Финансовая математика

В Ы С Ш Е Е  О Б Р А ЗО В А Н И Е  -  БАКАЛАВРИАТ 

серия основана в 1 9 9 6  г.

A. С. ЧУЙКО
B. Г. ШЕРШНЕВ

ФИНАНСОВАЯ
МАТЕМАТИКА

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано

Межрегиональным учебно-методическим советом 
профессионального образования в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по направлениям подготовки 
38.03.01 «Экономика», 38.03.02 «Менеджмент» 
(квалификация (степень) «бакалавр») 
(протокол № 11 от 11.06.2019)

Эл е к т р о н н о

znanium.com

Москва

ИНФРА-М

2020

УДК [336+51](075.8) 
ББК 65.26:22.1я73 
Ч87

ФЗ

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Чуйко А.С.

Ч 87 
Финансовая математика : учеб. пособие /  А.С. Чуйко, В.Г. Шершнев. — М. : ИНФРА-М, 2020. — 160 с. — (Высшее образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-015641-5 (print)
ISBN 978-5-16-101413-4 (online)
Излагаются схемы начисления и дисконтирования процента при оценке условий и выборе параметров финансовых сделок, в основе которых могут быть как разовые платежи, так и потоки платежей.

Для студентов вузов, обучающихся по направлениям подготовки 
38.03.01 «Экономика», 38.03.02 «Менеджмент».

УДК [336+51](075.8) 
ББК 65.26:22.1я73

ISBN 978-5-16-015641-5 (print)
ISBN 978-5-16-101413-4 (online) 
© Чуйко А.С., Шершнев В.Г., 2013

Оригинал-макет подготовлен в НИЦ ИНФРА-М

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 
127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1 
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29 
E-mail: books@infra-m.ru
http://www.infra-m.ru

Подписано в печать 11.07.2019.

Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Гарнитура Newton. 
Печать цифровая. Усл. печ. л. 10,0.

ППТ30. Заказ № 00000

ТК 441350-1044508-250213

Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 
127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1 
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

Оглавление

Введение................................................................................................

Раздел I. Разовые платежи................................................................

1.1. Основные понятия и математический аппарат......................

1.2. Простой процент и дисконт.......................................................

1.3. Сложный процент и дисконт......................................................

1.4. Сравнительный анализ схем наращения и дисконтирования

1.5. Инфляция и способы компенсирования потерь от н ее.........

Раздел IL Потоки платежей..............................................................

2.1. Основные понятия и математический аппарат......................

2.2. Потоки с постоянными платежами.................................

2.3. Потоки с переменными платежами.......................................

2.4. Сравнительный анализ и применение....................................

Приложения........................................................................................

Ответы..................................................................................................

Библиографический список.............................................................

4

6

6

15

26

41

57

64

64

71

105

113

153

157

160

3

ВВЕДЕНИЕ

Современный мир невозможно представить без денег. Все имеет 
цену. Все покупается и все продается. Были бы деньги. Поэтому их 
зарабатывают, накапливают и тратят. Однако эти процессы часто не 
являются синхронными во времени. В то же время жизнь показывает, 
что на одну и ту же сумму денег сегодня можно купить товаров и услуг больше, чем завтра, т.е. деньги в текущий момент времени всегда 
более ценны, чем в будущем.

Поэтому те, кто зарабатывает или накапливает, получая наследство или подарки, большие суммы денег и не имеют возможности их 
потратить, готовы предоставить свои деньги в долг тем, кто в них нуждается, но за определенное вознаграждение, которое, как минимум, 
компенсировало бы потерю ценности денег во времени. Таким образом, существует непрекращающееся предложение денег.

К тем, кто постоянно нуждается в деньгах можно отнести в первую очередь бизнесменов. Бизнес требует больших финансовых инвестиций для оплаты труда работников, счетов за коммунальные услуги, 
покупку оборудования, материалов. Расширение бизнеса требует также больших финансовых вливаний. Потребность в деньгах появляется 
и у тех, кто покупает дорогие товары и услуги, используя потребительский кредит. Все это обусловливает непрекращающийся спрос на 
деньги.

Если на деньги существует спрос и предложение, то деньги являются товаром, и, следовательно, как любой товар имеют стоимость, 
величина которой зависит от соотношения спроса и предложения на 
этот товар.

Спрос, предложение, товар, стоимость -  все это есть категории 
рынка, в том числе и финансового рынка. Задачи финансового рынка, 
решение которых базируется на количественных методах, можно разделить на две основные группы.

Первая группа задач связана с определением финансового состояния субъектов рынка с целью оценки уровня риска при взаимоотношениях с ними.

Ко второй группе относятся задачи выбора условий финансовой 
сделки между субъектами рынка и расчета параметров сделки.

В данном пособии обсуждаются идеи и принципы решения задач 
второй группы. Многие из этих задач решены не только теоретически, 
но и овеществлены в компьютерных технологиях для практического

4

использования. Однако применение в полной мере накопленного при 
этом опыта требует освоения идей и принципов, заложенных в решениях таких задач. Методы анализа и определения, как условий, так и 
параметров рассматриваемых в пособии финансовых сделок в своей 
основе одинаковы и осуществляются с применением математического 
аппарата, который знаком каждому студенту первого курса экономического ВУЗа. Поэтому задача данного пособия заключается не только в том, чтобы напомнить необходимые сведения из курса математики, но и помочь усвоить логику отношений между количественными 
характеристиками финансовых понятий, а также представить эти отношения в виде математических выражений и указать направления 
возможного их использования.

Содержанием финансовых сделок могут быть как разовые платежи, когда в рамках контракта ее участники осуществляют разовый 
обмен суммами денег, так и потоки платежей, когда в рамках контракта осуществляется многократный обмен суммами денег.

Количественный анализ этих двух разновидностей платежей 
охватывает почти все многообразие финансовых сделок и поэтому составляет неотъемлемую часть подготовки специалистов для работы на 
финансовом рынке.

При подготовке пособия использовались материалы современных монографий и учебников по финансовому рынку как отечественных, так и зарубежных авторов [1-13].

Раздел 1. РАЗОВЫЕ ПЛАТЕЖИ

1.1. Основные понятия и математический аппарат

В любой финансовой сделке участвуют, как минимум, две стороны. Обе стороны, кто бы они ни были, могут представлять в сделке, 
как кредитора, так и заемщика.

Основная масса финансовых сделок между кредиторами и заемщиками связана с предоставлением некоторой суммы денег в долг. 
Примерами таких сделок служат операции кредитования, предоставления денежных ссуд, помещения денег на сберегательный счет, инвестирования денег в проекты, учет векселей, покупки сберегательных 
сертификатов или облигаций и т.д.

Многие процессы, такие, как инфляция, финансовое состояние 
участников сделки, прибыль от инвестирования денег в производство 
и др., делают деньги неравноценными относительно различных моментов времени. Поэтому фактор ’’времени" в финансовых сделках 
играет одну из ключевых ролей и определяет появление при формировании финансовых контрактов таких показателей, как:

-  срок долга т~ число дней между датой предоставления денег в 
долг и датой погашения долга;

-  сумма первоначального долга S{0) -  сумма денег, предоставленная в долг в начале срока долга;

-  сумма погашаемого долга S(r) -  сумма денег, которая должна 
быть возвращена в конце срока долга;

-  процентная - 1 или учетная -  d ставки, которые применяются на 
фиксированном промежутке времени -  г*.

Эти показатели при решении задач, связанных с разовыми платежами, являются либо заданными, либо вычисляются (табл. 1.1).

Таблица 1.1

' 
-—
Показатели 
Задачи 
~— ------S
m
i(d)
т

Определение суммы погашаемого 
долга (прямая задача)
?
+
+
+

Определение суммы первоначального долга (обратная задача)
+
?
+
+

Определение процентной ставки
+
+
?
+

Определение срока пользования 
долгом
4+
+
?

6

Процент и дисконт. Ставка процента и ставка дисконта

Стоимость денег -  1(f), реализуемая во времени как отложенный 
спрос их владельца, является вознаграждением или платой за их использование в течение срока долга -  г и называется процентными 
деньгами или, коротко, процентом. Величина процента определяется, 
не только суммой первоначального долга и сроком долга, но и ставкой (долей от суммы долга) процента за период времени -  т* ее 
применения в соответствующий момент времени срока долга.

«Справедливая» величина ставки формируется конъюнктурой на 
финансовом рынке. Ставки, фигурирующие в финансовых контрактах, 
могут не совпадать с величиной «справедливой» ставки, но должны 
быть близкими к ней. В противном случае общество может усомниться в истинном назначении финансового контракта -  предоставления 
денег в долг.

Необходимо отметить, что в финансовых расчетах срок долга 
измеряется безразмерной величиной -  г Л* = п , равной числу периодов т* применения ставки в сроке долга г. Однако при обсуждении финансовых контрактов, предлагаемых в задачах данного курса, 
да и в любой другой литературе по финансовым расчетам, срок долга 
измеряется единицами календарного времени, как и в повседневной 
жизни. Это связано с тем, что почти всегда в финансовых расчетах используют ставку с годовым сроком применения, т. е. годовую ставку. 
Поэтому число периодов применения годовой ставки совпадает с 
числом лет в сроке долга.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть заданы S(0) -  сумма первоначального долга в денежных единицах (д. е.); п -  срок долга в числе периодов применения ставки, i -  ставка процента от суммы долга в 
определенный момент времени в сроке долга за временной промежуток z* ее применения. Требуется найти S(n) -  сумму наращенного (погашаемого) долга к концу его срока.

В этой задаче, назовем ее прямой задачей, ставку процента можно

. щ
оценить по формуле: i =-— - , где Ix (1) -  процент за один (индекс в

0(0)

скобках) первый (индекс внизу справа) период применения ставки 
процента, которая имеет размерность обратную размерности единицы 
измерения временного интервала.

Дискретным периодам (год, полугодие, квартал, месяц и т.д.) соответствует дискретное начисление процентов. При анализе долгосрочных операций практикуется непрерывное начисление процентов.

7

В зависимости от базы (суммы денег) для вычисления процента на 
каждом периоде применения процентной ставки, сумму долга можно 
увеличить:

либо простым процентом: It (1) = £(0) i , t = 1, 2, . . п\

либо сложным процентом: It (1) -  S(t - 1)/, где S (Ы ) -  величина

наращенной суммы долга к началу временного периода t = 1 , 2 , . .п.

Необходимо отметить, что в правой части формул простого и 
сложного процентов незримо присутствует сомножитель в виде одного временного интервала, на котором вычисляется процент.

Каждый тип процента связан с определенной схемой его выплаты 
через некоторые промежутки времени. Простому проценту соответствует выплата процента кредитору, сложному проценту соответствует 
присоединение процента к сумме долга. Присоединения процента через определенные промежутки времени к сумме долга называется капитализацией процента.

Процесс увеличения суммы долга в связи с присоединением (причислением) к нему начисленных процентов за время г называют наращением или ростом суммы первоначального дол га, а увеличенную 
сумму долга -  наращенной суммой долга или суммой погашаемого 
долга. Таким образом, величина долга в каждый момент времени принимает одно определенное значение. Отметим, что понятия наращенная сумма долга за время пользования долгом и сумма погашаемого 
долга в дальнейшем изложении будут эквивалентными, если об этом 
ничего не сказано дополнительно

Если процент выплачивается в конце каждого из п периодов применения процентной ставки, то величина процента за весь срок долга

п

равна 1(п) = 
, а наращенная за весь срок сумма долга опреде
*=1

п

ляется соотношением а д = $ ( 0 ) + £ /,( 1 ) .

Г=1

Отметим, что процентные ставки в зависимости от их величины на 
каждом периоде начисления процента бывают:

-  фиксированные, если они определены на весь срок долга как постоянные или переменные величины;

-  плавающие, если они определяются в зависимости от возможных 
условий как некоторая изменяющаяся величина, обеспечивающая условие финансовой эквивалентности, плюс надбавка.

Наряду с прямой задачей встречается обратная задача, в которой 
задана S(n) -  сумма погашаемого долга в денежных единицах; п -  срок

8

долга в числе периодов применения ставки; d -  доля (ставка) от суммы долга S(n) (ставка процента), определяющая величину вознаграждения за пользованием долгом на промежутке времени т* ее применения в сроке долга. Требуется найти сумму S(Q\ предоставляемую в 
долг.

Заметим, обесценивание денег во времени, определяется соотношением S(0) < S(n). Для нахождения суммы 
£(0) необходимо 
дисконтировать (уменьшить) сумму S(n), изымая в пользу кредитора 
вознаграждение D(n) = S(n)-S(0) за пользование долгом, которое 
называется дисконтом или учетом. Ставка процента в этом случае 
называется ставкой дисконта (или учета) и определяет долю прибыли от одной денежной единицы, которую необходимо выплатить в 
конце промежутка времени применения этой ставки. Чтобы отличать 
место формирования величины ставки дисконта (например, ставка рефинансирования федерального банка) и способ использования при 
расчетах, будем обозначать ее буквой d.

Оценить величину ставки дисконта можно по формуле

Я„0)
а — 
■
 
9
S(n)

где £>„(1) -  процентные деньги (дисконт) за один (индекс в скобках) последний (индекс внизу справа) период применения дисконтной 
ставки в сроке долга, причем ставка дисконта имеет размерность обратную размерности единицы измерения временного интервала.

В зависимости от базы (суммы денег) для вычисления дисконта на 
каждом из п периодов применения дисконтной ставки сумму погашаемого долга можно уменьшить:

либо простым дисконтом: Dt{ 1) = S(n)d, t = п ,п - 1,..., 2,1;

либо сложным дисконтом: Dt(\) = S{t)d, где S(t) сумма долга к

концу периода t = л, п -  1,..., 2, 1.

Необходимо заметить, что в правой части формул простого и 
сложного дисконтов незримо присутствует сомножитель в виде единицы временного интервала, на котором вычисляется процент.

Если дисконт изымается в начале каждого периода применения 
ставки, 
то 
величина 
дисконта 
за 
весь 
срок 
долга 
равна 
1
О(п) _ £  
(1). При этом предоставляемую в долг сумму денег мож
t=n

1

но найти из соотношения s(0) = S(n) -  ]Г D,(l) (см. рис 1) и она на
t-n

зывается современной или приведенной стоимостью суммы погашае
9

мого долга.

наращивание долга процентом:
-  простым: /, (1) = 5(0) i ,
-  сложным: /, (1) = 5(/ -1) i 
наращенная

за период / = 1,2, ... ,п. 
сумма долга

5(0) 
1г(\) 5(1) 
... 
5(М ) 5(/) = 5(/-1) + /,(1) 5 (0 )+ £ /#0) = 5(п)

Прямая задача^

первоначальная 
сумма долга

/=1
Lw

|о

п

1 
... 
ы
t 
...
п~ 1 
т/т* = п W
t

5(0) = 5(л)-Х А (1)

приведенная 
(современная) 
величина долга

5(*-1)= 5(/)-В Д  
5("-1) В Д  
а д

учет долга дисконтом:
-простым: Dt(l)~S(n)d, 
погашаемая

-сложным: Dt(Y) = S(t)d 
сумма долга

за период f = n, л -1 ,..., 2, 1

Обратная задача

Рис. 1 
^

Отметим, что проценты, полученные по ставке процента, иногда 
называют также декурсивными, а по учетной ставке -  антисипатив- 
ными.

Математический аппарат

При расчетах параметров финансовых сделок используются числовые последовательности, арифметическая и геометрическая прогрессии, а также разложение функций в степенной ряд Маклорена.

Формулы п-то члена и суммы п первых членов арифметической и 
геометрической прогрессий имеют вид:

_ 
la^+dfn-A)
ап =a[ +d(n-\);S„=------------------и;

b„=br qn-l -,Sn =

2

q -1

Ряд Маклорена в общем случае имеет вид

т
-_т + т
х +
т
хг + ..л 1
^
Х'+....

1! 
2! 
п\

В финансовых вычислениях часто используются разложения в ряд 
Маклорена следующих функций:

(1+х; =1+—х+ 
1!

т 
т(т~ 1) 2 
, м(т -  V) -' - (т—п+\) п
-х +...+•

п\

х"+... (-1<х<1);

10

Н  <х<\у,

(-1 < х <  1); 

(-1 < х < 1 ); 

(-1 < х <  1); 

(-1 <х£ 1); 

(-1< х < 1 );

(—00 < JC < +О0).

Ответьте на вопросы

1. Что понимают под «процентом» в финансовых вычислениях?
2. В каких единицах измеряется срок долга в финансовых вычислениях?
3. Перечислите факторы, определяющие величину процента.
4. Что такое капитализация процента?
5. Что отличает процент от дисконта?
б.Что общего между процентом и дисконтом?
7. Объясните термины: первоначальная сумма долга, наращенная 
сумма долга, погашаемая сумма долга, современная (приведенная) 
сумма долга.
8. Как оценивается ставка процента?
9. Как оценивается ставка дисконта (учетная ставка)?
10. В каких единицах измеряются ставки процента и учета?
11. Как формируется «справедливая» ставка?
12. Какие факторы отличают простой процент от сложного?
13. Какие факторы отличают простой дисконт от сложного?
14. При каких условиях простой процент равен сложному проценту, а 
простой дисконт равен сложному дисконту?
15. Чем отличаются процессы наращения и дисконтирования денежных сумм?
16. Какие проценты называют декурсивными, а какие антисипатив- 
ными.

11