Теория вероятностей и основы математической статистики

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА

МОСКОВСКАЯ  ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ 

ВОДНОГО ТРАНСПОРТА 

филиал Федерального государственного бюджетного 
образовательного учреждения высшего образования 

«Государственный университет морского и 

речного флота имени адмирала С.О. Макарова» 

 
 

 
 
 
 
 
Махова Н.Б. 
 
 
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ОСНОВЫ 
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 
 
Курс лекций 
 

 

 

 

 

 

 

 

Москва 

2019 

УДК 629.12.52(075.3) 
Махова Н.Б. Теория вероятностей и основы математической статистики. Курс лекций.— М: МГАВТ, 2019.— 84 с. 
Теория вероятностей изучает не сами явления, протекающие в природе, 
обществе, а их математические модели, т.е. описания явлений при помощи определенного набора строго определенных символов и операций над ними, при 
этом для построения математической модели реального явления во многих случаях достаточно учитывать только основные факторы, закономерности, которые позволяют предвидеть результат эксперимента по его заданным начальным 
условиям. Этим занимаются большинство математических и других дисциплин. 
Однако есть множество задач, для решения которых необходимо учитывать и 
случайные факторы, предающие исходу опыта элемент неопределенности. Например, в задачах о подходе пароходов к причалу в определенный временной 
промежуток невозможно без учета случайных факторов ответить на вопрос, 
сколько времени придется ожидать одному из пароходов освобождения причала. Невозможно предсказать, сколько времени проработает купленный нами телевизор, сколько студентов опоздают на лекцию по теории вероятностей, какова вероятность отказа того или иного элемента двигателя и т.д. Такие задачи, 
исхода которых нельзя предсказать полной уверенностью, требуют изучения не 
только основных закономерностей, определяющих явления в общих чертах, но 
и случайных, второстепенных факторов. Выявленные в таких опытах закономерности называются вероятностными.  
Вероятностные закономерности исследуются методами специального раздела 
математической дисциплины теории вероятностей и математической статистики. 
 
Рецензенты: к.т.н. доц. каф. ПК Ледовская Е.В. 
 
Рекомендовано к изданию учебно-методическим советом МГАВТ. 
 
Рассмотрено и рекомендовано к использованию в учебном процессе на заседании кафедры ЕНМД (протокол №7 от 19 марта 2019 г.). 
 
Ответственность за оформление и содержание передаваемых в печать 
материалов несут авторы и кафедры академии, выпускающие учебнометодические материалы. 
©МГАВТ, 2019 
©Махова Н.Б., 2019

Содержание 

Тема 1. Предмет теории вероятностей 
1.1 Основные понятия теории вероятностей  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 5 
1.2 Основные формулы комбинаторики .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 7 
1.3 Классическое и статистическое определение вероятности  .  .  .  .  .  .  . 8 
1.4 Геометрическая вероятность. Задача Бюффона .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 9 
Тема 2. Основные теоремы теории вероятностей 
2.1 Теорема сложения вероятностей несовместных событий .  .  .  .  .  .  .  .12 
2.2 Теорема сложения вероятностей совместных событий .  .  .  .  .  .  .  .  .13 
2.3 Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Условная вероятность .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .15 
2.4 Теорема умножения вероятностей независимых событий  .  .  .  .  .  .  .17 
2.5 Вероятность появления хотя бы одного события .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .18 
2.6 Формула полной вероятности  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .19 
2.7 Вероятность гипотез. Формула Байеса .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .20 
Тема 3. Повторные испытания 
3.1 Формула Бернулли .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .27 
3.2 Локальная теорема Лапласа  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .23 
3.3 Интегральная теорема Лапласа .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .23 
3.4 Теорема Пуассона  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .24 
3.5 Вероятность отклонения относительно частоты от постоянной 
вероятности при независимых испытаниях .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .25 
Тема 4. Дискретная случайная величина и ее  закон распределения. 
4.1 Биномиальное распределение  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .28 
4.2 Закон распределения Пуассона. Простейший поток событий .  .  .  .  .  .30 
4.3 Геометрическое распределение .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .32 
4.4 Гипергеометрическое распределение  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .33 
Тема 5. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины   
5.1 Математическое ожидание и его свойства .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .34 
5.2 Математическое ожидание числа появлений события в n независимых испытаниях  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .37 
5.3 Дисперсия и ее свойства .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .37 
5.4 Дисперсия числа появления события в n независимых испытаниях.  .  .  .41 
5.5 Среднее квадратическое отклонение .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .41 
5.6 Мода. Медиана. Начальные и центральные теоретические моменты  .  .  .43 

Тема 6. Непрерывная случайная величина и ее законы распределения 
6.1 Плотность распределения и ее свойства  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .50 
6.2 Закон равномерного распределения вероятностей  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .52 
6.3 Нормальный закон распределения. Правило трех сигм  .  .  .  .  .  .  .  .54 
6.4 Вероятностные (срединные) отклонения  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .57 
6.5 Показательный закон распределения. Функция надежности  .  .  .  .  .  .60 
6.6 Функция одного случайного аргумента и ее распределение   .  .  .  .  .  .63 
6.7 Функция двух случайных аргументов  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .64 
Тема 7. Предельные теоремы теории вероятностей 
7.1 Применение предельных теорем. Центральная предельная теорема  .  .  .66 
7.2 Лемма Чебышева. Теорема Чебышева  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .68 
Тема 8. Система двух случайных величин 
8.1 Функция распределения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .69 
8.2 Плотность совместного распределения вероятностей  .  .  .  .  .  .  .  .  .70 
Тема 9. Элементы математической статистики 
9.1 Генеральная и выборочная совокупность .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .72 
9.2 Статистическое распределение выборки  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .73 
9.3 Эмпирическая функция распределения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .73 
9.4 Полигон и гистограмма .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .75 
9.5 Статистические оценки параметров распределения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .76 
9.6 Смещенные, несмещенные, эффективные и состоятельные оценки .  .  .  .76 
9.7 Точечность оценки, доверительная вероятность  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .77 
9.8 Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .78 
9.9 Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения от нормального распределения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .78 
9.10 Основные характеристики вариационного ряда .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .79 
Список литературы  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .81 
 
 
 
 
 
 
 

Тема 1

Предмет теории вероятностей

1.1 Основные понятия теории вероятностей

 
 Теория вероятности есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. В научных исследованиях, технике мы часто встречаемся с опытами, операциями или явлениями, многократно повторяющимися в 
неизменных условиях. Но несмотря на постоянство основного комплекса условий, результаты их всегда более или менее разнятся друг от друга, то есть они 
испытывают случайное рассеивание. Совершенно очевидно, что в природе нет 
ни одного физического явления, в котором не присутствовали бы в той или 
иной мере элементы случайности. 
 Случайными факторами могут быть случайные вибрации отдельных частей прибора, различные не учитываемые изменения в среде и т.д. 
Хотя результат каждого отдельного измерения при наличии случайного 
рассеивания заранее невозможно предсказать, это не означает, что нет никакой 
закономерности. Математически она описывается нормальной кривой распределения. Одна из основных особенностей, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях. 
На участке от а-σ до а+σ средняя доля всей массы произведенных повторных испытаний равна 0,682 (68,2%). В границах от а-2σ до а+2σ размещается в 
среднем 0,954 (95,4%) всех измерений, а далее от а-3σ до а+3σ – 0,9973 
(99,73%) 
За пределы «трехсигмовья» выходит лишь 0,27% всего числа измерений. 
a и σ это параметры нормальной кривой. Если, например, теми же приборами будем измерять другой объект, то центр группирования сместится. 
Изменение объектов исследования влияет на изменение формы кривой, т.е. 
σ характеризует размах случайных колебаний, присущий данному методу измерения (точность изготовления) 
При увеличении точности измерения (уменьшается σ) результаты теснее 
группируются около центра. 

Кривая Гаусса

Преимущество применения нормального закона распределения в практике 
заключается в том, что он учитывает все отдельные случайные события, независимо от того, каким законом они получены. Особенности этих распределений 
в сумме большого числа слагаемых нивелируются, и сумма оказывается подчинена закону, близкому к нормальному. Это важно при анализе работы элементов конструкции, при расчете числа циклов до разрушения, длительности повреждения и т.д. 
Выбор средних показателей, оценка их точности, надежности, сравнение 
точности двух методов измерений — все это задачи теории случайных ошибок. 
Ее математическим основанием является закон нормального распределения. 
Закономерность случайного рассеивания, выражаемая нормальной кривой 
распределения, носит довольно общий характер. Одним из примеров является 
попадание снарядов при артиллерийской стрельбе. 
Рассеивание точек попадания снарядов, выпущенных из одного и того же 
орудия при неизменном процессе, как правило, описывается нормальной кривой. 
При этом параметр а определяет центр рассеивания, отвечающего 
данному прицелу. 
Параметр σ характеризует точность стрельбы в данных условиях. Так же 
еще одним из примеров применения нормального закона распределения является выпуск изделий личного потребления (одежда, обувь), распределение по 
размерам, с учетом относительной величины спроса на изделие. 

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых, однородных случайных событий. 

Виды событий

Достоверное

- событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществляться 
определенная совокупность условий S 
 
Пример: t°=20°, вода в 
жидком состояние, нормальное атмосферное 
давление- достоверное 
событие  

Невозможное

- событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена 
определенная совокупность условий S 
 
 
Пример: Вода при тех 
же условиях не может 
быть в твердом состоянии 

Случайное

- событие, которое при 
осуществлении совокупности условий сможет 
либо произойти, либо 
нет. 
 
Пример: бросается монета: орел-решка;  бросается кубик 
 Событие- результат испытания(условия) 

Некоторые виды случайных событий

Несовместимые

- если появление одного 

Равновозможные

- если есть основание 

Единственновозможные

- события таковы, что 

из них исключает появление других событий в 
одном и том же испытании 
Пример: орел-решка, 
стандартная и нестан
дартная деталь

считать, что ни одно из 
них не является более 
возможным чем другое 
Пример: орел-решка 
равновозможные 

одно из них непременно 
должно иметь место при 
испытании 
Пример: достать один 
шар № 1….10 

 
Несколько событий образуют полную группу событий, если в результате 
испытания появится хотя бы одно из них. То есть появление хотя бы одного из 
событий полной группы есть достоверное событие.  
Если события, образующие полную группу, попарно несовместимы, то в 
результате испытания появится одно и только одно из этих событий — данная 
ситуация представляет частный случай. 
Примером является выстрел стрелка: промах, попадание — события, образующие полную группу событий. 
Если события 
  образуют полную группу несовместных событий, 
то сумма их вероятностей равна единице:  

 

Иногда возможно приведение неравновозможного события к равновозможному. 
Например: на столе лежат 4 белых и 6 черных шара — это события неравновозможные, но пронумеруем шары 1…10 и тогда события стали равновозможными. 
 

1.2 Основные формулы комбинаторики

Комбинаторика — раздел математики, занимающийся решением задач, в 
которых производится подсчет различных соединений, составленных из конечного числа элементов по некоторому правилу 
 
 
Основные виды соединений :                                         размещения 
                                                                                           перестановки 
                                                               сочетания 
 

1. Размещениями называются комбинации, составленные из n различных 
элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо 
их порядком расположения. 
Число всех возможных комбинаций  
 

 n *(n-1)…(n-m+1) 
 

Пример: Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2 
А2
6 = 6 * 5 = 30 
 
 
 
2. Перестановками называется комбинации (соединения), состоящие из 
одних и тех же  n  различных элементов  и отличающихся только порядком 
расположения 
Pn = n! 
(частный случай размещения) 

причем  0!=1  ;    1!=1 

Пример: 5 человек рассадить по 5 местам 
                  Р= 5! 
 

  3. Сочетаниями называются комбинации, составленные из  n  различных 
элементов по  m  элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом 
(т.е. составом элементов) 

= 
 = 
 

Пример: сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей? 
                    С 2
10 = 10! / (2! 8!) = 45 
 

Связь между числом размещений, перестановок и сочетаний:

 
(комбинации с повторениями вычисляются по другим формулам) 

Пример: перестановка с повторениями 

        , где n =
+
 

(среди n элементов есть 
элементов одного вида, 
элементов другого вида) 
 
 

1.3 Классическое и статистическое определение вероятности

Вероятность

Классическая 
(математическая) 

(до проведения опыта)

Статистическая 
(частность) 

(после проведения опыта)

1. Классическое определение вероятности. Вероятность - это число, характеризующее степень возможности появления события  

Пример: 6 шаров: 2 красных, 2 синих, 1 белый → 6 элементарных исходов 
6 элементарных исходов образуют полную группу событий, попарно несовместимых (обязательно появится только 1 шар), но события равновозможны. (шар 
вынут наудачу, шары одинаковые, тщательно перемешанные) 5 исходов благоприятствуют цветному шару 

 — число благоприятствующих исходов к общему числу всех рав
новозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную 
группу. 
 

Свойства вероятности (следствия из определения):

1. Вероятность достоверного события равна 1 (m=n) 
2. Вероятность невозможного события равна 0 (m=0) 
3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1 
 
2. Статистической вероятностью — частостью появления данного события 
называется отношение числа появления этого события при испытании к общему числу испытаний (фактически проведенных) 
Зная величину возможного уклонения частоты от вероятности, можно 
принять частность за приближенную величину вероятности данного события. 
 
Уклонение частности от вероятности укажет на ту погрешность, которую 
мы допускаем, приняв частность за вероятность. 
На возможности определить величину уклонения частности от вероятности 
основано практическое применение теории вероятности к различным наукам. 
Свойство уклонения (частности от вероятности) уменьшаться по мере увеличения числа опытов носит название «закона больших чисел». 

Некоторая ограниченность классического определения вероятности за
ключается в следующем: 
- предполагается, что число элементарных исходов конечно; 
- очень часто невозможно предоставить результаты испытаний в виде совокупности элементарных исходов; 
- трудно указать основание, позволяющее считать элементарные события 
равновозможными. 
Свойства классической вероятности пригодны и для статистической. 
 

1.4 Геометрическая вероятность. Задача Бюффона 
 
Для преодоления недостатка классического определения вероятности, для 
испытаний с бесконечным числом элементарных исходов вводят понятие геометрической вероятности — вероятности попадания точки в область (отрезок, 
часть плоскости и т.д) 

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L 
На отрезке L наудачу поставим (•) 
Т.е. возможны предположения 
-поставленная (•) может оказаться в любой (•) отрезка L 
-вероятность попадания (•) на отрезке l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L 
 
 
Вероятность попадания (•) на отрезке l: 
P =

Пример: на отрезок [OA] длины L числовой оси ОХ наудачу поставлена (•) 
В(х). Найти вероятность того, что меньшей из отрезков[OB] и  [BA] имеет длину 
большую L/3. Предполагается, что вероятность попадания (•) на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси. 

Решение: разобьем [OA] точками C, D на три равные части. Требование задачи будет выполнено, если (•) В(х) 
попадет на [CD] длины L/3. Т.е искомая вероятность    Р=

 
 
Если плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G, и на фигуру G 
наудачу брошена (•), то это означает выполнение следующего предположения: 
- брошенная (•) может оказаться в  любой (•) фигуры G 
-вероятность попадания брошенной (•) на фигуру g пропорциональная 
площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно G  или от 
формы g 
 

P=

Задача Бюффона

Дано: Площадь разграфлена параллельными прямыми, относящими друг 
от друга на расстояние 2а. На плоскость наудачу бросают иглу длиной 2l (l<a). 
Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую. 

                      

Решение: Пусть х — расстояние от середины иглы до ближайшей параллели. 

φ — угол, составленный иглой с этой параллелью. 

Положение иглы полностью определяется х и φ , причем: 

0<x<a     ;  O< φ <π 

Т.е. середина иглы может попасть в  из (•) прямоугольника со сторонами а и π. 
Т.е. этот прямоугольник есть G, точки которого представляют собой все 

возможные положения середины иглы 
 

g- фигура, каждая (•) которой благоприятствует интересующему нас событию, 
т.е. каждая (•) этой фигуры может служить серединой иглы, которая пересекает 
ближайшую к ней параллель. 
Игла пересечет параллель, если 
x
 
Таким образом, площадь 

g =
 = — 
=  ()-()) = (-(-1)+1)= 2  

P = 
 = 
 — вероятность того, что игла пересекает параллель. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Тема 2

 Основные теоремы теории вероятностей

2.1 Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Определение: суммой двух событий A и B называют событие, состоящее в 
появлении события A или события B, или обоих этих событий (хотя бы одного 
из этих событий) 
Пример: выстрел из орудия: произведено 2 выстрела 
А — попал при первом выстреле 
В — попал при втором выстреле 
А+В попал или при первом, или при втором, или при обоих выстрелах 
 
Теорема: Вероятность появления одного из двух несовместных событий, 
безразлично какого, равна сумме этих событий                  

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) 

Доказательство: Пусть n –общее число возможных элементарных исходов 
испытаний 

 — число исходов, благоприятствующих событию А 
— число исходов, благоприятствующих событию В 
Число исходов, благоприятствующих либо событию А, либо событию В 
равна  
+

Значит:  Р(А + В)= 
 = 
 + 
 , если 
 = Р(А) , и 
 = Р(В) , то 

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) 

Следствие: вероятность появления одного из нескольких попарно несовме
стных событий, безразлично какого, равна сумме вероятности этих событий 

Т.е.  P (
) =  P (
) + P(
) + …+ P(
) 
Пример: в урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих, 15 белых. Найти вероятность 
появления цветного шара 
P(A)= 
  (кр. шар) 

P(B)=
  (син. шар) 

P(A+B)= Р(А) + Р(В)= 1/3 + 1/6 = ½ 
(A и B несовместны , т.к. появление шара одного цвета исключает появление 
шара другого цвета). 
 
 

Пространства элементарных событий
Операции над случайными событиями 
 
Пусть пространство элементарных событий есть множество всех элементарных событий   =