Математический анализ. Часть I

Министерство образования и науки Российской Федерации 

Сибирский федеральный университет 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧАСТЬ I 

Учебное пособие 

Красноярск 

СФУ 
2018 

УДК 519.677(07) 
ББК   22.161я73 

  М340 

Авторский коллектив: 
И. А. Антипова, И. И. Вайнштейн, Т. В. Зыкова, А. С. Кацунова,  
И. Ф. Космидис, Т. О. Кочеткова, Т. В. Сидорова, В. С. Тутатчиков, 
И. М. Федотова, В. А. Шершнева 

Рецензенты:   
А. А. Родионов, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник отдела дифференциальных уравнений механики 
Института 
вычислительного 
моделирования 
СО РАН; 

Л. В. Шкерина, доктор педагогических наук, профессор, заведующая 

кафедрой математического анализа и методики обучения 
математике в вузе Красноярского  государственного   педагогического   университета им. В. П. Астафьева 

М340   Математический анализ. Часть I : учеб. пособие / И. А. Антипова, 
И. И. Вайнштейн, Т. В. Зыкова [и др.]. – Красноярск : Сиб. федер. 
ун-т, 2018. – 196 с. 

ISBN 978-5-7638-3326-3 

Рассмотрены следующие темы: введение в математический анализ, диф
ференциальное исчисление функции одной переменной, интегральное исчисление функции одной переменной.  Кроме теоретического материала, приведены 
основные формулы, используемые для решения задач, и подробно разобраны 
примеры.  

Предназначено для бакалавров направлений подготовки 09.03.01 «Инфор
матика и вычислительная техника», 09.03.02 «Информационные системы и технологии», 09.03.04 «Программная инженерия», 27.03.03 «Системный анализ и 
управление», 27.03.04  «Управление в технических системах», 15.03.04 «Автоматизация технологических процессов и производств».  

УДК 519.677(07) 
ББК 22.161я73 
Электронный вариант издания см.: 
http:/catalog.sfu-kras.ru 
© Сибирский федеральный 

ISBN 978-5-7638-3326-3 
университет, 2018 

1. 4

1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

1.2. . 12
1.3. . 21

1.4. . . .
30

1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39

2. 48

2.1. .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
48

2.2. . . . . . . . . . . . . . .
63

2.3. . . . . . . . . . . . .
71

2.4. .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
79

2.5. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93

3.
99

3.1. . . . . . . . . . .
99

3.2. . . . . . . . . . . . . . . 109
3.3. . . . . . . . . . . 114

3.4. . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.5. .
. . . . . . . . . . . . 135

3.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.7. . . . . . . . . . . . . 167
3.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

195

3

1. 1.1.
1.1.1. (. functio , ) , (). .

 1692 ,
(16461716).

1. , x,
y , , y x.

: y = f(x).

x , , y .

x, y
=
f(x)
, ().
, y , ().

1

• S a :
S = a2 .

• V R V = 4

3πR3 .

• V h r
: V (r) = 1

3πr2h.

• t s(t) = gt2

2 , g .

4

1.1.2. :

• , ;

• , x y ();

• .

2.
:
y = x2 + x − 3, y = 5, y = sin 4x, y3 + x2 − 9 = 0.

2 , . . y = f(x). F(x, y) = 0, , y . 
y , y =
3√

9 − x2 .
, .
, ex + y − ln y + sin(xy) = 0 y .

, ,

y =
{ x2, x ⩽ 0,
−x, x > 0.

, x y :
{ x = x(t),
y = y(t),
t ∈ [a, b].

t
, .

3. { x = cos t,
y = sin t,
t ∈ [0, π].

, . sin2 t+cos2 t = 1 : x2 + y2 = 1.
, . ,
, y
⩾ 0 t ∈ [0, π], y =
√

1 − x2 .

5

, .

x
1

√

3/2
1/2
0
−1/2
−
√

3/2
−1

y
0
1/2

√

3/2
1

√

3/2
1/2
0

. , , , . ,
, .

. , , , . . (x, y) Oxy ,
y
= f(x) ()  F(x, y) = 0 () x = x(t), y = y(t) t ∈ [a, b] ().

, 3 1 .

.
.
,
,
.
1.1.3. ,
c(), , ,
,
.

.
1.11.6
.

. 1.1

6

. 1.2

. 1.3

. 1.4

7

. 1.5

. 1.6

1.1.4. 2. y = f(x) , x f(−x) = f(x).

3. y = f(x) , x f(−x) = −f(x).

8

, y = x2 y = cos x , y = x3 , y = sin x y = arctg x .

. Oy , .

4. y = f(x) ,
T > 0, :
f(x + T) = f(x).

, y = sin x y = cos x T = 2π , y = tg x y = ctg x T = π .

1.1.5. y
=
f(x). x, y = f(x)
, x = f −1(y). y ≡ f(f −1(y)).

,
x
,
y , . . y = f −1(x).

, y
=
ax
y = loga x, y = x3 y =
3√x.

y
= f −1(x) y = f(x) y = x (,
, . 1.1 1.2).

1.1.6. y u: y = f(u), u x: u = φ(x). x  u, , y . , y x. , y = f(φ(x)).

f φ . f , φ .

4. f(x) = arccos(lg(x)). x = 1

10 .

f( 1

10) = arccos(lg( 1

10)) = arccos(−1) = π.

9

, (, , , ),
.
,
.

1.1.7. , x y . , .

, y2 − x = 0 : y = ±√x,
. . .

, sin y = x :

y = (−1)k arcsin x + πk,
(k = 0, ±1, ±2, . . .).

y = Arcsin x, [−1, 1].

: y = Arccos x,
y = Arctg x y = Arcctg x.

1.1.8. 1. y = f(x + a) y = f(x) () Ox a
, a > 0, |a| , a < 0.

2. y = f(kx) y = f(x) Oy k k > 1 Oy 1/k 0 < k < 1.

3. y = kf(x) y = f(x) Ox k k > 1 Ox 1/k 0 < k < 1.

4. y = f(x) + b y = f(x) () Oy b
, b > 0, |b| , b < 0.

5. y = −f(x) y = f(x) Ox.

10

y = kf(mx + b) + a y = kf(mx + b) + a = kf
[
m
(
x + b

m

)]
+ a,

15 y = f(x).

. y = f(x) , x f(−x) = f(x), , f(−x) = −f(x).

y = f(x) , T > 0, : f(x + T) = f(x).

5. y =
√

4 − x2 .

. , 4 − x2 ⩾ 0, . . |x| ⩽ 2.
, [−2, 2].

6. y = arcsin x−1

4

. y = arcsin x [−1, 1]. , , , −1 ⩽ x − 1

4
⩽ 1.

−4 ⩽ x − 1 ⩽ 4, −3 ⩽ x ⩽ 5. , [−3, 5]. [−π/2, π/2].

7. , f(x) = x − x3

3 − x5

5
.

. f(−x) = (−x) − (−x)3

3
+ (−x)5

5
= −x + x3

3 − x5

5 =

= −
(
x − x3

3 + x5

5

)
= −f(x).

f(−x) = −f(x), .

8. ,
f(x) = tg x sin 3x + ctg 2x
, .

11