Математика. Ч. II

Е.П. Виноградова 

МАТЕМАТИКА 
Часть II 

Учебное пособие 

3-е издание, стереотипное

Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2019 

УДК 51 
ББК 22.1 

В49 

Научный редактор 

Уткина Т.И., доктор педагогических наук, профессор, заведующий 

кафедрой алгебры, геометрии, теории и методики обучения математике 

Орского гуманитарно-технологического института (филиала) ОГУ 

Рецензенты: 

Сафонова Г.И., кандидат педагогических наук, первый заместитель 

министра образования Оренбургской области; 

Левашова Г.Н., кандидат педагогических наук, 

Заслуженный учитель России, директор ГАОУ СПО 

«Педагогический колледж» г. Орска 

В49        

Виноградова Е.П.
        Математика. Ч. II [Электронный ресурс] : учеб. пособие / Е.П. 
Виноградова. – 3-е изд., стер. – М. : ФЛИНТА, 2019. – 199 с.  

ISBN 978-5-9765-1937-4 

Учебное пособие «Математика. Часть II» является продолжением серии по
собий, предназначенных для студентов факультета педагогики и методики начального образования. Цель данного издания – помочь студентам обобщить знания о 
числовых выражениях, равенствах и неравенствах, выражениях с переменной, 
уравнениях и неравенствах с одной переменной, основных методах решения 
систем уравнений, а также рассмотреть различные подходы к построению множества целых неотрицательных чисел. 

УДК 51 

ББК 22.1 

ISBN 978-5-9765-1937-4
   © Виноградова Е.П., 2013 

 © Издательство «ФЛИНТА», 2014 

Содержание 

Введение ................................................................................................. 5
1. Элементы алгебры ........................................................................... 6

1.1. Лекционный материал ................................................................ 6
1.1.1. Отношения ………………...................................................... 6
1.1.2. Соответствия ………………………………………............... 18
1.1.3. Числовые функции ……………………………..................... 26
1.1.4. Прямая и обратная пропорциональность ………................. 31
1.1.5. Алгебраические операции на множестве ………................. 35
1.1.6. Выражения и их тождественные преобразования ............... 43
1.1.7. Числовые равенства и неравенства ………………............... 48
1.1.8. Выражения с переменной. Тождества …………….............. 56
1.1.9. Уравнения с одной переменной. Равносильность уравнений 
61

1.1.10. Неравенства с одной переменной. Равносильность 

неравенств .............................................................................................. 73

1.1.11. Решение неравенств с одной переменной .......................... 77

1.2. Самостоятельные работы ............................................................. 85

1.2.1. Соответствия ........................................................................... 85
1.2.2. Отношения .............................................................................. 86
1.2.3. Функция ................................................................................... 87
1.2.4. Числовые выражения, равенства и неравенства .................. 88
1.2.5. Выражения с переменной ...................................................... 91
1.2.6. Уравнения ................................................................................ 92
1.2.7. Неравенства ............................................................................ 93

1.3. Проверочные работы .................................................................... 94

1.3.1. Числовые выражения ............................................................
94

1.3.2. Числовые равенства (I часть)................................................. 95
1.3.3. Числовые равенства (II часть)................................................ 97
1.3.4. Выражения с переменной ...................................................... 97
1.3.5. Тождественные преобразования выражений ....................... 99
1.3.6. Преобразования выражений .................................................. 100
1.3.7. Преобразование рациональных выражений ......................... 101
1.3.8. Уравнения. Равносильность уравнений …………………..
102

1.3.9. Решение уравнений ………………………………………… 103
1.3.10. Решение дробно-рациональных уравнений ……………... 104
1.3.11. Решение неравенств ………………………………………. 106

1.4. Проверь себя …………………………………………………….. 107
2. Аксиоматическое построение множества целых 
неотрицательных чисел

110

 
3 

2.1. Лекционный материал .................................................................. 110

2.1.1. Понятие об аксиоматическом методе построения теории ..... 110
2.1.2. Сложение целых неотрицательных чисел …………............ 117
2.1.3. Умножение целых неотрицательных чисел …………......... 123
2.1.4. Свойства множества целых неотрицательных чисел .......... 129
2.1.5. Вычитание и деление целых неотрицательных чисел ........ 135

2.2. Самостоятельные работы ............................................................. 142

2.2.1. Аксиологическое построение системы натуральных чисел 142
2.2.2. Сложение ................................................................................. 147
2.2.3. Вычитание ............................................................................... 150
2.2.4. Умножение .............................................................................. 153
2.2.5. Деление .................................................................................... 156

3. Теоретико-множественный подход 
к построению множества целых неотрицательных чисел ........... 158
3.1. Лекционный материал ………...................................................... 158

3.1.1. Построение системы натуральных чисел на основе 

теории множеств .................................................................................... 158

3.1.2. Сумма целых неотрицательных чисел .................................. 166
3.1.3. Разность целых неотрицательных чисел .............................. 169
3.1.4. Произведение целых неотрицательных чисел ..................... 173
3.1.5. Частное целых неотрицательных чисел ............................... 178

3.2. Самостоятельные работы ............................................................. 181

3.2.1. Теоретико-множественный смысл суммы ........................... 181
3.2.2. Теоретико-множественный смысл разности ........................ 182
3.2.3. Теоретико-множественный смысл произведения ............... 183
3.2.4. Теоретико-множественный смысл частного натуральных 

чисел .............................................................................................................. 185
4. Натуральное число как мера величины ..................................... 187
4.1. Лекционный материал .................................................................. 187

4.1.1. Понятие натурального числа как меры длины .................... 187
4.1.2. Арифметические операции над натуральными числами 

как мерами длин отрезков ..................................................................... 189
Ответы к самостоятельным работам по теме 
«Аксиоматический подход» .................................................................. 194
Ответы к самостоятельным работам по теме 
«Теоретико-множественный подход» .................................................. 197
Библиографический список ............................................................... 198

 
4 
 

Введение 
 
Учебное пособие «Математика. Часть II» является продолжением 
серии пособий, предназначенных для студентов факультета педагогики 

и методики начального образования. Уже вышли в свет: «Математика. 
Часть I. Множества. Элементы комбинаторики», «Математика. Часть I. 
Математические утверждения и их структура». 

Данное пособие состоит из двух частей: теоретической и практической. В теоретической части дается лекционный материал по теме 
курса «Элементы алгебры» и «Различные подходы к построению мно
жества целых неотрицательных чисел», в практической части – задания 
для самостоятельной работы и серия проверочных работ. 
Цель данного издания – помочь студентам обобщить знания  

о числовых выражениях, равенствах и неравенствах, выражениях с переменной, уравнениях и неравенствах с одной переменной, основных 
методах решения систем уравнений, а также рассмотреть различные 

подходы к построению множества целых неотрицательных чисел.  

 
 
 
 

 
5 

 

1. ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ 
 
1.1. Лекционный материал 
 
1.1.1. Отношения 
 
План 
 
1. Понятие бинарного отношения. 
2. Способы задания отношения. 
3. Свойства отношений. 
4. Виды отношений. 

 
Содержание 
 

1. Изучение отношений между объектами важно для познания как 

самих объектов, так и для познания реального мира в целом.  

Чтобы увидеть общность методических подходов к изучению в 

начальном курсе математики конкретных отношений, понять важнейшие 
математические идеи, связанные с отношениями, учителю надо знать, какова математическая сущность любого отношения, какими свойствами 
они могут обладать, какие основные виды отношений изучает математика. 

Рассмотрим понятие отношения на множестве. 
Чтобы определить общее понятие бинарного отношения на множестве, рассмотрим конкретный пример. Пусть на множестве X = {2, 4, 
6, 8} задано отношение «меньше». Это означает, что для любых двух 
чисел из множества X можно сказать, какое из них меньше: 2 < 4, 2 < 6, 
2 < 8, 4 < 6, 4 < 8, 6 < 8. Полученные неравенства можно записать иначе, в виде упорядоченных пар: (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 6), (4, 8), (6, 8). Но 
все эти пары есть элементы декартова произведения Х × Х, поэтому об 
отношении «меньше», заданном на множестве X, можно сказать, что 
оно является подмножеством множества Х × Х. 

Вообще бинарные отношения на множестве X определяют следу
ющим способом: 

Бинарным отношением на множестве X называется всякое под
множество декартова произведения Х × Х. 

 
6 
 

Так как в дальнейшем мы будем рассматривать только бинарные 

отношения, то слово «бинарные», как правило, будем опускать. 

Условимся отношения обозначать буквами R, S, Т, Р и др. Если  

R – отношения на множестве X, то, согласно определению, RcX × X.  
С другой стороны, если задано некоторое подмножество множества  
X × X, то оно определяет на множестве X некоторое отношение R. 
Утверждение о том, что элементы х и у находятся в отношении R, 
можно записывать так: (х, у) с R, или xRy. Последняя запись читается 
так: «Элемент х находится в отношении R с элементом у». Отношения 
задают так же, как соответствия. Отношение можно задать, перечислив 
пары элементов множества X, находящихся в этом отношении. Формы 
представления таких пар могут быть различными – они аналогичны 
формам задания соответствий. Отличия касаются задания отношений 
при помощи графа. Построим, например, граф отношений «меньше», 
заданный на множестве X в {2, 4, 6, 8}. Для этого элементы множества 
X изобразим точками (их называют вершинами графа), а отношение 
«меньше» – стрелкой (рис. 1.1). 

 
 

Рис. 1.1                                              Рис. 1.2 

На том же множестве X можно рассмотреть другое отношение – 

«кратно». Граф этого отношения будет в каждой вершине иметь петлю 
(стрелку, начало и конец которой совпадают), так как каждое число 
кратно самому себе (рис. 1.2).  

2. Отношение можно задать при помощи предложения с двумя пе
ременными. Так, например, заданы рассмотренные выше отношения 

 
7 

«меньше» и «кратно», причем использована краткая форма предложений «число х меньше числа у» и «число х кратно числу у». Некоторые 
такие предложения можно записывать, используя символы.  

Например, отношения «меньше» и «кратно» можно было задать в 

таком виде: «х < у», «х : у». Отношение «х больше у на 3» можно записать в виде равенства х = у + 3 (или х - у = 3). 

Для отношения R, заданного на множестве X, всегда можно задать 

отношение R-1, ему обратное, – оно определяется так же, как соответствие, обратное данному.  

Например, если R – отношение «х меньше у», то обратным ему бу
дет отношение «у больше х». 

Понятием отношения, обратного данному, часто пользуются при 

начальном обучении математике. Например, чтобы предупредить 
ошибку в выборе действия, с помощью которого решается задача: «У 
Пети 7 карандашей, что на 2 меньше, чем у Бори. Сколько карандашей 
у Бори?» – ее переформулируют: «У Пети 7 карандашей, а у Бори на 2 
больше. Сколько карандашей у Бори?» Видим, что переформулировка 
свелась к замене отношения «меньше на 2» обратным ему отношением 
«больше на 2». 

3. Мы установили, что бинарное отношение на множестве X представляет собой множество упорядоченных пар элементов, принадлежащих декартову произведению Х × Х. Это математическая сущность всякого отношения. Но, 
как и любые другие понятия, отношения обладают свойствами. Их удалось выделить, изучая 
различные конкретные отношения. Свойств 
достаточно много, в нашем курсе мы будем 
изучать только некоторые. 
Рассмотрим на множестве отрезков, представленных на рисунке 1.3, отношения перпендикулярности, равенства и длины. 
Построим графы этих отношений (рис. 1.4) и будем их сравнивать. 

 

Рис. 1.3

 
8 
 

 
 
Рис. 1.4 
 

Видим, что граф отношения равенства отличается от двух других 

наличием петель в каждой его вершине. Эти петли – результат того, что 
отношение равенства отрезков обладает свойством: любой отрезок равен самому себе.  

Говорят, что отношение равенства обладает свойством рефлексив
ности или оно рефлексивно. 

Отношение R на множестве X называется рефлексивным, если 

о каждом элементе множества X можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой. 
Используя символы, это отношение можно записать в таком виде: 

 

Если отношение R рефлексивно на множестве X, то в каждой вер
шине графа данного отношения имеется петля. Справедливо и обратное 
утверждение: граф, каждая вершина которого имеет петлю, задает отношения, обладающие свойством рефлексивности. 

Примеры рефлексивных отношений: 
– отношение «кратно» на множестве натуральных чисел (каждое 

натуральное число кратно самому себе); 

– отношение подобия треугольников (каждый треугольник подо
бен самому себе). 

Существуют отношения, которые свойством рефлексивности не 

обладают. Таким, например, является отношение перпендикулярности 

 
9 

на множестве отрезков: нет ни одного отрезка, о котором можно сказать, что он перпендикулярен самому себе. Поэтому на графе отношения перпендикулярности (рис. 1.4) нет ни одной петли. Не обладает 
свойством рефлексивности и отношение «длиннее» для отрезков. 

Обратим теперь внимание на графы отношений перпендикулярно
сти и равенства отрезков. Они «похожи» тем, что если есть одна стрелка, соединяющая пару элементов, то обязательно есть и другая, соединяющая те же элементы, но идущая в противоположном направлении. 
Эта особенность графа отражает те свойства, которыми обладают отношения параллельности и равенства отрезков: 

– если один отрезок перпендикулярен другому отрезку, то этот 

«другой» перпендикулярен первому; 

– если один отрезок равен другому отрезку, то этот «другой» ра
вен первому. 

Про отношения перпендикулярности и равенства отрезков гово
рят, что они обладают свойством симметричности, или симметричны. 

Отношение R на множестве X называется симметричным, если 
выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении R  
с элементом у, следует, что и элемент у находится в отношении R с элементом х. 
Используя символы, это отношение можно записать в таком виде: 

 

Граф симметричного отношения обладает особенностью: вместе с 

каждой стрелкой, идущей от х к у, граф содержит и стрелку, идущую от 
у к х. Справедливо и обратное утверждение: граф, содержащий вместе с 
каждой стрелкой, идущей от х к у, и стрелку, идущую от у к х, является 
графом симметричного отношения. 

В дополнение к рассмотренным двум примерам симметричных 

отношений присоединим еще такие: 

 
10 
 

– отношение параллельности на множестве прямых (если прямая х 

параллельна прямой у, то и прямая у параллельна прямой х); 

– отношение подобия треугольников (если треугольник F подобен 

треугольнику Р, то треугольник Р подобен треугольнику F). 

Существуют отношения, которые свойством симметричности не 

обладают. Таким, например, является отношение «длиннее» на множестве отрезков. Действительно, если отрезок х длиннее отрезка у, то отрезок у не может быть длиннее отрезка х. Про отношение «длиннее» говорят, что оно обладает свойством антисимметричности, или антисимметрично. 

Отношение R на множестве X называется антисимметрич
ным, если для различных элементов х и у из множества X выполнено 
условие: из того, что х находится в отношении R с элементом у, следует, что элемент у в отношении R с элементом х не находится. 
Используя символы, это определение можно записать в таком виде: 

 

Граф антисимметричного отношения обладает особенностью: если 

две вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна. 
Справедливо и обратное утверждение: граф, вершины которого соединены только одной стрелкой, есть граф антисимметричного отношения. 

Кроме отношения «длиннее» на множестве отрезков свойством 
антисимметричности, например, обладают: 

– отношение «больше» для чисел (если х больше у, то у не может 

быть больше х); 

– отношение «больше на 2» для чисел (если х больше у на 2, то у 

не может быть больше на 2 числа х). 

Существуют отношения, не обладающие ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности.  
Рассмотрим, например, отношение «быть сестрой» на множестве 
детей одной семьи. Пусть в семье трое детей: Катя, Маша и Толя. Тогда 
граф отношения «быть сестрой» будет таким, как на рисунке 1.5. Он 

 
11 

 

показывает, что данное отношение не обладает ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности. 

 

 
 
Рис. 1.5 
 

Обратим пристальное внимание на одну особенность графа отно
шения «длиннее» (рис. 1.4). На нем можно заметить: если стрелки проведены от е к а и от а к с, то есть стрелка от е к с; если стрелки проведены от е к b и от b к с, то есть стрелка и от е к с и т. д. Эта особенность 
графа отражает важное свойство отношения «длиннее»: если первый 
отрезок длиннее второго, а второй – длиннее третьего, то первый – 
длиннее третьего. Говорят, что это отношение обладает свойством 
транзитивности, или транзитивно. 

Отношение R на множестве X называется транзитивным, ес
ли выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у и элемент у находится в отношении R
с элементом r, следует, что элемент х находится в отношении R
с элементом r. 
Используя символы, это определение можно записать в таком виде: 

 

 
Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок, идущих 
от х к у и от у к z, содержит стрелку, идущую от х к z. Справедливо  
и обратное утверждение. 

Кроме отношения «длиннее», на множестве отрезков свойством 

транзитивности обладает отношение равенства: если отрезок х равен 

 
12