Основы синтеза цепей

УДК 621.373(075) 
ББК 32.88 
     O75 

Р е ц е н з е н т ы :  заслуженный деятель науки РФ, заслуженный работник высшей 
школы РФ, доктор техн. наук, профессор  В. В. Губарев; заслуженный деятель 
науки РФ, доктор техн. наук, профессор  В. Ф. Дмитриков 
 
А в т о р ы :  В. П. Бакалов, П. П. Воробиенко, Б. И. Крук, Е. А. Субботин  
 
O75 
Основы синтеза цепей: Учебное пособие для вузов / В. П. Бакалов, 
П. П. Воробиенко, Б. И. Крук и др.; Под редакцией В. П. Бакалова. –
М.: Горячая линия – Телеком, 2015. – 358 с.: ил. 

ISBN 978-5-9912-0498-9. 
В пособии, предназначенном для самостоятельного изучения основных разделов теории электрических цепей, изложены основы синтеза 
двухполюсных и четырехполюсных линейных и нелинейных электрических цепей, аналоговых фильтров, амплитудных, фазовых и гармонических 
корректоров, дискретных и цифровых фильтров и оптимизация электрических цепей. Изложенная теория проиллюстрирована многочисленными 
примерами, позволяющими лучше усвоить теоретический материал при 
самостоятельном изучении этой дисциплины. В конце каждой главы приведены основные результаты и выводы, вопросы для самоконтроля и задачи 
для самостоятельного решения, ответы на которые представлены в конце 
книги. Пособие может быть использовано как при традиционных, так и 
дистанционных технологиях обучения.  
Для студентов вузов и колледжей, обучающихся по специальностям 
связи и информатики. 
ББК 32.88 
 
Адрес издательства в Интернет WWW.TECHBOOK.RU 
 

 

 

 

 

 

 

ISBN 978-5-9912-0498-9                         © В. П. Бакалов, П. П. Воробиенко, 
Б. И. Крук, Е. А. Субботин, 2015 
© Издательство «Горячая линия – Телеком», 2015  

Предисловие 
 
Дисциплина основы теории цепей (ОТЦ) является базовым курсом при подготовке бакалавров, магистров по направлениям «Телекоммуникации», «Радиотехника», а также инженеров по специальностям связи. 
ОТЦ базируется, как известно, на двух «китах» – анализе и синтезе. В 
большинстве изданий учебно-методической литературы по ОТЦ вопросам синтеза уделяется значительно меньше внимания, чем вопросам анализа, несмотря 
на то, что синтез электрических цепей является важной составной частью теории 
электрических цепей, роль которой постоянно возрастает в связи с внедрением 
современных технологий: микроэлектроники, нанотехнологий, интернет-технологий и др. 
Большинство материалов, посвященных тем или иным вопросам синтеза, 
рассредоточено по многочисленным изданиям применительно к проектированию различных систем и устройств радиотехники и электроники, что особенно 
затрудняет самостоятельное изучение этой важной части ОТЦ. А если учесть, 
что задачи синтеза по своей сути значительно сложнее задач анализа, то необходимость издания учебного пособия, посвященного систематизированному изложению вопросов синтеза электрических цепей в тесной увязке с задачами анализа становится особенно актуальной. 
Представленное учебное пособие посвящено синтезу линейных и нелинейных двухполюсников и четырехполюсников как основе синтеза более сложных 
устройств (аналоговых и цифровых фильтров, амплитудных и фазовых корректоров, автогенераторов и др.), а также оптимизации электрических цепей. 
Учебное пособие состоит из 10 глав, в которых рассматриваются общие характеристики двухполюсных (гл. 1) и четырехполюсных цепей (гл. 2), основные 
задачи и этапы синтеза, условие физической реализуемости передаточных, временных и входных функций (гл. 3), синтез LC, RL, RC и RLC-двухполюсников 
(гл. 4), синтез четырехполюсных цепей с помощью различных мостовых и лестничных схем и ARC-цепей (гл. 5), синтез нелинейных двухполюсников и четырехполюсников (гл. 6), синтез аналоговых пассивных и активных фильтров 
(гл. 7), амплитудных, фазовых и гармонических корректоров (гл. 8), дискретных 
и цифровых фильтров (гл. 9), а также вопросы оптимизации электрических цепей (гл. 10). 
Учитывая назначение учебного пособия и структуру предшествующего ему 
издания «Основы анализа цепей»∗, изложенная теория проиллюстрирована многочисленными примерами, позволяющими лучше усвоить теоретический материал при самостоятельном изучении этой дисциплины. В конце каждой главы 
приведены основные результаты и выводы, вопросы для самоконтроля и задачи 
для самостоятельного решения, ответы на которые представлены в конце книги. 
Для удобства использования книга снабжена предметным указателем. 
В подготовке учебного пособия большую помощь оказали авторам сотрудники кафедры ТЭЦ Сибирского государственного университета телекоммуникаций и информатики (СибГУТИ), и в частности, ст. преподаватель Гусельникова Н.М., которым авторы выражают глубокую благодарность. 
                                                           
∗ Бакалов В.П., Журавлева О.Б., Крук Б.И. Основы анализа цепей: учебное пособие 
для вузов. – М.: Горячая линия – Телеком, 2013 – 592 с. 

1. Глава 1. Общая характеристика двухполюсных цепей 
 
1.1. Двухполюсники. Классификация двухполюсников 
 
Двухполюсником называют электрическую цепь с двумя зажимами, 
через которые она обменивается электрической энергией с внешними цепями (рис. 1.1). 
Существуют различные типы двухполюсников: активные и пассивные, линейные и нелинейные, реактивные (LC) и двухполюсники общего 
вида (R, L, C). Активные двухполюсники в свою очередь могут быть автономными или неавтономными. В неавтономных двухполюсниках ток и напряжение на внешних зажимах при включении его в пассивную цепь будут 
равны нулю. В автономных же двухполюсниках ток и (или) напряжение на 
его зажимах не равны нулю. Примером автономного двухполюсника является генератор напряжения или тока, рассматриваемый относительно выходных зажимов. 
Свойства любого линейного пассивного или неавтономного активного 
двухполюсника полностью определяется его функцией входного сопротивления Z( jω) или функцией входной проводимости Y( jω). 
Двухполюсники называются эквивалентными, если они обладают 
одинаковыми входными функциями. 
Двухполюсники называются обратными, если они удовлетворяют условию 

 
(
)
(
)
2
0
a
b
Z
j
Z
j
R
ω
ω =
, 
(1.1) 

где R0 – некоторое постоянное сопротивление. 
Правило получения обратных двухполюсников базируется на принципе дуальности [1]: последовательное соединение в исходном двухполюснике заменяется параллельным соединением дуальных элементов в обратном двухполюснике, и наоборот параллельное соединение в исходном 
двухполюснике заменяется последовательным соединением дуальных элементов в обратном двухполюснике. 
Пример 1.1 
Задан двухполюсник (рис. 1.2, а). Построить обратный ему двухполюсник. 
 

 
 
Рис. 1.1. Двухполюсник 
 

Рис. 1.2. Исходный (а) и обратный (б) двухполюсники 
 
В соответствии с правилом получения обратных двухполюсников 
параллельное соединение G1 и L1 заменяется последовательным соединением дуальных элементов R2 и С2, а последовательное соединение С1 параллельным соединением L2. Полученный обратный двухполюсник, изображен на (рис. 1.2, б). 
Параметры элементов R2, С2, L2 определяются из условия (1.1): 

 
2
2
2

2
0
1
2
1
0
2
0
1
;
;
R
R
R
C
L
R
L
R C
=
=
=
. 

При синтезе цепей часто вместо комплексных входных функций Z( jω) 
и Y( jω) рассматриваются операторные входные функции Z( p) и Y( p), получаемые заменой в исходных функциях jω на р. 
В теории цепей [1] доказывается, что входные функции Z( p) и Y( p) 
пассивного двухполюсника, содержащего конечное число сосредоточенных элементов, можно представить в виде взаимообратных дробнорациональных функций с вещественными коэффициентами вида: 

 
(
)
(
)

(
)

(
)

1
1
1
0
1
1
1
0

1
n
n
n
n
m
m
m
m

a p
a
p
a p
a
N
p
Z
p
Y
p
M
p
b p
b
p
b p
b

−
−
−
−

+
+
+
+
=
=
=
+
+
+
+
…
…

. 
(1.2) 

Причем, можно показать [1, 2], что для любых линейных двухполюсников степени n и m либо равны, либо отличаются не более чем на единицу. 
 
1.2. Параметры и функции двухполюсных цепей 
 
Основные параметры и функции двухполюсников и четырехполюсников обычно определяются через энергетические функции цепи. Энергетические функции цепи могут быть получены из системы уравнений контурных 
токов или узловых напряжений. Например, при использовании метода контурных токов в операторной форме система уравнений будет иметь вид: 

 
(
)
(
)
(
) (
)
1

,
1, 2,
,

n

ki
i
k
i

Z
p I
p
U
p
k
n

=
=
=
∑
…
, 
(1.3) 

где 
 

 
(
)
1

kk
kk
kk

kk

Z
p
R
pL
pC
=
+
+
 
(1.4) 

– собственное сопротивление k-го контура; 
 

(
)
(
)
1

ki
ik
ki
ki

ki

Z
p
Z
p
R
pL
pC
=
=
+
+
 
(1.5)  

– взаимное операторное сопротивление i-го и k-го контуров; Uk( р) – операторное напряжение источников, действующих в k-ом контуре. 
Умножив левую и правую часть (1.3) на сопряженный ток 
(
)
*
kI
p , получим 

 
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
*
*

,
1
1

n
m

ki
i
k
k
k
k i
k

Z
p I
p I
p
U
p I
p

=
=
=
∑
∑
, 
(1.6) 

где m
n
≤
– число полюсов цепи, к которым подключен источник. Для 
двухполюсной цепи n = 2, для четырехполюсной n = 4. 
Равенство (1.6) с учетом (1.4) можно переписать в следующей форме: 

 
(
)
(
)
*
0
0
0
1

m

k
k
k

F
pT
V
p
U
p I
p

=
+
+
= ∑
, 
(1.7) 

где F0, T0, V0 – называются энергетическими функциями цепи: 

 

(
)
(
)

(
)
(
)

(
)
(
)

*
0
,
,
1

*
0
,
,
1

*
0
,
1
,

;

;

1
.

m

k i i
k
k i
m

k i i
k
k i
m

i
k
k i
k i

F
R
I
p I
p

T
L
I
p I
p

V
I
p I
p
C

=

=

=

=
=
=
∑

∑

∑

 
(1.8) 

Физический смысл энергетических функций становится понятным, 
если положить p = jω (режим гармонических колебаний): F0 – характеризует среднюю мощность, потребляемую двухполюсником; T0 – среднее значение энергии, запасаемой в индуктивностях; V0 – среднее значение энергии, запасаемой в емкостях (отсюда термин «энергетических функций»). 
Из физического смысла энергетических функций следует, что в силу 
пассивности двухполюсника, они могут принимать только вещественные 
неотрицательные значения. 
Функцию входного сопротивления двухполюсника с учетом (1.7), 
(1.8) можно выразить через энергетические функции: 

 
(
)

(
)

0
0
0
2
1

F
pT
V
p
Z
p
I
p

+
+
=
. 
(1.9) 

В (1.9) учтено, что 
(
)
(
)
(
)

2
*
1
1
I
p I
p
I
p
=
. 
Аналогично можно выразить функцию входной проводимости двухполюсника через энергетические функции: 

(
)

(
)

*
*

0
0
0
2
1

F
p T
V
p
Y
p
U
p

+
+
=
, 
(1.10) 

где 

 
*
;
p
j
p
j
= σ+ ω
= σ− ω. 
(1.11) 

Если положить |I1( p)| = 1; |U1( p)| = 1, то выражения Z( p) и Y( p) упростятся: 

 
(
)

(
)

0
0
0
*
*
0
0
0

;

.

Z
p
F
pT
V
p
Y
p
F
p T
V
p
=
+
+
=
+
+
(1.12) 

Из (1.12) следует, что если p = σ (вещественное), то Z( p) также вещественно: 

 
(
)
0
0
0
Z
p
F
T
V
=
+σ
+
σ. 

При p = σ + jω и σ > 0 вещественная часть Z( p) может принимать 
только положительные значения: 

 
(
)
(
)
Re
Re
0  при  
0
Z
p
j
=
σ+ ω >
σ> . 
(1.13) 

Это легко получить, если в (1.12) подставить p = σ + jω: 

 
(
)
0
0
0
0
0
2
2
2
2

V
V
Z
p
F
T
j
T
σ
ω
=
+σ
+
+
ω
−
σ +ω
σ +ω

. 

Отсюда следует, что 

 
(
)
0
0
0
2
2
Re
0  при  
0
V
Z
p
F
T
σ
=
+σ
+
>
σ >

σ +ω

. 

Дробно рациональные функции комплексной переменной с вещественными коэффициентами, вещественная часть которых положительна при любых значениях комплексной переменной, расположенных в правой полуплоскости, называются положительными вещественными функциями (ПВФ). 
Из общих свойств ПВФ следует ряд частных следствий: 
1. Нули и полюсы Z( p) не могут лежать в правой полуплоскости комплексной переменной, т.е. N( p) и M( p) в (1.2) должны быть полиномами Гурвица. 
2. На мнимой оси ПВФ может иметь только простые полюсы и нули, не 
кратные. 
3. Максимальные, а также минимальные степени числителя и знаменателя 
ПВФ не должны отличаться больше, чем на единицу. 
Аналогичные следствия можно получить и для Y( p). Следует только 
учитывать, что Y( p) = 1/Z( p), т.е. нули и полюсы Z( p) являются соответственно полюсами и нулями Y( p). В этой связи ограничения, установленные 
для нулей Z( p), являются ограничением на полюсы Y( p) и наоборот – ограничение на полюсы Z( p) – ограничением на нули Y( p). 

1.3. Реактивные двухполюсники и их свойства 
 
Из всего многообразия двухполюсников наибольший интерес представляют пассивные реактивные двухполюсники, состоящие только из индуктивностей и емкостей. Важность этих двухполюсников объясняется 
тем, что они широко применяются в различных радиотехнических устройствах (LC-фильтры, корректоры, автогенераторы и др.). Кроме того, свойства реактивных двухполюсников лежат в основе синтеза линейных электрических цепей. 
Простейшим реактивным двухполюсником является элемент индуктивности и емкости (одноэлементный двухполюсник). К двухэлементному двухполюснику относятся последовательный (рис. 1.3, а) и параллельный контуры без потерь (рис. 1.3, б). Функции входного сопротивления и проводимости этих двухполюсников равны: 

 
(
)
(
)

(
)
(
)

2
2
1

2
2
1

1
,

1
,

a
a

б
a

L
Z
jX
j L
j
j C
j
C
Y
jB
j C
j
j L
j

ω −ω
=
= ω +
=
ω
ω
ω
ω −ω
=
= ω
+
=
ω
ω
ω
(1.14) 

где 
1
1
LC
ω =
. 
На рис. 1.4 изображена зависимость функций входных сопротивлений 
двухполюсника (1.14) от частоты: 
 
(
)
(
)
(
)
и
1
a
a
б
б
б
Z
jX
Z
Y
jX
j
j
j
=
=
=
ω
ω
ω
. 

 

 
 
Рис. 1.3. Последовательный (а) и параллельный (б) контуры 
 

 
 
Рис. 1.4. Зависимость функции входного сопротивления от частоты  
для последовательного (а) и параллельного (б) контуров 

Рассматриваемые двухполюсники Za(jω) и Zб(jω) являются потенциально обратными, так как условие (1.1) для них выполняется при 

 
(
)
(
)
2

a
б
L
Z
Z
j
j
C
=
=ρ
ω
ω
. 
(1.15) 

Из трех реактивных элементов можно составить уже четыре схемы 
двухполюсников. На рис. 1.5 приведены две возможные схемы. Их функции входных сопротивлений будут: 

 
(
)

2
2

2
2
2
2

1
a
Z
j L
j

ω −ω

= ω
ω

ω −ω

, 
(1.16) 

где 

 
1
2

1
2

1
1
1
1
2

1
1
;
;
L L
L
L C
LC
L
L
ω =
ω =
=
+
; 

 
(
)

2
2

1
2
2

2

1
б
Z
j
j C

ω −ω

=
ω
ω
ω −ω

, 
(1.17) 

где 

 
(
)

1
2

1
2

2
2
1
2
2
1
2

1
1
;
;
C C
C
L C
C
C
L
C
C
ω =
ω =
=
+
+
. 

На рис. 1.6 изображены частотные характеристики (1.16) и (1.17). 
Функции входных сопротивлений Z( p) и входных проводимостей 
Y( p) называют реактансными функциями. 
Анализируя приведенные схемы и графики, можно сформулировать 
основные свойства реактивных двухполюсников: 
 

 
 
Рис. 1.5. Схемы трехэлементных двухполюсников 
 

 
 
Рис. 1.6. Частотные характеристики трехэлементных двухполюсников 

Таблица 1.1 

Класс
Частотная характеристика 
Функция входного сопротивления 

(0, ∞) 

(
)(
)

(
)(
)

(
)
(
)

2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
1
3
2
2
1
2
2
2

n

n

Z
j H

−

−

ω −ω
ω −ω

= ω
− →

ω −ω
ω −ω

ω −ω
− →
ω −ω

n – нечетное 

(0, 0) 

(
)(
)

(
)(
)

(
)
(
)

2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
1
3
2
2
2
2
2
1

n

n

Z
j H

−

−

ω −ω
ω −ω

= ω
− →

ω −ω
ω −ω

ω −ω
− →
ω −ω

n – четное 

(∞, 0) 

(
)(
)

(
)(
)

(
)
(
)

2
2
2
2
1
3
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
1

n

n

H
Z
j

−

−

ω −ω
ω −ω

=
− →
ω ω −ω
ω −ω

ω −ω
− →
ω −ω

n – нечетное 

(∞, ∞)

(
)(
)

(
)(
)

(
)
(
)

2
2
2
2
1
3
2
2
2
2
2
4
2
2
1
2
2
2

n

n

H
Z
j

−

−

ω −ω
ω −ω

=
− →
ω ω −ω
ω −ω

ω −ω
− →
ω −ω

n – четное 

 

1. Входное сопротивление растет с ростом частоты 
(
)
0
dZ
j
d
ω
>
ω
. 

2. Количество резонансных частот на единицу меньше числа элементов.