs ⊗ I2s+1.
(1.12)

ηs ηs
τ ˙τ, ηs
τ ˙τ = ηs
˙ττ = −ηs±1
τ ˙τ .
(1.13)

η , , , , ηs

±1.
(c) (1.2) cs
ττ′ ηs
τ′ ˙τ′ = (cs
˙τ′ ˙τ)∗ ηs
τ ˙τ.
(1.14)

Γ4 (, Γµ) (1.2), ,
:

Γn
4 (Γ2
4 − λ2
1) (Γ2
4 − λ2
2)... = 0,
(1.15)

λk , n , .
(−1)n+1 [(
Sp (Γn+1
4
η)
)2 − (Sp (Γn
4η))2]
> 0,
(1.16)

(−1)n [(
Sp (Γn+1
4
η)
)2 − (Sp (Γn
4η))2]
> 0.
(1.17)

Γ0 , τ. , det Γ0 = 0, .

.. , .. , .. (b) , aτ Γ0 aτ = a ˙τ.
(1.18)

(c) -(1.18). ,
(1.1) Γ0
.
, (1.2) (1/2, 0 1, 3/2) , , .
. [3, 13] [13], -,
, -,  .
[14], 10 [15] [16] [17] 1/2, 3/2 2(0, 1

2) ⊕ 2(1

2, 0) ⊕ (1

2, 1) ⊕ (1, 1

2).
(1.19)

(0, 1/2) (1/2, 0) , 2. 3/2 [13].
[18, 19] γ(0, 3

2) − β(1

2, 1) − β(1, 1

2) − γ(3

2, 0)

|
|
(1.20)

α(0, 1

2) − α(1

2, 0)

2, [16].