Практическое применение теории надежности систем электроснабжения

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

Департамент научно-технологической политики и образования

Федеральное государственное бюджетное образовательное 

учреждение высшего образования

«Волгоградский государственный аграрный университет»

Кафедра «Энергетические системы и электростанции»

А. В. Меликов

ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ
ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ 

ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ

Учебное пособие

Волгоград

Волгоградский ГАУ

2018

УДК 621.3
ББК 31.28
М-47

Рецензенты: 

доктор технических наук, доцент, профессор кафедры «Системы автоматизированного проектирования и поискового конструирования» 
ФГБОУ ВО «Волгоградский ГТУ» Д.А. Скоробогатченко; доктор 
технических наук, профессор кафедры «Электрооборудование и 
электрохозяйство предприятий АПК» ФГБОУ ВО «Волгоградский 
ГАУ» В.Г. Рябцев

Меликов, Алексей Владимирович

М-47
Практическое применение теории надежности систем электро
снабжения: учебное пособие / А. В. Меликов. – Волгоград: ФГБОУ 
ВО Волгоградский ГАУ, 2018. – 80 с.

Учебное пособие предназначено для практических занятий по 

изучению прикладной теории надежности применительно к объектам 
электроэнергетики. Оно содержит основные теоретические положения, подробные решения типовых упражнений и задачи для самостоятельной работы. 

Учебное издание адресовано студентам электроэнергетического 

факультета, может быть использовано для преподавания надежности 
электроэнергетических систем, будет полезно магистрантам и инженерам-прикладникам, желающим самостоятельно изучить курс «Надежность электроснабжения».

УДК 621.3
ББК 31.28

© ФГБОУ ВО Волгоградский государст
венный аграрный университет, 2018

© Меликов А. В., 2018

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время развитие техники невозможно без расчета 

надежности элементов и систем, входящих в комплексные функциональные устройства. Особенно актуальна задача обеспечения надежности при создании и эксплуатации сложной технической системы
(например, системы электроснабжения), состоящей из большого числа 
элементов и имеющей как внутренние, так и внешние связи. Ее решение способствовало развитию общей теории надежности, в частности, 
выявлению и определению критериев и характеристик надежности 
(функции отказа, среднего времени безотказной работы и др.).

Однако при переносе положений общей теории надежности на 

различные звенья электрических систем, их следует уточнять и адаптировать в силу особенностей систем электроснабжения (характер 
электроснабжения, многоцелевое использование электроэнергии и 
др.). Необходимо учитывать стохастический характер взаимодействия 
системы электроснабжения с внешней средой – оценивать вероятность, с которой будет передана электроэнергия потребителю в требуемом количестве в пределах допустимых показателей ее качества.

Кроме того, в современных рыночных условиях надежность 

электроснабжения тесно связана с экономическими показателями и 
энергетической безопасностью предприятия. По этой причине практика самостоятельного решения инженерных задач по расчету и выбору 
схем электроснабжения с учетом надежности, направленная на формирование у будущих инженеров-электриков знания в области теории 
надежности систем электроснабжения, позволит достовернее оценивать особенности электрической системы.

Весь материал разбит на разделы, соответствующие практиче
ским занятиям, в начале которых приводятся краткие теоретические
сведения. Типовые задачи по теме даются с подробными решениями и 
ответами. Каждый раздел заканчивается заданиями на самостоятельную подготовку.

В работе кратко излагается основой материал по расчету надеж
ности систем электроснабжения с использованием математического 
аппарата теории вероятности. Структура пособия и материал излагаются в таком порядке и объеме, чтобы обучающийся мог ознакомиться с методами расчета и основами решения задач надежности без привлечения большого числа литературных источников. 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ 

ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЯ 

(НА ОСНОВЕ СБОРА ДАННЫХ ОБ ОТКАЗАХ ОБЪЕКТА)

Объем занятия – 4 часа.

Теоретические сведения

Вероятность безотказной работы – вероятность того, что в 

пределах заданной наработки или на заданном интервале времени отказ объекта не наступит [1]. Показатель вероятности безотказной работы, обозначаемый через     , определяется статистической оценкой:

           

 
       

  
(1)

где:  – исходное число работоспособных объектов, находящихся под наблюдением (число изделий, поставленных на испытание),     – число отказавших объектов за время  (в рассматриваемом интервале наработки).

Вероятность отказа     по статистическим данным об отказах 

изделия оценивается выражением:

     

    

 или            .
(2)

Плотность вероятности отказа (частота отказов) – отношение 

числа отказавших объектов в единицу времени к первоначальному числу изделий, находящихся под наблюдением (при условии, что отказавшие изделия не восстанавливаются и не заменяются новыми) [2, с. 19]. 
Для определения частоты отказов     справедливо соотношение:

         

    
(3)

где:  – величина рассматриваемого интервала наработки.

Интенсивность отказов – условная плотность вероятности воз
никновения отказа объекта, определяемая при условии, что до рассматриваемого момента времени отказ не возник [2, с. 20].

Другими словами, это отношение числа отказавших изделий в 

единицу времени к числу работающих безотказно за данный промежуток времени (при условии, что отказавшие изделия не восстанавливаются и не заменяются новыми).

Интенсивность отказов, обозначаемая через     , оценивают по 

формуле:

(4)

На рисунке 1 схематично представлены основные величины, 

используемые в статистической оценке.

Рисунок 1 – Иллюстрация статистических данных об отказах изделия

Средняя наработка до отказа (среднее время безотказной ра
боты) – математическое ожидание наработки объекта до первого отказа [2, с. 18]. Эта характеристика надежности обозначается через  и 
определяется из выражения:

          

 

 

 
  

 
   
 
 
(5)

где:   – наработка до отказа -го объекта.

Для определения статистической оценки среднего времени без
отказной работы изделия по выше представленной формуле необходимо знать моменты отказов всех образцов, над которыми проводится 
эксперимент. При большом числе объектов эксперимент может сильно усложниться.

Другими словами, среднее время безотказной работы характе
ризует надежность изделия только до первого отказа. В случае оценки 
безотказности изделия длительного использования применяют наработку на отказ     , вычисляемую как среднее значение времени между соседними отказами (при условии восстановления каждого отказавшего элемента):

       

         

 
,

где:     – время начала -ого интервала времени,   – время конца  -ого интервала 
времени. 

Тогда формула (5) имеет вид [3]:

(6)

где:   – количество вышедших из строя изделий в -ом интервале времени,
m – количество временных отрезков, которое определяется из выражения:

  

  
  ,

где:   – время выхода из строя всех изделий,   – интервал времени:

           

где:     – время начала следующего за -ым интервалом времени.

Решение типовых задач

Задача 1

На испытание поставлено 100 электронных ламп одного типа. За 

2500 часов работы отказало 5 ламп. Требуется определить вероятность 
безотказной работы и вероятность отказа ламп за 2500 часов.

Дано:

   100 шт.
  2500 ч.
     5 шт.

Решение:

(см. формулы 1-2)

  2500   - (2500)

 
 100-5

100  0. 5 [ 5   .

  2500   (2500)

 
 5

100 0.05 [5   

или

  2500  1-  2500  1-0. 5 0.05 [5   .

Найти:
    ,  ( )

Ответ: вероятность безотказной работы составляет  5  , веро
ятность отказа – 5  .

Задача 2

На испытание поставлено 300 изделий. За 3000 часов работы 

отказало 100 объектов, за последующий интервал времени работы 
объектов длительностью 300 часов отказали еще 100 изделий. Требуется определить статистическую оценку вероятности безотказной работы изделия за 3000 часов и 3300 часов, частоты и интенсивности 
отказов объектов в течение 3000 часов.

Дано:

   300 шт.
  3000 ч.
     100 шт.
   300 ч.
      100 шт.

Решение:

(см. формулы 1, 3-4)

  3000   - (3000)

 
 300-100

300
 0.6(6) [ 66    

  3300   -  3000 -  300 

 
 

300-100-100

300
 0.3 3 [ 33   .

  3000   (3000)

   
 
100

300 3000  0.0001(1) 1

ч. [ 1.1 10- 1

ч.  

  3000   (3000)

( - ( ))   
100

200 3000  0.0001(6) 1

ч. [ 1.6 10- 1

ч.  

Найти:

    ,       ,

    ,  ( )

Ответ: вероятность безотказной работы за 3000 часов составляет 

66  , за 3300 – 33  , частота отказов – 1.1 10- раз в час, интенсивность отказов – 1.6      раз в час.

Задача 3

На испытание поставлено 100 электронных ламп одного типа. За 

2500 часов работы отказало 5 ламп, за следующие 500 часов – еще 5 
штук. Требуется определить статистическую оценку частоты и интенсивности отказов ламп в промежутке времени 2500-3000 часов.

Дано:

    100 шт.
  2500 ч.
     5 шт.
   500 ч.
      5 шт.

Решение:

(см. формулы 3-4)

  500    500 

      
5

 5 500  0.000105 1

ч. [1.05 10- 1

ч.  .

  500  
 (500)

(  - (  ))    
5

 0 500

 0.0001111 1

ч. [1.11 10- 1

ч.  

Найти:

     ,  (  )

Ответ: частота отказов в промежутке времени 2500-3000 часов 

составляет 1.05 10- раз в час, интенсивность – 1.11 10- раз в час.

Задача 4

На испытание поставлено 6 изделий одного типа. Время безот
казной работы каждого образца соответствует:    250   ,          , 
   350   ,    280   ,    2 0   ,    2 0   Требуется определить 
статистическую оценку среднего времени безотказной работы изделия.

Дано:

    6 шт.
   250   
   300   
   350   
   280   
   2 0   
   2 0   

Решение:

(см. формулу 5)

   
  

 
  1
 
 250 300 350 280 2 0 2 0

6
 2 0 ч 

Найти:  

Ответ: среднее время безотказной работы изделия составляет 2 0 ч.

Задача 5

За наблюдаемый период эксплуатации объектов зафиксировано 

6 отказов. Время восстановления, соответственно, составило:
   25 мин ,    30 мин ,    35 мин. ,    28 мин. ,    2  мин , 
   2  мин. Требуется определить среднее время восстановления 
объекта.

Дано:

    6 шт.
   2  мин.
   31 мин.
   35 мин 
   26 мин.
   30 мин.
   28 мин.

Решение:

(см. формулу 5)

 в  
  

 
  1
 
 2  31 35 26 30 28

6
 2  мин.

Найти:   

Ответ: среднее время восстановления объекта составляет 2  мин.

Задача 6

Из наблюдений за 30 образцами электрооборудования получены 

данные до первого отказа всех объектов. Для удобства результаты 
эксперимента представлены в табличном виде. Требуется определить 
статистическую оценку среднего времени безотказной работы изделия.

, ч.
  , шт.
   , ч.
  , шт.

0-5 
0 
30-35 
3 

5-10 
2 
35- 0 
2 

10-15 
1 
 0- 5 
  

15-20 
3 
 5-50 
5 

20-25 
  
50-55 
  

25-30 
1 
55-60 
1 

Дано:

    30
шт.
   60 ч.
   5 ч.

Решение:

(см. формулу 6)

  

 к
   

60

5  12 интервалов времени.

 ср 1  0  1

2
 0 5

2  2.5 ч.

Аналогично,        .5 ч ,       12.5 ч.,       1 .5   , 

      22.5 ч ,       2 .5 ч ,       32.5 ч., 

      3 .5 ч.,        2.5 ч ,          .5   , 

       52.5   ,        5 .5   

   

 
    ср  

 
  1

 
 0 2.5 2  .5 1 12.5 3 1 .5 

30

  22.5 1 2 .5 3 32.5 2 3 .5    2.5 5   .5   52.5 1 5 .5 

3 ,8(3)     3  ч. 50 мин. 

Найти:  

Ответ: среднее время безотказной работы изделия составляет 

34 ч. 50 мин.

Задачи для самостоятельной работы

Задача 7

На испытание поставлено 100 ламп одного типа. За 4000 часов

отказало 50 изделий. За следующие 100 часов отказало еще 20 ламп. 
Требуется определить статистические оценки вероятности безотказной работы и отказов за  000 часов и за все время, а также частоты и 
интенсивности отказов за 4000 часов.

Задача 8

В течение 1000 часов из 10 образцов электрооборудования отка
зало 2. За интервал времени 1000-1100 часов отказал еще один объект. 
Требуется определить статистические оценки частоты и интенсивности отказов за все время работы.

Задача 9

На испытание поставлено 1000 электронных ламп одного типа. 

За 3000 часов отказало 80 ламп, за следующие 1000 часов – еще 50 
ламп. Требуется определить статистические оценки вероятности безотказной работы и отказов за все время эксперимента, а также частоты 
и интенсивности отказов за последние 1000 часов.

Задача 10

На испытание поставлено 1000 изделий. За 1300 часов вышло из

строя 300 изделий. За последующий интервал времени продолжительностью 100 часов отказали еще 10 изделий. Требуется определить статистические оценки вероятности безотказной работы за 1300 часов и
1 00 часов, частоты и интенсивности отказов за 1300 часов.

Задача 11

В результате наблюдения за  5 образцами электрооборудования, 

прошедшими предварительную 80-часовую приработку, получены 
данные до первого отказа всех образцов, сведенные в таблицу.

   , ч.
  , шт.
   , ч.
  , шт.

0-10 
5 
 0-50 
3 

10-20 
13 
50-60 
2 

20-30 
12 
60- 0 
0 

30- 0 
8 
 0-80 
2 

Необходимо определить статистическую оценку среднего вре
мени безотказной работы образца электрооборудования.

Задача 12

На испытание поставлено 8 изделий одного типа. Получены сле
дующие значения времени безотказной работы каждого изделия, соответственно:    510   ,    6 0   ,    800   ,    650   ,    680   , 
   560   ,    580   ,    550   Требуется определить статистическую оценку среднего времени безотказной работы изделия.

Задача 13

За наблюдаемый период эксплуатации образцов было зарегистри
ровано 5 отказов. Время восстановления каждого составило, соответственно:    20     ,    10     ,    15     ,    20     ,    
25    . Требуется определить статистическую оценку среднего времени восстановления образцов.