Мультипликационные модули и идеалы


A.A. Туганбаев








                МУЛЬТИПЛИКАЦИОННЫЕ МОДУЛИ И ИДЕАЛЫ





Монография

2-е издание, стереотипное




Москва Издательство «ФЛИНТА» 2017

    УДК 512.55
    ББК 22.144
         Т85








      Туганбаев A.A.
Т85 Мультипликационные модули и идеалы [Электронный ресурс] : монография / A.A. Туганбаев. — 2-е изд., стер. — М. : Флинта, 2017. — 157 с.

   ISBN 978-5-9765-1505-5
   Данная книга посвящена изложению теории мультипликационных модулей и идеалов в случае не обязательно коммутативных колец. Многие из результатов принадлежат автору и не излагались ранее в монографиях на русском языке, причем целый ряд результатов не отражался в монографиях вообще.
   Книга может быть полезна всем алгебраистам, интересующимся кольцами и модулями. Она может служить учебным пособием для студентов и аспирантов, изучающих современную алгебру.
                                                        УДК 512.55
                                                        ББК 22.144



Научное издание Туганбаев Аскар Аканович

МУЛЬТИПЛИКАЦИОННЫЕ
МОДУЛИ И ИДЕАЛЫ

Монография

Подписано в печать 28.02.2017.
Электронное издание для распространения через Интернет ООО "Флинта", 117342, г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17-Б, комн. 324.
            Тел.: (495) 336-03-11; тел./факс: (495) 334-82-65.
E-mail: flinta@mail.ru; WebSite: www.flinta.ru




ISBN 978-5-9765-1505-5

© Туганбаев A.A., 2017
© Издательство "ФЛИНТА", 2017

Содержание


        1. Введение                                4

        2. Общие свойства мультипликационных модулей 11

        3. Мультипликационные модули над инвариантными кольцами                 33

        4. Модули над кольцами с коммутативным умножением идеалов                         57

        5. Мультипликационные модули над регулярными кольцами                 86

        6. Кольца с мультипликационными правыми идеалами                        104

        7. Плоские и проективные модули         128

        8. Комультипликационные модули          136

        Предметный указатель                    143


         Список обозначений


158

Введение



            1. Введение


          Все кольца предполагаются ассоциативными и с ненулевой единицей. Если не оговорено противное, все модули предполагаются правыми и унитарными. Выражение типа “нетерово кольцо” означают, что соответствующие условия выполнены справа и слева. Правый модуль M над кольцом A называется мультипликационным, если для каждого подмодуля N модуля M существует такой идеал B кольца A, что N = MB.
             Имеется много работ с результатами о мультипликационных модулях над коммутативными кольцами; см., например, [16], [37], [38], [71], [73], [74], [77], [82], [83], [84], [85], [86], [87], [88], [89], [90], [91], [92], [97], [101],
          [105], [106], [107], [108], [109], [115],                      [117], [118], [122], [123], [125], [126], [127],
          [128], [129], [130], [131], [133], [134],                      [135], [136], [138], [139], [140], [141], [142],
          [143], [144], [146], [147], [148], [150],                      [151], [152], [153], [154], [157], [160], [161],
          [163], [168], [169], [171], [173], [175], [176], [178], [185], [199] и [200].
             В данной книге в основном рассматриваются мультипликационные модули над не обязательно коммутативными кольцами. В некомутатив-ном случае имеется несколько работ о мультипликационных модулях и некомутативных обобщениях коммутативных колец, идеалы которых являются мультипликационными модулями; см., например, [177], [174], [186], [187], [5], [6], [189], [190], [191], [193], [194], [195], [196] и [197].
             Мы часто рассматриваем мультипликационные модули над инвариантными кольцами. (Кольцо A называется инвариантным справа (соотв. инвариантным слева), если каждый его правый (левый) идеал является идеалом кольца A.) Например, если A - инвариантное справа кольцо, то каждый его циклический правый модуль является мультипликационным модулем (предложение 3.1) и каждый его идеал, порожденный идемпотентами, является мультипликационным правым (левым) модулем (предложение 3.4(1)). Кроме того, каждый обратимый идеал инвариантного кольца A является конечно порожденным мультипликационным правым (левым) A-модулем по предложению 3.14. Если {Fi}i^i — бесконечное множество полей и A - прямое произведение всех полей Fi, то заметим, что идеал ®iₑ/Fi кольца A - мультипликационный A-модуль, не являющийся конечно порожденным.
             В случае некоммутативных инвариантных колец возникают несколько дополнительных сложностей. Одной из этих сложностей является то, что инвариантное кольцо A с максимальным идеалом M не обязательно обладает правой локализацией AM относительно M, хотя A \ M - мультипликативно замкнутое множество и для любых элементов a Е A и s Е A \ M существуют такие элементы b Е Ant Е A \ M, что at = sb. В предложении 6.12 мы построим такое инвариантное пол ул скальное дистрибутивное

Введение

5

          кольцо Безу A с максимальным идеалом M, что правая локализация AM не существует, хотя все конечно порожденные правые (левые) идеалы кольца A являются мультипликационными правыми (левыми) идеалами. (Правый идеал B кольца A называется мультипликационным правым идеалом, если B - мультипликационный правый A-модуль. Модуль называется модулем Безу, если каждый его конечно порожденный подмодуль является циклическим модулем. Модуль называется дистрибутивным, если решетка его подмодулей дистрибутивна, т.е. (X+Y) Q Z = X Q Z+Y Q Z для любых его подмодулей X, Y и Z.)
              В случае модулей над коммутативными кольцами, многие основные результаты данной работы превращаются в модификации результатов, доказанных в [38], [39], [71], [88] и [175]. В случае модулей над некоммутативными кольцами многие результаты данной работы доказаны в [5], [6], [189], [190], [191].

              Первоначальные сведения из теории колец и доказательства используемых в книге без доказательства утверждений можно найти, например, в книге автора [7] (см. также [2], [3], [4], [9], [10], [98], [119], [120], [121], [179], [198]). Некоторые хорошо известные сведения мы будем напоминать по ходу изложения.
              Для модуля M через J(M), End(M), Soc(M), Lat(M) и max(M) обозначаются его радикал Джекобсона, кольцо эндоморфизмов, цоколь, решетка всех подмодулей и множество всех максимальных подмодулей соответственно.

              Приведенные ниже замечания 1.1, 1.2 и 1.3 проверяются непосредственно.

              1.1. Замечание.

1) Каждый простой модуль является мультипликационным модулем.
             2) Каждый ненулевой мультипликационный модуль над простым кольцом является простым модулем.

              Если X - подмножество правого модуля M над кольцом A, то правый идеал {a G A | Xa = 0} кольца A называется правым аннулятором множества X в A и обозначается через rA(X) и ли r(X).

Введение

              1.2.   Замечание. Для правого модуля M над кольцом A равносильны следующие условия:

             1) M - мультипликационный модуль;
             2) M - мультипликационный A/B-модуль для каждого такого идеала B кольца A, что B С r(M);
             3) существует такой идеал B кольца A, что B С r(M) и M - мультипликационный A/B-модуль.

              Для подмножеств X и Y правого модуля M над кольцом A подмножество {a G A | Xa С Y} кол ьца A обозначав тся через (Y '. X). Ес ли Y - подмодуль модуля M, то непосредственно проверяется, что для любого подмножества X модуля M множество (Y .. X) является правым идеалом кольца A. Для любых подмодулей X и Y модуля M непосредственно проверяется, что (Y.. X) - идеал в A.

              1.3.   Замечание. Для правого модуля M над кольцом A равносильны следующие условия:

             1) M - мультипликационный модуль;
             2) N С M(N.. M) для каждого подмодуля N модуля M;
             3) N = M(N.. M) = Mr(M/N) для каждого подмодуля N модуля M..

              1.4.   Замечание. Каждый гомоморфный образ мультипликационного модуля является мультипликационным модулем.
              Доказательство. Пусть M - мультипликационный правый модуль над кольцом A, h: M ^ M - эпиморфизм и N - подмодуль в M. Тогда существует такой подмодуль N в M, что h(N) = N. По условию существует такой идеал B кольца A, что N = MB. Тогда N = h(N) = h(MB) = h(M)B = MB и M - мультипликационный модуль.              □

              1.5.   Замечание. Для мультипликационного правого модуля M над кольцом A верны следующие утверждения:

             1) каждый подмодуль модуля M вполне инвариантен в M;
             2) если N - такой подмодуль модуля M, что N Q MB = NB для каждого идеала B кольца A, то N - мультипликационный модуль..

Введение

7

              Доказательство. 1). Пусть X - подмодуль модуля M и f - эндоморфизм модуля M. Существует такой идеал B кольца A, что X = MB. Тогда f (X) = f (MB) = f (M)B C MB = X.
              2). Пусть Y - подмодуль в N. Так как M - мультипликационный модуль, то существует такой идеал B кольца A, что Y = MB. По условию N T MB = NB. Поэтому

Y = MB = Y \ MB C N \ MB = NB C MB = Y.

           Тогда Y = NB и N - мультипликационный nюдуль.                □

              1.6.    Замечание. Каждый эндоморфный образ мультипликационного модуля M является вполне инвариантным мультипликационным подмодулем модуля M.
              Доказательство. Утверждение следует из замечания 1.4 и замечания 1.5(1).                                                 □

              1.7.    Замечание. Каждое прямое слагаемое мультипликационного модуля M является вполне инвариантным мультипликационным подмодулем модуля M.
              Доказательство. Так как каждое прямое слагаемое модуля M является эндоморфным образом модуля M, то утверждение следует из замечания 1.6.                                                  □

              1.8.   Замечание. В кольце эндоморфизмов каждого гомоморфного образа любого мультипликационного модуля все идемпотенты центральны.
              Доказательство. Пусть M - мультипликационный правый модуль над кольцом A, M - гомоморфный образ модуля M, R = End(M) и f - идемпотент кольца R. По замечанию 1.4 M - мультипликационный модуль. По замечанию 1.5(1)

(1 - f)Rf (M) C f (M) \(1 - f )(M) = 0, fR(1 - f)(M) C (1 - f)(M) \f (M) = 0.
           Поэтому (1 - f )Rf = fR(1 - f) = 0 и f - центральный идемпотент в R. □

              1.9.   Замечание. Если M - мультипликационный правый модуль над кольцом A и P - такой идеал в A, что M = MP, то P не содержит аннулятор модуля M/X для некоторого циклического подмодуля X в M.
              Доказательство. Так как M = MP, то существует циклический подмодуль X модуля M, не содержащийся в модуле MP. Так как M

Введение

          - мультипликационный модуль, то существует такой идеал B кольца A, что X = MB. Тогда B С P, поскольку X С MP. Так как X = MB, то B С r(M/X); поэтому P не содержит r(M/X).                    □

             1.10.   Замечание. Пусть M - мультипликационный правый модуль над кольцом A и P - максимальный идеал кольца A с условием M = MP. Тогда MP - максимальный подмодуль в M, M/MP - простой модуль и существует такой циклический подмодуль X модуля M, что A = P + r(M/X).
             Доказательство. По замечанию 1.4 M/MP - мультипликационный модуль над простым кольцом A/P. Так как M/MP = 0, то из замечания 1.1(2) следует, что модуль M/MP прост. Поэтому MP - максимальный подмодуль в M. По замечанию 1.9 существует такой циклический подмодуль X модуля M, что P не содержит r(M/X); кроме того, P -максимальный идеал. Поэтому A = P + r(M/X).                  □

             1.11.   Замечание. Пусть A - кольцо с дистрибутивной решеткой двусторонних идеалов и M - такой мультипликационный правый A-модуль, что MB T MC = M(B T C) для любых идеалов B и C кольца A. Тогда M -дистрибутивный модуль.
             Доказательство. Пусть X, Y и Z - подмодули модуля M. Так как M - мультипликационный модуль, то существуют такие идеалы B, C и D кольца A, что X = MB, Y = MC z = = MD. Тогда
(X + Y) П Z = (MB + MC) П MD = (M(B + C)) П (MD) =
= M((B + C) n D) = M(B П D + C П D) = M(B П D) + M(C П D) = = MB П MD + MC П MD = X П Z + Y П Z. □
             Кольцо A называется кольцом с коммутативным умножением идеалов (соотв. коммутативным умножением правых идеалов), если BC = CB для любых двух идеалов (соотв. правых идеалов) B и C кольца A.
             1.12.   Замечание. Для кольца A равносильны условия:
            1) A - кольцо с коммутативным умножением правых идеалов;
            2) A - инвариантное справа кольцо с коммутативным умножением идеалов;
            3) xy G yxA для любых элементов x,y G A.
             Замечание 1.12 следует из того, что
xy G (xA)(yA) = (yA)(AxA) = xyA.              □

             1.13.   Замечание. Пусть A - кольцо с коммутативным умножением идеалов, M - мультипликационный правый A-модуль и B - такой идеал кольца A, что M = MB. Тогда:

Введение

9

             1)  N = NB для каждого подмодуля N модуля M;
              2) для каждого элемента m Е M существует такой элемент b Е B, что m(1 — b) = 0.

               Доказательство. 1). По условию M = MB. Так как M - мультипликационный модуль, то существует такой идеал C кольца A, что N = MC = MBC. Кроме того, BC = CB, поскольку A - кольцо с коммутативным умножением идеалов. Поэтому N = MCB = NB.
               2)    . По 1) mA = mAB = mB для любого элемента m Е M. Поэтому существует такой элемент b Е B, что m(1 — b) = 0.             □

               1.14.   Замечание. Пусть A - кольцо с коммутативным умножением идеалов, M - мультипликационный правый A-модуль и P - максимальный идеал кольца A. Тогда равносильны следующие условия:

             1)  M = MP;
             2)  N = NB для каждого подмодуля N модуля M;
             3)  X = XP для каждого циклического подмодуля модуля M;
             4)  P не содержит аннулятор любого циклического подмодуля модуля M.

               Доказательство. Импликация 1) ^2) следует из замечания 1.13(1).
               Импликации 2i <ii к > 1) очевидны.
               3)^4). Допустим, что P содержит аннулятор некоторого циклического подмодуля X модуля M. По условию X = XP = 0. Тогда A = r(X) С P; получено противоречие.
               4)   ^ 3). Пусть X - циклический подмодуль модуля M. Так как r(X) С P и идеал P максимален, то A = P + r(X). Поэтому

X = XA = X (P + r(X )) = XP + Xr(X )= XP.    □

               1.15.   Замечание. Пусть M - мультипликационный модуль над коммутативным кольцом A. Тогда кольцо эндоморфизмов End(M) A-модуля M является коммутативным кольцом, естественно содержащим кольцо A/r(M), и решетка всех подмодулей A-модуля M совпадает с решеткой всех подмодулей End(M)-модуля M.
               Доказательство. Пусть /ид- эндоморфизмы модуля M и m - элемент из M. По замечанию 1.13(1) /(m),g(m) Е mA. Поэтому существуют такие элементы a, b Е A, что /(m) = ma и g(m) = mb. Поэтому

             (/g      — д/)(m) = / (g(m)) — д(/(m)) = / (m)b — g(m)a = mab — mba = 0

Введение

          и End(M) - коммутативное кольцо. Для каждого элемента а коммутативного кольца A отображение да: m ^ та является эндоморфизмом A-модуля M. Непосредственно проверяется, что отображение д: A ^ End(MA), для которого д(а) = да, является кольцевым гомоморфизмом с ядром r(M). Поэтому каждый End(M)-подмодуль модуля M является A-подмодулем в M. По замечанию 1.13(1) каждый A-подмодуль модуля M является End(M)-подмодулем в M.                          □


             Приведенные ниже замечания 1.16 и 1.17 проверяются прямыми вычислениями.

            1.16.   Замечание. Пусть A - кольцо, M - правый A-модуль, M 0 A - множество всех матриц 0 m^^ (z G Z,m G M, a G A) и M 0 0 -

          множество матриц

1)

M 0 A - кольцо co сложением (

Z zi + Z2 mi + m₂\        _ _  _
и умножением
у 0 ai + a2 ] z Z1Z2 zim.2 + m^2 0         a a2

z1
0

mi\ + Z Z2 a10
zi mi     z2
0  ai     0

m2 a2
m2 a2

  2)  M 0 0 - правый идеал кольца M 0 A.

  3)  M - мультипликационный правый A-модуль в точности тогда, когда M 0 0 - мультипликационный правый идеал кольца M 0 A.


   1.17. Замечание [39]. Пусть A - коммутативное кольцо, M - A-модуль, M 0 A - множество всех строк (m, a) (m G M, а G A) и M 0 0 - множество строк (m, 0) (m G M).

  1)  M 0 A - коммутативное кольцо co сложением (m₁,a₁) + (m₂,a₂) = (m₁ +m₂,a₁+a₂) и умножением (m₁, a₁)(m₂, a₂) = (m₂a₁+m₁a₂,a₁a₂).


  2)  M 0 0 - идеал кольца M 0 A.
  3)  M - мультипликационный правый A-модуль в точности тогда, когда M 0 0 - мультипликациейный идеал кольца M 0 A.

Общие свойства мультипликационных модулей

11



            2. Общие свойства
            мультипликационных модулей


2.1. Предложение. Для правого модуля M над кольцом A равносильны следующие условия:
  1) M - мультипликационный модуль;
  2) для каждого циклического подмодуля X модуля M существует такой правый идеал B кольца A, что X = MB;
  3) для каждого подмодуля X модуля M существуют такое множество {Xi}iₑI подмодул ей модуля X и мно жество {Bi}iₑI идеалов кольца A, что X = J2ᵢₑ/ Xi и Xi = MBᵢ для любого i G I.

   Доказательство. Импликация 1)^2) очевидна.
   2)   ^3). Пусть X - подмодуль модуля M, {Xi}ᵢₑI - множество всех циклических подмодулей модуля X и Bi = (Xi ’. M) (i G I). По условию Xi C MBi C Xi для всех i. Так как X = J2iₑ/ Xi, то {Xi} и {Bi} -требуемые множества.
   3)   ^1). Пусть X - подмодуль модуля M. По условию существует такое множество {Xi}iₑ/ подмодулей в X и множество {Bi}ᵢₑI идеалов кольца A, что X = J2iₑ/ Xi и Xi = MBi для любого i G I. Обозначим через B идеал J2iₑ/ Bi кольца A. Тогда
X = X Xi = X MBi = M ^X B^ = MB

и M - мультипликационный модуль.                          □

   2.2.   Теорема. Пусть M - правый модуль над кольцом A и M = ®iₑ/Mi. Тогда равносильны следующие условия:
  1) M - мультипликационный модуль;
  2) каждый подмодуль модуля M вполне инвариантен в M, все Mi - мультипликационные модули и существуют такие идеалы Bi кольца A, что Mi = MBi (i G I);
  3) N = ®iₑ/(NQMi) для каждого подмодуля N модуля M, все Mi -мультипликационные модули и существуют такие идеалы Bi кольца A, что Mi = MBi, i G I;
  4) для каждого конечного подмножества J множества I ®jₑJMj - мультипликационный модуль и ®jₑJMj = MBJ для некоторого идеала BJ кольца A.