Математический анализ: Функции нескольких переменных

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ  АНАЛИЗ: 

ФУНКЦИИ  НЕСКОЛЬКИХ  ПЕРЕМЕННЫХ

Сборник индивидуальных заданий 

под редакцией Е.Г. Плотниковой

Москва
Издательство «ФЛИНТА» 
2019

3-е издание, стереотипное

Е.Г. Плотникова, С.В. Левко

УДК 517 (075.8) 
ББК 22.161я73 

П39

Под общ. ред. д-ра пед. наук, профессора Е.Г. Плотниковой. 

Плотникова Е.Г.
Математический анализ: Функции нескольких пере- 
менных [Электронный ресурс]: cб. инд. заданий / Е.Г. 
Плотникова, С.В. Левко; под общ. ред. Е.Г. Плотниковой. 
– 3-е изд., стер. – М. : ФЛИНТА, 2019. – 150 с.

ISBN 978-5-9765-1841-4

Сборник содержит основные теоретические сведения и наборы ин
дивидуальных заданий по важнейшему разделу математического 
анализа – «Функции нескольких переменных». Каждое задание сопровождается примером решения с необходимыми методическими 
указаниями. Предлагаемые наборы индивидуальных заданий могут 
использоваться для организации как аудиторной, так и внеаудиторной 
самостоятельной работы студентов.  

Сборник составлен на основе многолетнего опыта работы авторов и 

апробирован на практических занятиях по математическому анализу в 
Пермском государственном национальном исследовательском университете и в Национальном исследовательском университете Высшая 
школа экономики – Пермь. 

Предназначен для студентов и преподавателей вузов. 

УДК 517 (075.8) 
ББК 22.161я73 

П39

ISBN 978-5-9765-1841-4
© Издательство «ФЛИНТА», 2014

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ...............................................................................................4

ТЕМА 1
Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных........................................................................................................5
1.1. Область определения, предел, непрерывность функции 

нескольких переменных ......................................................................5

1.2. Дифференциальное исчисление функции нескольких 

переменных ........................................................................................ 14

1.3. Экстремум функции нескольких переменных ................................ 33

1.3.1. Локальный экстремум функции нескольких переменных ........33
1.3.2. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой 

области....................................................................................... 37

1.3.3. Экстремум функции заданной неявно ....................................37
1.3.4. Условный экстремум функции нескольких переменных........38

ТЕМА 2
Интегральное исчисление функции нескольких переменных.......56
2.1. Кратные интегралы............................................................................56

2.1.1. Двойные интегралы....................................................................56
2.1.2. Тройные интегралы....................................................................76

2.2. Криволинейные интегралы ............................................................... 91
2.3. Поверхностные интегралы.............................................................. 109

ТЕМА 3
Теория поля ........................................................................................... 125
3.1. Скалярное поле ................................................................................ 125
3.2. Векторное поле ................................................................................ 127

Список литературы..............................................................................147

ВВЕДЕНИЕ

На современном этапе обучения в высшей школе значительный 

объем программного материала отводится на самостоятельную работу 
студентов. Данное учебное пособие нацелено на развитие и активизацию самостоятельной работы; оно составлено на основе многолетнего 
опыта преподавательской работы авторов и апробировано на практических занятиях по математическому анализу в Пермском государственном национальном исследовательском университете и в Национальном 
исследовательском университете Высшая школа экономики – Пермь. 

Сборник включает необходимые теоретические сведения и набо
ры индивидуальных заданий по важнейшему разделу математического 
анализа – «Функции нескольких переменных» и состоит из трех частей: дифференциальное исчисление функции нескольких переменных; интегральное исчисление функции нескольких переменных; теория поля. Каждое индивидуальное задание сопровождается примером 
решения с необходимыми методическими указаниями. 

Индивидуальные задания могут использоваться для организации 

как аудиторной, так и внеаудиторной самостоятельной работы. 

Пособие представляет интерес для студентов и преподавателей

вузов. 

ТЕМА  1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ  ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ  НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1.1. Область определения, предел, 

непрерывность функции нескольких переменных

1. Пространство 
n
R
– множество, состоящее из совокупности 

действительных переменных, т.е.




R
R




i
n

n
x
n
i
x
x
,
,1
...,
,
1
. 

Правило f
, ставящее в соответствие каждой n -мерной точке 



n
x
x
x
M
,
...
,
,
2
1
некоторого множества D арифметического евклидо
ва пространства 
n
R
единственное число y , называется функцией n

переменных или функцией нескольких переменных (ФНП) и обозначается 


n
x
x
x
f
y
,
...
,
,
2
1

, или 


M
f
y 
.

2. Множество D при этом называется областью определения 

функции f
и обозначается 
 
f
D
, число y называется значением 

функции в точке 


n
x
x
x
M
,
...
,
,
2
1
. 

Частным, наиболее простым и наглядным случаем ФНП является 

функция двух переменных, которая обозначается 


y
x
f
z
,

; для 

функции трех переменных используется обозначение 

z
y
x
f
u
,
,

.

Для функции двух переменных 


y
x
f
z
,

область определения 

– множество точек координатной плоскости xOy . Исследование области определения ФНП аналогично исследованию для функции одной 
переменной. 

Тема 1. Дифференциальное исчисление фукнции нескольких…

6

3. Множеством уровня функции 


n
x
x
x
f
y
,
...
,
,
2
1

, соответ
ствующим числу C , называется множество точек 

n
x
x
x
,
...
,
,
2
1
, при
надлежащих области определения функции и удовлетворяющих уравнению


C
x
x
x
f
n 
,
...
,
,
2
1
. Для функции двух переменных 


y
x
f
z
,


уравнение 


C
y
x
f

,
определяет линию уровня.

Для функции трех переменных 

z
y
x
f
u
,
,

уравнение



C
z
y
x
f

,
,
определяет поверхность уровня.

4. Число A называется пределом функции 


M
f
в точке 
0
M , если

для любого числа 
0


найдется соответствующее ему число  
0




такое, что для любой точки M из множества определения функции, 
удовлетворяющей условию






0
,
0
M
M
, справедливо неравен
ство




 A
M
f
. Здесь 


 
 
 


0
0
2

0
1
0
1
...,
,
,
,
...,
,
n
n
x
x
x
M
x
x
M
, 



 


 


 


2
0
2
0
2
2

2
0
1
1
0
...
,
n
n
x
x
x
x
x
x
M
M








. (1.1.1)

Такой предел называют кратным, одновременным, по совокупно
сти переменных обозначают 



A
M
f

M
M



0

lim
или 
 

 



A
x
x
x
f
n

x
x

x
x

n
n






...,
,
,
lim
2
1

..
..........

0

0

1
1

. (1.1.2)

Значение предела не должно зависеть от способа стремления точ
ки M к точке 
0
M , в противном случае предел не существует.

5. Число A называется повторным пределом функции 


M
f
в 

точке 
0
M , если оно получено в результате последовательных пре
дельных переходов по каждому аргументу в отдельности в том или 
ином порядке. 

Например:

 
 
 


A
x
x
x
f
n
x
x
x
x
x
x
n
n






...,
,
,
lim
...
lim
lim
2
1
0
0
2
2

0

1
1

.
(1.1.3)

Для функции двух переменных 


y
x
f
z
,

одновременный предел 

имеет вид 


A
y
x
f

y
y

x
x




,
lim

0
0

. 

Повторные пределы: 


1
,
lim
lim

0
0

A
y
x
f

y
y
x
x




или 


2
,
lim
lim

0
0

A
y
x
f

x
x
y
y




.

1.1. Область определения, предел, непрерывность функции…

7

6. Функция 


M
f
y 
называется непрерывной в точке 
0
M , если 

она определена в этой точке и 




0

0

lim
M
f
M
f

M
M



. В противном 

случае функция терпит разрыв в точке 
0
M . Точки разрыва ФНП могут 

быть изолированными, а могут образовывать линии, поверхности и т.п.

Задание 1

Найти и изобразить область определения заданных функций 

(см. табл. 1).

Таблица 1

№

варианта

Функции 


y
x
f
z
;


а)
б)

1

y
x

y
x
z






2
2

30
5
6



16

4
2
ln

2
2

2









y
x

x
x
z

2



y
x

y
x
z






2
3

10
5
2
ln

25

6

2
2

2

6
2









y
x

y
x
e
z
x

3



14
2
7

9
ln
2
2








y
x

y
x
z


x

y
y
x
z




6
ln

4
4
2

4



x

x
y
z






5

2
ln
2



7
ln

2
25
4

7

2
2









y
x
x
y
x
z

5

36

12
2
3

2
2







y
x

y
x
z


3
ln

7
5
2






y
x
y
x
z

6



16

2
ln

2
2






y
x

y
z


1
ln
9
3

2

2








y

y
y
x
z

7

9

25

2
2

2
2








y
x

y
x
z


y

y
x
y
z






7
ln

5
6
4

7

2

8



4

16
ln
2
2








y
x

y
x
z


9
ln

4
7
5

3

2







x
y
y
x
z

Тема 1. Дифференциальное исчисление фукнции нескольких…

8

Окончание табл. 1

№

варианта

Функции 


y
x
f
z
;


а)
б)

9



7
7

3
ln
2







y
x

x
y
z


2
ln

5
6
9

7

2
2







y

x
y
y
x
z

10






5
6

81
ln
2
2







y
x

y
x
z


2
ln

6
7
16

4

2
2







x
y
y
x
z

Пример выполнения задания 1

Найти и изобразить область определения заданных функций:

а)



2
2
16

4
ln

y
x

x
z






,  б)


2
ln

3
1

2

2








y

y
x
y
x
z
.

Решение.
а) Функция будет иметь смысл, если.













0
16

0
4

2
2
y
x

x













.
4

4

2
2
2
y
x

x

Первое неравенство определяет полуплоскость справа от прямой 

4

x
. Второе неравенство определяет часть плоскости внутри круга с 

центром в начале координат и радиусом 
4

R
(рис. 1). 

Рис. 1

x

y

0
4
– 4

4

– 4

1.1. Область определения, предел, непрерывность функции…

9

Поскольку эти области не имеют общих точек, то функция смыс
ла не имеет, ее область определения – пустое множество: 
  



f
D
. 

б) Функция будет иметь смысл, если.




















0
2
ln

0
2

0
1
2

y

y

y
x



















.3
,1
2
2

1
2

y
y
y

x
y

Первое 
неравенство 

определяет область над параболой 
1
2 
 x
y
, включая 

параболу. Второе неравенство определяет полуплоскость над прямой 
2

y
. 

Третье условие исключает 
точки, лежащие на прямой 

3

y
. 
Область 
определения 

 
f
D
данной функции за
штрихована на (см. рис. 2). 

Задание 2

Для заданных функций (табл. 2) определить вид множества уровня.

Таблица 2

№

варианта

Функции

а)
б)

1
y
x
y
x
z
2
4
2
2




x
z
y
x
u
8
9
4
2
2
2





2
y
y
x
z
4
3
2
2



z
y
z
y
x
u
4
2
2
2
2






x

y

1
2 
 x
y

3

y

2

y

0
1 2
– 2

– 1

Рис. 2

Тема 1. Дифференциальное исчисление фукнции нескольких…

10

3
x
y
x
z
4
3
2
2



y
z
y
x
u
2
9
4
2
2
2





Окончание табл. 2

№

варианта

Функции

а)
б)

4
y
x
y
x
z
4
2
2
2




x
z
y
x
u
4
4
3
2
2
2





5
y
y
x
z
6
2
2




y
x
z
y
x
u
8
2
4
2
2
2






6
y
y
x
z
8
4
9
2
2



y
z
y
x
u
4
2
2
2
2





7
y
x
y
x
z




2
2
y
x
z
y
x
u
4
4
2
2
2






8
y
x
y
x
z




2
2
z
z
y
x
u
4
4
9
2
2
2





9
x
y
x
z
16
9
4
2
2



2
2
2
2
8
4
4
9
y
z
y
x
u





10
y
x
y
x
z
2
2
2
2





x
z
y
x
u
6
2
4
3
2
2





Пример выполнения задания 2

Для заданных функций определить вид множества уровня:
а)
y
x
y
x
z
8
8
4
2
2
2




;
б)
z
x
y
x
u
6
2
4
2
2




. 

Решение.
а) Определим множество точек плоскости xOy , удовлетворяю
щих уравнению

C
y
x
y
x




8
8
4
2
2
2
.

Преобразуем уравнение, для этого выделим полные квадраты:










;
12
1
4
2
2

,
12
1
2
4
4
4
2

2
2

2
2















C
y
x

C
y
y
x
x

уравнение будет иметь смысл, если 
0
12 

C
:

1.1. Область определения, предел, непрерывность функции…

11





1

4

12
1

2

12
2
2
2








C
y

C
x
.

Полученное уравнение определяет эллипсы, оси симметрии которых

пересекаются в точке 
1
;2 
, а полуоси равны 
2

12

C
и 
4

12

C
. 

б) Определим множества точек пространства 
3
R , удовлетворя
ющих уравнению

C
z
x
y
x




6
2
4
2
2
.

Преобразуем уравнение, для этого выделим полный квадрат по x :



1
6
4
1
2
2
2






z
C
y
x
x
,






.
6

1

2
3
6
1

,
6

1

6

4

6
1

2
2

2
2













C
z
y
x

C
z
y
x

Полученное уравнение определяет эллиптические параболоиды, 

вершины которых имеют координаты 








6

1
;0
;1
C
. 

Задание 3

Для заданных функций вычислить следующие пределы:

а)




z

y
x
0
;0
; lim


; 
б)
z

y
x
0
0 lim
lim



;
в)
z

x
y
0
0 lim
lim



. 

1.
2
2
3

y
x

xy
z




;
2.

y
x

y
x
z




3

3

;

3.
2
2

2
2

y
xy
x

xy
y
x
z






;
4.

2
2
2

2
2

y
x
y
x

y
x
z





;