Моделирование и оптимизация промышленных теплоэнергетических установок

Е. Г. Авдюнин

МОДЕЛИРОВАНИЕ

И ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОМЫШЛЕННЫХ

ТЕПЛОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УСТАНОВОК

Учебник

Москва
Вологда

Инфра-Инженерия

2019

УДК 620.9:519.6
ББК 31.391:22.19

А18

Авдюнин, Е. Г.

А18  
Моделирование и оптимизация промышленных тепло
энергетических установок : учебник / Е. Г. Авдюнин. – Москва ; 
Вологда : Инфра-Инженерия, 2019. – 184 с. : ил., табл. 

ISBN 978-5-9729-0297-2

Рассмотрено построение математических моделей процес
сов тепло- и массообмена в технологическом оборудовании 
промышленных предприятий, предложены методы разработки 
соответствующих алгоритмов и оптимизации полученных технических решений. 

Для студентов энергетических специальностей при изуче
нии курса «Моделирование, алгоритмизация и оптимизация 
промышленных теплоэнергетических установок», в том числе 
при выполнении курсовых и дипломных проектов. Издание 
также будет полезно инженерам-энергетикам. 

УДК 620.9:519.6
ББК 31.391:22.19

ISBN 978-5-9729-0297-2
Ó Авдюнин Е. Г., 2019
Ó Издательство «Инфра-Инженерия», 2019
Ó Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2019

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................. 5

ГЛАВА 1. ПОНЯТИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ 

(ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ).............. 6

1.1.
Моделирование.....................................................................................10

1.2. 
Основные направления при составлении 

математических моделей................................................................18

1.3. 
Основные этапы моделирования ...............................................20

1.4. 
Современные подходы к проектированию 

теплотехнического оборудования.............................................22

1.5. 
Общие представления о математическом описании 

процессов..................................................................................................36

1.6. 
Математическое моделирование при решении задач 

тепло- и массопереноса....................................................................40

1.7.
Решение задач тепло- и массопереноса..................................47

1.8.
Общее устройство разностной сетки .......................................58

ГЛАВА 2. ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА РАСЧЕТА.........................63

2.1. 
Переход к конечно-разностным уравнениям......................63

2.2.
Операция формального интегрирования..............................64

2.3.
Источниковые члены уравнения................................................69

2.4. 
Особенности разностных гидродинамических

уравнений ................................................................................................71

2.5. 
Граничные условия ............................................................................74

2.6.
Решение разностных уравнений ................................................84

2.7.
Вычислительный алгоритм...........................................................89

2.8.
Методы дискретизации дифференциальных 

уравнений ................................................................................................94

2.9.
Принципы выбора интерполяционных функций 

и профилей...........................................................................................100

2.10. Основные правила построения дискретных

аналогов.................................................................................................101

ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ.................................... 107

3.1. 
Основы оптимизации при проектировании .....................110

3.2. 
Линейное программирование...................................................120

3.3. 
Нелинейное программирование..............................................138

3.4. 
Нелинейное программирование при наличии 

ограничений........................................................................................172

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК............................................... 182

ВВЕДЕНИЕ

Переход от отдельных инженерных расчетов с помощью персо
нальных компьютеров к созданию учебно-проектных систем автомати
зированного проектирования занимает одно из центральных мест в пе
рестройке учебного процесса в направлении подготовки студентов

по специальности 13.00.00 «Электро- и теплоэнергетика» дневной и за
очной форм обучения. Повышение качества подготовки специалистов, 

удовлетворяющих растущим требованиям промышленности,−основная 

задача высшей школы. В настоящее время к специалистам предъявля
ются новые требования, в соответствии с которыми они должны владеть 

всеми современными знаниями в области разработки новых конструк
ций теплоиспользующего оборудования, технологий его изготовления 

и поиска оптимальных режимных и конструктивных решений с исполь
зованием вычислительной техники на базе САПР «Технологические 

установки».

Целью дисциплины «Моделирование и оптимизация промышлен
ных теплоэнергетических установок» является изучение современных 

методов математического моделирования и поиска оптимальных про
ектных решений.

Задачей курса является усвоение методов и приемов математиче
ского моделирования реальных физических объектов, выработка уме
ния использовать современные средства вычислительной техники и ма
тематического анализа для исследования и выбора оптимальных реше
ний поставленной технической задачи.

ГЛАВА 1.

ПОНЯТИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ

(ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ)

При изучении сложных процессов, явлений, конструировании 

новых установок и т. п. очень часто применяется моделирование. 

Исторически первым из известных приемов моделирования является 

метод подобия.

Суть его в том, что изучаемое явление воспроизводится в экспе
риментальных условиях в другом масштабе. На такой действующей мо
дели ведется изучение явлений. Примером может служить изучение 

явлений обтекания крыла самолета потоком воздуха. Для этого созда
ется уменьшенная копия крыла и помещается в аэродинамическую 

трубу. Пропуская поток воздуха, наблюдают процесс обтекания и экс
периментально находят нужные характеристики крыла. Однако такой 

метод моделирования применяется далеко не всегда. Это объясняется 

не столько трудностью осуществления такого моделирования, сколько

тем, что воспроизведение явлений в уменьшенном масштабе может 

просто исказить суть явления, а не облегчить его исследование.

Что же такое модель и моделирование? Модель − это специально 

создаваемый объект, на котором воспроизводят вполне определен
ные характеристики исследуемого объекта в целях его изучения. 

Моделирование − вполне определенное, конкретное отображение рас
сматриваемых характеристик изучаемого объекта в целях его исследо
вания. Моделирование является важным инструментом научной аб
стракции, позволяющей выделить, обособить и проанализировать суще
ственные для данного исследования характеристики объекта –свойства, 

взаимосвязи, структурные и функциональные параметры.

Степень соответствия модели и объекта моделирования может 

быть различной. Например, так называемые функциональные модели 

отражают лишь поведение, функции объекта. Они широко использу
ются для моделирования методом “черного ящика”. Под “черным ящи
ком” понимается система, внутреннее устройство которой неизвестно 

наблюдателю и не имеет значения для него, но он может исследовать 

входы и выходы этой системы.

Модели могут быть реализованы как с помощью некоторых фи
зических объектов (физическая модель), так и с помощью абстрактных 

объектов (математическая модель). Такой абстрактной моделью могут 

быть, в частности, математические выражения, описывающие характе
ристики объекта моделирования. Чисто математической называют 

лишь модель, содержащую только количественные характеристики, 

записанные в виде формул.

Математическое моделирование является наиболее совершен
ным и вместе с тем наиболее эффективным методом моделирования. 

Этот путь открывает двери для применения могущественных средств 

математического анализа. Результаты исследования такой модели 

будут иметь практический интерес, если сама модель достаточно 

хорошо отображает реальную ситуацию. 

По мере все более широкого привлечения математического 

аппарата для исследования и решения проектных задач возникла 

необходимость в создании математических методов. Именно этому 

обязаны своим происхождением ряд новых математических дисци
плин, таких как линейное и нелинейное программирование, динами
ческое программирование, теория игр и другие.

Задачи, в которых отыскивается максимум или минимум некото
рой функции при наличии ограничений на переменные, объясняются 

общим названием – задачи математического программирования.

Функция, максимум или минимум которой отыскивается, назы
вается целевой функцией.

Фигурирующие в математической модели ограничения, пред
ставляют собой систему соотношений, сужающую область допусти
мых значений так называемых управляемых переменных, т. е. тех 

измеримых величин, значения которых подлежат оптимизации.

Выраженные через управляемые переменные целевая функция 

и ограничения составляют математическую модель задачи оптимиза
ции. Всякий набор значений переменных, удовлетворяющий ограниче
ниям, определяет допустимый план, а тот из них, на котором достига
ется максимум или минимум, определяет оптимальный план.

Математические модели делятся на статические и динамические.

Если в модели коэффициенты, независимые переменные, огра
ничения не зависят от времени, то модель – статическая, в противном 

случае – динамическая.

В каждой из оптимизационных моделей имеется критерий 

оптимальности – целевая функция, глобальный экстремум которой 

отыскивается при заданных ограничениях. В зависимости от целевой 

функции и ограничений математические модели бывают следую
щими:

o
линейными − целевая функция и ограничения выражены 

линейными функциями;

o
нелинейными − целевая функция и ограничения выражены

нелинейными функциями;

o
дискретными, если одна или несколько независимых пере
менных в целевой функции или ограничениях могут прини
мать только дискретные значения.

1.1. МОДЕЛИРОВАНИЕ

За последнее время коренным образом изменился подход к ана
лизу и расчету процессов тепломассообмена. Методы оптимизации 

стали необходимой составной частью не только в целях выбора опти
мального решения при создании той или иной установки, но и в целях

оптимального управления.

При проектировании используются зависимости, любая из ко
торых есть количественная связь между некоторой характеристикой 

объекта и влияющими на него факторами. Например, коэффициент 

теплоотдачи представляется в виде функций скоростей, свойств 

рабочих сред, температур и т. д. [6,8]:

,
(1.1)

Опыт развития инженерных и научных знаний показывает, что 

сведения, необходимые для проектирования одних объектов, могут 

быть получены путем изучения других объектов, имеющих иные раз
меры, параметры и в некоторых случаях даже иную физическую при
роду. Первые объекты называют оригиналами, а вторые − моделями. 

Моделирование есть метод использования объектов − оригина
лов по результатам наблюдения за их моделями.

Таким образом, задача моделирования состоит в том, чтобы 

по результатам опытов с моделью качественно и количественно

)
t
T
;
d
l
;
a
;
Ud
(
f
Nu
D
n

n
=

предсказать поведение интересующего нас объекта (оригинала) 

в реальных условиях. 

Моделирование − это метод изучения объектов, при котором 

вместо оригинала эксперимент проведен на модели, а результаты ис
следований перенесены на оригинал. К процессу моделирования 

предъявляются два основных требования:

o
эксперимент на модели должен быть проще, быстрее, эконо
мичнее, чем эксперимент на оригинале;

o
должно быть известно правило, по которому производится 

пересчет параметра оригинала на основе испытания модели.

Теория моделирования сейчас развивается в двух направлениях:

o
по пути изучения сложных тепломассообменных процессов 

с помощью моделей и анализа влияния отдельных физиче
ских параметров и размеров (физическое моделирование);

o
по пути исследования математической модели процесса 

с помощью ЭВМ (математическое моделирование).

Эффективность моделирования как научного метода позволит 

увеличить степень надежности при проектировании оборудования.

Различают следующие виды моделирования: аналогия, подо
бие и математическое моделирование.

1.1.1. Аналогия

Под аналогией понимают наиболее общий случай подобия, 

не уточняя характера зависимости между моделью и исследуемым 

объектом. Аналогия основана на некотором качественном сходстве 

либо на строго математическом описании. Например,

.
(1.2)

Существует аналогия между тепло- и массопереносом. В прак
тике хорошо известна так называемая тройная аналогия, объединяю
щая явления гидродинамики, тепло- и массообмена. Во всех случаях 

имеет место перенос в нормальном к поверхности направлении.

1.1.2. Подобие

В основу подобия заложена однородная линейная зависимость 

между двумя независимыми переменными или двумя соответствен
ными величинами модели образца [8]:

x = cxм
(1.3)

Если такая зависимость существует между всеми соответству
ющими величинами модели и образца в любой точке, то подобие 

будет полным. 

;t
q
Ñ
l
=
c
D
j
Ñ
=