Основы микросенсорики


            Ю. А. Родионов








ОСНОВЫ МИКРОСЕНСОРИКИ


Учебное пособие





Допущено Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов учреждений высшего образования по специальностям «Микро- и наноэлектронные технологии и системы», «Квантовые информационные системы»







Москва Вологда «Инфра-Инженерия» 2019

УДК 681.586(075.8)
ББК 32.965-04я73
     Р60


Рецензенты:
кафедра физики твёрдого тела
Белорусского государственного университета; начальник управления «Микромеханика» ОАО «Минский НИИ радиоматериалов» кандидат технических наук, доцент
И. А. Таратын




       Родионов Ю. А.

Р60 Основы микросенсорики : учебное пособие / Ю. А. Родионов. -Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2019. - 288 с. : ил., табл.
           ISBN 978-5-9729-0336-8

     Рассмотрены основные твердотельные датчики, применяемые преимущественно в наукоемких областях (точная механика и оптика, микро- и наноэлектроника, атомная энергетика, военное дело): датчики на основе гальваномагнитных эффектов, датчики давления, температуры и теплового излучения, скорости и ускорения, газоанализаторы, датчики влажности, изображения, детекторы радиоактивного излучения, актюаторы и сенсоры вакуумно-плазменных технологий, обеспечивающие высокое качество продукции при изготовлении указанных датчиков.
     Для студентов, обучающихся по специальности 11.00.00 «Электроника, радиотехника и системы связи», а также инженеров, занятых проектированием и обслуживанием электронных приборов.
УДК 681.586(075.8)
ББК 32.965-04я73

Приложения к книге доступны для скачивания на сайте издательства «Инфра-Инженерия» www.infra-e.ru.



ISBN 978-5-9729-0336-8

     © Родионов Ю. А., 2019
     © Издательство «Инфра-Инженерия», 2019
                            © Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2019

            СОДЕРЖАНИЕ



ВВЕДЕНИЕ.........................................................7
1. ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ.........................................9
2. ЭЛЕМЕНТЫ МЕТРОЛОГИИ...........................................14
    2.1. Систематические и случайные погрешности.................14
    2.2. Основные методы! построения градуировочных графиков.....15
    2.3. Электрические схемы формирования выходного сигнала пассивных сенсоров....................................................17
       2.3.1. Потенциометрическая схема.........................18
       2.3.2. Мостовая схема....................................20
    2.4. Статический и динамический режимы работы сенсоров......23
3. ДАТЧИКИ НА ОСНОВЕ ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫХ ЭФФЕКТОВ....................27
    3.1. Датчики магнитного поля на основе эффекта Холла........27
       3.1.1. Пленочные датчики Холла...........................32
       3.1.2. Кремниевые интегральные датчики Холла.............36
    3.2. Магниторезистивные преобразователи.....................39
       3.2.1. Магниторезистивный эффект.........................39
       3.2.2. Конструкции магниторезисторов.....................40
       3.2.3. Параметры магниторезисторов.......................41
    3.3. Гальваномагнитные преобразователи на активных элементах...42
       3.3.1. Магнитодиоды......................................42
       3.3.2. Магнитотранзисторы................................44
    3.4. Гальваномагниторекомбинационные преобразователи........45
       3.4.1. Гальваномагниторекомбинационный (ГМР) эффект......45
       3.4.2. Гальваномагниторекомбинационный преобразователь (ГМРП)...49
       3.4.3. Кремниевые интегральные ГМРП......................50
    3.5. Магниточувствительные интегральные схемы...............52
       3.5.1. Магнитокоммутируемые ИС на основе эффекта Холла......52
4. ДАТЧИКИ ДАВЛЕНИЯ.............................................56
    4.1. Общие понятия о давлении...............................56
    4.2. Тензорезистивный эффект в полупроводниках..............57
    4.3. Первичные тензопреобразователи.........................58
    4.4. Классификация интегральных тензопреобразователей давления.61
       4.4.1. Пути интеграции тензопреобразователей.............61
       4.4.2. Классификация структур интегральных тензопреобразователей....................................64
       4.4.3. Технологические этапы изготовления интегральных тензопреобразователей....................................66


3

    4.5. Принципы размещения тензорезисторов на мембранах полупроводниковых и интегральных тензопреобразователей давления....................................................68
5. ДАТЧИКИ ТЕМПЕРАТУРЫ И ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ.....................70
    5.1. Терморезистивные датчики................................76
    5.1.1. Резистивные детекторы температуры.....................76
       5.1.2. Кремниевые резистивные датчики.....................78
       5.1.3. Термисторы.........................................79
    5.2. Термоэлектрические контактные датчики...................81
    5.3. Полупроводниковые датчики температуры на основеp-n-перехода.98
    5.4. Детекторы ИК-излучения.................................100
       5.4.1. Детекторы излучений на основе термоэлементов......100
       5.4.2. Пироэлектрические датчики ИК-излучений............102
       5.4.3. Болометры.........................................113
6. ДАТЧИКИ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ.................................115
    6.1. Акселерометры..........................................116
       6.1.1. Емкостной акселерометр............................117
       6.1.2. Пьезорезистивные акселерометры....................119
       6.1.3. Пьезоэлектрические акселерометры..................120
       6.1.4. Тепловые акселерометры............................124
       6.1.5. Акселерометры с нагреваемым газом.................125
    6.2. Гироскопы..............................................126
       6.2.1. Роторный гироскоп.................................127
       6.2.2. Вибрационные гироскопы............................129
       6.2.3. Оптические гироскопы..............................136
7. ГАЗОАНАЛИЗАТОРЫ..............................................142
    7.1. Адсорбция на поверхности твердых тел...................142
       7.1.1. Роль электронов и дырок при адсорбции.............143
       7.1.2. Взаимодействие поверхности с объемом..............145
       7.1.3. Химические реакции на поверхности полупроводников.147
    7.2. Датчики на основе окислов металлов.....................151
    7.3. Датчики на органических полупроводниках................152
    7.4. Каталитические датчики.................................152
    7.5. Электрохимические газовые датчики......................154
    7.6. Датчики на основе МДП-структур.........................155
    7.7. Газовые датчики с барьером Шоттки......................159
    7.8. Газовые датчики на основе приборов, чувствительных к изменению массы......................................................160
8. ДАТЧИКИ ВЛАЖНОСТИ............................................163
    8.1. Единицы измерения влажности............................163
    8.2. Температурно-градиентные датчикивлажности..............164
       8.2.1. Психрометрические датчики.........................164

4

       8.2.2. Конденсационные датчики.........................165
    8.3. Сорбционные датчики влажности........................169
       8.3.1. Кулонометрические датчики......................169
       8.3.2. Сорбционно-импедансные датчики.................171
       8.3.3. Пьезосорбционные датчики.......................177
9. ДАТЧИКИ ИЗОБРАЖЕНИЯ.......................................178
    9.1. Физические основы принципов работы полупроводниковых датчиков изображения......................................178
    9.2. Составляющие элементы датчиков изображения..........181
       9.2.1. Пиксель........................................181
       9.2.2. Фотодиод.......................................181
       9.2.3. ПЗС-структура..................................182
    9.3. Виды полупроводниковых датчиков изображения и их основные функции...................................................183
       9.3.1. Основные функции полупроводниковых датчиков изображения...........................................183
       9.3.2. Устройство ПЗС-матрицы.........................183
       9.3.3. Устройство КМОП-матрицы........................185
    9.4. Особенности конструкций полупроводниковых датчиков изображения...............................................187
       9.4.1. Получение цветного изображения.................187
       9.4.2. Трехматричные системы..........................188
       9.4.3. Матрицы с мозаичными фильтрами.................188
       9.4.4. Матрицы с полноцветными пикселями..............190
    9.5. Микролинзы..........................................191
    9.6. Датчики изображения с обратной засветкой............193
    9.7. Организация переноса кадра в ПЗС-матрицах...........194
       9.7.1. Полнокадровая матрица..........................194
       9.7.2. Матрицы с буферизацией кадра...................194
       9.7.3. Матрицы с буферизацией столбцов................195
    9.8. Преимущество и недостатки КМОП перед ПЗС-матрицами..195
10. ДЕТЕКТОРЫ РАДИОАКТИВНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ.......................198
    10.1. Сцинтилляционные детекторы.........................202
    10.2. Ионизационные детекторы............................205
        10.2.1. Ионизационные камеры.........................205
        10.2.2. Пропорциональные камеры......................206
        10.2.3. Счетчики Гейгера - Мюллера...................207
        10.2.4. Полупроводниковые детекторы радиоактивности..208
        10.2.5. Принципы работы, материалы и конструкции полупроводниковых детекторов радиоактивного излучения.211

5

11. АКТЮАТОРЫ..................................................218
    11.1. Интегральные микрозеркала с электростатической активацией.222
    11.2. Волоконно-оптические переключатели...................224
    11.3. Матрицы микрозеркал на кремниевом чипе...............227
12. ПЕРСПЕКТИВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ В МИКРОСЕНСОРИКЕ.................231
    12.1. Графен и его структурные особенности.................231
    12.2. Газоанализаторы на основе графена....................236
        12.2.1. Газочувствительность пленок графена на полуизолирующем SiC к NO2 и парам C2H5OH................................238
        12.2.2. Датчики на основе взаимодействия графена с аналитами....240
13. ДАТЧИКИ В ВАКУУМНО-ПЛАЗМЕННОЙ ТЕХНИКЕ И ТЕХНОЛОГИИ......................................................241
    13.1. Вакуумные датчики.........................................241
        13.1.1. Классификация датчиков и методы измерения вакуума...241
        13.1.2. Тепловые датчики...............................244
        13.1.3. Ионизационные датчики..........................246
        13.1.4. Баратроны......................................249
        13.1.5. Течеискание....................................251
    13.2. Кварцевый датчик измерения толщины пленокв процессе создания....................................................265
    13.2.1. Пъзоэлектрический эффект................................265
        13.2.2. Пьезоэлементы на основе кварца.................268
        13.2.3. Резонансная частота кварца.....................270
        13.2.4. Метод измерения масс...........................273
        13.2.5. Кварцевый сенсор...............................274
    13.3. Кварцевый датчик измерения толщины пленокв процессе создания....................................................265
ЛИТЕРАТУРА..........................................................286
ПРИЛОЖЕНИЯ https://infra-e.ru/products/basicsofmikrosensorik
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Основные законы физики
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Упрощенный маршрут изготовления твердотельного
акселерометра
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Упрощенный техпроцесс изготовления твердотельного
гироскопа
ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Основные биологические сенсоры человека
ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Упрощенная пошаговая компоновка конструкции
гироскопического стабилизатора

6

            ВВЕДЕНИЕ



      Научно-технический прогресс абсолютно во всех сферах жизнедеятельности человека невозможен без практических измерений параметров процессов, определяющих эту деятельность. В современных условиях, как правило, это осуществляется автоматизированными системами контроля, измерения и управления. При этом определяющим элементом таких систем является первичный датчик. Номенклатура датчиков постоянно расширяется. Охватить все виды существующих датчиков практически невозможно. Поэтому, с учетом специфики специальности «Микро- и наноэлектронные технологии и системы», в данном учебном пособии рассматриваются только датчики, практически реализуемые базовыми технологическими процессами микро- и наноэлектроники (создание диэлектрических пленок высоко- и низкотемпературными методами, формирование разного типа проводимости полупроводниковых слоев, вакуумно-плазменные технологии создания проводящих слоев разного рода микролитографиями, элементами пленочной и гибридной технологии).
      Одной из основных задач датчиков и систем на их основе является исключение человеческого фактора, зачастую приводящего к опасным ситуациям и катастрофам (утечка отравляющих веществ, Чернобыль, Фукусима и т. д.). Датчики также позволяют нам облегчить жизнь (автопилот, охранная сигнализация, распознавание образов).
      Как правило, практически все датчики работают на принципах, хорошо известных из курсов физики и химии средней школы. Однако это не означает, что в практической реализации датчика все предельно просто. Это большое заблуждение. От общеизвестного принципа работы до практической реализации надежно и точно работающей конструкции требуются большие интеллектуальные нагрузки в решении конструктивно-технологических проблем разработчика и производителя современного датчика . В реальной эксплуатации к датчику предъявляются очень жесткие требования (высокая точность и информативность по основному сигналу в поле сильных помех самого разнообразного характера, долговечность, технологичность производства на доступном оборудовании, материалы, себестоимость).
      Понятие «датчик» сегодня уже не то, что было буквально несколько лет назад. Для освоения современного датчика на должном уровне специалист должен хорошо знать не только основные законы физики, но и электрофизические свойства простых и сложных полупроводников, основные микроэлектронные технологии, совместимость этих технологий с применяемыми материалами.
      Поэтому целью данного учетного пособия является рассмотрение общеизвестных физических принципов со спецификой их использования в реальном датчике, конкретизация имеющихся знаний о метрологии при измерении слабых

7

неэлектрических сигналов, рассмотрение современных конструкций датчиков и приемов их реализации в едином технологическом цикле.
     Наука, занимающаяся разработкой первичных преобразователей и схем обработки, полученных от них сигналов в микроэлектронном исполнении, получила название микроэлектронной сенсорики. Наиболее амбициозной задачей современной микросенсорики является достижение того совершенства датчиков и сенсорных устройств, которое заложила природа в биологические объекты, например в человека. Одной из основных задач микроэлектронной сенсорики является изучение влияния на полупроводниковые структуры различных требуемых внешних воздействий и при этом минимизация паразитного влияния внешних факторов, которые мы называем помехами. К сожалению, бурный рост технического прогресса попутно порождает огромное количество электрических помех, которые мы называем электромагнитным «мусором». На фоне этого мощного «мусора» очень сложно выделить как правило очень слабый сигнал от нашего датчика. С другой стороны, эти трудности в решении практических задач способствуют повышению нашего интеллекта и делают нашу работу в области изучения датчиков очень привлекательной и интересной.

8

            1. ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ


     Современные средства измерения обычно представляют собой электронные устройства, приборы или многоканальные системы для измерений различных физических величин, которые с помощью датчиков преобразуются в электрический сигнал. Преобразование физических величин в электрический сигнал обеспечивает и упрощает дальнейшую передачу и обработку измерительной информации с помощью электронных устройств. Это позволяет повысить точность и быстродействие измерений, обрабатывать данные в ЭВМ в реальном масштабе времени и выводить результаты на современные средства отображения и записи информации (дисплеи, цифропечатающие устройства, самописцы, графопостроители и магнитные носители записи).
     По типу информативных параметров входной и выходной величин электронные преобразователи подразделяются на три класса:
      1) преобразователи электрических величин в электрический сигнал (например, электроды, усилители, АЦП);
      2) преобразователи электрических величин в неэлектрические величины (например, светодиоды, электронагреватели или охладители, электродвигатели, электрогенераторы химических веществ - так называемые обратные преобразователи или актюаторы);
      3) преобразователи неэлектрических величин в электрический сигнал (например, термопары, тензорезисторы, фототранзисторы и другие чувствительные элементы датчиков).
     В измерительных системах преобразование обычно осуществляется последовательно соединенными преобразователями, которые образуют измерительный канал. Первый преобразователь в измерительном канале, который непосредственно взаимодействует с объектом измерения, называется первичным измерительным преобразователем (ПИП), а последующие преобразователи - вторичными измерительными преобразователями (ВИП). Эти понятия отражают структурнофункциональные свойства устройств, т. е. их место и роль в измерительном канале.
     Электронный датчик - конструктивно законченное средство измерения, способное преобразовывать одну или несколько физических величин в электрический сигнал для последующих преобразований, передачи, обработки и отображения измерительной информации, но не дающее пользователю возможность непосредственно получить количественные данные об измеряемой величине. По принципу работы ПИП и датчики могут быть параметрического или генераторного типа (с подведением дополнительной электроэнергии и без ее подведения). В параметрических ПИП изменение входной величины приводит к изменению электрического сопротивления, емкости или индуктивности преобразователя.


9

К числу таких относятся терморезисторы, тензоконденсаторы, фоторезисторы. В преобразователях генераторного типа выходными величинами являются напряжение и ток, значения которых непосредственно (без подведения электроэнергии) изменяются под действием входной величины (например, термопара, фотодиод).
      Если преобразователь или датчик изготавливается с использованием микро-и/или нанотехнологий, в том числе и технологий интегральных микросхем, то его обычно называют микроэлектронным (МЭД).
      Микроэлектронные преобразователи или датчики могут состоять из одного элемента (дискретные МЭД) или из нескольких (интегральные МЭД). Интегральные МЭД по конструктивно-технологическому признаку можно разделить на полупроводниковые, пленочные, гибридно-пленочные и микросборки. По структурно-функциональной сложности среди интегральных МЭД условно можно выделить простые и сложные.
      Простые интегральные датчики (ИД) содержат, как правило, один чувствительный элемент (ПИП) и простейшие элементы вторичного преобразования (мостовые схемы, преобразователи сопротивления, предусилители). Простые ИД можно отнести к разряду интегральных микросхем (ИМС) низкой и средней степени интеграции.
      Сложные ИД могут содержать несколько чувствительных элементов, различные элементы вторичного преобразования (усилители, коммутаторы, преобразователи напряжение - частота, АЦП и др.), устройства обработки и хранения данных (компараторы, счетчики, сумматоры, перемножители, схемы памяти, процессоры) и актюаторные элементы. Сложные ИД с большим количеством однородных чувствительных элементов (микрополосковые координатно-чувствительне датчики, фотоприемные матрицы) называют датчиками матричного типа. Сложные ИД, способные выполнять функции измерения и контроля нескольких физических величин одновременно, автоматического переключения каналов, автоматической коррекции систематических погрешностей, адаптации к изменению эксплуатационных условий, вычислений, сравнений, принятия решений и формирования соответствующих сигналов, называют интеллектуальными датчиками. Сложные ИД относятся к разряду ИМС средней и высокой степени интеграции (СИС, БИС и СБИС). Обобщенная структурно-функциональная схема сложного интегрального датчика представлена на рис.1.1. Пользуясь стандартной терминологией для ИМС, физически разделимые составные части датчика называют компонентами датчика (кристалл, керамическая подложка, основа корпуса, крышка корпуса, выводы), а физически неотделимые от полупроводникового кристалла части датчика называют элементами кристалла датчика (например, диффузионный резистор, биполярный или МДП-транзисторы, кремниевые мембраны и балки).

10

Рис. 1.1. Обобщенная структурно-функциональная схема сложного интегрального датчика: Xₜ и Zj - основные и дополнительные входные величины датчика; Yₖ - выходные величины;
1, 2, 3 - соответственно основные, дополнительные и вспомогательные компоненты, или элементы первичного преобразования - чувствительные элементы;
4 - компоненты, или элементы вторичного преобразования;
5, 6- основные, или дополнительные актюаторные компоненты, или элементы;
7 - устройства обработки и хранения данных; 8 - корпус

     Компоненты и элементы могут играть роль первичных, вторичных и актюаторных преобразователей, а также устройств оперативного хранения и обработки данных, или составных частей этих устройств и преобразователей. Компоненты датчика (КД) могут быть безвыводные, бескорпусные и корпусные. Для пользователя любой датчик (простой или сложный) играет роль первичного измерительного преобразователя. В интегральных МЭД преобразование измеряемых величин в выходной сигнал осуществляется, как правило, посредством многоступенчатых преобразований физических и электрических величин. Кроме того, в самом ИД с помощью различных преобразователей может быть реализована частичная обработка данных в реальном времени. Чтобы не было путаницы в терминологии у разработчиков и потребителей МЭД, для интегральных датчиков вводятся следующие понятия, отражающие структурно-функциональные особенности компонентов и элементов ИД:

11

      1) основные чувствительные элементы (компоненты) первичного преобразования - устройства, играющие роль преобразования основных измеряемых величин в первичный электрический сигнал;
      2) дополнительные чувствительные элементы (компоненты) первичного преобразования - устройства, играющие роль преобразования параметров внешних побочных факторов в первичный электрический сигнал;
      3) вспомогательные чувствительные элементы (компоненты) первичного преобразования - устройства контроля нормального рабочего режима датчика;
      4) элементы (компоненты) вторичного преобразования - устройства нормализации и преобразования выходных электрических сигналов первичных преобразующих элементов (компонентов) для дальнейшей передачи, обработки и отображения данных;
      5) основные актюаторные элементы (компоненты) - устройства, предназначенные для принципиального обеспечения процесса измерения с помощью основных элементов (компонентов) первичного преобразования данного датчика;
      6) дополнительные актюаторные элементы (компоненты) принципиально обеспечивают работу дополнительных первичных преобразующих компонентов и/или служат для улучшения метрологических характеристик датчика (повышения чувствительности, точности и быстродействия измерений);
      7) элементы (компоненты) устройств обработки и хранения данных;
      8) корпус датчика.
     Следует отметить, что дополнительные и вспомогательные чувствительные элементы (ЧЭ) могут использоваться не только как составные части сложных датчиков, но и как встроенные ЧЭ устройств систем контроля нормальных режимов работы ИМС и различного класса аппаратуры (не обязательно измерительной). К числу контролируемых параметров относятся температура, влажность, давление и радиационный фон, величины которых могут измеряться с помощью встроенных ЧЭ.
     Наиболее перспективными считаются полупроводниковые интегральные МЭД, в которых ЧЭ (ПИП) создаются в едином технологическом цикле на одном чипе вместе с ВИП и другими элементами измерительного канала. Гибридные МЭД изготавливаются, как правило, в тех случаях, когда технология изготовления элементов датчика не совместима друг с другом, или со стандартными процессами технологии получения полупроводниковых ИМС.
     В настоящее время уже созданы интегральные датчики давления, температуры, индукции магнитного поля, концентрации ионов в растворах и молекул в газах, фотоэлектрические и радиационные преобразователи. Помимо совершенствования перечисленных преобразователей имеется тенденция к созданию многофункциональных интегральных датчиков, содержащих на одной подложке 12

несколько элементов, чувствительных к различным видам физических величин (мультисенсоры). С помощью таких датчиков, возможно, будет не только одновременно измерять несколько параметров, но и автоматически корректировать систематические погрешности, обусловленные действием влияющих (побочных) факторов, что позволит улучшить метрологические характеристики измерительных систем. Кроме того, мультисенсоры являются основой для создания сложных микросистем, выполняющих функции обоняния («электронных носов») и вкуса («электронных языков»).
      К числу основных эксплуатационных характеристик МЭД относятся масса, габариты, потребляемая мощность, напряжение питания, количество выводов, время подготовки, время непрерывной работы, срок службы. Основные метрологические характеристики датчиков и преобразователей: функция преобразования (передаточная характеристика), чувствительность, погрешность, быстродействие, порог чувствительности, рабочий диапазон преобразования и диапазон измерений.

13

            2. ЭЛЕМЕНТЫ МЕТРОЛОГИИ



        2.1. Систематические и случайные погрешности


      Всякое измерение содержит в себе ошибку (погрешность). В общем случае погрешность - это отклонение измеренной величины т от ее истинного значения т*: Ат = т* — т. Установить точную величину погрешности чаще всего невозможно, поскольку неизвестно истинное значение измеряемой величины. Погрешности разделяют на систематические и случайные.
      Систематические ошибки носят постоянный характер. Они обусловлены некорректностью работы аппаратуры или методов проведения анализа. При проведении серии повторных измерений, систематические ошибки, как правило, смещают измеренную величину от истинной в одном направлении и на постоянное значение. Таким образом, систематическую погрешность можно устранить путем измерения эталонной физической величины.
      Случайные ошибки возникают под действием факторов, не поддающихся учету, и при проведении серии повторных измерений смещают измеренную величину от истинной в разных направлениях и на разные значения. Однако при проведении большого числа повторных измерений можно определить среднее значение величины, причем при увеличении числа измерений, среднее значение все более приближается к истинному:


„   _^т/
тср       '
р П


(2.1)

     Случайная ошибка измерения характеризуется среднеквадратичным отклонением


а =

2”=1(т; — тср)²



(2.2)

п — 1

      Случайная погрешность может быть определена как drn = ta (где t - коэффициент Стьюдента).
      Плотность вероятности - это отношение вероятности того, что измеренная величина примет значение в пределах данного интервала к величине этого интервала. Наиболее часто для описания плотности вероятности случайной величины используют функцию Гаусса (или, как ее называют, - нормальный закон распределения):


14