Задачи и упражнения по основам общей алгебры

П.А. Крылов

А.А. Туганбаев

А.Р. Чехлов

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ

Учебное пособие

Рекомендовано НМС по математике и механике УМО по

классическому университетскому образованию РФ

в качестве учебного пособия для студентов

высших учебных заведений, обучающихся

по группе математических и механических специальностей

Москва 

Издательство «ФЛИНТА»

2017

2-е издание, стереотипное

УДК 512.5
ББК 22.144

К85

Крылов П.А.

К85  Задачи и упражнения по основам общей алгебры [Электронный ресурс] :

 учеб. пособие / П.А. Крылов, А.А. Туганбаев, А.Р. Чехлов.  — 2-е изд., 
стер. — М. : Флинта, 2017. — 208 с.

ISBN 978-5-9765-1507-9

В форме задач книга содержит основы таких важнейших разделов современной

алгебры как группы, кольца и модули, решетки, полугруппы, поля. 

Книга будет полезна на занятиях со студентами физико-математических

факультетов университетов, в том числе при чтении спецкурсов, и в процессе
руководства магистрантами и аспирантами. Ее можно также использовать в
качестве справочника. 

Для студентов, аспирантов, преподавателей и научных сотрудников, 

интересующихся алгеброй. 

УДК 512.5 
ББК 22.144 

ISBN978-5-9765-1507-9          
© Издательство "ФЛИНТА", 2017 

Оглавление

Предисловие.......................................................................................6

Введение. .........................................................................................6

Предварительные сведения..................................................................9

Список обозначений и терминов.........................................................10

Глава I. Решетки и полугруппы. ......................................................13

1. Решетки...................................................................................13

2. Полугруппы. ............................................................................20

Глава II. Группы.............................................................................27

3. Группы. Порождающие множества групп. .....................................27

4. Изоморфизмы групп. Смежные классы..........................................32

5. Гомоморфизмы. Факторгруппы. ..................................................35

6. Центр и коммутант. Прямые произведения. Силовские подгруппы. ....38

7. Ряды подгрупп. Разрешимые и нильпотеннтные группы. ..................45

8. Автоморфизмы и эндоморфизмы. ................................................49

9. Упорядоченные группы..............................................................53

10. Действия групп на множествах. Представления групп. ...................57

Глава III. Кольца..............................................................................64

11. Общие свойства колец...............................................................64

12. Факторкольца и гомоморфизмы. .................................................70

13. Специальные идеалы.................................................................77

14. Разложение на простые множители. ...........................................83

Глава IV. Модули...........................................................................87

15. Основные понятия теории модулей............................................87

16. Лкальные, нетеровы и артиновы модули. ....................................96

17. Проективные и инъективные модули........................................100

18. Тензорное произведение, плоские и регулярные модули. .............106

Глава V. Абелевы группы.........................................................................................112

19. Основные понятия теории абелевых групп...........................................................112

20. Чистота и чистая инъективность.........................................................................119

21. Группы гомоморфизмов. ..................................................................................123

22. Группы расширений. Тензорные и периодические произведения.............................127

23. p-группы. ......................................................................................................133

24. Группы без кручения. ......................................................................................136

25. Смешанные группы..........................................................................................140

26. Кольца эндоморфизмов.....................................................................................143

27. Аддитивные группы колец................................................................................147

Глава VI. Поля. ......................................................................................................150

28. Простейшие свойства полей. ............................................................................150

29. Поля разложения.............................................................................................154

30. Конечные поля...............................................................................................158

31. Начала теории Галуа. ......................................................................................161

Глава VII. Ответы и указания...................................................................................165

1. Решетки..........................................................................................................165

2. Полугруппы.....................................................................................................165

3. Группы. Порождающие множества групп..............................................................166

4. Изоморфизмы групп. Смежные классы.................................................................167

5. Гомоморфизмы. Факторгруппы...........................................................................167

6. Центр и коммутант. Прямые произведения. Силовские подгруппы. ...........................168

7. Ряды подгрупп. Разрешимые и нильпотентные группы............................................169

8. Автоморфизмы и эндоморфизмы. .......................................................................170

9. Упорядоченные группы.....................................................................................171

10. Действия групп на множествах. Представления групп. ..........................................172

11. Общие свойства колец.....................................................................................175

12. Факторгруппы и гомоморфизмы. ......................................................................176

13. Специальные идеалы.......................................................................................176

14. Разложение на простые множества.....................................................................178

15. Основные понятия теории модулей. ...................................................................179

16. Локальные, нетеровы и артиновы модули............................................................183

17. Проективные и инъективные модули..................................................................184

18. Тензорное произведение, плоские и регулярные модули. .......................................187

19. Основные понятия теории абелевых групп. .........................................................189

20. Чистота и чистая инъективность........................................................................191

21. Группы гомоморфизмов...................................................................................192

22. Группы расширений. Тензорные и периодические произведения. ............................193

23. p-группы.......................................................................................................195

24. Группы без кручения.......................................................................................195

25. Смешанные группы. .......................................................................................196

26. Кольца эндоморфизмов. ..................................................................................196

27. Аддитивные группы колец. ..............................................................................197

28. Простейшие свойства полей. ............................................................................198

29. Поля разложения............................................................................................199

30. Конечные поля...............................................................................................200

31. Начала теории Галуа. ......................................................................................201

Литература...............................................................................................................203

Предметный указатель...............................................................................................205

Предисловие

Данная книга является сборником задач по различным разделам общей алгебры. Предназначена для самой широкой аудитории: от студентов младших курсов до специалистов. Она рассчитана как учебное пособие для физикоматематических факультетов университетов, и одной из ее целей является обеспечение задачами общих и специальных математических курсов. Студентам и аспирантам, специализирующимся по алгебре, она будет полезна при
выполнении магистерских и диссертационных работ. Всем категориям читателей она может служить справочником.

Книга содержит как задачи для первоначального ознакомления с некоторыми понятиями и фактами общей алгебры,
так и упражнения повышенной трудности для читателя, который обладает достаточной математической культурой и специальной подготовкой. Большинство задач носит теоретический характер. Это поможет в значительной
степени удовлетворить запросы сильных студентов и подготовить их к чтению специальной литературы.

Обширный материал делает невозможным охватить все части общей алгебры в одной книге. Преследовалась цель
показать читателю богатство содержания и разнообразие методов ряда важнейших разделов этой науки.

При подборе задач использовались сборники [44], [25], [26], [42], [50], [33], [5], [55], а также другие учебники и монографии, приведенные в литературе. Энциклопедическим трудом по алгебре является классическая монография
[9]. Признание получили книги [27], [31], [46]. Отличный от традиционного подход к алгебре развивается в [56]. Те
или иные направления общей алгебры представлены в книгах [2], [3], [10], [12], [15], [22], [36], [49]. Имеется богатая
литература по главным ветвям общей алгебры. Началам теории решеток посвящена книга [45]. Классическая теория решеток отражена в [7] и [14]. Полугруппы рассматриваются в [18], [34] и [57]. Библиография по теории групп
довольно обширна. После общепризнанных книг [16], [28], [53] можно перейти к другим указанным источникам: [6],
[8], [11], [13], [19], [21], [29], [35], [40], [47], [48], [54], [58], [60], [61]. Книги [4], [17], [30] хороши для первоначального
знакомства с теорией колец и модулей. Для пополнения знаний в этой области можно использовать книги [20], [24],
[37], [43], [51]. В качестве учебного пособия по теории конечномерных ассоциативных алгебр можно порекомендовать книгу [39]. Весьма полным руководством по теории абелевых групп остается двухтомная монография [52].
Есть также книги [23], [24], [37], [59], [62], [63], [64]. С алгебраической теорией чисел можно ознакомиться по [1].
Знакомство с теорией полей можно начать по книгам [9], [22], [31], [32], [38], [41].

Предполагается, что читатель в целом уже знаком с терминологией и исходными теоремами. Тем не менее, в каждом
параграфе приводятся основные понятия и обозначения, встречающиеся далее в упражнениях. Иногда понятия
объясняются в текстах задач. Для удобства работы в начале книги имеются список обозначений и терминов и
предварительные сведения, а в конце — предметный указатель.

Некоторые задачи снабжены ответами и указаниями, нередко достаточно подробными. Это пригодится читателю в
его самостоятельной работе. Часть упражнений имеет форму утверждений. Предполагается, что читатель может
попробовать доказать соответствующий факт.

Введение

К общей алгебре обычно относят разделы алгебры, изучающие такие алгебраические системы как группы, кольца,
полугруппы, решетки и т.п. Есть разделы алгебры, традиционно не считающиеся принадлежащими общей алгебре.
Например, линейная и полилинейная алгебра, алгебраическая теория чисел. Конечно, принцип деления алгебры на
общую и «оставшуюся» весьма условен. Неясно, включать ли в общую алгебру теорию полей или категорий.

В любом случае не подлежит сомнению, что теория групп и теория колец остаются фундаментом общей алгебры.
И именно упражнения о группах и кольцах составляют главное содержание сборника. С теорией колец неразрывно
связана теория модулей — одно из современных направлений в теории колец.

Задачи по абелевым группам составляют самостоятельную главу, что отражает реальную ситуацию с этой ветвью
алгебры. Решеткам и полугруппам отведено по одному параграфу, хотя это и не соответствует их значению в
математике. Учитывая исключительную важность полей для всей математики, им посвящена отдельная глава.

Некоторые конечные группы и конечномерные алгебры были исследованы в 19 веке. На рубеже 19 и 20 веков было
осознано, что алгебраические объекты следует определять аксиоматически. А в 20-е годы прошлого века пришло понимание того, что алгебра должна изучать произвольные множества с заданными на них алгебраическими
операциями. Это был период становления современной алгебры, проходивший на фоне проникновения в алгебру
теоретико-множественных методов. Алгебра стала аксиоматической наукой. Публикация в 1930 и 1931 годах двухтомной «Современной алгебры» Ван дер Вардена зафиксировала новый статус алгебры.

Последующее развитие общей алгебры характеризуется как исключительно интенсивное. Ее классические объекты, прежде всего группы и кольца, были подвергнуты детальному и систематическому изучению. Появились и
оформились в самостоятельные направления новые области исследования, посвященные различным другим алгебраическим образованиям. Открылось большое число связей общей алгебры с сопредельными разделами науки.

Теория групп, несмотря на относительную молодость, имеет интересную и содержательную историю. От Ж.Л. Лагранжа, стихийно применявшего группы перестановок, до работ Э. Галуа, где уже сознательно используется
идея группы (им же впервые введен и сам термин), — вот путь, по которому развивалась эта идея в рамках
теории алгебраических уравнений. Независимо идея группы возникла в геометрии, когда в середине 19 столетия
на смену единой античной геометрии пришли многочисленные «геометрии» и остро встал вопрос об установлении
связей и родства между ними. Выход был указан «Эрлангенской программой» Ф. Клейна, положившей в основу
классификации геометрий понятие группы преобразований. Третий источник понятия группы — теория чисел.
Здесь можно отметить работы Л. Эйлера и К.Ф. Гаусса.

Осознание в конце 19 века принципиального единства теоретико-групповых идей, существовавших к тому времени
независимо в разных областях математики, привело к выработке современного понятия группы (А. Кэли, Г. Фробениус и др.). Итог начального развития теории групп как групп перестановок был подведен в книге К. Жордана
«Курс теории перестановок и алгебраических уравнений» (1870). Первой книгой, посвященной абстрактной теории
групп и рассматривавшей только конечные группы, является книга У. Бернсайда «Теория групп конечного порядка» (1897). Впервые изложение основ теории групп, без предположения конечности рассматриваемых групп, было
предпринято в книге О.Ю. Шмидта «Абстрактная теория групп» (1916).

Подход Клейна к проблеме классификации геометрий оказался полезным в математике и других науках. Это объясняется тем, что свойства группы преобразований, оставляющих инвариантной некоторую структуру, отражают
многие свойства самой этой структуры. Например, изучение группы пребразований, относительно которых инвариантны силы, связывающие вместе атомы в молекулах, позволяет многое узнать о поведении спектров молекул.

Теория групп является мощным инструментом познания одной из глубоких закономерностей физического мира —
симметрии. Всюду, где идет речь о симметрии, проявляется систематизирующая роль теории групп. В этом одна
из причин востребованности данной теории.

Изучая группы преобразований или симметрии, по существу имеют дело с автоморфизмами различных объектов.
В математике, как и вообще в естествознании, группы нередко возникают в виде групп автоморфизмов какихлибо математических структур. Такая форма применения теории групп обеспечивает ей уникальное положение в
алгебре.

Алгебраическая топология демонстрирует другой распространенный способ изучения неалгебраических объектов
с помощью групп. Его суть — в сопоставлении с такими объектами определенных групп и в последующем их
исследовании.

В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебры, а понятие группы — одним из наиболее важных, плодотворных и всеобъемлющих математических понятий. Квантовая механика, физика
твердого тела, химия и экономика — вот далеко не полный перечень областей, где полезность и необходимость
применения теории групп общепризнаны. Как и вся математика, теория групп находится сейчас в состоянии динамического развития.

Произвольные ассоциативные кольца и алгебры стали предметом постоянного интереса в 20–30-е годы 20 века. До
этого теория колец развивалась как теория конечномерных алгебр. Теория конечномерных алгебр — один из самых
старых разделов современной алгебры. Его появление связано с работами У. Гамильтона, открывшего знаменитое тело кватернионов (1843), А. Кэли, разработавшего теорию матриц, и Г. Грассмана. В это время постепенно
начинает формироваться понятие гиперкомплексной системы. Гиперкомлексная система, говоря сегодняшним языком, — это конечномерная ассоциативная алгебра над полем вещественных чисел R или полем комплексных чисел
C. Гиперкомплексными системами занимались многие замечательные математики (К. Вейерштрасс, Р. Дедекинд,
К. Жордан, Б. Пирс, К.С. Пирс, Г. Фробениус и др.). Фробениусу принадлежит исторически первая теорема структурной теории алгебр (1886). Всякая конечномерная алгебра с делением над полем R изоморфна либо R, либо C,
либо телу кватернионов (см. 12.70). Теория гиперкомплексных систем достигла своего апогея в самом конце 19
века. Ф.Э. Молин (1893) и Э. Картан (1898) описали полупростые комплексные и вещественные алгебры.

Новый этап в развитии конечномерных алгебр связан с рассмотрением в начале 20 века алгебр над произвольным
полем. Дж. Веддерберн (1908) перенес теоремы Молина и Картана на случай произвольного поля.

В 20–30-е годы 20 столетия алгебраисты немецкой школы, группировавшиеся вокруг Э. Нетер, Э. Артина и Р. Брауэра, распространили теорию Молина-Картана-Веддерберна на ассоциативные кольца с условием минимальности
для односторонних идеалов (артиновы кольца), после чего она приобрела знакомую нам форму.

Общая структурная теория колец была основана в 40-х годах прошлого века. Центральной идеей этой теории
является концепция радикала. Начало общей теории радикалов колец и алгебр было положено А.Г. Курошем.

С формальной точки зрения понятие модуля над кольцом обобщает понятие векторного пространства над полем,
когда роль области скаляров играет некоторое кольцо. Такое алгебраическое образование позволяет единообразно
трактовать обычные пространства и абелевы группы и группы с операторами. Рассмотрение модулей над кольцом
R в определенном смысле равносильно рассмотрению его представлений (гомоморфизмов) в кольцах эндоморфизмов абелевых групп. Модули естественным образом возникают в различных математических исследованиях. Так,
центральная задача теории линейных представлений групп — это изучение модулей над групповыми алгебрами.

Конечные абелевы группы, т.е. модули над кольцом целых чисел Z, появились у Гаусса как группы классов бинарных квадратичных форм. Он, в частности, заметил, что не все эти группы являются циклическими. Первый
и замечательный пример разложения бесконечной абелевой группы в прямую сумму циклических был дан П. Дирихле (1846) в работе о единицах (обратимых элементах) поля алгебраических чисел. Фробениус и Штикельбергер
(1878) доказали разложимость конечной абелевой группы в прямую сумму циклических. Некоторые фрагменты
этой основной теоремы о конечных абелевых группах и ее доказательства отыскиваются у Гаусса. Понятие модуля
встречается впервые в 60–80-х годах 19 века в работах Р. Дедекинда и Л. Кронекера, посвященных арифметике
полей алгебраических чисел и алгебраических функций (Дедекинд называл его «порядком»). Э. Нетер и В. Крулль
выявили ведущую и синтезирующую роль понятия модуля для многих ситуаций.

Вторая половина прошлого века была временем бурного развития теории колец и модулей как единой дисциплины.
Теория колец и модулей обогатилась мощными методами и замечательными теоремами, превратившись в богатую
и разветвленную часть математики. Она нашла многочисленные применения как в математике, так и в смежных
науках. Понятие кольца остается, наряду с понятием группы, одним из основных не только алгебраических, но и
общематематических понятий.

Абелевы (т.е. коммутативные) группы так названы в честь Н. Абеля (1802–1829), который изучал алгебраические
уравнения с коммутативными группами Галуа. Мы уже писали, что конечные коммутативные группы впервые
фактически рассматривал Гаусс.

Своеобразие теории абелевых групп в том, что ее лишь формально можно отнести к общей теории групп. Условие
коммутативности оказывается весьма специфическим для групповой структуры. Абелевы группы можно также
считать модулями над кольцом целых чисел. Подобная точка зрения достигла полной отчетливости в 50–60-е годы
прошлого века. Это время старта современной теории модулей и становления в математике теоретико-категорного
мышления перестроило теорию абелевых групп.

Характер основных идей, методов и результатов теории абелевых групп определяет ее как ветвь теории модулей, использующую особенности кольца целых чисел. Необходимо сразу уточнить, что мы имеем дело с настолько
особой областью, что она (т.е. теория абелевых групп) образует самостоятельный раздел алгебры. Велико и обратное влияние. Развитие теории модулей тесно связано с абелевыми группами как Z-модулями. Немало примеров
обобщений теорем об абелевых группах на модули над различными кольцами.

Изучение абелевых групп принесло много образцов того, что алгебраисты называют структурной теорией. До
50-х годов 20 века история абелевых групп была прерывистой, от одной вершины до другой. В 1933-м и 1934м годах появились теорема Ульма о счетных p-группах и критерий Л.С. Понтрягина свободы счетной группы.
Следующие две вехи — это теория Р. Бэра вполне разложимых групп без кручения (1937) и работы Л.Я. Куликова
о p-группах (1941, 1945). В 1954-м году вышла в свет богатая новыми идеями книга И. Капланского [62]. В ней
впервые продемонстрирована близость теории абелевых групп и теории модулей, особенно над коммутативными
областями главных идеалов.

Систематическая работа над абелевыми группами началась в 50-х годах. Одно из достижений этого нового периода — построение теории смешанных групп Уорфилда, объединившей теории счетных p-групп и вполне разложимых
групп без кручения.

Основные примеры полей — это числовые поля: поле рациональных чисел Q, поле вещественных чисел R, поле
комплексных чисел C, и такие «нечисловые» поля, как конечные, в частности, поля вычетов Zp. Конечные поля
имеют много важных применений, одно из них к теории кодирования. Еще в конце 19 века к примерам «нечисловых»
или «абстрактных» полей, какими можно считать конечные поля, прибавились поля формальных степенных рядов,
введенные Веронезе, и p-адические поля К. Гензеля.

Хотя поле и является коммутативной областью, однако это весьма специфическое кольцо. Теория полей, а также
тесно связанная с ней теория многочленов составляют отдельное направление в математике со своими проблематикой и методами.

Зарождение в середине 19 столетия теории полей проходило в рамках решения алгебраических уравнений — основного содержания алгебры того периода. Набирающие силу во второй половине 19 века исследования по алгебре
и теории чисел привели к необходимости изучения природы различных числовых систем. Объекты, близкие к полям, появились в работах Л. Кронекера и Р. Дедекинда (у Дедекинда — «рациональные области»). Термин «поле»
употребил Дирихле в книге «Теория чисел» (1871).

Трудно найти такой раздел математики, где не встречались бы поля. Но это и не удивительно, ведь поля наиболее соответствуют нашему интуитивному представлению о том, какими должны быть «абстрактные» числовые
системы.

Истоки теории решеток относятся к 19 веку. Систематическая работа над решетками (раньше говорили также
«структура») началась в 30-х годах прошлого века. Публикация книги Г. Биркгофа «Lattice Theory» (1940) объявила о появлении нового самостоятельного направления в алгебре — теории решеток. Дальнейшее развитие этой
области было отражено во втором (1948) и третьем (1967, имеется русский перевод [7]) изданиях этой книги.
Решетку можно задать как алгебраическую систему (упр. 1.3). Но, что несомненно, имеющееся на решетке упо

рядочивание оказывает неповторимый эффект на ее свойства. Внутренняя красота и диапазон применения теории
решеток в математике и других науках напоминают теорию групп.

Вся современная алгебра насыщена теоретико-решеточными понятиями. Решетки постоянно встречаются и в других разделах математики (логике, геометрии и топологии, анализе, теории вероятностей). Хорошо известен прикладной характер теории булевых алгебр (они являются решетками). Кстати, и своему появлению понятие «решетка» во многом обязано изучению булевых алгебр.

Использование решеточных понятий в математике и ряде других наук иногда помогает лучше понять поведение
объектов исследования, позволяет формулировать рассматриваемые теории более просто и единообразно.

Место и роль теории полугрупп в математике определяются тем принципиальным обстоятельством, что композиция
преобразований произвольного множества M ассоциативна. Всякая замкнутая относительно композиции совокупность преобразований множества M является полугруппой. И обратно, любая полугруппа изоморфна некоторой
полугруппе преобразований. Теория полугрупп — это математическая наука о преобразованиях множеств самого
общего вида.

Полугруппы, как и решетки, вездесущи! Они возникают всюду, где есть потребность в рассмотрении тех или
иных преобразований множеств. Это, например, полугруппы операторов функциональных пространств, полугруппы эндоморфизмов групп, колец, модулей, графов, решеток. Полугруппы часто встречаются там, где имеет смысл
понятие «произведения» или «композиции» каких-либо объектов. Например, полугруппа бинарных отношений на
данном множестве. Внутри алгебры полугруппы контактируют прежде всего с теорией групп и теорией колец.

Начальные исследования, посвященные полугруппам, были выполнены в 20-е и 30-е годы прошлого столетия. А к
концу 50-х годов теория полугрупп уже предстала достаточно развитой и глубокой теорией с собственной системой
понятий, широким кругом проблем и богатым набором методов.

Предварительные сведения

Функцией Эйлера ϕ(m) называется число натуральных чисел, не превосходящих данного натурального числа m и
взаимно простых с m. Функция Эйлера мультипликативна, т.е. ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) для взаимно простых m и n.

Если m = pα1

1 . . . pαk

k
— каноническое разложение числа m, то

ϕ(m) = m

1 − 1

p1

. . .

1 − 1

pk

= m

p|m

1 − 1

p

.

Функция

µ(n) =

1, если n = 1,
(−1)k, если n = p1 . . . pk, pi − различные простые,
0, если n делится на квадрат > 1,

называется функцией Мебиуса. Она также мультипликативна. Справедлива формула

d|n

µ(d) =

1, если n = 1,
0, если n > 1

(суммирование ведется по всем делителям d ⩾ 1 числа n). А также ее модификация

d|(n|m)

µ

m

n

=

1, если d = m,

0, если d|m, d < m

(суммирование ведется по n, делящим m и делящимся на d).

Теорема 1. Пусть f и g — две функции, определенные на N, связанные соотношением f(n) = d|n
g(d). Тогда

справедлива так называемая формула обращения Мебиуса

g(n) =

d|n

µ

n

d

f(d).

Имеется еще мультипликативный аналог формулы обращения Мебиуса: если f(n) = d|n
g(d), то

g(n) =

d|n

f(d)µ( n

d ).

Теорема 2 (Ферма). Для любого простого числа p и любого натурального a, не делящегося на p, справедливо
сравнение

ap−1 ≡ 1 (mod p) .

Теорема 3 (Эйлер). Для любого модуля m и любого натурального a, взаимно простого с m, справедливо сравнение

aϕ(m) ≡ 1 (mod m) .

Комплексное число называется алгебраическим, если оно является корнем ненулевого многочлена с рациональными
коэффициентами. В противном случае это число называется трансцендентным. Алгебраическое число называется целым алгебраическим числом, если оно является корнем унитарного многочлена с целыми коэффициентами.
Множество целых алгебраических чисел образует кольцо — кольцо целых алгебраических чисел (28.18 3)). Если
F — подполе поля комплексных чисел, то подмножество в нем, состоящее из целых алгебраических чисел, образует
кольцо, называемое кольцом целых алгебраических чисел в F .

Если M — модуль, то под нетривиальным (соответственно, под собственным) понимается подмодуль, отличный
от 0 и M (соответственно, от M). Ненулевой (соответственно, собственный) подмодуль модуля M называется
минимальным (соответственно, максимальным), если он является минимальным (соответственно, максимальным)
элементом в решетке всех подмодулей модуля M. Соответствующее соглашение действует для идеалов и для подгрупп. В литературе (в отличие от вышеприведенного соглашения) часто под «собственной» подгруппой группы
G понимается «нетривиальная» (̸= e, G) подгруппа.

В книге используются элементарные свойства перестановок, матриц, определителей. Термины «отображение» и
«функция» являются синонимами. Встречающиеся термины «инъективное (сюръективное, биективное) отображение» имеют обычный смысл. Вместо «биективное отображение» говорим также «биекция» или «взаимно однозначное соответствие».

Отображение множества A в себя называется преобразованием множества A. Подразумеваются известными основные свойства таких операций над множествами как пересечение, объединение, разность и декартово произведение.
А также стандартные факты о счетных и континуальных множествах.

Список обозначений и терминов

Используются следующие общепринятые обозначения:

N — множество всех натуральных чисел, N0 = N ∪ {0}, Z — группа или кольцо целых чисел, Q — группа или поле
рациональных чисел, R и C — группы или поля вещественных и комплексных чисел соответственно, R+ — множество всех положительных вещественных чисел, R∗
+ — мультипликативная группа положительных вещественных

чисел. Zn — группа или кольцо вычетов по модулю n, так же обозначается любая циклическая группа порядка n;
Zp (или Fp) — поле из p элементов; Zp — группа или кольцо целых p-адических чисел; Zp∞ — квазициклическая
p-группа; Z[i] = {m+ni | m, n ∈ Z} — кольцо целых гауссовых чисел; P(M) или 2M — множество всех подмножеств
множества M.

Если π — подмножество множества всех простых натуральных чисел Π, то через Q(π) (соответственно, через Qπ)
обозначается группа или кольцо всех рациональных чисел, знаменатели которых взаимно просты с каждым p ∈ Π\π
(соответственно, с каждым из p ∈ π). В частности, пишут Q(p) (соответственно, Qp), если π = {p}.

S(Ω) — группа всех биекций множества Ω.

Sn и An — симметрическая и знакопеременная группы степени n, соответственно.

V4 — четверная группа.

Q8 — группа кватернионов.

Dn — группа диэдра (группа симметрий правильного n-угольника).

GL (n, K) и SL (n, K) — соответственно, полная и специальная линейные группы степени n над полем K.

ag — элемент группы, сопряженный с a при помощи g.

aG — класс сопряженных элементов группы G, содержащий a.

o(a) — порядок элемента a группы G.

Если порядки элементов группы G ограничены в совокупности, то exp(G) — наименьшее общее кратное порядков
ее элементов.

A × B — прямое произведение групп A и B.

A ⋋ B — полупрямое произведение групп A и B.

Gx0 — стабилизатор в G точки x0 ∈ Ω при действии группы G на множестве Ω.

G′ — коммутант группы G.

Z(G) — центр группы G.

t(G) — периодическая часть группы G.

NH(M), CH(M) — нормализатор, соответственно, централизатор подмножества M в подгруппе H группы G (если
H = G, то индекс H обычно опускают).

Aut G, Inn G — группа автоморфизмов, соответственно, внутренних автоморфизмов группы G.

Hol G — голоморф группы G.

Единица моноида, а также единичная подгруппа (если специально не оговорено) обозначается через e.

Матрица нильтреугольная — треугольная матрица (верхняя или нижняя) с нулями на главной диагонали.

Матрица унитреугольная — треугольная матрица (верхняя или нижняя) с единицами на главной диагонали.

H — алгебра вещественных кватернионов.

Ca — алгебра Кэли.

Если R — кольцо, то через M(n, R), R [x], R [[x]], R ⟨x⟩ обозначены соответственно, кольцо квадратных матриц
порядка n, кольцо многочленов, кольцо формальных степенных рядов и кольцо рядов Лорана над кольцом R.

R+ — аддитивная группа, Z(R) — центр, а U(R) или R∗ — группа обратимых элементов (по-другому, мультипликативная группа) кольца R.

R1 ⊕ . . . ⊕ Rm (

m⊕
i=1 Ri) или R1 × . . . × Rm (

m
i=1
Ri) — прямая сумма или произведение колец R1, . . . , Rm.

i∈I
Ri — произведение колец Ri, i ∈ I.

Rm — прямое произведение m изоморфных копий кольца R, где m — некоторое кардинальное число.

A1 ⊕ . . . ⊕ Am — прямая сумма идеалов A1, . . . , Am некоторого кольца.

End R — полугруппа эндоморфизмов, Aut R — группа автоморфизмов кольца R.

RG — групповое кольцо группы G над кольцом R.

(a) — главный идеал, порожденный элементом a коммутативного кольца.

(a, b) и [a, b] — наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное элементов a, b коммутативной области.

Если d ̸= 1 — целое число, свободное от квадратов, то Q(
√

d) = {a + b
√

d | a, b ∈ Q} — квадратичное расширение

поля Q, Z[
√

d] = {m + n
√

d | m, n ∈ Z}.

L(M) — решетка подмодулей модуля M.

J(M) — радикал, Soc M — цоколь, Ann M — аннулятор модуля M.

Ker ϕ — ядро группового, кольцевого или модульного гомоморфизма ϕ.

A1 + . . . + An (i∈I
Ai) — сумма подмодулей Ai некоторого модуля.

A1 ⊕ . . . ⊕ An — (конечная) прямая сумма модулей A1, . . . , An.

⊕
i∈I Ai (i∈I
Ai) — прямая сумма (прямое произведение) модулей Ai, i ∈ I.

⊕
m A (m
A или Am) — прямая сумма (прямое произведение) m изоморфных копий абелевой группы или модуля A,

где m — некоторое кардинальное число.

Hom(A, B) — группа гомоморфизмов группы A в абелеву группу B.

HomR (M, N) — группа гомоморфизмов из R-модуля M в R-модуль N.

End A — кольцо эндоморфизмов абелевой группы A.

EndR M, AutR M — кольцо эндоморфизмов, соответственно, группа автоморфизмов R-модуля M.

A ⊗ B, A ⊗R B — тензорное произведение абелевых групп A и B, соответственно, R-модулей A и B.

≈ — квазиравенство.

∼ — квазиизоморфизм.

m | a — целое число m делит элемент a абелевой группы.

Если A — абелева группа и a ∈ A, то:

r(A), r0(A) — ее ранг, соответственно, ранг без кручения;

hA

p (a) или hp(a) — p-высота элемента a;

h∗
p(a) — обобщенная p-высота элемента a;

если не оговорено, то Ap — p-компонента;

nA (соответственно, A[n]) — подгруппа {na | a ∈ A} (соответственно, {a ∈ A | na = 0});

A1 = ∞
n=1 nA — первая ульмовская подгруппа группы A;

A• — ее копериодическая оболочка.

H(a) — индикатор элемента a p-группы.

H(a) — высотная матрица элемента a.

χA(a) или χ(a) — характеристика элемента a в абелевой группе без кручения A.

Q End A — кольцо (или алгебра) квазиэндоморфизмов группы без кручения A.

Ext (C, A), Pext (C, A) — группа расширений, соответственно, группа чистых расширений абелевой группы A при
помощи абелевой группы C.

Tor (A, C) — периодическое произведение абелевых групп A и C.

Mult A — группа кольцевых умножений на абелевой группе A.

Если f : A → B — функция множества A в множество B и a ∈ A, то f(a) или af обозначает образ элемента a при
действии функции f, скобки иногда опускаются; Im f — образ функции f; если C ⊆ A, то fC = Cf = {fc | c ∈ C},
f | C — ограничение f на C. RA — кольцо всех функций из множества A в кольцо R. Если g: B → C — еще одна
функция, то композиция функций f и g обозначается g ◦ f, где (g ◦ f)(a) = g(f(a)).

A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A) — симметрическая разность множеств A и B.

Обозначения и термины, не столь часто используемые, даются по ходу изложения.

ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТ

A α
B β
Γ γ
∆ δ
E ε
Z ζ
H η
Θ θ

Альфа
Бета
Гамма
Дельта
Эпсилон
Дзета
Эта
Тэта

I ι
K κ
Λ λ
M µ
N ν
Ξ ξ
O o
Π π

Йота
Каппа
Ламбда
Мю
Ню
Кси
Омикрон
Пи

P ρ
Σ σ
T τ
Υ υ
Φ ϕ (или φ)
X χ
Ψ ψ
Ω ω

Ро
Сигма
Тау
Ипсилон
Фи
Хи
Пси
Омега

Решетки
13

Глава I. Решетки и полугруппы

1
Решетки

Любое подмножество R ⊆ M × M называется бинарным отношением на множестве M. Если a, b ∈ M и (a, b) ∈ R,
то говорят, что элемент a находится в отношении R к элементу b и пишут aRb (вместо R пишут ρ или другие
различные значки). Правым смежным классом Ra отношения R, определяемым элементом a ∈ M, называется
множество всех таких x ∈ M, что xRa. Аналогично определяются левые смежные классы aR. Дополнением к
бинарному отношению R называется бинарное отношение −R, определенное равенством: −R = (M×M)\R. Говорят
также о включении, пересечении и объединении бинарных отношений, заданных на множестве M. Произведением
R ◦ S бинарных отношений R и S называется бинарное отношение, определяемое следующим образом: a(R ◦ S)b в
точности тогда, когда существует такой c ∈ M, что aRc и cSb. Для всякого бинарного отношения R на множестве M
существует обратное отношение R−1: aR−1b в точности тогда, когда bRa. Единичное отношение E определяется
следующим образом: aEb в точности тогда, когда a = b.

Отношение R, заданное на множестве M, называется:

а) рефлексивным, если aRa для всех a ∈ M, т.е. E ⊆ R;

б) симметричным, если aRb влечет за собой bRa, т.е. R−1 = R;

в) транзитивным, если aRb и bRc влекут за собой aRc, т.е. R ◦ R ⊆ R;

г) антисимметричным, если aRb и bRa влекут за собой a = b, т.е. R ∩ R−1 ⊆ E.

Обобщением понятия бинарного отношения является n-арное отношение (при n = 3 — тернарное отношение),
определяемое как подмножество множества M n = M × . . . × M
n

. Множества, в которых задано некоторое число

таких отношений, называются моделями и являются предметом самостоятельной теории.

Бинарное отношение, обладающее свойствами рефлексивности, транзитивности и симметричности, называется
отношением эквивалентности. Всякое разбиение множества M определяет в M отношение эквивалентности (под
разбиением понимается такой выбор в M системы непустых подмножеств, классов этого разбиения, что всякий
элемент из M принадлежит одному и только одному из этих подмножеств). Обратно, всякое отношение эквивалентности R, заданное на множестве M, определяет разбиение этого множества на совокупность смежных классов aR
эквивалентности R (левые и правые смежные классы здесь совпадают), называемых также классами эквивалентности множества M по отношению R. Множество всех классов разбиения, соответствующего данному отношению
эквивалентности R на множестве M, обозначается через M/R и называется фактормножеством множества M по
отношению эквивалентности R. Отображение a → aR, a ∈ M, называется каноническим отображением множества
M на M/R.

Бинарное отношение, обладающее свойствами рефлексивности, транзитивности и антисимметричности, называется отношением частичного порядка. Множество M в этом случае называется частично упорядоченным. Для
записи частичного порядка употребляется символ ⩽. Если a ⩽ b и a ̸= b, то пишут a < b. Если a ⩽ b или b ⩽ a, то
говорят, что элементы a и b сравнимы. Частично упорядоченное множество, в котором любые два элемента сравнимы, называется линейно упорядоченным множеством или цепью. Всякая частичная упорядоченность данного
множества M может быть продолжена до линейной упорядоченности этого множества. Подмножество H частично
упорядоченного множества M называется выпуклым, если для любых a, b ∈ H из условия a ⩽ x ⩽ b, где x ∈ M,
следует, что x ∈ H.

Остановимся на явлении двойственности для частично упорядоченных множеств. Пусть (M, ⩽) — частично упорядоченное множество M с порядком ⩽. Введем еще одно бинарное отношение ⩾ на M, полагая, что a ⩾ b имеет
место в точности тогда, когда b ⩽ a. Несложно убедиться, что ⩾ — частичный порядок на M. Соответствующее частично упорядоченное множество (M, ⩾) называется двойственным к частично упорядоченному множеству
(M, ⩽), а порядок ⩾ — обратным к исходному порядку ⩽. Всякое понятие или утверждение, относящееся к частичной упорядоченности, имеет двойственный аналог. Конкретизируем это высказывание. Пусть мы располагаем
некоторым понятием или утверждением Ξ о частично упорядоченных множествах. Заменив в описании этого понятия или формулировке утверждения ⩽ на ⩾, получим новое понятие или утверждение о частично упорядоченных
множествах, называемое двойственным к Ξ. Справедлив следующий

Принцип двойственности. Если истинно утверждение Ξ во всех частично упорядоченных множествах, то двойственное ему утверждение также истинно во всех частично упорядоченных множествах.

Принцип двойственности, не принося глубоких результатов, сокращает для нас количество работы.