Дифференциальные уравнения

ЧЕРНОМОРСКОЕ ВЫСШЕЕ ВОЕННО–МОРСКОЕ УЧИЛИЩЕ

ИМЕНИ П.С НАХИМОВА

ФАКУЛЬТЕТ СУДОВОЖДЕНИЯ И ЭНЕРГЕТИКИ СУДОВ

Ю.М. ОСАДЧИЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 

УРАВНЕНИЯ

Учебное пособие

Москва

ИНФРА-М

2019

УДК 517.2(075.8)
ББК 22.161.1я73

О72

Авто р :
Ю.М. Осадчий, доктор технических наук, профессор

Ре це нзе нт :
А.Ф. Хрусталев, доктор физико-математических наук, професор

Ре д а к то р :  
О.Г. Сатыга, кандидат технических наук, доцент

Осадчий Ю.М.

О72
Дифференциальные уравнения : учеб. пособие / Ю.М. Осадчий. 

— М. : ИНФРА-М, 2019. — 157 с.

ISBN 978-5-16-107965-2 (online)

Учебное пособие составлено в соответствии с программами по 

дисциплине «Высшая математика». Содержит теоретический материал, а 
также оформленные  в виде таблиц основные понятия и формулы, 
тренинговые задания и примеры решений задач.

Для 
студентов 
механических, 
электротехнических, 

судоводительской спеціальностей.

УДК 517.2(075.8)
ББК 22.161.1я73

ISBN 978-5-16-107965-2 (online)
© 
Черноморское 
высшее 

военно-морское училище 
им. П.С. Нахимова, 2019

ФЗ № 
436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

1.1.  Основные понятия и определения

В 
этой 
главе 
будут 
рассматриваться: 
определение 

дифференциального 
уравнения, 
примеры 
объектов, 

математическими моделями которых являются дифференциальные 
уравнения, определения порядка дифференциального уравнения и 
его решения. 

Рассматриваются две переменные: х – независимая (аргумент), 

)
(x
f
y 
– функция.

Определение.
Дифференциальным уравнением называется уравнение вида:

)
,...,
''
,'
,
,
(
)
(n
y
y
y
y
x
F
=0.         
(1)

В уравнении (1) обозначены:

)
(
,...
''
,'
п
у
y
y
– производные первого, второго и т.д. порядков от 

функции 
)
(x
f
y 
по переменной x .

Производной от функции
)
(x
f
y 
называется предел 

отношения приращения функции к приращению аргумента при 
последнем, стремящимся к нулю произвольным образом:

 
 
x
x
f
x
y

x








0
lim

Далее будут полезными также обозначения производных через 

отношения дифференциалов:

dx

x
y
d
x
y

dx

x
y
d
x
y
dx

x
dy
x
y
к

к

к
)
(
)
(
,)
(
)
(''
,)
(
)
('
)
(

2

2




.

В технических, экономических, социальных науках в качестве 

независимой переменной х часто выступает время. Исследуемые 
величины являются динамичными, переменными во времени. 
Математическими моделями динамических процессов являются 
дифференциальные уравнения.

Пример 1.

Судно движется  с переменной скоростью 
)
(x
v
, имея 

ускорение
)
(x
a
. Ускорение является производной от скорости:

)
('
)
(
x
v
x
a

.

При этом на судно действуют силы: движущая, развиваемая 

движетелем, 
противодействующая, 
в 
простейшем 
случае 

пропорциональная 
скорости 
судна, 
и 
инерционная, 

пропорциональная ускорению:

)
(
)
(
)
('
x
f
x
v
h
x
v
m




.          (2)

В уравнении (2) обозначены:

m – масса судна и присоединенных масс воды,
h – коэффициент фрикционного сопротивления воды движению 
судна.

Заданы 
),
(
,
,
x
f
h
m
)
(
0x
v
. Требуется определить зависимость  

скорости судна от времени 
)
(x
v
.

Пример 2.
При вращательном движении тела в жидкости на него 

действуют следующие моменты сил: вращающий М(х), создаваемый 
двигателем, 
противодействующий, 
в 
простейшем 
случае 

пропорциональный угловой скорости (частоте) вращения 
)
(x

, и 

инерционный, пропорциональный угловому ускорению 
)
(' x

, 

являющемуся производной от 
)
(x

:

)
(
)
(
)
('
x
M
x
k
x
J






.    (3)

В уравнении (3) обозначены:
J – момент инерции тела относительно оси вращения,
k – коэффициент фрикционного сопротивления жидкости

вращательному движению тела.

Заданы 
)
(
),
(
,
,
0x
x
M
k
J

. Требуется определить зависимость 

скорости вращения от времени 
)
(x

.

Пример 3.
Электрическая схема замещения электродвигателя содержит 

последовательно соединённые активное сопротивление R
и 

реактивное сопротивление – индуктивность L . В цепи действуют:

приложенное напряжение
)
(x
u
, падение напряжения на активном 

сопротивлении, пропорциональное току 
)
(x
i
, а также реактивная 

составляющая, пропорциональная скорости изменения тока 
)
(' x
i
:

)
(
)
(
)
('
x
u
x
i
R
x
i
L




.
(4)

В уравнении (4) обозначены:
L – индуктивность,
R – активное сопротивление цепи.
Заданы 
)
(
),
(
,
,
0x
i
x
u
R
L
. Требуется определить зависимость 

тока от времени 
)
(x
i
.

Определение
Порядком 
дифференциального 
уравнения 
называется

наивысший порядок входящей в него производной.

Уравнения, приведённые в предыдущих примерах, являются 

дифференциальными уравнениями первого порядка.

Вернёмся к уравнению (2). Линейная скорость судна есть 

производная от пути у по времени:

)
('
)
(
x
y
x
v

.

Вследствие того, что линейное ускорение есть производная от 

скорости, запишем:

)
(''
)
('
)
(
x
y
x
v
x
a


.

При таком рассмотрении переменных уравнение линейного 

движения судна примет вид:

)
(
)
('
)
(''
x
f
x
y
h
x
y
m




.
(5)

Уравнение (5) является дифференциальным уравнением 

второго порядка. 

Основной задачей по отношению к дифференциальному 

уравнению является задача нахождения его решения 
)
(x
y
.

Определение.
Решением, или интегралом, дифференциального уравнения (1) 

называется функция 
)
(x
y
,  в результате подстановки которой и её 

производных уравнение обращается в тождество на всём множестве 
рассматриваемых значений x .

В результате исследования мы получим функцию
)
(x
y
. 

Предыдущее определение позволяет проверить, является ли она 
решением заданного уравнения.

Пример 1.
Задано дифференциальное уравнение первого порядка:

0

 y
dx
dy
.
(6)

Выясним, является ли функция

x
y
sin


решением этого уравнения на некотором отрезке. Производная 

x
x
y
cos
)
('

. Подставим производную и функцию в левую часть 

уравнения (6):

0
sin
cos


x
x

тождественно.

Функция 
x
y
sin

не является решением уравнения (6), 

поскольку не обращает его в тождество ни на каком отрезке 
значений х.

Проверим, является ли функция

x
e
y



решением того же уравнения.

Производная 

x
e
y




.

Подставим  функцию и её производную в уравнение (6):

0




x
x
e
e
.

Следовательно, 
функция 
x
e
y


является 
решением 

дифференциального уравнения (6) на любом множестве x .

Проверим также, является ли функция

x
e
C
y




решением уравнения (6) при произвольном постоянном значении С.

Производная

x
e
C
y




'
.

В результате подстановки этой функции и её производной в 

уравнение(6) образуется тождество, справедливое при любом 
значении х:

0







x
x
e
C
e
C
.

Значит, функция 
x
e
C
y



является решением уравнения (6).

Пример 2.
Дано дифференциальное уравнение второго порядка

0
2

2


 y

dx

y
d
.
(7)

Выясним, 
является 
ли 
функция 
x
e
y


решением 

дифференциального уравнения (7). Образуем производные:

x
x
e
dx

y
d
e
dx
dy





2

2

,
.

Подставим функцию и её вторую производную в уравнение 

(7):

0




x
x
e
e

тождественно.

Функция 
x
e
y


не является решением уравнения (7).

Проверим, является ли функция

x
C
x
C
y
cos
sin
2
1



при произвольных постоянных 
1
C и 
2
C решением этого уравнения. 

Образуем производные:

x
C
x
C
dx
dy
sin
cos
2
1


,

x
C
x
C
dx

y
d
cos
sin
2
1
2

2




.

В результате подстановки функции и её второй производной, 

образуется тождество на любом множестве :
x

0
cos
sin
cos
sin
2
1
2
1





x
C
x
C
x
C
x
C
.

Вывод: функция

x
C
x
C
y
cos
sin
2
1



является 
решением 
дифференциального 
уравнения 
(7) 
при 

произвольных постоянных  С1 и С2.

1.2.  Дифференциальные уравнения первого порядка

В 
этой 
главе 
будут 
рассматриваться: 
определения 

дифференциального уравнения первого порядка, его решения, 
общего решения, частного решения; примеры уравнений, их общие 
и частные решения и анализ свойств решений.

Определение
Дифференциальным уравнением первого порядка называется 

уравнение вида

0
)'
,
,
(

y
y
x
F
. 

Будем изучать дифференциальные уравнения первого порядка, 

разрешенные относительно производной:

)
,
(
y
x
dx
dy


.                       
(8)

Определение:
Функция 
)
(x
f
y 
называется решением дифференциального 

уравнения (8), если в результате подстановки функции 
)
(x
f
и её 

производной 
)
(' x
y
оно 
обращается 
в 
тождество 
на 
всём 

интересующем нас множестве x .

График 
)
(x
f
y 
называют интегральной кривой.

Если функция
)
,
(
y
x

и её производная по у непрерывны в 

некоторой области плоскости oxy в окрестности точки 
)
,
(
0
0 y
x
, то 

существует единственное решение 
)
(x
f
y 
, удовлетворяющее 

условию 
y
x
y
0
0)
(

(теорема 
о 
единственности 
решения 

дифференциального уравнения первого порядка). Геометрически это 
значит, что через точку 
)
,
(
0
0 y
x
проходит единственная линия, 

представляющая 
собой 
график 
решения 
дифференциального 

уравнения.

Пример.
Дано дифференциальное уравнение

x
y
dx
dy


.
(9)

Левая часть этого уравнения такая же, как левая часть (6).
Рассмотрим функцию

e
C
y
x



.
(10)

Проверим, является ли она решением уравнения (9). 

Подставим эту функцию и найденную при исследовании уравнения 
(6) производную в уравнение (9):

x
e
C
e
C
x
x








тождественно.

Функция (10) не является решением уравнения (9).
Рассмотрим функцию

1





x
e
C
y
x
.
(11)

Выясним, является ли эта функция решением уравнения (9). 

Подставим её, а также её производную 

1
'




e
C
y
x

в уравнение (9):

x
x
e
C
e
C
x
x










1
1
.

Следовательно, функция (11) является решением уравнения 

(9) на любом множестве x при произвольной постоянной C .

Определение:
Общим решением дифференциального уравнения первого 

порядка называется функция 
)
,
(
C
x
y
y 
независимой переменной 

x и произвольной постоянной C , удовлетворяющая следующим 
условиям:

1.
Она обращает уравнение в тождество при любом 

значении C .

2.
Можно определить такое значение С0 , что функция 
)
,
(
0
С
x
y
y 
удовлетворяет начальному условию 
y
x
y
0
0)
(

(х0, у0 –

заданные числа, образующие начальное условие).

Общее решение (общий интеграл) записывают также в виде 

0
)
,
,
(


C
y
x
или 
C
y
x


)
,
(
.

Общие решения определяют семейство интегральных кривых 

в плоскости oxy .

Пример.
Выше показано, что функция

1
)
,
(





x
e
C
С
х
y
x

является решением уравнения (9).

Проверим, является ли она общим решением этого уравнения.

Задано начальное условие 
y
x
0
0,
например. 
1
,0
01
01


y
x
. 

Вычислим соответствующее значение С01. Подставим x01 и y01 в 
уравнение ( 9):

1
1
0
0

01



e
С
.

Определилось значение
2
01 
С
.

Заданному 
начальному 
условию 
соответствует 
частное 

решение

1
2




x
e
y
x
.
(12)

Задавшись 
множеством 
необходимых 
при 
решении 

конкретной задачи множеством x


b
a
x
;

, можем исследовать 

свойства частного решения (12), табулировать и построить его 
график.

Пусть задано другое начальное условие: 
3
,1
02
02


y
x
. 

Подставим их в (9):

3
1
1
1

02





e
С
.

Определилось значение 
3
02 
С
и соответствующее частное 

решение

1
3
1
3
1










x
e
x
e
e
y
x
x
.                (13)

Действительно,

3
1
1
3
)1(
0





e
y
.

Следовательно, функция (11) является общим решением 

уравнения (9).

Определение.
Частным решением дифференциального уравнения первого 

порядка называется функция   у = у(х, С0) при конкретном числовом 
значении С = С0.

При решении реальных задач значение С0 определяют, исходя 

из заданного начального условия х0, у(х0) = у0 .

Частное решение дифференциального уравнения (9) имеет 

вид:

1
0




x
е
С
y
х
.

Если заданы дифференциальное уравнение и начальное 

условие, то говорят, что сформулирована задача Коши.