Атомная и ядерная физика. Элементы квантовой механики. Практикум

АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА

ЭЛЕМЕНТЫ 
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

ПРАКТИКУМ

А.Г. БРАУН
И.Г. ЛЕВИТИНА

Допущено
Учебно-методическим Советом МАТИ в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по техническим направлениям
подготовки и специальностям

Москва
ИНФРА-М
2020

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

МОСКОВСКИЙ  АВИАЦИОННЫЙ  ИНСТИТУТ 
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ  ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ)

УДК 539.1(075.8)
ББК 22.3я73
 
Б87

Браун А.Г.
Атомная и ядерная физика. Элементы квантовой механики. Практикум : учебное пособие / А.Г. Браун, И.Г. Левитина. — Москва : 
ИНФРА-М, 2020. — 88 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — 
DOI 10.12737/11426.

ISBN 978-5-16-010798-1 (print)
ISBN 978-5-16-102699-1 (online)
В учебном пособии кратко изложена теория (основные понятия, определения, законы и формулы, которые необходимы для решения задач) 
по разделам «Атомная и ядерная физика» и «Элементы квантовой механики» курса общей физики, читаемого в технических вузах, и приведены 
задачи с решениями.
В каждом разделе приводится несколько типовых задач с подробным 
их решением, что даст возможность студентам ознакомиться с методами 
решения основных типов задач. Приведены контрольные тесты по всем 
разделам с ответами. Дан подробный разбор некоторых вариантов тестов.
Содержание пособия соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по дисциплине «Физика».
Учебное пособие предназначено для подготовки студентов к самостоятельному решению контрольных заданий и тестов.

УДК 539.1(075.8)
ББК 22.3я73

Б87

Р е ц е н з е н т ы:
В.К. Битюков — доктор технических наук, профессор, заслуженный 
работник высшей школы РФ, заведующий кафедрой теоретической 
радиотехники и радиофизики Московского государственного технического университета радиотехники, электроники и автоматики (МГТУ 
МИРЭА); 
С.А. Лычев — доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Лаборатории механики деформируемого твердого тела 
Института проблем механики имени А.Ю. Ишлинского Российской 
академии наук, профессор кафедры прикладной математики МГТУ 
имени Н.Э. Баумана

ISBN 978-5-16-010798-1 (print)
ISBN 978-5-16-102699-1 (online)
© МАИ, 2016
© Браун А.Г., Левитина И.Г., 2016

Содержание 

Введение .............................................................................................................................................. 5 

АТОМНАЯ ФИЗИКА ..................................................................................................... 7

Краткие теоретические сведения и основные формулы ................................................................. 7 

Опыт Резерфорда. Ядерная модель атома .................................................................................... 7 
Теория Бора для водородоподобных систем ................................................................................ 7 

Примеры решения задач ..................................................................................................................... 8 

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА .....................................................................................................10

Краткие теоретические сведения и основные формулы ............................................................... 10 

Состав и характеристика ядра ..................................................................................................... 10 
Масса и энергия связи ядер .......................................................................................................... 10 
Изменение энергии при ядерных реакциях ................................................................................ 11 
Радиоактивность ........................................................................................................................... 11 
Виды радиоактивного распада ..................................................................................................... 12 
Элементарные частицы ................................................................................................................ 13 

Примеры решения задач ................................................................................................................... 14 

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ................................................................17

Краткие теоретические сведения и основные формулы ............................................................... 17 

Волна де Бройля ............................................................................................................................ 17 
Соотношение неопределенностей Гейзенберга ......................................................................... 17 
Уравнение Шредингера ................................................................................................................ 18 
Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме ........................................... 19 
Потенциальный барьер ................................................................................................................. 20 
Гармонический осциллятор ......................................................................................................... 23 
Решение уравнения Шредингера для водородоподобного атома ............................................ 24 

Примеры решения задач ................................................................................................................... 26 

Волна де Бройля ............................................................................................................................ 26 
Соотношение неопределённостей Гейзенберга ......................................................................... 28 
Простейшие случаи движения микрочастиц .............................................................................. 30 

Одномерная прямоугольная «потенциальная яма» ............................................................... 30 
Потенциальный барьер ............................................................................................................. 31 

Атом водорода ............................................................................................................................... 33 

Тесты по квантовой механике ......................................................................................34

Тест 1 .................................................................................................................................................. 34 

Блок 1 ............................................................................................................................................. 34 
Блок 2 ............................................................................................................................................. 40 
Блок 3. Кейс-задание по квантовой механике ............................................................................ 43 

Тест 2 .................................................................................................................................................. 44 

Блок 1 ............................................................................................................................................. 44 
Блок 2 ............................................................................................................................................. 48 
Блок 3. Кейс-задание по квантовой механике ............................................................................ 51 

Тест 3 .................................................................................................................................................. 52 

Блок 1 ............................................................................................................................................. 52 
Блок 2 ............................................................................................................................................. 55 
Блок 3. Кейс-задание по квантовой механике ............................................................................ 58 

Тесты по ядерной физике .............................................................................................59

Тест 1 .................................................................................................................................................. 59 

Блок 1 ............................................................................................................................................. 59 
Блок 2 ............................................................................................................................................. 62 
Блок 3. Кейс-задание по ядерной физике ................................................................................... 64 

Тест 2 .................................................................................................................................................. 65 

Блок 1 ............................................................................................................................................. 65 
Блок 2 ............................................................................................................................................. 67 
Блок 3. Кейс-задание по ядерной физике ................................................................................... 69 

Тест 3 .................................................................................................................................................. 70 

Блок 1 ............................................................................................................................................. 70 
Блок 2 ............................................................................................................................................. 74 
Блок 3. Кейс-задание по ядерной физике ................................................................................... 76 

Примеры разбора тестов ............................................................................................... 78

Разбор. Тест 1. Квантовая механика ............................................................................................... 78 

Решение кейс задания по квантовой механике .......................................................................... 81 

Разбор. Тест 1. Ядерная физика ....................................................................................................... 82 

Решение кейс задания по ядерной физике ................................................................................. 84 

Ответы к тестам .............................................................................................................85

Тест 1 по квантовой механике ......................................................................................................... 85 
Тест 2 по квантовой механике ......................................................................................................... 85 
Тест 3 по квантовой механике ......................................................................................................... 86 
Тест 1 по ядерной физике ................................................................................................................ 86 
Тест 2 по ядерной физике ................................................................................................................ 86 
Тест 3 по ядерной физике ................................................................................................................ 87 

Библиографический список ..........................................................................................87

Введение 

Предлагаемое учебное пособие предназначено для подготовки 

студентов к самостоятельному решению контрольных заданий и тестов 
по разделам «Атомная и ядерная физика» и «Элементы квантовой 
механики» курса общей физики, читаемого в технических вузах. 
Данная работа является продолжением учебного пособия тех же 
авторов «Элементы квантовой механики и физики атомного ядра». 

Теоретическая часть пособия содержит краткий обзор основных 

понятий и соотношений по разделам «Атомная и ядерная физика» и 
«Элементы квантовой механики». Приводятся фундаментальные 
понятия, положения, уравнения, формулы, которые необходимы для 
решения задач по этим разделам. 

Целью теоретической части раздела является не дублирование 

лекционного курса, а напоминание основных понятий, определений, 
законов и формул, которые необходимы для решения задач. 
Предполагается, что, работая с данным руководством, студент будет 
пользоваться учебным пособием по теоретической части раздела. 

В каждом разделе приводятся типовые задачи с их подробным 

решением. Это даёт возможность студентам ознакомиться с методами 
решения основных типов задач и помочь им овладеть основными 
методами решения задач по указанным разделам. 

Для проверки знаний студентов разработаны контрольные тесты по 

всем разделам. Приведено 150 контрольных вопросов и заданий, 
распределённых по шести вариантам тестов. Каждый вопрос снабжён 
четырьмя вариантами ответов, из которых только один верный. 
Приведены правильные ответы для всех контрольных вопросов, что 
даёт возможность студентам проверить себя при самоподготовке. 
Тесты составлены трёхуровневого типа в соответствии с тремя 
уровнями компетенции. Каждому уровню соответствует свой блок. 
Блок первый соответствует уровню компетенции – «знать», блок 
второй соответствует уровню компетенции – «уметь», блок третий 
соответствует уровню компетенции – «владеть». 

Проводится подробный разбор нескольких вариантов тестовых 

заданий, 
что 
даёт 
студентам 
возможность 
самостоятельно 

подготовиться к тестированию. Студент разбирает примеры ответов на 
тестовые задания и затем самостоятельно отвечает на вопросы по 
остальным предложенным тестам. 

Содержание пособия соответствует требованиям федерального 

государственного 
образовательного 
стандарта 
высшего 

профессионального образования по дисциплине «Физика». 

АТОМНАЯ ФИЗИКА 

Краткие теоретические сведения и основные 

формулы 

Опыт Резерфорда. Ядерная модель атома 

В 1911 г. Резерфорд и его сотрудники исследовали рассеивание 

α-частиц при прохождении через тонкие металлические слои фольги. 
При прохождении через фольгу атомы отклонялись от первоначального 
направления движения под различными углами. Оказалось, что 
некоторое количество α-частиц рассеивается под очень большими
углами (почти до 180°). Резерфорд пришёл к выводу, что это возможно 
только в том случае, если внутри атома имеется чрезвычайно сильное 
электрическое поле, которое создаётся зарядом, связанным с большой 
массой и сконцентрированным в очень малом объёме. 

Основываясь на этом выводе, Резерфорд предложил ядерную 

модель атома. Атом представляет собой систему зарядов, в центре 
которой расположено тяжёлое положительно заряженное ядро с 
зарядом Ze, имеющее размеры, не превышающие 10–14 м, а вокруг ядра 
расположены Z электронов, распределённых по всему объёму, 
занимаемому атомом. Почти вся масса атома сосредоточена в ядре. 

Теория Бора для водородоподобных систем 

Первый постулат Бора: Существуют стационарные состояния 

атома, находясь в которых он не излучает энергию. Для таких 
состояний электрон в атоме, двигаясь по круговой орбите, должен 
иметь квантованные значения момента импульса, удовлетворяющие 
условию: 


n
r
m
Ln


v
e
(n =1, 2, 3…) 

где me – масса электрона, v – скорость его движения по орбите 
радиуса r, ћ = 1,05∙10–34Джс – постоянная Планка (иногда используют 
величину 


 2
h
, также называемую постоянной Планка), число n – 

номер состояния, оно называется главным квантовым числом. 

Второй постулат Бора: При переходе атома из стационарного 

состояния с номером n в стационарное состояние с номером m
испускается или поглощается один фотон с энергией: 

m
n
E
E 




или 

m
n
E
E
h



, 

где En и Em – энергия электрона на соответствующих орбитах, 

 2

h

, 

 – частота, 



2
. 

Обобщённая сериальная формула Бальмера: 








2
2

2
1
1
1

n
m

RZ
(m=1,2,3…; n= m+1, m+2,…), 

где R – постоянная Ридберга, m и n – главные квантовые числа, Z – 

порядковый номер химического элемента, λ – длина волны, 



c . 

Эта формула определяет длину волны света, излучаемого или 

поглощаемого атомом водорода (или водородоподобным ионом) при 
переходе из одного стационарного состояния в другое. 

Примеры решения задач 

Задача 1. Вычислить радиус первой орбиты атома водорода 

(боровский радиус) и скорость электрона на этой орбите. 

Решение. Радиус n-ой боровской орбиты и скорость электрона на 

ней связаны между собой уравнением первого постулата Бора 


n
r
m
Ln


v
e
. 

Запишем второй закон Ньютона для электрона, движущегося под 

действием кулоновской силы притяжения ядра по круговой орбите 

2
2

e
2

0

1
v

4

e
m

r
r



. 

Здесь ε0 – электрическая постоянная, 

r

2
v  – центростремительное 

ускорение. 

Решая совместно эти уравнения и учитывая, что 

 2

h

, получим 

2

e

2
2

0

e
m

n
h
r





,        
hn

e

0

2

2
v


. 

Если положить n = 1, то получим 

м/c
10
2.2
v
;
м
10
53
.0
6

1

10

1





r
. 

Ответ: 
м/c
10
2.2
v
;
м
10
53
.0
6

1

10

1





r
. 

Задача 2. Найти период обращения электрона на первой боровской 

орбите в атоме водорода и его угловую скорость. 

Решение. Воспользуемся выражением для периода обращения 

электрона по орбите 

v

2 r
T



и подставим в него скорость электрона на первой боровской орбите, 
записав её на основании условия квантования момента импульса в виде: 

1
e

1
2
v
r
m
h



. 

Тогда получим: 

h

r
m
π
T

2
1
e

2

1

4

. 

Подставляя в эту формулу численные значения радиуса первой 

боровской орбиты, массы электрона и постоянной Планка, находим 
период обращения электрона по орбите T = 1,4∙10–16 c. Угловая 
скорость обращения электрона равна: 

T



2 =4,4∙1016 рад/c. 

Ответ: T = 1,4∙10–16 c,  = 4,4∙1016 рад/c. 

Задача 3. Определить для атома водорода и иона He+ длину волны 

головной линии серии Лаймана. 

Решение. Воспользуемся 
обобщённой 
сериальной 
формулой 

Бальмера: 








2
2

2
1
1
1

n
m

RZ
(m = 1,2,3…; n = m + 1, m + 2,…), 

где R – постоянная Ридберга, m и n – главные квантовые числа, Z – 
порядковый номер химического элемента. 

Для серии Лаймана m = 1, n = 2,3…. Для головной линии этой 

серии n = 2. Поэтому из общей формулы для головной линии получаем: 

2

4
3
1
RZ


. Расчёты длины волны с использованием этого выражения 

дают: 1) для атома водорода (Z = 1) λH = 0,12 мкм; 2) для иона He+

(Z = 2) λHe = 0,03 мкм. 

Ответ: 1) λH = 0,12 мкм; 2) λHe = 0,03 мкм. 

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА 

Краткие теоретические сведения и основные 

формулы 

Состав и характеристика ядра 

Ядро состоит из частиц двух типов: протонов и нейтронов. 

Протоны и нейтроны объединяют общим названием нуклонов. 

Протон представляет собой ядро простейшего атома – атома 

водорода. Он имеет положительный заряд 
19

p
10
6,1




 e
q
Кл и массу 

27

p
10
6726
,1



m
 кг. 
Отметим, 
что 
масса 
протона 

938
1836
e
p


m
m
 МэВ. 

Нейтрон электрически нейтрален (
0
n 
q
), а его масса равна 

27

n
10
6750
,1



m
 кг. 
p
n
МэВ
55
,
935
m
m


. 

Основными 
величинами, 
характеризующими 
атомное 
ядро, 

являются зарядовое Z и массовое A числа. Зарядовое число Z равно 
количеству протонов в ядре и определят заряд ядра. Число Z определяет 
положение химического элемента в таблице Менделеева, его называют 
атомным номером. 

Массовое число A определяет число нуклонов в ядре. Число 

нейтронов в ядре: N = A – Z. 

Для обозначения ядер применяют символ: 
A

Z X  или 
X
A
Z
, где под X

подразумевается химический символ данного элемента. 

Ядра, содержащие одинаковое число протонов, но различное число 

нейтронов, называют изотопами. 

Радиус ядра определяется соотношением r = r0 A1/3, где r0 – 

коэффициент пропорциональности, который можно считать для всех 
ядер постоянным и равным r0 = 1,3∙10-15 м.

Масса и энергия связи ядер 

Масса ядра mя всегда меньше суммы масс входящих в него частиц. 

Это обусловлено тем, что при объединении нуклонов в ядро выделяется 
энергия связи нуклонов друг с другом: 









,
a
n
1
H
1

2

e
e
p

2

я
n
p

2

n
p

2

)
(

)
(
)
(

)
(
св




























m
m
Z
A
m
Z
c

m
Z
m
m
Z
A
Zm
m
Z
с

m
m
Z
A
m
Z
с
m
m
N
m
Z
с
Е

я
n

я

где 
e
я
a
m
Z
m
m


 – масса данного атома (изотопа). 

Энергия связи нуклонов в ядре равна работе, которую нужно 

совершить, чтобы разделить ядро на нуклоны, и удалить их на такие 
расстояния, где они практически не взаимодействуют друг с другом. 

Величина 

a
n
1
H
1
я
n
p
)
(
)
(
m
m
Z
A
m
Z
m
m
Z
A
m
Z










называется дефектом массы ядра. 

2
св
с

Е


. 

Удельной энергией связи в ядре называют энергию связи, 

приходящуюся на один нуклон: 

А
Есв
. 

Изменение энергии при ядерных реакциях 

Ядерные реакции могут сопровождаться как поглощением, так и 

выделением энергии. Энергия, выделяющаяся в результате реакции 
(тепловой эффект реакции), рассчитывается по формуле 








2
1

2
m
m
с
Е
, 

где 
1
m  – сумма масс частиц изотопов до реакции, 


2
m  – сумма масс частиц изотопов после реакции. 

Если 


2
1
m
m
 – реакция идет с выделением энергии 

(экзотермическая реакция), а если 


2
1
m
m
 – реакция идет с 

поглощением энергии (эндотермическая реакция).

Радиоактивность 

Радиоактивность – самопроизвольное превращение одних атомных 

ядер в другие, сопровождаемое испусканием элементарных частиц. 

Закон радиоактивного превращения: 

t
e
N
N



0
. 

Здесь: N0 – количество нераспавшихся ядер в момент времени t = 0, 

N – количество нераспавшихся ядер в момент времени t, λ – постоянная 
распада. 

Число нераспавшихся ядер убывает экспоненциально со временем. 
Количество ядер N, распавшихся за время t, равно: 



t
e
N
N
N
N







1
0
0
. 

Время, 
за 
которое 
распадается 
половина 
первоначального 

количества ядер, называется периодом полураспада T. 

При t = T имеем: 

0
2
1 N
N 
,      
T
e
N
N



0
0
2
1
,      
T
e 


2
1
,      


2
ln
T
,      
T

2
ln


. 

Число ядер, распадающихся в единицу времени, называется 

активностью радиоактивного элемента: 

N
T
N
dt
dN
2
ln



. 

Единица измерения радиоактивности – распад/с 

Ku
1
Кюри
1
с

распад
10
7,3
10



. 

Виды радиоактивного распада 

Альфа-распад – превращения атомных ядер, происходящие с 

испусканием -частиц       
He
Y
X
4
2

4
2 
 



A
Z

A
Z
. 

Каждый -распад уменьшает массовое число материнского ядра на 

четыре единицы, а зарядовое – на две, то есть дочернее ядро 
оказывается в периодической системе Менделеева на две клетки левее 
материнского. 

Квантовая механика рассматривает 
-распад как результат 

прохождения -частицы сквозь потенциальный барьер, то есть как 
результат туннельного эффекта. 

Бета-распад. Так называют самопроизвольный процесс, в котором 

исходное ядро превращается в другое ядро с тем же массовым 
числом A, но с зарядовым числом Z, отличающимся от исходного на +1 
или –1. Это связано с тем, что β-распад сопровождается испусканием 
электрона (позитрона) или его захватом из оболочки атома. Позитрон – 
античастица по отношению к электрону, которая отличается от 
электрона только знаком заряда. 

Различают три разновидности бета-распада: