Математический анализ. Часть II

Министерство образования и науки Российской Федерации 

Сибирский федеральный университет 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧАСТЬ II 

Учебное пособие 

Красноярск 

СФУ 
2018 

УДК 519.677(07) 
ББК   22.161я73 

  М340 

Авторский коллектив: 
И. А. Антипова, И. И. Вайнштейн, Т. В. Зыкова, А. С. Кацунова,  
И. Ф. Космидис, Т. О. Кочеткова, Т. В. Сидорова, В. С. Тутатчиков, 
И. М. Федотова, В. А. Шершнева 

Рецензенты:   
А. А. Родионов, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник отдела дифференциальных уравнений механики 
Института 
вычислительного 
моделирования 
СО РАН; 

Л. В. Шкерина, доктор педагогических наук, профессор, заведующая 

кафедрой математического анализа и методики обучения 
математике в вузе Красноярского  государственного  
педагогического   университета им. В. П. Астафьева. 

М340 Математический анализ. Часть II : учеб. пособие /  И. А. Антипова, И. И. Вайнштейн, Т. В. Зыкова [и др.]. – Красноярск : Сиб. федер. 
ун-т, 2018. – 188 с. 

ISBN 978-5-7638-3327-0 

Рассмотрены следующие темы: функции нескольких переменных, кратные 
интегралы, криволинейные интегралы, дифференциальные уравнения, теория 
рядов, векторный анализ, элементы теории функций комплексного переменного.  
Кроме теоретического материала, приведены основные формулы, используемые 
для решения задач, и подробно разобраны примеры.  

Предназначено для бакалавров направлений подготовки 09.03.01 «Инфор
матика и вычислительная техника», 09.03.02 «Информационные системы и технологии», 09.03.04 «Программная инженерия», 27.03.03 «Системный анализ и 
управление», 27.03.04  «Управление в технических системах», 15.03.04 «Автоматизация технологических процессов и производств».  

УДК 519.677(07) 
ББК 22.161я73 
Электронный вариант издания см.: 
http:/catalog.sfu-kras.ru 
© Сибирский федеральный 

ISBN 978-5-7638-3327-0 
университет, 2018 

1.
()
5

1.1. . . . . . . . . . . .
5

1.2. , . . . . . . . . . . . . .
7

1.3. 9

1.4. . . . . . . . .
11

1.5. . . . . . . . . . . . . .
14

1.6. .
. . . . . . . . . . . . . .
18

1.7. . . . . . . . . . . . . . . . .
21

1.8. . . . . . . . . . . . . . . . .
23

1.9. .
25

1.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27

1.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28

1.12. . .
32

1.13. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33

2. 36

2.1. . . . . . . . .
36

2.2. . . . . . . . . . . . . . . .
40

2.3. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47

2.4. . . . . . . . . . . . . . . .
51

2.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61

2.6. .
. . . . . . . .
65

2.7. . . . . . . . . . . . . . .
69

3. 74

3.1. . . . . . . . . . .
74

3.2. . . . . . . . . . .
80

3.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88

4. 93

4.1. . . . . . . . . . . . . . . .
93

4.2. . . . . . .
94

3

4.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96

4.4. 98
4.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.6. . . . . . . . . . . . . 103
4.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.8. 106
4.9. , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.10. . . . . . . . . . . 110
4.11. . . 111

4.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.13. n- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.14. 118

4.15. () . . . . . . . . 122

4.16. . . . . 125
4.17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5. 131

5.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.2. . . . . . . . . . . . . . 143

5.3. p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6. 163

6.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

6.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

6.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

7. 179

7.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

7.2.
. . . . . . . . . . . . . . 183

7.3.
. . . . 184

187

4

1. ()

1.1.
,
. , , .

OXY Z
, x, y, z M x, y, z ().

n-n
(x1, ..., xn).

1. , A(x1, ..., xn) B(y1, ..., yn) d =
√

(x1 − y1)2 + ... + (xn − yn)2,

n-R
Rn.

,
,
,
, , . .

2. , . . ,
δ M0(x0, y0), δ -M0.

, M0 M (x, y), (x − x0)2 + (y − y0)2 < δ2, .. |−−−→
MM0| < δ.

3. M ∈ G G, ,
G.

4. , .

5

5. , , .

6. .

7. ,
, . - .

1. .

8. ,
.

2.
) . ) ∅ .

9. , , .

3.
Rn , .

4.
M(x1, ..., xn),
(x1 − x0
1)2 + (x2 − x0
2)2 + ... + (xn − x0
n)2 ≤ r2 (
< r2),

M0(x0
1, ..., x0
n)
, r
, () n-r M0.

, M , M0
() r.

, n = 2 , n = 3 .

1. r > 0 M0(x0
1, ..., x0
n) .

6

1.2.
, . ,
x
y
, S , S = x · y.
(1.1)

x y S. ,
S x, y, (1.1).

, x, y, z , V V = x · y · z.
(1.2)

x, y, z (1.2), V, . . V x, y, z, (1.2).

,
,

, , . T , M , , t ,
. T
M
t : T = f(M, t). , M t. M x, y, z. t : T = f(x, y, z, t), . . x, y, z, t. , .
T
, x, y, z, t.

.

10. u
n
x 1, x 2,
..., x n,
n
(x 1, x 2, ..., x n) D u (G).

7

. 1.1

0
-1
-2
1
2
3

1

-1
x

y

D2
D1

x1, x2, ..., xn ,
,
u ,
(,
),
D ,
G ().

() :
u = f(x1, x2, ..., xn) = f(⃗x) u = u(⃗x).

2. .

5. :

) z = ln(1 + x − y2); ) z =
√

4x−y2

ln(1−x2−y2).

: ) , x y , 1 + x − y2 > 0,
y2
<
1 + x. y2
=
1 + x
(. 1.1). OX , (−1,0).

y2
=
1 + x :
D1 "" D2 "" . , z = ln(1 + x − y2), M y2 < 1 + x. ,
, M , .

M (0,0). 02 < 1 + 0, 0 < 1, . , D1 z = ln(1 + x − y2). , ;

)
6


&%

'$

y

x
1

. 1.2

z1 =
√

4x − y2 z2 = ln(1 − x − y2)
, ). z1 "" 4x = y2 . z2 x2 + y2 < 1. z =
√

4x−y2

ln(1−x2−y2)

8

D , . 1.2, (0,0) D , ln(1 − x2 − y2) .
3. .
.
11. u = f(x, y, z)
,
c. :
f(x, y, z) = c.

c,
.
.

6.
u(x, y, z) = x2

4 + y2

9 + z2

16 x2

4 + y2

9 + z2

16 = c,

. . 2√c, 3√c, 4√c.
12. z = f(x, y) , c . f(x, y) = c.

7. z = 1 − x2 − y2 1 − x2 − y2 = c, . . √1 − c, c = 0 x2 + y2 = 1.

8.
(), () . .
4. , , , , .

1.3.
13. f(⃗x) = f(x1, x2, ..., xn) ⃗x0 = (x0
1, x0
2, ..., x0
n) , A, 9

⃗x0 , , ⃗x0, ε > 0 δ > 0, 

|f(⃗x) − A| < ε

⃗x, 0 < |⃗x − ⃗x0| < δ.

:

lim
⃗x→⃗x0 f(⃗x) =
lim
xj→x0
j
j=1,...,n

f(x1, x2, ..., xn) = A.

lim
x→x0
y→y0
f(x, y) = A.

5. (, ).

14. f(⃗x)
=
f(x1, x2, ..., xn) ⃗x0(x0
1, x0
2, ..., x0
n), , ⃗x0, ⃗x0 :

lim
⃗x→⃗x0 f(⃗x) = f(⃗x0)

().

lim
x→x0
y→y0
f(x, y) = f(x0, y0).

15. , .

9. lim
x→0
y→2

sin xy

x
.

. sin 2x ∼ 2x x → 0,

lim
x→0
y→2

sin xy

x
= lim
x→0
2x
x = 2.

10

10. z = xy + 1

x2 − y .

. , . x2 − y = 0 y = x2 . ,
y = x2 .

11. , f(x, y) =
x

x2−y2 .

. (x, y),
, x2 = y2. (x0, y0) , . . x2
0 ̸= y2
0. {xn, yn} , x2
n ̸= y2
n xn → x0, yn →
y0 n → ∞, lim
n→∞ f(xn, yn) = lim
n→∞
xn

x2n − y2n
=
x0

x2
0 − y2
0
= f(x0, y0).

, (x0, y0) .

6. :

1) G
G ;

2) G G,
.

1.4.
. z
=
f(x, y), M0(x0, y0). y, y = y0, z = f(x, y0), , x.

16. f(x, y0) x
(x0, y0) x f(x, y) (x0, y0):

∂f(x0, y0)

∂x
= lim
x→x0
f(x, y0) − f(x0, y0)

x − x0
.

11

f(x, y)
y (x0, y0):

∂f(x0, y0)

∂y
= lim
y→y0
f(x0, y) − f(x0, y0)

y − y0
.

x y :

∂f(x0, y0)

∂x
= f ′
x(x0, y0),
∂f(x0, y0)

∂y
= f ′
y(x0, y0).

: f ′
x x f(x, y) y, f ′
y y f(x, y) x.

, .
, , x y .

12. f(x, y) = x2y3, f ′
x = (x2y3)′
x = 2xy3,
f ′
y = (x2y3)′
y = 3x2y2.

13. z = x2y + x sin xy, ∂z
∂x = ∂

∂x(x2y + x sin xy) = 2xy + ∂

∂x(x · sin xy) = 2xy + sin xy + xy cos xy;

∂z
∂y = ∂

∂y(x2y + x sin xy) = x2 + x2 cos xy.

f ′
x(x, y), f ′
y(x, y) , .

17. ∂f

∂x
∂f
∂y f(x, y).

f(x, y)
:
∂
∂x

(∂f

∂x

)
;
∂
∂y

(∂f

∂x

)
;
∂
∂x

(∂f

∂y

)
;
∂
∂y

(∂f

∂y

)
.

:

∂2f
∂x2;
∂2f
∂x∂y;
∂2f
∂y∂x; ∂2f

∂y2 .

12