Лекции по дифференциальному исчислению

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА

МОСКОВСКАЯ  ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ 

ВОДНОГО ТРАНСПОРТА 

филиал Федерального государственного бюджетного 
образовательного учреждения высшего образования 

«Государственный университет морского и 

речного флота имени адмирала С.О. Макарова» 

Логинов В.А. 

 
ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ 
ИСЧИСЛЕНИЮ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 

2019 

УДК 514 
Л-69 
 
Логинов В.А. Лекции по дифференциальному исчислению.— М. МГАВТ, 
2019.— 96 с. 
 
Курс лекций по дифференциальному исчислению подготовлен доцентом 
кафедры Естественнонаучных и математических дисциплин  Московской государственной академии водного транспорта, кандидатом технических наук В.А. 
Логиновым.  
Лекции предназначены для студентов МГАВТ, обучающихся по специпльностям 26.03.01 «Управление водным транспортом и гидрографическое обеспечение судоходства» и 38.03.02 «Менеджмент»  (уровень высшего образования 
— бакалавриат) и  полностью соответствует учебным программам по дисциплине «Математика». 
Изложены теория пределов последовательностей и функций, основы дифференциального исчисления функции одной переменной, приложения производной к исследованию функций и построению их графиков. Даны основы 
дифференциального исчисления функций многих переменных. 
 
Рецензенты: кандидат технических наук, зав. кафедрой прикладной математики Российского технологического университета МИРЭА Дзержинский 
Р.И.; кандидат педагогических наук, доцент кафедры естественнонаучных и математических дисциплин МГАВТ Мацур Ф.К.. 
 
Рекомендовано к изданию Учебно–методическим советом МГАВТ. 
Рассмотрено и рекомендовано к использованию в учебном процессе на заседании кафедры ЕНМД  МГАВТ (протокол №7 от 22 февраля 2019 года). 
 
Ответственность за оформление и содержание  передаваемых в печать 
материалов несут авторы и кафедры академии, выпускающие учебнометодические материалы. 
 
 
 
©МГАВТ,2019 
©Логинов В.А.,2019 
 
 
 
 
 
 

 
 

Содержание 
ПРЕДИСЛОВИЕ  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  5 
1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  6 
1.1. Последовательность и ее предел. Основные теоремы о 
пределах  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  6 
1.1.1. Предел последовательности .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  6 
1.1.2. Бесконечно малые последовательности .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  9 
1.1.3.Теоремы о бесконечно малых последовательностях  .  .  .  .  . 10 
1.1.4. Основные теоремы о пределах .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 10 
1.1.5. Число е  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 12 
1.2. Функция. Основные элементарные функции. Предел и 
непрерывность функции  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 13 
1.2.1. Понятие о функции .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 13 
1.2.2. Основные элементарные функции .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 14 
1.2.3. Определение предела функции.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 22 
1.2.4. Непрерывность функции в точке .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 25 
1.2.5. Односторонние пределы.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 26 
1.2.6. Два замечательных предела .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 28 
1.2.7. Примеры вычисления пределов  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 28 
1.2.8. Эквивалентные бесконечно малые функции и их  
применение для вычисления пределов .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 29 
1.2.9. Точки разрыва функции .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 31 
1.2.10. Функции, непрерывные на отрезке  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 34 
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ  ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ 
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 34 
2.1. Производная. Ее физический и геометрический смысл. .  .  .  . 34 
2.2. Основные правила и формулы дифференцирования .  .  .  .  .  . 38 
2.3. Дифференциал функции  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 39 
2.4. Производная сложной функции, обратной функции,  
функции, заданной параметрически .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 40 
2.5.  Уравнения касательной и нормали к графику функции.  .   .  . 44 
2.6.  Производные высшего порядка. Формула Лейбница .   .  .  .  . 44 
2.7. Возрастание и убывание функции в окрестности точки. 
Локальный экстремум  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 48 
2.8. Критерии возрастания и убывания функции на  
интервале.Теорема о производной функции,  
возрастающей на отрезке .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 50 
2.9. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя  .  .  .  .  .  . 50 
2.10.  Исследование функции одной переменной .  .  .  .  .  .  .  .  . 53 

2.10.1. Отыскание участков монотонности функции  .  .  .  .  .  .  . 54 
2.10.2.  Отыскание точек возможного экстремума  .  .  .  .  .  .  .  . 54 
2.10.3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба .  .  .  .  . 57 
2.10.4. Асимптоты графика функции  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 60 
2.10.5.  Общая схема исследования функциии и  построе- 
ния  ее графика  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 63 
2.11. Наибольшее и наименьшее значения функции, 
непрерывной на отрезке  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 66   
3. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ  .  .  .  .  .  .  .  .  . 67 
3.1. Примеры функций нескольких переменных  .  .  .  .  .  .  .  .  . 67 
3.2. Определение функции двух переменных. Область  
определения функции двух переменных  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 67 
3.3. Геометрическое изображение функции двух 
переменных .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 68 
3.4. Предел и непрерывность функции двух переменных  .  .  .  .  . 69 
3.5. Частные приращения и частные производные  .  .  .  .  .  .  .  . 71 
3.6. Полное приращение и полный дифференциал.        
Использование дифференциала для приближенных     
вычислений .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 73 
3.7. Сложная функция и ее полная производная  .  .  .  .  .  .  .  .  . 76 
3.8. Производная неявно заданной функции  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 79 
3.9. Частные производные высших порядков .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 81 
3.10. Производная по направлению  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 82 
3.11. Градиент .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 86 
3.12. Экстремум функции двух переменных  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .89  
3.13. Условный экстремум функции многих переменных  .  .  .  .  .92 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Настоящий курс лекций соответствует утвержденным рабочим 
программам по дисциплине «Математика» для студентов МГАВТ 
специальностей 26.03.01 «Управление водным транспортом и гидрографическое обеспечение судоходства» и 38.03.02 «Менеджмент». 
В лекциях отражены разделы высшей математики,  изучаемые 
студентами во II семестре: теория пределов последовательностей и 
функций, основы дифференциального исчисления функции одной переменной, приложения производной к исследованию функций и посроению их графиков, основы дифференциального исчисления функций многих переменных. 
В качестве задачника для практических занятий автор рекомендует «Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов» 
под редакцией Б.П. Демидовича, а также задачник П.Е. Данко, А.Г. 
Попова и Т.Я. Кожевниковой «Высшая математика в упражнениях и 
задачах», часть I. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 
 
1.1. Последовательность и ее предел. Основные теоремы о 
пределах 
    
1.1.1. Предел последовательности 
Определение. 
Если каждому числу n натурального ряда чисел 1,2, …, n, … ставится в соответствие по определенному закону некоторое действительное число xn, то множество занумерованных чисел x1, x2, …, xn, … 
будем называть последовательностью. Числа xn называются членами 
или элементами последовательности. 
Примеры последовательностей: 
1) 
)
1
n
(
d
a
a
1
n
−
+
=
 — арифметическая прогрессия; 
1a  и d  — 
ее первый член и разность. Каждый член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену одного и того же числа: 
 
      
(
).
,...
2,1
k
d
a
a
k
1
k
=
+
=
+
 
  
    2) 

1
n
1
n
q
b
b
−
⋅
=
— геометрическая прогрессия; 
1b  и q— ее первый 
член и знаменатель. Каждый член, начиная со второго, получается 
умножением  предыдущего члена на одно и то же число: 
 

(
).
,...
2,1
k
q
b
b
k
1
k
=
⋅
=
+
 
 
   Примеры других последовательностей: 





,
13
6
,
5
2
,
7
2
;
4
n
3
n
2
x

,
3
1
,
2
1
,1
;
n
1
x

n

n

+
=

=

 

Обычно последовательности обозначают символом { } { } { }
n
n
a
,
x
:
 
и т.д. 
Понятие предела последовательности связано с поведением  последовательности при 
.
n
∞
→
 
 
Определение. 

Число 
A 
называется 
пределом 
последовательности 

{ }
0
,
xn
>
ε
любого
для
если
 найдется такой номер 
)
(
N
N
ε
=
, что для 
всех натуральных n>N выполняется неравенство 
.
A
xn
ε
<
−
 
При этом записывают: 
.
n
A
x
A
x
lim
n
n
n
∞
→
→
=
∞
→
при
или
 

Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся, в 
противном случае ее называют расходящейся. 
Отметим следующие два обстоятельства: 
1) Неравенство 
ε
<
− A
xn
 означает, что 
.
A
x
A
n
ε
ε
+
<
<
−
  

Интервал (
)
ε
ε
+
−
A
,
A
 называется ε − окрестностью точки A.  Таким образом, если последовательность сходится, то при любом 
0
>
ε
 
начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся внутри ε — окрестности  точки А; 
2) 
Номер, 
начиная 
с 
которого 
все 
члены 
попадают 
в 

A
точки
ь
окрестност
−
ε
, зависит от выбранного значения 
:
ε

).
(
N
N
ε
=
 
 
Примеры: 

1) Рассмотрим последовательность 

,
3
1
,
2
1
,1
,
n
1
т.е.


. 

Покажем, что число 0 является пределом этой последовательности, 

т.е. что 
.0
n
1
lim
n
=
∞
→
 В соответствии с определением предела это означа
ет, что для любого 
0
>
ε
 необходимо найти 
)
(
N
N
ε
=
, так чтобы при 

n>N 
ε
<
− 0
n
1
, т.е. 
.
1
n
n
1
ε
ε
>
<
или
  

Пусть 
01
,
0
=
ε
. Тогда 
100
n
100
1
>
=
при
и
ε
 все члены, начиная 

с 101-го будут меньше, чем 0,01. Почему? Потому что при n 101 

01
,
0
x
102
1
x
102
n
,
01
,
0
101
1
x
101
102
101
<
<
=
=
<
=
при
 и т.д. Действи
тельно, все члены, начиная со 101, оказываются меньше, чем 0,01. 
Как это выглядит геометрически? 
             
 
 
 
x
0,01
0

x101

В интервал (0; 0,01) попадает бесконечное число членов последовательности, причем ни один из них из этого интервала не выходит. 

Пусть 
.
001
,
0
=
ε
 Тогда 
1000
1 =
ε
 и картина будет такая: 

              
 
 
 
 
Начиная с номера 1001, все члены последовательности попадают в 
интервал (0; 0,001). 

А если 
о?
произвольн
ε
 Тогда поступим так: поскольку ε
1  может 

оказаться 
числом 
не 
целым, 
то 
положим 

ε
ε
ε
ε
1
1
,1
1
)
(
N
часть
целая
где
−




+




=
 (дробная часть отброшена). 

Тогда при 
)
(
N
n
ε
>
 все члены последовательности находятся в интервале 
).
;
0
(
ε
  

Таким образом, мы показали, что, выбирая 
1
1
)
(
N
+




= ε
ε
, получа
ем, что для всех 
)
(
N
n
ε
>
,
0
1
ε
<
−
n
т.е. число 0 является пределом 

нашей последовательности и мы можем записать:                

                                             
0
n
1
lim
n
=
∞
→
. 

   В приведенном примере все члены нашей последовательности 
оказываются больше, чем предел и стремятся к нему при 
∞
→
n
, 
приближаясь справа. Но это совсем не обязательно. 
 

2) Пусть 
(
) ,
n
1
x

n

n
−
=
 
т.е. 
имеем 
последовательность 


,
4
1
,
3
1
,
2
1
,1
−
−
. 

При этом 
0
x
lim
n
n
=
∞
→
 также. Но как ведут себя члены последователь
ности? 
                   

x
0,001
0

x1001

Члены последовательности “сгущаются” около 0, оказываясь попеременно то справа, то слева от предельного значения. Но если 
взять любую  ε - окрестность  точки 0 (а именно это утверждается в 

определении предела), то для 
1
1
n
+




> ε
 все члены последователь
ности оказываются в этой ε  - окрестности  нуля. 
 
3) Приведу примеры расходящихся последовательностей: 
a) 
n
xn =
;                      1, 2, …. 
Ни к какому конечному числу эта последовательность не стремится. 
б) 
;
)
1
(
1
x
n

n
−
+
=
                 0, 2, 0, 2,0, 2, … . 
                   
 
Казалось бы, в точках 0 и 2 имеются “сгущения”, но в любую ε  - 
окрестность этих точек все члены, начиная с некоторого номера N, 
не попадают. Последовательность расходится. 
 
1.1.2 .Бесконечно малые  последовательности 
 
Определение. 
Последовательность {
}
n
α
 называется бесконечно малой, если для 
любого 
0
>
ε
можно указать номер 
)
(
N
N
ε
=
 такой, что при 
N
n ≥
 
все члены 
n
α  этой последовательности удовлетворяют неравенству 

ε
α <
n
. 
 
Примеры: 
1) Последовательность { }
n
q
 при 
1
q <
 является бесконечно малой (доказать самостоятельно). 

2) Покажем, что 



n
1  — бесконечно малая последовательность. В 

самом деле, если 
.
N
1
n
1
,
N
n
≤
≥
то
 Поэтому по заданному ε  достаточ
x
0
x2
x4
x3
x1

x
0
2

но выбрать номер N из условия 
)
1
1
N
(
N
1
+




=
<
ε
ε
. Тогда при 

ε
≤
≤
=
≥
N
1
n
1
x
N
n
n
 и утверждение доказано. 

 
Теорема (без доказательства). 
Если 
}
{
nx  — сходящаяся последовательность и 
,
a
x
lim
n
n
=
∞
→
то 

{ }
{
}
a
xn
n
−
=
α
 — бесконечно малая последовательность. 
 
1.1.3. Теоремы о бесконечно малых последовательностях 
 
Теорема 1. 
Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. 
Теорема 2. 
Разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. 
 
Следствие. 
Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых 
последовательностей есть бесконечно малая последовательность. 
Теорема 3. 
Произведение ограниченной последовательности на бесконечно 
малую последовательность представляет собой бесконечно малую 
последовательность. 
 
Следствие. 
Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность. 
 
1.1.4. Основные теоремы о пределах 
 
Теорема 1. 
Сходящаяся последовательность имеет только один предел. 
 
Доказательство: 
                        

Предположим, что сходящаяся последовательность 
}
{
nx   имеет 
два предела a и b. Выберем возле точек a и b на числовой оси интервалы (c, d) и (e, f), настолько малые, чтобы они не пересекались. 
Если пределом является число а, то это означает, что, начиная с 
некоторого номера все члены последовательности попадают в интервал (
)
d,c
, содержащий точку а. Но это также означает, что в интервал (
)
f,e
, содержащий точку b, эти члены не попадают. Это и доказывает, что сходящаяся последовательность может иметь только один 
предел. Теорема доказана. 
 
Еще несколько теорем о пределах. Пусть даны две сходящихся 
последовательности 
}
{
nx  и 
}
{
ny . 
 

Значения 
)
n
0
y
(
y
x
и
y
x
,
y
x
,
y
x
n

n

n
n
n
n
n
n
n
всех
при
если
≠
⋅
−
+
 оп
ределяют последовательности {
} {
} {
}








⋅
−
+

n

n
n
n
n
n
n
n
y
x
и
y
x
,
y
x
,
y
x
. 

Справедливы равенства: 
 

n
n
n
n
y
lim
x
lim
)
y
x
(
lim
±
=
±
;                       (1) 

n
n
n
n
y
lim
x
lim
)
y
x
(
lim
⋅
=
⋅
;                          (2) 

n

n

n

n
y
lim
x
lim
y
x
lim
=
, если 
0
y
lim
n ≠
.                   (3) 

 
Эти формулы фактически задают арифметические действия с переменными, имеющими предел. 
Таким образом, арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же операциям над их пределами. Этот очень важный вывод поможет вычислять пределы различных последовательностей.  
Оказывается, что если элементы (члены) сходящихся последовательностей удовлетворяют некоторым неравенствам, то таким же неравенствам удовлетворяют и пределы их последовательностей. 
 
 

x
c   a   d
e   b   f

Теорема. 
Если элементы сходящейся последовательности 
}
{
nx , начиная с 
некоторого номера, удовлетворяют неравенству 
)
b
x
(
b
x
n
n
≤
≥
, то и 
предел  a этой последовательности удовлетворяет неравенству 

)
b
a
(
b
a
≤
≥
. 
 
Следствие 1. 
Если элементы 
nx  и 
ny  сходящихся последовательностей, начиная 
с некоторого номера, удовлетворяют неравенству 
n
n
y
x ≤
, то и их 
пределы удовлетворяют такому же неравенству 
n
n
n
n
y
lim
x
lim
∞
→
∞
→
≤
. 

 
Следствие 2. 
Если все элементы сходящейся последовательности 
}
{
nx  находятся на отрезке [
]
b,
a
, то и ее предел С также находится на этом отрезке. 
 
 
Теорема. 
Пусть 
}
{ nx
 и 
}
{ nz
 — сходящиеся последовательности, имеющие 
общий предел a. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, 
элементы последовательности 
}
{
ny
 удовлетворяют неравенствам 

.
z
y
x
n
n
n
≤
≤
 Тогда последовательность 
}
{
ny
 сходится и имеет предел 
a. 
 
1.1.5. Число е 
   В теории пределов последовательностей доказывается один замечательный предел: 

                               

n

n
n
1
1
lim
e



 +
=
∞
→
, 

где 

59045
7182818284
,
2
e =
 — иррациональное число, играющее в 
математике важную роль. В частности, это число является основанием так называемых натуральных логарифмов: 
 
                         
x
log
x
ln
e
=
.