Интегральные преобразования

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Сибирский федеральный университет

И. А. Антипова, Е. Н. Михалкин, А. К. Цих

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ  
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Учебное пособие

Красноярск 
СФУ 
2018

УДК 517.44(07)
ББК 22.161.2я73
А721

Р е ц е н з е н т ы: 
Е. К. Лейнартас, доктор физико-математических наук, профессор кафедры теории функций СФУ;
В. А. Степаненко, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей и прикладной математики СФУ

Антипова, И. А.
А721
Интегральные преобразования : учеб. пособие / И. А. Антипова, 
Е. Н. Михалкин, А. К. Цих. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2018. – 
58 с.
ISBN 978-5-7638-4009-4

Рассмотрены основные интегральные преобразования: Фурье, Радона, Лапласа и Меллина. Впервые в учебной литературе изложены применения интегральных преобразований в томографии и теории алгебраических функций.
Предназначено для студентов магистратуры направления 01.04.01 «Математика» (профиль 01.04.01.01 «Комплексный анализ»). Может быть также полезной для студентов магистратуры направления 01.04.02 «Прикладная математика 
и информатика».

Электронный вариант издания см.:
УДК 517.44(07)
http://catalog.sfu-kras.ru
ББК 22.161.2я73

ISBN 978-5-7638-4009-4
© Сибирский федеральный
университет, 2018

Оглавление

Предисловие
4

Введение
5

Глава 1. Преобразования Фурье и Радона
6
1.1. Истоки понятия «преобразование Фурье» . . . . . . . . . . . .
6
1.2. Представление функции интегралом Фурье . . . . . . . . . . .
8
1.3. Формулы обращения преобразования Фурье
. . . . . . . . . .
10
1.3.1.
Формулы обращения в классе L1 . . . . . . . . . . . . .
10
1.3.2.
Многомерное преобразование Фурье . . . . . . . . . . .
12
1.3.3.
Теорема Пэли–Винера . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.4. Теорема Котельникова–Шеннона . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.5. Томограф. Преобразование Радона и его обращение . . . . . .
16
1.5.1.
Принцип действия томографа . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.5.2.
Преобразование Радона . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.6. Задачи для самостоятельного решения
. . . . . . . . . . . . .
19

Глава 2. Преобразование Лапласа
21
2.1. Определение преобразования Лапласа . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2. Формула обращения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.3. Вычисление интеграла Меллина . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.4. Применения преобразования Лапласа . . . . . . . . . . . . . .
29
2.5. Задачи для самостоятельного решения
. . . . . . . . . . . . .
32

Глава 3. Преобразование Меллина
34
3.1. Прямое преобразование Меллина
. . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.2. Преобразование Меллина тэта-функции Якоби . . . . . . . . .
37
3.3. Обратное преобразование Меллина и теоремы обращения
. .
38
3.4. Многомерные преобразования Меллина . . . . . . . . . . . . .
42
3.5. Применения в теории алгебраических уравнений . . . . . . . .
44
3.6. Задачи для самостоятельного решения
. . . . . . . . . . . . .
48

Приложения
50

Заключение
55

Библиографический список
56

3

Предисловие

Настоящее пособие адресовано студентам магистратуры или бакалавриата, которые в некоторой степени уже знакомы с интегральным преобразованием Фурье из математического анализа и курса «Уравнения математической физики».
В главе 1 «Преобразования Фурье и Радона» сделан акцент на применение преобразования Фурье в теории передачи информации по каналу связи (спектральное представление сигнала, теорема Котельникова–Шеннона).
Идеология и стиль изложения указанных применений заимствованы из
учебников В.А. Зорича [7], [8]. Преобразование Радона относится к разделу
интегральной геометрии (не изучаемой в данном пособии), однако оно включено в главу 1 по причине его тесной связи с преобразованием Фурье. Кроме того, теорема об обращении преобразования Радона ярко демонстрирует
принцип действия компьютерного томографа, а также возможности применения интегральных преобразований в геодезии и других задачах естествознания.
В главе 2 «Преобразование Лапласа» освещены свойства этого преобразования (в частности, основы операционного исчисления), знание которых
необходимо для понимания возможных применений в теории дифференциальных уравнений, математической физике и электротехнике.
В третьей главе «Преобразование Меллина» акцент делается на многомерный случай, развитый в статьях авторов пособия. Строятся два класса
функций, которые переводятся друг в друга прямым и обратным преобразованиями Меллина. Эти классы определяются парой выпуклых областей,
одна из которых характеризует степенной порядок роста функции, а другая
– сектор ее аналитичности.
Ввиду ограниченности объема программы, в пособии изучается
небольшой круг свойств интегральных преобразований. Основное внимание
уделяется вопросам аналитических свойств с точки зрения комплексного
анализа. Мы не ставим главной целью обучить студентов навыкам вычислений оригинала сигнала по его изображению, как это обычно делается в
рамках технических наук. При этом, достаточно внимания уделяем теоретическим аспектам наиболее знаковых применений в теории передачи информации, томографии и теории алгебраических функций.
Авторы благодарны В.А. Степаненко и Т.И. Тайгиной за многочисленные замечания, несомненно улучшившие качество пособия.

Ноябрь 2018 г.
И.А. Антипова
Е.Н. Михалкин
А.К. Цих

4

Введение

Функциональные преобразования переводят одну функцию в другую.
Среди них особую роль играют те, которые реализуются посредством интегрирования. Их называют интегральными преобразованиями. Обычно интегральное преобразование определяется своим ядром — функцией K(x, y)
двух переменных или групп переменных x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , ym),
с помощью которого функции f(x) ставится в соответствие функция F(y)
в виде интеграла

F(y) =
X

K(x, y)f(x)dx,

где X — множество, на котором задана функция f(x).
История развития теории интегральных преобразований началась с
работ П.-С. Лапласа и Ж. Фурье. Одним из самых популярных интегральных преобразований в анализе является преобразование Фурье. Оно играет важную роль при обработке сигналов, т.е. в решениях проблем передачи информации. Аналогичными свойствами обладают и все родственные
ему интегральные преобразования (Лапласа, Меллина, Коши, а также более позднее преобразование Радона 1, лежащее в основе принципа действия
компьютерного томографа).
Известно, что большой вклад в популяризацию преобразования Лапласа внёс О. Хевисайд 2, в работах которого было развито так называемое
операционное исчисление, применяемое в математике, технических науках
и теории управления. Следует заметить, однако, что разработки Хевисайда
не всегда сопровождались строгими математическими обоснованиями.
Преобразование Меллина является мощным инструментом в теории
чисел и исследованиях специальных функций математической физики.
Это преобразование, например, переводит тэта-функцию Якоби в дзетафункцию Римана, тем самым, оно устанавливает мост между двумя направлениями математики. В середине прошлого столетия были сформированы
многомерные интегралы Меллина–Барнса, которые являются обратными
преобразованиями Меллина мероморфных функций, рационально конструируемых с помощью гамма-функции Эйлера. Такие интегралы представляют гипергеометрические функции – самый обширный класс среди всех
специальных функций. Преобразования Меллина применяются в асимптотическом анализе и задачах квантовой электродинамики. Кроме того, они
эффективно используются в исследовании решений алгебраических уравнений.

1И. Радон (1887 – 1956) – австрийский математик.

2О. Хевисайд (1850– 1925) — британский инженер.

5

Глава 1.

Преобразования Фурье и Радона

1.1. Истоки понятия «преобразование Фурье»

Спектр и гармонический анализ. Определение преобразования Фурье и интеграла
Фурье. Лит.: [7, гл. XVIII].

В середине XVIII века Д. Бернулли, Ж.Л. Даламбер и Л. Эйлер, изучая некоторые проблемы математической физики, оказались вовлечеными
в жаркие споры по поводу возможности представить более или менее произвольную 2π-периодическую функцию f в виде суммы тригонометрического
ряда. В 1822 году Фурье выразил уверенность в возможности такого представления в своей книге по аналитической теории теплоты. В результате с
именем Фурье стали связывать формулы для коэффициентов тригонометрического разложения заданной функции f в виде ее скалярного произведения с элементами ортогональной тригонометрической системы. Процедуру
сопоставления периодической функции f последовательности ее коэффициентов Фурье стали называть дискретным преобразованием Фурье. Переход
к непрерывному преобразованию Фурье основан на следующем наблюдении.
Рассмотрим T-периодическую функцию f(t), абсолютно интегрируемую на отрезке [−T/2, T/2], которую будем называть cигналом. Разложим
функцию f в тригонометрический ряд Фурье, полагая, что этот ряд сходится к ней самой. Обозначив через Ω = 2π

T величину, называемую частотой,
такой ряд запишется в виде

f(t) = a0

2 +

∞
k=1
ak cos kΩt + bk sin kΩt =

+∞
−∞
ckeikΩt,
(1.1)

где, если положить b0 = 0, коэффициенты ck в комплексной записи ряда
задаются формулами

ck = 1

2(ak − ibk), c−k = 1

2(ak + ibk), k = 0, 1, 2, . . . .

Эти выражения для ck получаются из представлений Эйлера для тригонометрических функций через показательные (экспоненты).
Разложение (1.1) периодической функции (сигнала) в сумму простых
гармонических колебаний – гармоническим анализом функции f, а числа

6

{ck : k ∈ Z} или {a0, ak, bk, : k ∈ N} – спектром функции (сигнала) f.
Периодическая функция, таким образом, имеет дискретный спектр.
Выясним (на эвристическом уровне), что произойдет с разложением (1.1) при неограниченном увеличении периода T сигнала f. Заменим
ряд (1.1) на тождественное ему разложение

f(t) =

+∞
−∞

ck

Ω

eikΩtΩ,
(1.2)

где вследствие ортогональности системы
ϕk = eikΩt, t ∈ [−T

2 , T

2 ]
ck
Ω = 1

2π

T
2
− T

2

f(t)e−ikΩtdt.

Введем вспомогательную функцию в виде интеграла с параметром

c(ω) = 1

2π

+∞
−∞
f(t)e−iωtdt,
(1.3)

значения которой в точках ωk = kΩ = k 2π

T мало отличаются от величин
ck T

2π. В таком случае, согласно (1.2),

f(t) ≈

+∞
−∞
c(ωk)eiωkt2π

T ,

где ωk+1 − ωk = 2π

T . Последняя сумма напоминает интегральную сумму, и
при T → ∞ имеем

f(t) =

+∞
−∞
c(ω)eiωtdω.
(1.4)

В итоге получаем разложение функции f в континуальную линейную
комбинацию гармоник eiωt. Функцию c(ω), определенную равенством (1.3),
естественно считать спектром функции (сигнала) f. Периодическая функция имеет дискретный спектр, а произвольная функция — непрерывный.
Дадим следующее важное определение.
Определение 1.1. Функция

F[f] = F[f](ω) := 1

2π

+∞
−∞
f(t)e−iωtdt
(1.5)

называется преобразованием Фурье функции f : R → C.

7

Интеграл (1.5) понимается в смысле главного значения

1
2π

+∞
−∞
f(t)e−iωtdt :=
lim
A→+∞
1
2π

A
−A

f(t)e−iωtdt

и считается, что он существует. Если f : R → C — абсолютно интегрируемая
на R функция, то, поскольку |f(t)e−itω| = |f(t)| при t, ω ∈ R, для любой
такой функции имеет смысл преобразование Фурье (1.5), причем интеграл
(1.5) сходится абсолютно и равномерно по ω на всей прямой R.
В радиотехнике интеграл (1.5) называется спектральной функцией
S(iω) одиночного импульса f(t).

Определение 1.2. Если c(ω) = F[f](ω) — преобразование Фурье функции
f : R → C, то сопоставляемый f интеграл

+∞
−∞
c(ω)eitωdω,
(1.6)

понимаемый в смысле главного значения, называется интегралом Фурье
функции f.

Коэффициенты и ряд Фурье периодической функции являются дискретными аналогами преобразования Фурье и интеграла Фурье соответственно.

1.2. Представление функции интегралом Фурье

Условия Дини. Достаточные условия представимости функции интегралом Фурье.
Формулы обращения преобразования Фурье. Лит.: [7, гл. XVIII].

Определение 1.3. Говорят, что функция f : U(x) → C, заданная в проколотой окрестности точки x, удовлетворяет в этой точке условиям
Дини, если одновременно выполняется следующее:
1) в точке x существуют односторонние пределы

f(x−) = lim
t→0+ f(x − t), f(x+) = lim
t→0+ f(x + t);

2) оба интеграла

ε
0

f(x − t) − f(x−)

t
dt,

ε
0

f(x + t) − f(x+)

t
dt

сходятся абсолютно при некотором ε > 0.

8

Заметим, что если непрерывная в U(x) функция удовлетворяет в точке x условию Гёльдера

|f(x + t) − f(x)| ⩽ M|t|α, 0 < α ⩽ 1,

то справедлива оценка
f(x + t) − f(x)

t

⩽
M

|t|1−α, 0 < α ⩽ 1,

из которой следует, что функция f удовлетворяет в точке x условиям Дини. Кроме того, даже если функция f(x), определённая и непрерывная в
проколотой окрестности точки x, удовлетворяет односторонним условиям
Гёльдера, то она также удовлетворяет условиям Дини в точке x.
Напомним определение кусочно непрерывной на отрезке функции.

Определение 1.4. Вещественно- или комплекснозначную функцию f будем называть кусочно непрерывной на отрезке [a, b], если существует такой конечный набор точек a = x0 < x1 < · · · < xn = b этого отрезка, в котором функция f определена, непрерывна на каждом интервале (xj−1, xj),
j = 1, . . . , n и имеет односторонние пределы при подходе к его концам.

Определение 1.5. Функция, имеющая на данном отрезке кусочно непрерывную производную, назывется кусочно непрерывно дифференцируемой
функцией на этом отрезке.

Если функция кусочно непрерывно дифференцируема на отрезке, то
она удовлетворяет условиям Гёльдера с показателем α = 1 в любой точке
этого отрезка (это следует из теоремы Лагранжа о конечном приращении).
Значит, такая функция удовлетворяет условиям Дини в любой точке рассматриваемого отрезка.

Упражнение 1.1. Проверить условия Дини для функции f(x) = sgn x в
любой точке x ∈ R.

Теорема 1.1. Если абсолютно интегрируемая на R и локально (т.е. на
любом отрезке) кусочно непрерывная функция f : R → C удовлетворяет
в точке x ∈ R условиям Дини, то ее интеграл Фурье сходится в этой
точке, причем к значению 1

2 [f(x−) + f(x+)], равному полусумме левого и
правого пределов значений функции в этой точке.

Доказательство теоремы 1.1 см. [7]. Оно основано на следующем факте.

Лемма 1.1. Если функция f : R → C абсолютно интегрируема на R, то
преобразование Фурье

F(ω) := 1

2π

+∞
−∞
f(t)e−iωtdt
(1.7)

непрерывно на R.

9

Из теоремы 1.1 получается важное следствие.

Следствие 1.1. Если функция f : R → C непрерывна, имеет в каждой
точке t ∈ R конечные односторонние производные и абсолютно интегрируема на R, то она представляется на R своим интегралом Фурье:

f(t) =

+∞
−∞
c(ω)eitωdω,
(1.8)

где c(ω) = F[f](ω) — преобразование Фурье функции f.

Действительно, существование в каждой точке t ∈ R конечных односторонних производных влечёт выполнение односторонних условий Гёльдера в этой точке, а следовательно, и условий Дини.
Формула (1.8) говорит о том, что в условиях следствия 1.1 функция f
восстанавливается по своему преобразованию Фурье. В таком случае интеграл вида (1.8) уместно назвать обратным преобразованием Фурье.
Определение 1.6. Функция

F−1[g] = F−1[g](t) =

∞
−∞
g(ω)eiωtdω

называется обратным преобразованием Фурье функции g : R → C.

Таким образом, следствие 1.1 гласит, что F−1[F[f]](t) совпадает с f.
В этом случае говорят, что верна формула (теорема) обращения для преобразования Фурье.

Замечание 1.1. Некоторые авторы меняют местами ядра e−iωt и eiωt в
прямом и обратном преобразованиях. Часто множитель (2π)−1 пишут
в определении обратного преобразования Фурье. Можно ставить множитель (2π)− 1

2 как в прямом, так и в обратном преобразованиях Фурье. При
этом для краткости преобразование Фурье функции f обозначают ˆf.

1.3. Формулы обращения преобразования Фурье

Гармоническое представление функции. Обращение преобразования Фурье в классе L1
интегрируемых функций. Многомерное преобразование Фурье. Теорема Пэли–Винера.
Лит.: [2, Разделы 5.4, А.3.3, 14.1, 14.2], [3, Теорема X, с. 26] .

1.3.1. Формулы обращения в классе L1

Теорема 1.2. Если f, F[f] ∈ L1 и f непрерывна, то

F−1[F[f]](x) = f(x)

почти всюду.

10

В доказательстве теоремы используется нижеследующая лемма. Для
ее формулировки функции f : R → R поставим в соответствие функцию f ∗
комплексного переменного, заданную интегралом

f ∗(x + iδ) = δ

π

+∞
−∞

f(t)dt

|t − x − iδ|2.

Лемма 1.2. Если f(t) – непрерывна и ограничена, то при δ → +0 функция
f ∗(x + iδ) сходится к f(x), причем равномерно на любом отрезке из R.
Доказательство. Пусть δ > 0. Для любого фиксированного ∆ > 0
представляющий f ∗ интеграл

f ∗(x + iδ) = δ

π

+∞
−∞

f(t)dt

(t − x)2 + δ2

разобьем на два:
+∞
−∞
=
|t−x|≤∆

+
|t−x|>∆

.
(1.9)

Слагаемые этой суммы обозначим I1 и I2. Интегралы I1 и I2 рассматриваем
как функции от x, зависящие от параметров δ и ∆. Если ∆ фиксировано и
δ → +0, то интеграл I2 стремится к нулю (см. задачу 4 из пункта 1.6).
Для исследования I1 введем интеграл

I = I(δ, x) := δ

π

|t−x|≤∆

1

(t − x)2 + δ2dt.

Утверждения задач 3 и 4 показывают, что I(δ, x) → 1 при δ → +0. На любом отрезке [a, b] функция f равномерно непрерывна: для заданного ε > 0
найдется такое ∆, что выполняется неравенство |f(t) − f(x)| < ε/3 при
|t − x| < ∆, x ∈ [a, b]. Указанное неравенство эквивалентно двум неравенствам
f(x) − ε

3 < f(t) < f(x) + ε

3.

Умножая их на положительную величину δ(π((t−x)2+δ2))−1 и интегрируя
по отрезку {t : |t − x| ≤ ∆}, приходим к неравенствам
f(x) − ε

3

I < I1 <
f(x) + ε

3

I, для всех x ∈ [a, b].

Поскольку I = 1 + αδ(x), где αδ(x) → 0 при δ → +0, отсюда получаем
оценку |f(x) − I1| < 2ε

3 при достаточно малом δ. Выбором таких δ можно
достичь неравенством |I2| < ε

3, поэтому

|f(x) − f ∗(x + iδ)| = |f(x) − I1 − I2| ≤ |f(x) − I1| + |I2| < ε

11