Линейные задачи конвективных движений с поверхностями раздела

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Сибирский федеральный университет

В. К. Андреев, Е. Н. Лемешкова

ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ  
КОНВЕКТИВНЫХ ДВИЖЕНИЙ 
С ПОВЕРХНОСТЯМИ РАЗДЕЛА

Монография

Красноярск 
СФУ 
2018

УДК 517.977.55:536.25
ББК 22.183.41+22.365.55
А655

Р е ц е н з е н т ы: 
В. В. Кузнецов, доктор физико-математических наук, профессор, ИГиЛ 
СО РАН;
В. Б. Бекежанова, доктор физико-математических наук, ИВМ СО РАН

Андреев, В. К.
А655
Линейные задачи конвективных движений с поверхностями раздела : монография / В. К. Андреев, Е. Н. Лемешкова. – Красноярск : 
Сиб. федер. ун-т, 2018. – 204 с.
ISBN 978-5-7638-3884-8

Исследованы конкретные движения жидкости с поверхностью раздела в достаточно длинных плоских каналах. Для возникающих сопряжённых обратных 
начально-краевых задач получены априорные оценки решений в равномерной 
метрике. Установлены условия на заданные значения температуры на твёрдых 
стенках, при которых решение с ростом времени сходится по экспоненциальному закону к стационарному решению. Приведены результаты расчётов эволюции скоростей и температур в слоях на основе численного обращения преобразования Лапласа.
Предназначена научным работникам, преподавателям, студентам старших 
курсов, магистрантам и аспирантам вузов, занимающимся изучением конвективных течений и их приложениями.

Электронный вариант издания см.:
УДК 517.977.55:536.25
http://catalog.sfu-kras.ru
ББК 22.183.41+22.365.55

ISBN 978-5-7638-3884-8
© Сибирский федеральный
университет, 2018

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Глава I. Влияние нестационарного градиента температуры
на движение жидкости в канале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1. Постановка задачи о плоском однонаправленном
движении в горизонтальном канале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2. Движение одной жидкости в канале с твёрдыми стенками . . 22
1.3. Движение жидкости в канале с твёрдой нижней стенкой
и верхней свободной границей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.4. Слоистые движения двух несмешивающихся жидкостей . . . . 48

Глава II. Решение начально-краевой задачи, возникающей
при совместном однонаправленном движении жидкостей
под действием постоянного градиента температуры
на твёрдых стенках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.2. Стационарное решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.3. Априорные оценки при заданном перепаде давления . . . . . . . . 77
2.4. Решение нестационарной задачи методом преобразования
Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.5. Стационарное термокапиллярное течение Куэтта в слоях . . . 94
2.6. Сходимость решения к стационарному . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.7. Точное решение нестационарной задачи в изображениях
и его анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.8. Комбинированное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.9. Об однонаправленном движении двух жидкостей
с общей границей раздела. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Глава III. Двумерные ползущие термокапиллярные движения
с поверхностями раздела в плоском канале . . . . . . . . . . . . . . 117
3.1. Постановка задачи и её преобразование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.2. Априорные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3

3.3. Стационарное решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.4. Решение с помощью преобразования Лапласа . . . . . . . . . . . . . . 144
3.5. Ползущее движение двух вязких жидкостей
с плоской границей раздела в канале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.5.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.5.2. Априорные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.5.3. Достаточные условия выхода решения
на стационарный режим . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.5.4. Решение задачи методом преобразования Лапласа . . . 162
3.6. Движение двух жидкостей и влияние внутренней энергии
границы раздела на стационарное термокапиллярное
течение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.7. Ползущее термокапиллярное стационарное течение
в слоях при нелинейной зависимости поверхностного
натяжения от температуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Библиографический список
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

4

Введение

Хорошо известно, что в неоднородно нагретой чистой жидкой среде
возникает движение — конвекция. Различают естественную, или свободную, конвекцию, вызванную неоднородностью среды (градиентами температуры, плотности), и вынужденную, обусловленную механическими
воздействиями на среду (например вибрациями). В связи с развитием
космических технологий и наукоёмких производств большое внимание
исследователей привлекает изучение термокапиллярной конвекции, или
конвекции Марангони, в земных условиях. Такая конвекция возникает из-за зависимости поверхностного натяжения от температуры, изменяющейся вдоль свободной границы или поверхности раздела двух
или более контактирующих между собой жидкостей. Проявление эффекта Марангони, как правило, локализовано вблизи свободной границы (поверхности раздела). Тем не менее в тонких слоях, имеющих
толщину порядка миллиметра, термокапиллярная конвекция становится доминирующей формой конвективного движения жидкости. Математическая постановка задач конвективных движений с поверхностями
раздела (свободными границами) включает в себя уравнения движения,
переноса тепла, граничные и начальные условия, причём часть граничных условий выполняется на неизвестной поверхности раздела. О трудности изучения таких задач можно судить по работам [1–4], где дан
анализ многих конкретных движений с поверхностью раздела. Некоторые результаты об однозначной локально по времени разрешимости
задачи о термокапиллярной конвекции с замкнутой поверхностью раздела получены в [5, 6]. Очень часто точные решения — это инвариантные и частично инвариантные решения соответствующих систем уравнений [7–10]. Классической системой для изучения термокапиллярной
конвекции являются слои, в частности и горизонтальные, жидкостей на
твёрдой подложке. Знание закономерностей тепловой конвекции в жидких слоистых системах представляет интерес для понимания гидродинамики и процессов тепломассообмена при нанесении многослойных по
5

крытий; в системах термостабилизации энергоустановок или охлаждения электронных устройств; в процессах выращивания монокристаллов
и плёнок; в устройстве тепловых насосов и т. д. Кроме того, исследование термокапиллярной конвекции в системах, состоящих из нескольких
слоёв несмешивающихся жидкостей, стимулируется, с одной стороны,
разработкой методов интенсификацией конвективного перемешивания
жидкости (химические технологии), с другой — поиском метода подавления конвективного перемешивания (космическое материаловедение)
путём соответствующего подбора конфигурации и параметров жидких
слоёв. В настоящей монографии будут разобраны новые постановки задач о термокапиллярных движениях в плоских слоях, которые, как правило, приводят к обратным задачам.

Рассмотрим здесь постановку задачи о движении двух несмешивающихся несжимаемых вязких теплопроводных жидкостей с общей границей раздела. Обозначим через Ωj (j = 1, 2) области, занятые жидкостями, через ρj, νj, χj, cpj — плотности, кинематические вязкости, коэффициенты температуропроводности и удельной теплоёмкости жидкостей
соответственно. Всюду далее предполагается, что эти параметры — положительные постоянные. Движение жидкостей описывается системой
уравнений при x ∈ Ωj, t > 0 (j = 1, 2):

ρj(ujt + uj · ∇uj) + ∇pj = ρjνj∆uj + ρjg,
(0.1)

div uj = 0,
(0.2)

θjt + uj · ∇θj = χj∆θj + 2νj

cpj
Dj : Dj,
(0.3)

где uj(xj, t) — вектор скорости, pj(x, t) — давление, g(t) — ускорение
силы тяжести (обычно g — постоянный вектор), θj(x, t) — температура,
Dj(uj) = [∇uj + (∇uj)∗]/2 — тензор скоростей деформаций.

Обозначим через Γ поверхность раздела жидкостей и предположим,
что коэффициент поверхностного натяжения σ на Γ зависит от температуры. Сформулируем условия на Γ:

u1 = u2 ≡ u,
(0.4)

u · n = Vn,
(0.5)

θ1 = θ2 ≡ θ,
(0.6)

6

(P2 − P1)n = 2σ(θ)Hn + ∇Γσ,
(0.7)

k2
∂θ2
∂n − k1
∂θ1
∂n = æθ∇Γ · u + ω(θt + u · ∇Γθ).
(0.8)

Здесь n — единичный вектор нормали к поверхности Γ, направленный
из Ω1 в Ω2; Vn — скорость перемещения поверхности раздела Γ в направлении n, и если f(x, t) = 0 — уравнение Γ, то Vn = −ft/|∇f|, так что
уравнение (0.5) перепишется в виде ft + u · ∇f = 0; Pj — тензор напряжений, Pj = pjI + 2ρjνjDj(uj); I — единичный тензор; H — средняя
кривизна поверхности Γ (H > 0, если Γ выпукла наружу области Ω1);
∇Γ — поверхностный градиент, ∇Γ = ∇ − (n · ∇)n; kj = χjρjcpj —
коэффициенты теплопроводности; ∇Γ · u — поверхностная дивергенция
вектора u. Функции æ(θ) и ω(θ) определены равенствами

æ = −dσ

dθ ,
ω = d

dθ [σ + θæ(θ)].
(0.9)

В дальнейшем в основном будем использовать линейную зависимость

σ(θ) = σ0 − σT(θ − θ0),
(0.10)

σ0, σT — положительные постоянные, θ0 — значение температуры в точке Γ, где σ = σ0. Соотношение (0.10) приближённо выполняется для
многих жидких сред, а параметры σ0, σT надёжно определяются экспериментальными методами [11]. Таким образом, в случае (0.10) из (0.9)
æ = σT и ω = 0, что приводит к упрощению энергетического условия (0.8).

Вывод и обсуждение граничных условий (0.4)–(0.8) имеется в монографиях [1–3,12].

Области Ω1 и Ω2 могут контактировать не только друг с другом, но
и с твёрдыми и газовыми фазами. Предположим, что движением газа
можно пренебречь, давление газа pgas будем считать функцией времени, а его температуру θgas на границе с жидкостью — функцией от x, t
(на практике часто pgas и θgas есть постоянные величины). Пусть Γ2 —
граница раздела Ω2 с газом, тогда на Γ2 должны выполняться условия:

ft + u2 · ∇f = 0,
(0.11)

(pgas − p2)n + 2ρ2ν2D(u2)n = 2σ(θ2)Hn + ∇Γσ,
(0.12)

k2
∂θ2
∂n + γ(θ2 − θgas) = Q,
(0.13)

7

где Q(x, t) — заданный поток тепла, γ ⩾ 0 — коэффициент межфазного
теплообмена, далее γ = const. Поверхность Γ2 в этом случае называется
свободной границей.

Поверхности твёрдых тел, контактирующих с жидкостями, обозначим через Σj. На них ставятся условия прилипания:

uj = usj,
x ∈ Σj,
(0.14)

где usj(x, t) — скорость движения стенки Σj. Кроме того, считаем, что
температура в точках Σj удовлетворяет одному из условий:
∂θj
∂nj
= hj,
θj = bj,
x ∈ Σj,
(0.15)

с заданными функциями hj(x, t), bj(x, t).

При t = 0 задаются начальные условия:

Ωj = Ω0
j,
uj(x, 0) = u0
j(x),
θj(x, 0) = θ0
j(x),
x ∈ Ω0
j.
(0.16)

Конечно, u0
j, θ0
j должны удовлетворять условиям согласования, например div u0
j = 0 и т. д. При решении конкретных задач они будут выписаны.

Если поверхности Σj не имеют общих точек с Γ (или Γ2), то постановка задачи о движении жидкостей с границей раздела (свободной
границей) закончена.

При наличии движущейся линии контакта L поверхностей Γ и Σj
(или Γ2 и Σ2) возникают дополнительные трудности, связанные с постановкой граничных условий на L (так называемая проблема динамического краевого угла). Природа и способы преодоления трудностей обсуждаются в [13–17].

Система уравнений (0.1)–(0.3) носит название модели вязкой теплопроводной жидкости [1–3]. В ней поля скоростей и температур связаны
только посредством динамического условия на поверхности раздела Γ
в (0.7) или свободной границе Γ2 в (0.12). Основными механизмами, вызывающими движение жидкости в этой модели, являются силы инерции,
гравитационные и так называемые термокапиллярные. Последние возникают из-за наличия члена ∇Γσ в граничном условии (0.7) или в (0.12).
Слои жидкости с поверхностью раздела теряют способность сопротивляться касательным растяжениям, появляющимся из-за градиентов поверхностного натяжения, связанных с изменениями температуры, поэтому может начаться движение во всём объёме. Такие движения часто

8

называют термокапиллярными или термокапиллярной конвекцией, а
само явление — эффектом Марангони. Этот эффект ярко проявляется
в условиях, близких к невесомости, либо при движении жидких сред
в тонких слоях в земных условиях [2,17–19].

Однако имеется ещё один механизм конвекции, широко распространённый в природе и технологических приложениях. Известно, что если
граница сосуда с водой (чайник на плите) подогревается с одной стороны, то жидкость придёт в движение. Основная причина этого явления
состоит в том, что более холодная жидкость (она обычно тяжелее) тонет
в поле тяжести. Движение, вызываемое неравномерно нагретой жидкостью, называется тепловой гравитационной конвекцией. Под влиянием
такого нагрева движение может стать и турбулентным. Ясно, что при
этом происходит изменение плотности, причём изменение даже на один
процент вызывает интенсивные движения жидкости. В этом случае принимается, что плотность линейно зависит от температуры:

ρj = ¯ρj[1 − βj(θj − ¯θj)],
(0.17)

где ¯ρj > 0 — постоянные, βj > 0 — постоянные коэффициенты объёмного расширения, ¯θj — характерная постоянная температура. При этом
в правой части уравнения импульса (0.1) вместо ρjg будет выражение
¯ρj[1 − β(θj − ¯θj)]g согласно (0.17). В остальных системах этого уравнения, других уравнениях и граничных условиях надо заменить ρj на
¯ρj. Считая, что эта замена уже произведена, приводим здесь уравнение
импульса:
ujt + uj · ∇uj + 1

ρj
∇¯p = νj∆uj − βjθjg,
(0.18)

¯p = p − ρjg · x
(0.19)

есть модифицированное давление, θj − ¯θj заменена на θj.

Система уравнений (0.18), (0.2), (0.3) называется уравнениями Обербека – Буссинеска (или моделью Обербека – Буссинеска) тепловой гравитационной конвекции. Более подробный вывод и детальный анализ
основных допущений, которые приводят к системе (0.18), (0.2), (0.3),
имеется во многих работах, например [1–3, 16, 17, 20–22]. Заметим, что
в (0.18), (0.19) можно g заменить на gj(t).

С учётом (0.19) динамические условия на поверхности раздела (0.7)
и (0.12) очевидным образом изменятся, поскольку

Pj = −¯pj · I + ρjgj(t) · x + 2ρjνjD(uj).

9

В (0.12) возникающее слагаемое ρgasg2(t) · x, связанное с потенциальной энергией газа в поле силы тяжести, обычно опускается, так как
отношение ρgas/ρ ∼ 10−3. Следует отметить, что допущения, при которых была получена система Обербека – Буссинеска, входят в противоречие с условием (0.7) для деформируемой поверхности раздела [20, 22].
Приведём здесь краткие комментарии по этому вопросу.

Впервые анализ влияния деформируемости свободной границы на
развитие конвекции Рэлея – Бенара был проведен в работах [23, 24].
Позднее корректность выводов, полученных в указанных работах, была поставлена под сомнение [25]. Оказалось, что найденная в [23, 24]
деформационная мода неустойчивости существует при таких значениях параметров, которые выводят приближение Буссинеска за границы
применимости. Было показано, что предположение о деформируемости
свободной границы плохо согласуется с приближением Буссинеска и может привести к нефизичным результатам.

В рамках аппроксимации Обербека – Буссинеска считается, что тепловое расширение жидкости мало, а физические характеристики среды
(теплопроводность, кинематическая вязкость) постоянны. При этом зависимостью плотности от температуры (она считается линейной) пренебрегается всюду, кроме слагаемого с силой плавучести в уравнении
движения. В большинстве случаев использование приближения Буссинеска бывает оправданно в силу малости параметра температурной неоднородности плотности и большой величины силы тяжести. Обобщение
приближения Буссинеска в присутствии слабой сжимаемости, вязкого
нагрева, а также вопрос применимости этой модели для газов обсуждаются в работах [26–28].

До сих пор предметом дискуссии является корректность использования стандартного приближения Буссинеска при исследовании систем
со свободной поверхностью (границей раздела). Как упоминалось выше,
часто при исследовании неустойчивости слоя жидкости свободная граница считается плоской. Действительно, во многих ситуациях (в силу
характерных для земных условий значений g и достаточно сильно различающихся плотностей жидкостей в двухслойных системах) указанное
предположение вполне оправданно, и влияние деформируемости границы раздела на конвективную устойчивость мало [29].

В случае недеформируемости границы решение задачи существенно
упрощается. Однако существует класс задач, когда применение прибли
10

жения Буссинеска не является оправданным. К нему относится проблема изучения конвекции в слое жидкости (системе слоёв) с деформируемой свободной поверхностью (границей раздела). Последовательное
описание влияния деформаций свободной поверхности на тепловую гравитационную конвекцию невозможно в рамках стандартного приближения Буссинеска [25,30]. Тем не менее в некоторых работах авторы рассматривают деформацию свободной поверхности в приближении Буссинеска [31–36]. В действительности это означает, что некоторыми из малых слагаемых пренебрегают, а другие слагаемые того же порядка удерживаются в уравнениях, что может привести к физически неверным выводам о зависимости наблюдаемых эффектов от этих параметров. В работе [37] предложена модель корректного учёта влияния плавучести на
неустойчивость Рэлея – Бенара – Марангони. Согласно этой модели жидкость является изотермически несжимаемой, но зависимость плотности
от температуры учитывается везде в уравнении Навье – Стокса, в уравнении непрерывности и в граничных условиях, а не только в подъемной
силе. При этом результаты становятся чувствительными к виду уравнения состояния. В рамках упомянутой модели рассмотрена монотонная неустойчивость Рэлея – Бенара – Марангони. Обнаружены некоторые эффекты, которые не могут быть получены в рамках приближения
Буссинеска. Так, для случая двухслойной системы жидкостей с близкими плотностями эта модель позволила впервые выявить длинноволновую колебательную моду рэлеевской неустойчивости [38]. Для однослойной системы с деформируемой поверхностью при пониженной гравитации обнаружена полная стабилизация монотонной рэлеевской моды
неустойчивости [37]. В [39] в рамках модели корректного учёта плавучести рассмотрена колебательная мода неустойчивости Рэлея – Бенара –
Марангони, при этом используется экспоненциальное уравнение состояния. Показано, что сила плавучести приводит к стабилизации колебательной неустойчивости. При этом знак эффекта в приближении Буссинеска и корректном учёте плавучести противоположен; кроме того,
влияние “небуссинесковых” эффектов приводит к более сильным изменениям количественных характеристик неустойчивости. Таким образом, нестандартная модель, предложенная в [37], позволяет корректно
описать влияние плавучести на деформационные моды конвективной
неустойчивости и обнаружить принципиально новые эффекты, связанные с деформацией свободной поверхности (границы раздела).

11

В предлагаемой монографии поверхность раздела (свободной границы) предполагается недеформированной, поэтому указанные выше трудности не возникают. Остановимся ещё на некоторых безразмерных параметрах [18, 20]. Пусть hj = const, h2
1/χ1, χj/hj, ρjχ2
j/h2
j, θ∗
j — характерные размеры области течения, времени, скоростей, давлений и
температур соответственно. После перехода к безразмерным переменным в задаче появляются следующие параметры: Prj = νj/χj — число
Прандтля, We = σ0h1/ρ1ν2
1 — число Вебера, Raj = gβjθ∗
jh3
j/νjχj — числа
Рэлея, Ma = æθ∗
1h1/ρ1ν1χ1 — число Марангони, Boj = ρjghj/σ0 — числа
Бонда, Bi = γh2/k2 — число Био (для задачи со свободной границей),
δj = χjνj/cpjθ∗
jh2
j. Все эти параметры в разных условиях изменяются
в довольно широких диапазонах [18]. Однако параметры δj, отвечающие
за вклад диссипативных слагаемых в уравнениях для температуры (0.3),
обычно не превосходят 10−7. Если присутствует граница раздела, то на
ней энергетическое условие имеет вид (0.8) (с ω = 0). Порядок отношения правой части к первому члену левой части оценивается параметром
E2 = æ2θ∗
2/ρ2ν2k2. Этот параметр (и аналогичный ему E1) квадратично зависит от æ и в реальной ситуации редко достигает значения 10−1.
Поэтому очень часто правую часть в уравнении (0.8) опускают (её необходимо учитывать для жидкостей с малой вязкостью, см. п. 3.6). Таким
образом, уравнение для температур будет использоваться в форме

θjt + uj · ∇θj = χj∆θj,
(0.20)

а энергетическое условие (0.8) —

k2
∂θ2
∂n − k1
∂θ1
∂n = 0.
(0.21)

Для изучения качественных свойств решений одномерных сопряжённых начально-краевых задач, описывающих конкретные движения
с границами раздела, понадобятся простые неравенства. Именно, если
u(a) = u(b) = 0, a < b, то

b∫

a
u2(y) dy ⩽ (b − a)2

π2

b∫

a
u′2(y) dy,
(0.22)

а при только лишь u(a) = 0 или u(b) = 0

b∫

a
u2(y) dy ⩽ (b − a)2

2

b∫

a
u′2(y) dy,
(0.23)

12