Сборник практических и лабораторных работ по высшей математике. Элементы линейной и векторной алгебры. Практикум

Черноморское высшее военно-морское 

училище имени П.С. Нахимова 

 

Кафедра математики и начертательной геометрии 

Е.Н. АНДРЕИЩЕВА

СБОРНИК ПРАКТИЧЕСКИХ 
И ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ 
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

ПРАКТИКУМ

Учебное пособие

Допущено

экспертным советом ЧВВМУ имени П.С. Нахимова

в качестве учебного пособия

для курсантов ЧВВМУ имени П.С. Нахимова

Москва

ИНФРА-М

2019

УДК 512.64(075.8)
ББК 22.143я73

А65

Ре це нзе нт:

О.Г. Сатыга, кандидат технических наук, доцент

Андреищева Е.Н.

А65
Сборник практических и лабораторных работ по высшей 

математике. Элементы линейной и векторной алгебры. Практикум : 
учеб. пособие / Е.Н. Андреищева. — М. : ИНФРА-М, 2019. — 177 с.

ISBN 978-5-16-108041-2 (online)

Настоящее учебное пособие
можно рассматривать в качестве 

основного руководства по решению как типовых, так и общего характера 
задач одного из разделов курса высшей математики — «Линейная и 
векторная алгебра».

Цель 
учебного 
пособия
—
оказать 
курсантам 
учебную 
и 

методическую помощь при подготовке к практическим занятиям и в ходе 
этих занятий способствовать развитию у них самостоятельности, инициативы и творческого подхода при решении задач, в приобретении необходимых практических навыков.

Соответствует 
требованиям 
федеральных 
государственных 

образовательных стандартов высшего образования последнего поколения.

Для 
студентов 
высших 
учебных 
заведений, 
изучающих 

математические дисциплины.

УДК 512.64(075.8)

ББК 22.143я73

ISBN 978-5-16-108041-2 (online)
© Черноморское высшее 

военно-морское училище 
имени П.С. Нахимова, 2019

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

Оглавление 

Предисловие       
7

Глава 1. Элементы линейной алгебры
9

Практическое занятие № 1: Определители и их
свойства
9

1.1. Перечень отрабатываемых вопросов и умений
9

1.2. Методические указания курсантам при подготовке к 
проведению занятия
9

1.3. Основные теоретические положения
10

1.3.1.
Понятие определителей второго и третьего порядков. Методы вычисления
10

1.3.2.
Свойства определителей
12
16
18
18
22
27
29

29
29

30

1.3.3. Понятие об определителях высших порядков 
1.4. Контрольные вопросы и предложения   
1.5. Решение типовых задач 
1.6. Задачи для решения в классе 
1.7. Задачи для самостоятельных занятий 
1.8. Перечень руководств и пособий, подлежащих изучению перед занятием 
Практическое занятие № 2: Матрицы и действия над 
ними 
2.1. Перечень отрабатываемых вопросов и умений 

2.2. Методические указания курсантам при подготовке 
к проведению занятия 
2.3. Основные теоретические положения 
30

2.3.1.
Понятие матрицы. Виды матриц
30

2.3.2.
Действия над матрицами
32

2.3.3.
Обратная матрица
34

2.3.4.
Ранг матрицы и его вычисление
38

2.4. Контрольные вопросы и предложения  
44

2.5. Решение типовых задач
45

2.6. Задачи для решения в классе
51

2.7. Задачи для самостоятельных занятий
64

2.8.
Перечень руководств и пособий, используемых 

на занятии
65

Практическое занятие № 3: Исследование и решение 
систем линейных алгебраичских уравнений (СЛАУ)
66
66
66

3.1. Перечень отрабатываемых вопросов и умений 
3.2. Методические указания курсантам при подготовке 
к проведению занятия 
3.3. Основные теоретические положения 
67

3.3.1.
Понятие системы линейных алгебраических уравнений. Совместность и определённость СЛАУ.

67

3.3.2.
Метод Крамера. Решение совместных СЛАУ 
69

3.3.3.
Матричная форма записи СЛАУ. Матричный метод решения СЛАУ.
73

3.3.4.
Исследование совместности систем линейных алгебраических уравнений по теореме Кронекера –
Капелли 
75

3.3.5.
Однородные системы линейных алгебраических 
уравнений
82 

3.4. Контрольные вопросы и предложения  
86
 
3.5. Решение типовых задач
86 

3.6. Задачи для решения в классе
90

3.7. Задачи для самостоятельных занятий
98

3.8. Перечень руководств и пособий, подлежащих изучению перед занятием
 100 

Лабораторное занятие № 1: Решение систем линейных 
алгебракических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса.
101
101 

101 

1.1. Перечень отрабатываемых вопросов и умений 
1.2. Методические указания курсантам при подготовке 
к проведению занятия 
1.3. Основные теоретические положения 
101 

1.3.1.
Исследование множества решений СЛАУ методом Гаусса
101 

1.4. Контрольные вопросы и предложения  
106 

1.5. Решение типовых задач
106 

110
114 

115 
115

    115

116

116 

1.6. Задачи для решения в классе 
1.7. Задачи для самостоятельных занятий 
1.8. Перечень руководств и пособий, подлежащих изучению перед занятием 
Глава 2. Элементы векторной алгебры  
Практическое занятие № 4: Линейные операции над 
векторами. 
4.1. Перечень отрабатываемых вопросов и умений 
4.2. Методические указания курсантам при подготовке
 к проведению занятия 
4.3. Основные теоретические положения 
116 

4.3.1.
Скаляры и векторы. Линейные операции над векторами
116 

4.3.2.
Проекции вектора на ось. Действия над вектора
122 
124
127
128
132
135

136

    136

136 

136 

ми, заданными проекциями 
4.3.3. Разложения вектора по базису. 
4.4. Контрольные вопросы и предложения   
4.5. Решение типовых задач 
4.6. Задачи для решения в классе 
4.7. Задачи для самостоятельных занятий 
4.8. Перечень руководств и пособий, подлежащих изучению перед занятием 
Практическое занятие № 5: Скалярное произведение 
векторов 
5.1. Перечень отрабатываемых вопросов и умений 
5.2. Методические указания курсантам при подготовке 
к проведению занятия 
5.3. Основные теоретические положения 
137 

5.3.1.
Определение и основные свойства скалярного 
произведения векторов
137 

5.3.2.
Выражение скалярного произведения векторов 
через их координаты. Применение скалярного 
произведения
138 

5.4. Контрольные вопросы и предложения  
140

5.5. Решение типовых задач
140 

5.6. Задачи для решения в классе
142 

5.7. Задачи для самостоятельных занятий
146 

5.8. Перечень руководств и пособий, подлежащих изуче

148 

148 
148 

149 

нию перед занятием 
Практическое занятие № 6: Векторное и смешанное 
произведения векторов 
6.1. Перечень отрабатываемых вопросов и умений 
6.2. Методические указания курсантам при подготовке 
к проведению занятия 
6.3. Основные теоретические положения 
149 

6.3.1.
Определение и основные свойства векторного 

произведения векторов. Выражение через координаты 
149 

6.3.2.
Определение и основные свойства смешанного 
произведения векторов. Выражение через кординаты 
152 

6.4. Контрольные вопросы и предложения  
155 

6.5. Решение типовых задач
155 

6.6. Задачи для решения в классе
158 

6.7. Задачи для самостоятельных занятий
165

6.8. Перечень руководств и пособий, подлежащих изучению перед занятием
166 

Ответы
167 

Литература
177 

Предисловие 

Настоящее пособие рекомендуется как основное методическое 
руководство по практическим и лабораторным занятиям к разделу 
«Линейная и векторная алгебра» курса высшей математики. 
Оно содержит разработку шести практических занятий и одного лабораторного занятия. Пособие включает теоретические основы и методы решения задач линейной и векторной алгебры. 
Основной упор в изложении материала делается на методики 
и алгоритмы решения задач, применение которых демонстрируется 
на специально подобранных примерах. 
Данное учебное пособие предназначается: 
 для проведения классных практических занятий;
 для подготовки к практическим занятиям в часы самостоятельной работы; 
 для закрепления практических навыков, полученных на
практических занятиях; 
 для самоконтроля.
Для того, чтобы данное пособие соответствовало своему своему назначению и требуемой методике проведения практических занятий, каждая тема представлена следующей структурой: 
 тема и цель практического (лабораторного) занятия;
 перечень отрабатываемых вопросов и умений;
 методические указания курсантам при подготовке к проведению занятия; 
 основные теоретические положения;

 контрольные вопросы и предложения;
 решение типовых задач;
 задачи для классных занятий;
 задачи для самостоятельных занятий;
 перечень руководств и пособий, подлежащих изучению перед занятием; 
Литература приведена в конце выпуска. 
С помощью контрольных вопросов осуществляется проверка 
готовности обучаемых к практическому занятию. С их помощью 
может проводиться самоконтроль обучаемых. 
Основное задание  решение задач, предназначенных для 
классных занятий. Оно выполняется под руководством преподавателя в тетрадях для практических занятий. От обучаемых при этом 
требуется максимум самостоятельности. Это обеспечивается: 
 проработкой лекционного материала по данной теме;
 отработкой контрольных вопросов;
 предварительным знакомством с решением типовых задач
на данное занятие. 
Каждое практическое и лабораторное занятие составлено согласно тематическому плану и соответствует учебной программе по 
дисциплине «Высшая математика».  

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ  

Практическое занятие № 1 
Тема: Определители и их свойства 
Цель занятия: Закрепить, углубить и расширить теоретические знания по теме занятия: понятия определителей 2-го и 3-го порядков, свойства определителей, применение определителей. Отработать умения в использовании математических методов в решении 
прикладных профессиональных задач. Овладевать математической 
символикой и методами построения математических моделей. 
Время: 2 часа. 

1.1. Перечень отрабатываемых вопросов и умений 
A. Перечень отрабатываемых вопросов

1. Миноры и алгебраические дополнения определителей.
2. Вычисления определителей второго и третьего порядка.
3. Вычисления определителей n-го порядка.
Б. Перечень отрабатываемых умений 
1. Владеть методами нахождения определителей второго и
третьего порядка: методом треугольника, Саррюса и методом алгебраических дополнений; 
2. Применять свойства определителей для их вычисления;
3. Уметь применять метод разложения по строке (столбцу) для
вычисления определителей более высокого порядка; 
4. Использовать элементарные преобразования строк (столбцов) для обнуления необходимых элементов определителя; 
5. Знать понятия перестановки, подстановки, транспозиции и
инверсии, уметь применять данные понятия к вычислению определителей. 

1.2. Методические указания курсантам при подготовке 
к проведению занятия 
1. При подготовке к практическому занятию:
 проработать лекцию «Определители второго и третьего порядка» и рекомендованную литературу; 
 ознакомиться с решениями типовых задач, приведённых в
данном занятии; 

 предварительно ознакомиться с содержанием основных за
дач, подлежащих решению на занятии;

 подготовить ответы на контрольные вопросы.
2. На практическом занятии:
 иметь настоящее учебное пособие;
 иметь тетради для практических занятий.

1.3. Основные теоретические положения

1.3.1. Понятие определителей второго и третьего порядков.

Методы вычисления

Определение 1.1. Квадратная таблица











22
21

12
11

a
a

a
a
A
, со
ставленная из четырёх чисел, называется квадратной матрицей второго порядка. 

Определение 1.2. Определителем второго порядка, соответ
ствующим матрице A, называется число, полученное с помощью 
элементов матрицы A следующим образом:

21
12
22
11

22
21

12
11
a
a
a
a
a
a

a
a


.
(1.1)

При этом из произведения элементов, стоящих на так называ
емой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол), вычитается произведение элементов, находящихся на второй (побочной) диагонали.

Определение 1.3. Квадратная таблица из чисел



















33
32
31

23
22
21

13
12
11

a
a
a

a
a
a

a
a
a

A
,

называется квадратной матрицей  3-го порядка.

Определителем третьего порядка называется число, опреде
ляемое с помощью элементов квадратной матрицы третьего порядка 
следующим образом:





31
23
12
13
32
21
33
22
11

33
32
31

23
22
21

13
12
11

a
a
a
a
a
a
a
a
a

a
a
a

a
a
a

a
a
a

32
23
11
33
21
12
31
22
13
a
a
a
a
a
a
a
a
a



.              (1.2)

Пример 1.1. Найти определители второго и третьего порядков:

а)  
5
3

1
4
; б)  

4
0
1

2
5
4

3
1
2

.

Решение.

а)  
17
3
1
5
4
5
3

1
4





;

б)  
11
2
0
2
4
1
4
3
5
1
2
1
1
3
0
4
4
5
2

4
0
1

2
5
4

3
1
2




















.

Числа 
33
12
11
...,
,
,
a
a
a
называют элементами определите
ля; первая цифра индекса указывает номер строки, в которой стоит 
элемент, вторая цифра индекса указывает номер столбца. 

Элементы 
33
22
11
,
,
a
a
a
составляют главную диагональ определи
теля; элементы 
13
22
31
,
,
a
a
a
 вспомогательную (побочную) диагональ. 

При вычислении определителя третьего порядка первые три 

слагаемые суммы снабжены знаком плюс и получены перемножением элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах тругольников, обозначенных на схеме 1.                      

Схема 1

Слагаемые определителя, снабженные знаком минус, вычис
ляются перемножением элементов, стоящих  на вспомогательной 
диагонали и в вершинах треугольников со стороной, параллельной 
вспомогательной диагонали (схема 2). 

Схема 2

Определитель третьего порядка можно вычислить, если допи
сать к нему справа два его первых столбца, а затем перемножить        
элементы и сложить со знаками плюс или минус, как показано на 
схеме 3. Данная схема называется правилом Саррюса.

Схема 3

1.3.2. Свойства определителей

Свойства определителей (в справедливости указанных 

свойств определителей можно убедиться проверкой):

1. Определитель равен нулю, если:

а)  строка или столбец состоят из нулей;
б)  имеется два одинаковых ряда (две строки или два столбца);
в)  элементы параллельных рядов пропорциональны.

Например, пусть задан определитель с двумя одинаковыми 

столбцами:

0



ab
ab
b
b

a
a
.  Свойство справедливо.  

2. При умножении определителя на некоторое число k эле
менты одного ряда нужно умножить на это число: 





)
(
21
12
22
11

22
21

12
11
a
a
a
a
k
a
a

a
a
k

22
21

12
11

21
12
22
11
a
a

ka
ka
a
ka
a
ka


.

3. Определитель не изменится, если:

а)  параллельные ряды поменять местами чётное число раз;
б) строки сделать соответствующими столбцами, а столбцы 

– строками (такая операция называется транспонированием определителя):

в) к элементам одного ряда прибавить соответствующие 

элементы другого ряда,  умноженные на одно и то же число. 

Таким образом, существуют преобразования определителей, 

указанные в пунктах а), б), в),  которые не изменяют его величины.

Преобразования, описанные в свойствах 2) – 3), называют эле
ментарными преобразованиями строк (столбцов) определителя.

Элементарные преобразования строк определителей часто 

применяются с целью «обнуления» его элементов. 
Пример 1.2. Задан определитель

7
3
6

5
2
4

3
1
2


.

Используя свойства определителя, преобразовать его так, что
бы его элементы, расположенные ниже главной диагонали, превратились в нули. Величина определителя не должна измениться.
Решение.

Используем преобразования, не изменяющие величину опре
делителя. Умножим первую строку на (-2) и прибавим её ко второй 
строке. Затем умножим первую строку на (-3) и прибавим её к третьей строке. В результате:

2
0
0

1
4
0

3
1
2

9
7
3
3
6
6

6
5
2
2
4
4

3
1
2

7
3
6

5
2
4

3
1
2
















.

Определение 1.4. Дополнительным минором 
ij
M
элемента 

ij
a
данного определителя  называется определитель, полученный 

из данного путём вычёркивания строки и столбца, на пересечении 

которых стоит элемент 
ija . Здесь i  номер строки, j  номер

столбца. 

Например, для элемента 
13
a  определителя (1.2) минор имеет 
следующий вид: 

.

32
31

22
21
13
a
a
a
a
M


Определение 1.5. Алгебраическим дополнением 
ijA  элемен
та 
ija  называется минор этого элемента, умноженный на (-1) в сте
пени, равной сумме номеров строки и столбца: 

ij
j
i
ij
M
A




)
( 1
.          
  (1.3) 

Непосредственно из выражения для определителя и из того, 
что каждое слагаемое в правой части содержит один и только один 
элемент из каждой строки (столбца), вытекает следующая теорема. 
Теорема (о разложении определителя по строке): Определитель det 𝐴  матрицы 𝐴 равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки матрицы 𝐴 на их алгебраические дополнения, т.е. 
det 𝐴 = 𝑎𝑖1𝐴𝑖1 + 𝑎𝑖2𝐴𝑖2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛𝐴𝑖𝑛.
Например, 
рассмотрим 
определитель 
третьего 
порядка. 
Каждый определитель может быть вычислен как сумма произведений элементов какого-либо ряда на их алгебраические дополнения: 

32
32
22
22
12
12
13
13
12
12
11
11

33
32
31

23
22
21

13
12
11
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a

a
a
a

a
a
a

a
a
a










.    (1.4) 

Здесь приведено вычисление определителя в двух вариантах: 
по элементам первой строки и по элементам второго столбца.       
Формула (1.4) называется разложением определителя по элементам ряда.