Рекуррентное построение распределений вероятностей конечных случайных множеств

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Сибирский федеральный университет

Д. В. Семенова, Н. А. Лукьянова

РЕКУРРЕНТНОЕ ПОСТРОЕНИЕ 
РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 
КОНЕЧНЫХ СЛУЧАЙНЫХ  
МНОЖЕСТВ

Монография

Красноярск 
СФУ 
2018

УДК 519.111.1
ББК 22.193.4
С302

Р е ц е н з е н т ы: 
С. П. Моисеева, доктор физико-математических наук, профессор кафедры теории вероятностей и математической статистики Томского государственного университета;
Ю. В. Гайдамака, доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной информатики и теории вероятностей Российского университета дружбы народов (Москва)

Семенова, Д. В. 
С302
Рекуррентное построение распределений вероятностей конечных 
случайных множеств : монография / Д. В. Семенова, Н. А. Лукьянова. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2018. – 136 с.
ISBN 978-5-7638-4025-4

Изложен рекуррентный метод построения распределений вероятностей конечных случайных множеств. Приведено его теоретическое обоснование. Метод 
позволяет в рамках случайно множественного подхода моделировать реальные 
системы с нечисловыми данными.
Предназначена для научных сотрудников, занятых в области теории вероятностей и математической статистики, аспирантов и студентов старших курсов, 
будет полезна также специалистам, интересующимся применением математических методов в социально-экономических и гуманитарных науках.

Электронный вариант издания см.:
УДК 519.111.1
http://catalog.sfu-kras.ru
ББК 22.193.4

ISBN 978-5-7638-4025-4
© Сибирский федеральный
университет, 2018

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

Глава 1.
Конечные случайные множества и способы их пред
ставления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1. Случайные множества как случайные элементы . . . . . . . 14

1.2. Конечные случайные множества событий . . . . . . . . . . . 16

1.3. Функции множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4. Распределения вероятностей конечного случайного множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5. Аддитивные свойства распределений вероятностей конеч
ного случайного множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.6. Распределения вероятностей конечного случайного множества, заданного на подмножестве базового множества . . 33

1.7. Арная ковариация множества событий
. . . . . . . . . . . . 36

Глава 2.
Достаточные условия существования распределений
вероятностей конечных случайных множеств . . . . . . . . . . 38

2.1. Достаточные условия существования распределений II рода 38

2.2. Достаточные условия существования распределений V рода 41

2.3. Уточнение границ Фреше для распределений вероятностей конечного случайного множества
. . . . . . . . . . . . 45

2.3.1. Распределение вероятностей II рода
. . . . . . . . . . 45

2.3.2. Распределение вероятностей V рода
. . . . . . . . . . 51

Оглавление

Глава 3.
Метод рекуррентного построения распределений вероятностей конечных случайных множеств на основе ассоциативных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1. Ассоциативные функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2. Построение функций множества на основе ассоциативных
функций
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3. Построение распределений вероятностей II рода на основе
ассоциативных функций
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3.1. Ассоциативная функция AF(a, b) = ab
. . . . . . . . . 64

3.3.2. Ассоциативная функция AF(a, b) = min{a, b}
. . . . . 65

3.3.3. Ассоциативная функция AF(a, b) = max{a + b − 1, 0} . 68

3.3.4. Ассоциативная функция AF(a, b) =
ab

a + b − ab . . . . . 75

3.3.5. Однопараметрическое семейство функций Франка
. . 80

3.4. Построение распределений вероятностей V рода на основе
двойственных ассоциативных функций . . . . . . . . . . . . 95
3.4.1. Ассоциативные функции по объединению . . . . . . . 96

3.4.2. Построение функций множества на основе ассоциативных объединений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.4.3. Построение распределений вероятностей V рода
. . .100

3.5. Анализ и демонстрация применения метода
. . . . . . . . .107

3.5.1. Подгонка распределений конечных случайных множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Указатель обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Предисловие

Тема предлагаемой вниманию читателя книги — исследование распределений конечных случайных множеств — представляет интерес

для широкого круга специалистов. Поскольку многие задачи моделирования случайных объектов нечисловой природы формулируются в
терминах конечных случайных множеств, то многие методы решения,
развиваемые в рамках этой теории, оказываются вполне пригодными

для использования на практике.

Книга содержит три главы. В первой главе изложены концептуальные основы теории конечных случайных множеств, необходимые для
понимания последующего материала книги. Здесь определяются такие

понятия, как «базовое множество случайных событий и порожденные
им системы событий», «конечное случайное множество», «функция
множества», «распределения вероятностей конечных случайных множеств». Вводятся и обсуждаются типы распределений вероятностей

конечных случайных множеств. Приводятся обозначения и свойства
распределений вероятностей конечных случайных множеств, применяемые в последующих главах. Более детально с теорией конечных
случайных множеств можно ознакомиться в систематической моно
графии [18].

Во второй главе устанавливаются достаточные условия существования распределений вероятностей конечного случайного множества.

Известно, что распределение вероятностей конечного случайного множества можно задать шестью эквивалентными способами (распределениями I —VI рода). Каждый из этих типов распределений вероятностей конечного случайного множества является функцией множества,

заданной на соответствующей системе событий. В параграфах 2.1 и
2.2 сформулированы и доказаны достаточные условия, при выполнении

Предисловие

которых функция множества определяет распределение вероятностей
конечного случайного множества II или V рода. Найденные условия
дополняют необходимые условия существования распределений веро
ятностей конечного случайного множества II и V рода, доказанные в
работах [11,18]. В параграфе 2.2 получены модифицированные границы Фреше для вероятностей пересечений и объединений событий, которые уточняют необходимые и достаточные условия существования

распределений вероятностей II и V рода конечных случайных множеств.

И, наконец, третья глава посвящена рекуррентному методу построения распределений вероятностей конечных случайных множеств на
основе ассоциативных функций. Ассоциативные функции и их раз
новидности (копулы и треугольные нормы) широко используются в
теории вероятностей и нечеткой логике [82, 112, 124]. Авторами ассоциативные функции в виде ассоциативных и коммутативных копул
применены для построения многомерных распределений вероятностей

в рамках случайно-множественного подхода. Предложенный авторами рекуррентный метод сокращает число параметров распределения и
порождает новые классы распределений вероятностей конечных случайных множеств. Среди новых распределений, полученных рекур
рентным методом, наибольшего внимания с прикладной точки зрения
заслуживают те, структура зависимостей которых описывается только параметрами используемой ассоциативной функции. В параграфе
3.1 даются предварительные сведения из теории ассоциативных функ
ций и обосновывается применение понятия ассоциативной функции к
распределению вероятностей конечного случайного множества. В параграфе 3.2 изложен метод рекуррентного построения распределений
вероятностей конечных случайных множеств на основе ассоциатив
ных функций. Предложенный метод решает проблему размерности,
однако порождает другую проблему: построенные с помощью данного метода функции множества могут не являться распределением вероятностей. Следовательно, для каждого рассматриваемого семейства

ассоциативных функций возникает необходимость исследования области применимости метода. Параграф 3.3 посвящен решению этой

Предисловие
7

проблемы. Кроме того, в нем с помощью предложенного метода получены ранее известные законы распределений вероятностей (законы с
независимо-точечной, вложенной и непересекающейся структурой за
висимостей событий), а также выявлены новые классы распределений
вероятностей конечных случайных множеств. Для каждого из построенных распределений вероятностей найдены характеристики конечного случайного множества. В параграфе 3.4 метод рекуррентного по
строения распределений вероятностей конечных случайных множеств
распространен на двойственные ассоциативные функции. Параграф 3.5
содержит анализ и демонстрацию применения рекуррентного метода.

Библиографический список содержит 157 наименований. В него

включены также работы авторов, отвечающие содержанию и тематике настоящего издания. Теоремы, утверждения, леммы, следствия,
примеры, рисунки и таблицы нумеруются двумя числами: первое из
них — это номер главы, а второе — их порядковый номер, причем

нумерация сквозная внутри главы. Конец доказательства отмечается
символом ♦. В некоторых случаях авторы не дают формальных доказательств, ограничиваясь ссылками на работы, где они приводятся.
Конец примера отмечается символом □. Часть используемой символи
ки является общепринятой в теории вероятностей. В указателе обозначений приводятся некоторые специфические обозначения.

Чтение книги требует знания основ теории вероятностей в объеме университетского курса и предполагает известную математическую
культуру. Тем не менее мы надеемся, что она окажется интересной и

полезной читателю.

Нам приятно выразить глубокую благодарность нашему учителю
профессору О.Ю. Воробьёву, который оказал непосредственное влияние на формирование научных интересов авторов, что нашло отраже
ние в этой книге. Хотя мы не в состоянии перечислить всех, кто помог
нам своими замечаниями, особо хотелось бы поблагодарить старшего научного сотрудника А.А. Новосёлова, профессора А.А. Назарова,
профессора В.В. Рыкова, профессора Ю.Г. Дмитриева за полезные со
веты и конструктивную критику. Мы высоко ценим труд профессора
В.В. Быковой, которая с большим вниманием следила за нашими ис

Предисловие

следованиями и чьи замечания и ценные рекомендации способствовали улучшению изложения и устранению неточностей. Выражаем нашу
искреннюю признательность профессору С.П. Моисеевой и доценту

Е.Е. Голденок за дружеские советы и оказанную всестороннюю поддержку.

Введение

Наука о вероятностях, известная под названием теории
вероятностей, имеет предметом своим вычисление вероятности
события по данной связи его с событиями, которых вероятности
известны.

П.Л. Чебышёв

В настоящее время актуальны задачи, связанные с необходимо
стью обработки больших массивов данных с целью поиска скрытых
закономерностей, установления и выявления новых знаний, которые
впоследствии могут быть использованы экспертами прикладной области. Подобные задачи, как правило, имеют комбинаторный характер

и заключаются в поиске зависимостей между связанными событиями в виде, доступном интерпретации человеком. Извлечение полезных
знаний невозможно без хорошего понимания сути данных, а успешный анализ требует их качественной предобработки и тщательного

выбора модели для интерпретации зависимостей, которые могут быть
обнаружены. В монографии такой математической моделью сложных
объектов и систем, у которых число описываемых признаков конечно и появление любого из них представляется как случайное собы
тие, рассматриваются конечные случайные множества. Вероятностные
распределения конечных случайных множеств позволяют дать сжатое
описание неструктурированных данных, для которых размер каждой
транзакции (множества событий, произошедших одновременно) не яв
ляется фиксированным.

Впервые понятие случайного множества было упомянуто в работе
А. Н. Колмогорова в 1933 г. вместе с математическими основами теории вероятностей [111]: «область . . . , форма которой зависит от слу
чая». Исследования случайных множеств начинаются с классических
работ G. Choquet (1953–1954), D. G. Kendall (1974) и G. Matheron

Введение

(1975). Важнейшие результаты были получены в стохастической геометрии такими учеными, как G. Matheron [120], D. G. Kendall [109],
J. Serra [141,142], L. Santalo [67,133], D. Stoyan [146,147], Р. В. Ам
барцумян [2], О. Ю. Воробьев [15,16,148], P. Diggle [91,92], И. Молчанов [122, 123], A. Baddeley [83, 84]. В этих работах понятие случайного множества определяется различными способами в зависимости от структуры множества значений: замкнутое, открытое, непу
стое компактное, выпуклое случайное множество и другие. Например,
J. Serra использовал случайные множества для моделирования агломерации руды, P. Diggle — для моделирования распространения вереска
и при имитации природных текстур в бинарных изображениях, в то

время как D. Stoyan и H. Stoyan применили случайные множества в
статистике частиц для изучения колебаний форм песчинок и показали, что случайные множества в качестве теоретико-множественного
метода имеют свои преимущества и могут выступать в качестве до
полнения к другим мощным средствам, таким как многомерная статистика. D. Stoyan применял случайные множества к стохастическим
моделям систем из твердых сред, а также при изучении моделей пористой среды. Много работ связано с изучением случайных геомет
рических объектов — точек, прямых, кругов, мозаик и т.д. В основе исследований лежит математическая морфология, которая изучает
форму, в том числе и случайную форму пространственных объектов.
Основными объектами в этой области являются случайные множества

элементов числовой природы, например случайные подмножества евклидова пространства. Поэтому в анализе таких случайных множеств
используются классические методы работы с числовыми объектами.

Начиная с 80-х гг. XX в. случайные множества стали применяться и в других областях, например в статистике объектов нечисловой

природы, эконометрике и т.д. Принципиальное отличие этих случайных множеств заключается в том, что их множество значений состоит из произвольных абстрактных элементов, которые не принадлежат
пространствам с привычной линейной или любой другой структурой.

Основные результаты, достигнутые в этом направлении, отражены в
работах G. Robbins [132], И. Молчанова [122], H. T. Nguyen [125],

Введение
11

А. И. Орлова [60], О. Ю. Воробьева [14–16,18], D. Stoyan [146–148]
и др. Эти исследования тесно связаны с математическими теориями
неопределенности, такими как теория нечетких множеств, теория воз
можностей, теория свидетельств Демпстера-Шейфера и другие. В работах I. Goodman [101], H. T. Nguyen [126], T. Matsuyama [129],
J. Goutsias, R. Mahler [130], G. Rogers [108], D. Dubois [93], А. И. Орлова [60, 62], О. Ю. Воробьева [18] и многих других показано, что

некоторые положения теорий неопределенности могут быть формально выражены в терминах теории случайных множеств. Например,
I. Goodman, А. И. Орлов представляют нечеткие множества как «проекции» случайных множеств. H. T. Nguyen [126], T. Matsuyama [129]

в своих работах предлагают случайно-множественную трактовку теории свидетельств Демпстера-Шейфера [90,144,145]. Случайные множества в качестве фундамента для теории экспертных систем рассматривают D. Dubois [93], I. Goodman, H. T. Nguyen [102], J. Goutsias,

R. Mahler [130], G. Rogers [108].

Итак, современная теория случайных множеств охватывает достаточно широкий круг прикладных задач: анализ изображений (J. Goutsias, R. Mahler и H. T. Nguyen [130]), моделирование неопределенности (H. T. Nguyen [126]), статистика неполных данных (D. F. Heitjan

и D. B. Rubin, [107]), управление запасами и ресурсами (в логистике)
(А. И. Орлов [60]), моделирование роста раковой опухоли (N. Cressie
и G. M. Laslett [88], [89]), процесс случайного распространения пожара (О. Ю. Воробьев и Э. Н. Валендик [14], О. Ю. Воробьев [149],

А.О. Воробьев [12]), исследование индикаторных случайных процессов (Ю. П. Вирченко, О. Л. Шпилинская [9,10]) и др. Однако отметим,
что объекты нечисловой природы хорошо описываются на языке событий. Это составляет основу событийного подхода. Автором случайно
множественного подхода с базовым множеством в виде конечного множества случайных событий является О. Ю. Воробьев (1976–2018). В
рамках этого подхода в работах A. A. Новоселова [19], Э. Н. Валендик [14], И. В. Барановой [3], А. О. Воробьева [12], Е. Е. Гол
денок [20, 21, 28], Т. В. Куприяновой [38], О. Ю. Тарасовой [75],
А. Ю. Фомина [78], К. А. Белова [4], Д. В. Семеновой [23, 68],

Введение

J. Goldblatt [150] были поставлены и решены многие прикладные задачи различного характера: социально-экономические (исследование
потребительского спроса, моделирование финансовых рисков, порт
фельный анализ, банковский скоринг), экологические и медицинские
(прогнозирование распространения лесных пожаров, анализ уровня заболеваемости в зависимости от районов проживания, обнаружение закономерностей в медицинских данных и их извлечение). В этих за
дачах модели реальных систем представлены с помощью конечных
случайных множеств, признаками которых является булевский конечный вектор. Каждый такой вектор можно представить как подмножество некоторого конечного множества. Например, при группировке

больных по множеству препаратов, на которые у пациентов выявлена
лекарственная устойчивость, при изучении спроса покупателей некоторой сети супермаркетов на ассортимент товаров. Подобные объекты
можно характеризовать наличием или отсутствием у него какого-либо

признака из конечного набора характерных признаков. Если число таких признаков N, то различных возможных состояний системы — 2N

с соответствующими вероятностями их реализаций. Возникает актуальная задача построения законов распределений конечных случайных

множеств в аналитическом виде, поскольку это позволяет снизить число параметров, необходимых для описания распределений, и исследовать их аналитическими методами. Попытки отыскать универсальные
методы решения данной задачи не дали пока общих результатов. На
оборот, каждый конкретный метод характеризуется набором процедур,
соответствующих его специфическим свойствам, и во многом зависит
от выбранных законов распределений и целей их анализа. В своих
исследованиях мы развиваем конструктивную идею построения рас
пределений конечных случайных множеств. Основная ее мысль состоит в следующем: функционально выражать вероятности пересечений
множества событий через маргинальные вероятности событий. Этот
подход позволяет представить статистические данные в наиболее ком
пактном виде с помощью аналитических зависимостей.

В настоящем издании систематизированы некоторые результаты исследований авторов, касающиеся решения проблемы построения и ана