Математические основы кибернетики

Изложены часто используемые на практике методы и алгоритмы анализа случайных величин и процессов, проверки статистических 
гипотез, обработки результатов эксперимента, 
идентификации параметров статических и динамических моделей, временных рядов, планирования активного эксперимента, а также описаны модели объектов управления. Рассмотрены 
методы оптимизации нелинейного и линейного 
программирования, классических задач математического программирования и специальных 
задач линейного программирования. Приведены 
примеры моделирования в системах Mathcad и 
Matlab.

Г. Б. Масальский
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ 
ОСНОВЫ КИБЕРНЕТИКИ

Учебное пособие

ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Г. Б. Масальский  
Математические основы кибернетики

Оглавление 
 

1 

Министерство образования и науки Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
Г.Б. Масальский 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ  
ОСНОВЫ  КИБЕРНЕТИКИ 
 
 
Учебное пособие 
 
2-е издание, переработанное и дополненное 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2018 

I. ОСНОВЫ  ИНДЕНТИФИКАЦИИ  СИСТЕМ  УПРАВЛЕНИЯ 
 

2 

УДК 519.7(07) 
ББК 22.18я73 
М310 
 
 
 
Р е ц е н з е н т ы: 
В.В. Глухов, доктор экономических наук, профессор, первый проректор СПбПУ Петра Великого, заслуженный деятель науки РФ; 
Е.Б. Цой, доктор технических наук, профессор кафедры «Прикладная математика» НГТУ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Масальский, Г.Б. 
М310           Математические основы кибернетики : учеб. пособие  / Г.Б. Масальский. – 2-е изд., перераб. и доп. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 
2018. – 384 с. 
ISBN 978-5-7638-3628-8 
 
Изложены часто используемые на практике методы и алгоритмы анализа 
случайных величин и процессов, проверки статистических гипотез, обработки 
результатов эксперимента, идентификации параметров статических и динамических моделей, временных рядов, планирования активного эксперимента, а также 
описаны модели объектов управления. Рассмотрены методы оптимизации нелинейного и линейного программирования, классических задач математического 
программирования и специальных задач линейного программирования. Приведены примеры моделирования в системах Mathcad и Matlab. 
Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям 15.03.06  
и 15.04.06 «Мехатроника и робототехника». Может быть полезно аспирантам и 
инженерно-техническим работникам при формализации стохастических объектов управления и решении задач оптимизации. 
 
 
Электронный вариант издания см.: 
http://catalog.sfu-kras.ru 
УДК 519.7(07) 
ББК 22.18я73 
 
ISBN 978-5-7638-3628-8                                                           © Сибирский федеральный  
                                                                                                         университет, 2018 

Оглавление 
 

3 

 
ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
 
ВВЕДЕНИЕ ......................................................................................................... 6 
I. ОСНОВЫ  ИДЕНТИФИКАЦИИ  СИСТЕМ  УПРАВЛЕНИЯ ............ 9 
1. ЭЛЕМЕНТЫ  ТЕОРИИ  ВЕРОЯТНОСТЕЙ  
    И  СЛУЧАЙНЫХ  ПРОЦЕССОВ .................................................................. 9 
1.1. Основные понятия и определения теории вероятностей ..................... 9 
1.2. Функции распределения вероятностей случайной 
       величины ................................................................................................. 11 
1.3. Числовые характеристики случайных величин .................................. 19 
1.4. Многомерные распределения вероятностей ....................................... 20 
1.5. Случайные процессы и их основные статистические 
       характеристики ....................................................................................... 27 
1.6. Корреляционные функции случайных процессов .............................. 32 
1.7. Спектральные плотности случайных процессов ................................ 39 
1.8. Случайные процессы в динамических системах ................................ 45 
1.9. Прохождение дискретного случайного процесса  
       через дискретное динамическое звено первого порядка ................... 51 
Задачи ............................................................................................................. 62 
2. ЭЛЕМЕНТЫ  МАТЕМАТИЧЕСКОЙ  СТАТИСТИКИ ............................ 65 
2.1. Общие понятия и определения ............................................................. 65 
2.2. Простейшие оценки ............................................................................... 66 
2.3. Интервальные оценки. Доверительный интервал .............................. 70 
2.4. Проверка статистических гипотез о параметрах 
       распределения ......................................................................................... 72 
2.5. Критерии согласия ................................................................................. 78 
2.6. Последовательный анализ ..................................................................... 80 
2.7. Особенности статистического вывода ................................................. 88 
2.8. Статистики и измерения стационарного случайного процесса ........ 89 
2.9. Оценка корреляционной функции ........................................................ 94 
2.10. Оценка спектральной плотности ........................................................ 96 
Задачи  ......................................................................................................... 104 
3. МОДЕЛИ  ОБЪЕКТОВ  УПРАВЛЕНИЯ ................................................. 105 
3.1. Средства и этапы описания объектов управления ............................ 105 
3.2. Характеристика моделей объектов управления ................................ 107 
3.3. Динамические модели объектов управления .................................... 111 
3.4. Преобразование и исследование динамических моделей ................ 118 

I. ОСНОВЫ  ИНДЕНТИФИКАЦИИ  СИСТЕМ  УПРАВЛЕНИЯ 
 

4 

3.5. Статические модели ............................................................................. 146 
3.6. Графическое представление статических моделей .......................... 153 
3.7. Пример описания объекта управления .............................................. 167 
3.7.1. Краткое описание процесса электролиза алюминия ............. 167 
3.7.2. Математическая модель процесса электролиза алюминия .. 170 
Задачи  ......................................................................................................... 179 
4. МЕТОДЫ  ИДЕНТИФИКАЦИИ ............................................................... 182 
4.1. Дисперсионный анализ ........................................................................ 182 
4.2. Метод регрессионного анализа ........................................................... 188 
4.3. Рекуррентные алгоритмы идентификации  
       линейных моделей ................................................................................ 195 
4.3.1. Рекуррентный метод наименьших квадратов ........................ 195 
4.3.2. Оптимальный одношаговый алгоритм ................................... 197 
4.3.3. Метод стохастической аппроксимации .................................. 198 
4.4. Оценивание параметров нелинейных моделей ................................. 199 
4.5. Идентификация параметров динамических моделей ....................... 203 
4.6. Сглаживание временных рядов .......................................................... 210 
Задачи 
 ....................................................................................................... 223 
5. ПЛАНИРОВАНИЕ  ЭКСПЕРИМЕНТА ................................................... 226 
5.1. Общие требования к плану эксперимента ......................................... 226 
5.2. Полный факторный эксперимент ....................................................... 228 
5.3. Дробный факторный эксперимент ..................................................... 238 
5.4. Планы для квадратичных моделей ..................................................... 240 
Задачи   ......................................................................................................... 244 
II. МЕТОДЫ  ОПТИМИЗАЦИИ ................................................................ 245 
1. ВВЕДЕНИЕ  В  ЗАДАЧИ  ОПТИМИЗАЦИИ .......................................... 245 
1.1. Функции одной переменной .............................................................. 246 
1.2. Функции многих переменных ........................................................... 251 
Задачи   ....................................................................................................... 255 
2. КЛАССИЧЕСКАЯ  ЗАДАЧА  МАТЕМАТИЧЕСКОГО  
    ПРОГРАММИРОВАНИЯ .......................................................................... 256 
2.1. Задачи оптимизации при отсутствии ограничений .......................... 257 
2.2. Метод множителей Лагранжа ............................................................. 261 
Задачи  ......................................................................................................... 265 
3. НЕЛИНЕЙНОЕ  ПРОГРАММИРОВАНИЕ ............................................. 267 
3.1. Постановка задачи ................................................................................ 267 
3.2. Условия Куна – Таккера ...................................................................... 269 
3.3. Методы решения задач нелинейного программирования ............... 274 
3.4. Градиентные методы оптимизации .................................................... 275 
3.5. Квадратичные методы оптимизации .................................................. 280 
3.6. Учет ограничений в градиентных методах оптимизации ................ 289 

Оглавление 
 

5 

3.7. Последовательный симплексный метод ............................................ 299 
3.8. Метод Нелдера – Мида ........................................................................ 314 
3.9. Комплекс-метод Бокса ......................................................................... 318 
3.10. Методы случайного поиска ............................................................... 321 
3.11. Глобальный поиск .............................................................................. 325 
3.12. Многокритериальные задачи ............................................................ 327 
Задачи  ......................................................................................................... 330 
4. ЛИНЕЙНОЕ  ПРОГРАММИРОВАНИЕ .................................................. 332 
4.1. Постановка задачи ................................................................................ 332 
4.2. Двойственные задачи линейного программирования ...................... 334 
4.3. Методы решения задачи линейного программирования ................. 337 
4.4. Идея симплекс-метода линейного программирования .................... 341 
Задачи   ....................................................................................................... 347 
5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ  ЗАДАЧИ  ЛИНЕЙНОГО  
    ПРОГРАММИРОВАНИЯ .......................................................................... 353 
5.1. Транспортные задачи........................................................................... 353 
5.2. Задачи целочисленного программирования ..................................... 359 
5.3. Задача выбора вариантов .................................................................... 363 
5.4. Дискретное программирование .......................................................... 369 
5.5. Задача коммивояжера .......................................................................... 372 
Задачи  ......................................................................................................... 376 
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ  СПИСОК ..................................................... 378 
СПИСОК  ИСПОЛЬЗУЕМЫХ  ОБОЗНАЧЕНИЙ ................................. 381 

I. ОСНОВЫ  ИНДЕНТИФИКАЦИИ  СИСТЕМ  УПРАВЛЕНИЯ 
 

6 

 
ВВЕДЕНИЕ 
 
 
Робототехнические системы, технологические процессы, гибкие            
автоматизированные производства, интегрированные производственные 
системы относятся к классу сложных систем. 
Эти системы можно рассматривать как технические, человекомашинные, экономические системы. Теория и практика управления подобными системами развиты в кибернетике – науке об общих законах получения, хранения, передачи и преобразования информации в сложных управляющих системах. 
У древних греков термин «кибернетика» соответствовал понятию 
«искусство управлять». У французского ученого А.-М. Ампера (1775–1836) 
этот термин обозначал несуществующую науку об управлении человеческим обществом. 
Опубликование американским ученым Норбертом Винером (1894–1964) 
в 1948 и в 1954 гг. книг о кибернетике является началом отсчета формирования научного направления. 
Систематизация в 1956 г. основных понятий кибернетики английским ученым У.-Р. Эшби и развитие электронных вычислительных машин 
расширили границы ее применения. Выделились в самостоятельные           
направления техническая, экономическая, биологическая, медицинская, 
физиологическая, психологическая и военная кибернетика. 
Созданием научного аппарата и методов исследования для изучения 
широкого класса систем управления независимо от их конкретной природы занимается теоретическая кибернетика. Теоретическая кибернетика 
включает в себя ряд научных направлений математики, таких как математическая логика, теория вероятностей и математическая статистика, вычислительная математика, теория оптимизации, теория информации, теория алгоритмов, теория случайных процессов, теория игр, ряд направлений 
современной теории управления, теории идентификации и других научных 
направлений. 
Кибернетика позволяет изучать на основе единых подходов и методов технические системы и представляет собой этап развития теории 
и практики управления сложными системами. 
Проектирование и исследование робототехнических систем (РТС), 
автоматизированных систем управления технологическими процессами 

Введение 
 

7 

(АСУ ТП), автоматизированных систем управления предприятием 
(АСУП), гибких автоматизированных производств (ГАП) тесно связаны 
с такими понятиями, как «идентификация», «оптимизация», «объект 
управления или проектирования», «модель», «моделирование». 
Многие задачи производственной деятельности связаны с поиском 
оптимального варианта (например, задача выбора оптимальной программы 
производства, рациональных способов транспортировки грузов, поиск оптимального проектного решения конструкции в условиях ограничений 
и выбранного критерия эффективности). Для решения таких задач разработаны методы оптимизации, используемые в математическом программировании (статическая оптимизация). Большинство приведенных в учебном 
пособии методов оптимизации реализованы в программных средах Mathcad 
и Matlab. Для выполнения инженерных задач статической оптимизации 
важно корректно осуществить постановку задачи, выбрать соответствующий метод оптимизации и оценить полученный результат. 
Поэтому в учебный план направления подготовки бакалавров 
15.03.06 «Мехатроника и робототехника» введена дисциплина «Математические основы кибернетики». В учебном пособии представлены материалы 
курса лекций, читаемого автором с 1992 г. для студентов специальности 
210300 «Роботы и робототехнические системы». 
Предпочтения в выборе методов, задач и объектов идентификации 
обусловлены знаниями, полученными во время учебы в аспирантуре на 
кафедре «Автоматика» Московского энергетического института (Технического университета), опытом работы на ряде предприятий при выполнении 
прикладных и научных исследований. 
В первой главе приведены основные понятия теории вероятностей, 
представлены функции распределения вероятностей случайной величины 
и вектора случайных величин, их числовые характеристики, примеры моделирования их в системе Mathcad. 
Много внимания уделено случайным процессам и их основным статистическим характеристикам, анализируется прохождение случайного 
процесса через непрерывное и дискретное линейное динамическое звено. 
Во второй главе рассмотрены понятия и определения математической статистики, представлены расчеты оценок случайной выборки. Приведенные примеры проверки статистических гипотез в дальнейшем           
используются в методах идентификации и планирования эксперимента. 
Приводимая процедура последовательного анализа для задач статистического контроля качества продукции не столь широко представлена 
в литературе, но весьма привлекательна для процессов контроля в режиме 
реального времени, реализуемых в автоматизированных системах. Процедуры 

Введение 

8 

обработки результатов измерения случайного процесса сопровождены 
примерами моделирования и расчета в системах Mathcad и Matlab. 
Третья глава посвящена общим вопросам описания объектов управления, характеристике статических и динамических моделей этих объектов. Подробно рассмотрен переход от передаточных функций и структурных схем к моделям пространства состояний и переход от непрерывных 
моделей к дискретным и обратно с использованием пакета Control System 
Toolbox среды Matlab. Даны примеры перехода и исследования динамических моделей, графическое представление статических моделей в Mathcad 
и Matlab. 
Приведенный пример описания процесса электролиза алюминия отражает основные этапы описания технологического процесса как объекта 
управления. 
В четвертой главе представлены часто применяемые процедуры 
идентификации статических и динамических объектов, временных рядов, 
ориентированные на компьютерную обработку данных эксперимента, 
с примерами расчета в системах Mathcad, Matlab. 
В пятой главе представлены основные методы планирования активного эксперимента в задачах идентификации линейных статических моделей первого и второго порядка. 
Раздел «Методы оптимизации» состоит из пяти глав, в которых даны 
постановки задач математического программирования и методы их решения в системах Mathcad и Matlab. 
Автор будет признателен за критические замечания, направленные 
на совершенствование представленных материалов. E-mail: gmasalsky@ 
mail.ru.

1. Элементы теории вероятностей и случайных процессов 
 

9 

 
I. ОСНОВЫ  ИДЕНТИФИКАЦИИ  
СИСТЕМ  УПРАВЛЕНИЯ 
 
 
 

 
1. ЭЛЕМЕНТЫ  ТЕОРИИ  ВЕРОЯТНОСТЕЙ 
И  СЛУЧАЙНЫХ  ПРОЦЕССОВ 
 
 
1.1. Основные понятия и определения  
теории вероятностей 
 
Теория вероятностей изучает объективные закономерности массовых 
случайных явлений, проявляющиеся при многократном воспроизведении 
заданного основного комплекса условий. С каждым из случайных явлений 
связаны определенные события, которые могут осуществляться или не 
осуществляться в результате опыта. Например, если говорят, что процент 
стандартных деталей 92 % при данных условиях обработки (одни и те же 
деталь, станок, токарь), то это означает, что из сотни деталей в среднем 92 
стандартные детали. Конечно, не в каждой сотне будет 92 годные детали, 
иногда их будет 91, 94, 93 и т. д. Но в среднем при многократном изготовлении в одних и тех же условиях процент 92 будет оставаться неизменным. 
Событие, которое при заданном основном комплексе условий: 
● обязательно произойдет, называется достоверным; 
● не может произойти, называется невозможным; 
● может произойти, а может и не произойти, называется случайным. 
Количественной мерой объективной возможности осуществления 
события при фиксированном основном комплексе условий является вероятность этого события. Так, вероятность некоторого события A определяется как предел отношения 

 

N

n
A
P
A

N
lim




,                                           (1.1) 

где N – общее число опытов; 
A
n  – число опытов, в которых произошло событие A. 

 I. ОСНОВЫ   ИДЕНТИФИКАЦИИ  СИСТЕМ   УПРАВЛЕНИЯ 

10 

Практическая ценность понятия вероятности в том, что хотя появление рассматриваемого события A (например, изготовление стандартных 
деталей) не может быть точно предугадано, однако есть все основания полагать, что в любой достаточно длинной серии испытаний относительная 
частота свершения события A будет мало отличаться от его вероятности. 
Очевидно, что для достоверного события A имеем   

A
P
, для невозможного –  


A
P
, для случайного – 
 
.



A
P
 
Два события A и B называются статистически независимыми, если 
вероятность появления одного из них не зависит от того, произошло или 
нет другое событие. В противном случае события A и B статистически 
зависимы. 
Вероятность события А, найденная при условии, что осуществилось 
событие B, называется условной вероятностью события А, обозначается 


B
A
P
|
 или иногда 
 
A
P
B
 и читается так: вероятность события А при ус
ловии, что состоялось событие В. Аналогично можно ввести условную вероятность события 


A
B
P
B
|
:
. Для статистически независимых событий 



 
A
P
B
A
P

|
, 

 
B
P
A
B
P

|
. 

Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий 
1
2
,
,...,
n
B B
B , образующих полную 
группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А (формула полной вероятности): 
 
 










n
n
B
A
P
B
P
B
A
P
B
P
B
A
P
B
P
A
P
|
...
|
|











,     (1.2) 

где  



 






n
B
P
B
P
B
P
...
. 
Пример 1.1. Два завода изготовляют лампочки и поставляют на рынок соответственно 70 и 30 % всей потребляемой продукции. Из каждых 
100 лампочек первого завода 83 стандартные и второго завода соответственно 63. Тогда безусловная вероятность покупки стандартной лампочки 
потребителем на рынке 

 













.
.
.
A
P
. 

Но если мы знаем, что на рынке присутствует продукция только первого завода, то вероятность покупки стандартной лампочки изменится: 










.
| B
A
P
. 

Здесь через В обозначено событие выпуска продукции первым заводом, через А – событие покупки стандартной лампочки. 

1. Элементы теории вероятностей и случайных процессов 
 

11 

Во многих практических ситуациях описание случайных явлений 
в терминах событий, когда отмечается лишь факт их наличия или отсутствия, 
т.е. дается качественная характеристика случайного явления, оказывается 
недостаточным. По этой причине целесообразнее представлять результаты 
опытов количественно в виде некоторой случайной величины. 
Случайная величина есть величина определенной физической размерности, принимающая в результате эксперимента то или иное числовое 
значение, которое в принципе нельзя предсказать исходя из основного 
комплекса условий проведения эксперимента. Случайная величина представляет собой количественную характеристику случайных явлений, не 
изменяющуюся во времени. Чтобы охарактеризовать случайную величину, 
необходимо: 
1) указать область ее возможных значений; 
2) задать способ количественного определения вероятности попадания случайной величины в произвольную подобласть этой области. 
В зависимости от того, как определена область возможных значений, 
случайные величины подразделяются на дискретные и непрерывные. 
Дискретной называют случайную величину, возможные значения 
которой есть отдельные изолированные числа (т.е. между двумя соседними 
числами нет возможных значений). При этом число возможных значений 
дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. 
Если случайная величина принимает любое значение в области возможных значений, при этом число возможных значений ее оказывается бесконечным и несчетным, то она называется непрерывной случайной величиной. 
Способ количественного определения вероятностей попадания случайной величины в произвольные подобласти области ее возможных значений может быть задан с помощью закона распределения вероятностей 
случайной величины. Закон распределения вероятностей каждому возможному значению дискретной случайной величины или некоторому интервалу значений непрерывной случайной величины ставит в соответствие 
вероятность того, что случайная величина примет это возможное значение 
или попадет в данный интервал. 
 
 
1.2. Функции распределения вероятностей 
случайной величины 
 
Аналитическим выражением законов распределения служат функции 
распределения вероятностей. Кроме аналитического, законы распределения дискретных случайных величин могут быть заданы в виде таблицы 
или графика. 

 I. ОСНОВЫ   ИДЕНТИФИКАЦИИ  СИСТЕМ   УПРАВЛЕНИЯ 

12 

Остановимся на понятии функции распределения вероятностей. 
Интегральной функцией распределения вероятностей случайной величины Х называется функция 



x
X
P
x
F


)
(
,                                           (1.3) 

определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше, чем х. 
Здесь Х – случайная величина; х – конкретное значение случайной 
величины (теоретическое или наблюдаемое). 
Основные свойства интегральной функции распределения, или, как 
часто ее называют, просто функции распределения: 







2
1
2
1

(
)
0;

(
)
1;

0
( ) 1 для всех ;

( ) неубывающая функция, 

т.е.  (
)
( ), если 
.

F
P X

F
P X

F x
x

F x

F x
F x
x
x














 
 

 
 


 







                                      

(1.4) 

На рис. 1.1 приведен возможный вид интегральной функции распределения непрерывной случайной величины. 
 

( )
F x

( )
F b

( )
F a

a
b
 
Рис. 1.1. Возможный вид интегральной функции  
распределения непрерывной случайной величины 
 
Очевидно, вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале 

b
a,
, равна 



).
(
)
(
a
F
b
F
b
X
a
P




                                           (1.5) 

Аналогично 



,)
(a
F
a
X
P




                                                       (1.6)