Лазерные резонаторы и распространение пучков. Основы, современные понятия и прикладные аспекты

Лазерные резонаторы  
и распространение пучков

Основы, современные понятия  
и прикладные аспекты

Норман Ходгсон, Хорст Вебер

Laser Resonators  
and Beam Propogation 

Fundamentals, Advanced Concepts  
and Applications

Norman Hodgson, Horst Weber

Лазерные резонаторы  
и распространение пучков

Основы, современные понятия  
и прикладные аспекты

Москва, 2017

Норман Ходгсон, Хорст Вебер

УДК 621.375.8:535.374
ББК 32.86-53

Х69

Ходгсон Н., Вебер Х.

Х69
Лазерные резонаторы и распространение пучков. Основы, современные понятия и прикладные аспекты / пер. с англ. к.ф.-м.н. С. А. Бордзиловского; 
под науч. ред. С. Г. Струц. – М.: ДМК Пресс, 2017. – 744 с.

ISBN 978-5-97060-176-1

В книге изложены методы анализа лазерных резонаторов – матричный, геометрической оптики и интегрального уравнения. Рассмотрены резонаторы различных 
типов, обсуждены вопросы построения их схем, обеспечивающих требуемые свойства лазерного излучения. Описаны методы измерений параметров лазерных излучателей и пучков.

Издание предназначено для специалистов, занимающихся разработкой, конструированием и применением лазеров, а также для преподавателей и студентов соответствующих специальностей технических вузов.

УДК 621.375.8:535.374
ББК 32.86-53

All rights reserved. This work may not be translated or copied in whole or in part without the 
written permission of the publisher (Springer Science+Business Media, Inc., 233 Spring Street, 
New York, NY 1001 3, USA), except for brief excerpts i n connection with reviews or scholarly 
analysis. Use in connection with any form of information storage and retrieval, electronic adapeation, 
computer software, or by similar or dissimilar methodology now known or hereafter developed is 
forbidden.
The use in this publication of trade names, trademarks, service marks, and similar terms, even if 
they are not identified as such, is not to be taken as an expression of opinion as to whether or not 
they are subject to proprietary rights. 

Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой 
бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения владельцев авторских прав.
Материал, изложенный в данной книге, многократно проверен. Но поскольку вероятность 
технических ошибок все равно существует, издательство не может гарантировать абсолютную 
точность и правильность приводимых сведений. В связи с этим издательство не несет ответственности за возможные ошибки, связанные с использованием книги.

ISBN 978-0387-40078-5 (анг.)                © Springer Science+Business Media, Inc., 2005
                                                                © Перевод, Издательский дом «Додэка-XXI», 2012
ISBN 978-5-97060-176-1 (рус.)              © Оформление, издание, ДМК Пресс, 2017

Содержание

Список сокращений и символов ...............................................................12

Предисловие ..............................................................................................20

Предисловие научного редактора ........................................................... 23

Введение ..................................................................................................... 25

 Часть I

Электромагнитное поле .............................................................................30
Глава 1. Геометрическая оптика .................................................................31
1.1. Общие аспекты.............................................................................................................................31
1.2. Лучевые матрицы  ....................................................................................................................... 33
1.2.1. Одномерные оптические системы ...................................................................................... 33
1.2.2. Элементы матрицы и теорема Лиувилля .............................................................................42
1.2.3. Нарушение ориентации оптических элементов ................................................................51
1.2.4. Двухмерные оптические системы ....................................................................................... 53
1.2.5. Вращение и перекос .............................................................................................................56
1.2.6. Закон ABCD в геометрической оптике ................................................................................64
1.2.7. Собственные решения и собственные значения ................................................................67
1.3. Оптические резонаторы и лучевые матрицы ............................................................................69

Глава 2. Волновая оптика ............................................................................74
2.1. Принцип Гюйгенса и интеграл Кирхгофа ....................................................................................74
2.2. Дифракция ....................................................................................................................................78
2.2.1. Прямоугольное отверстие ...................................................................................................78
2.2.2. Круглое отверстие ................................................................................................................84
2.3. Интеграл Коллинза .......................................................................................................................87
2.3.1. Одномерные оптические системы ......................................................................................87
2.3.2. Двухмерные оптические системы .......................................................................................89
2.4. Интеграл Коллинза и исчезающие элементы лучевой матрицы ...............................................91

Содержание

2.4.1. Условие построения изображения, B = 0 ...........................................................................91
2.4.2. Преобразование Фурье при A = 0 .....................................................................................92
2.4.3. Свойства Фурье-образов .....................................................................................................93
2.5. Гауссовы пучки ..............................................................................................................................96
2.5.1. Гауссовы пучки в одномерных оптических системах .........................................................96
2.5.2. Эллиптические гауссовы пучки .......................................................................................... 106
2.6. Моменты интенсивности и распространение пучка ...............................................................111
2.6.1. Стигматические и простые астигматические пучки ..........................................................111
2.6.2. Обобщенные астигматические пучки ...............................................................................117
2.6.3. Качество пучка .....................................................................................................................121
2.7. Дифракционная теория оптических резонаторов ..................................................................123
2.7.1. Интегральное уравнение для распределения электрического поля ..............................123
2.7.2. Гауссов пучок как основная мода резонатора ..................................................................125
2.8. Пучки, свободные от дифракции ..............................................................................................128

Глава 3. Поляризация ................................................................................133
3.1. Общие аспекты ...........................................................................................................................133
3.2. Матрицы Джонса ........................................................................................................................136
3.2.1. Определение .......................................................................................................................136
3.2.2. Матрицы для поляризационной оптики, повернутой вокруг оси распространения  
луча..................................................................................................................................................141
3.2.3. Комбинирование нескольких поляризационных оптических систем .............................142
3.3. Собственные состояния поляризации ......................................................................................146
3.4. Поляризация в оптических резонаторах  .................................................................................147
3.4.1. Собственные состояния матрицы Джонса для кругового обхода пучка ........................147
3.4.2. Поляризационные и дифракционные интегралы ..............................................................149
3.5. Деполяризаторы .........................................................................................................................150

 Часть II

Основные свойства оптических резонаторов .......................................153
Глава 4. Резонатор Фабри–Перо ............................................................154
4.1. Общие аспекты ...........................................................................................................................154
4.2. Интерферометр Фабри–Перо .................................................................................................156
4.2.1. Пассивный интерферометр Фабри–Перо .......................................................................156
4.2.2. Применения ИФП ...............................................................................................................162
4.2.3. ИФП с усиливающей средой – лазерный резонатор ......................................................165
4.3. Оптические покрытия ................................................................................................................171
4.3.1. Матричный метод проектирования покрытия ...................................................................171
4.3.2. Четвертьволновые системы ................................................................................................176
4.3.3. Материалы покрытий и методы их нанесения  ..................................................................180

Содержание  7

 Часть III

Пассивные открытые резонаторы ..........................................................183
Глава 5. Устойчивые резонаторы .............................................................184
5.1. Общие аспекты ...........................................................................................................................184
5.2. Неограниченные устойчивые резонаторы ..............................................................................185
5.2.1. Поперечная структура мод ................................................................................................187
5.2.2. Резонансные частоты ..........................................................................................................198
5.2.3. TEM00-мода .......................................................................................................................... 200
5.2.4. Моды высоких порядков .....................................................................................................207
5.2.5. Фокусируемость и качество пучка .....................................................................................215
5.3. Устойчивые резонаторы с апертурным ограничением ..........................................................224
5.3.1. Зеркало, ограниченное одной апертурой .......................................................................226
5.3.2. Апертурное ограничение обоих зеркал ...........................................................................230
5.4. Чувствительность к разъюстировке ..........................................................................................235
5.4.1. Зеркало, ограниченное одной апертурой .......................................................................238
5.4.2. Два апертурно ограниченных зеркала ..............................................................................241

Глава 6. Резонаторы на границах устойчивости .....................................245
6.1. Резонаторы с g1g2 = 1 ................................................................................................................245
6.2. Резонаторы с одним нулевым g-параметром ..........................................................................248
6.3. Конфокальный резонатор ..........................................................................................................250

Глава 7. Неустойчивые резонаторы ........................................................259
7.1. Общие аспекты ...........................................................................................................................259
7.2. Описание неустойчивых резонаторов в рамках геометрической оптики ...........................261
7.2.1. Распространение пучка ......................................................................................................261
7.2.2. Фокусируемость .................................................................................................................267
7.3. Дифракционная теория неустойчивых резонаторов ..............................................................276
7.3.1. Модовая структура, качество пучка и потери ...................................................................276
7.3.2. Применения неустойчивых резонаторов .........................................................................282
7.4. Чувствительность к разъюстировке ..........................................................................................283
7.5. Неустойчивые резонаторы в случае внеосевой геометрии ..................................................289
7.6. Неустойчивые резонаторы с однородным выходом .............................................................294
7.7. Неустойчивые резонаторы на зеркалах с переменной отражательной способностью .....296
7.7.1. Свойства резонатора ..........................................................................................................296
7.7.2. Изготовление VRM-зеркал ..................................................................................................300
7.7.3. Лазерные свойства неустойчивых резонаторов на VRM-зеркалах.................................303

Глава 8. Резонаторы с внутренними оптическими элементами ............308
8.1. Резонаторы с внутренними линзами ........................................................................................308
8.2. Резонаторы с поляризующими элементами ............................................................................311
8.2.1. Резонатор с «твистующей» модой .....................................................................................313
8.2.2. Резонаторы с регулируемым выходом ..............................................................................314
8.2.3. Резонатор с ячейкой Поккельса .........................................................................................315
8.2.4. Резонаторы с радиальными двулучепреломляющими элементами ................................319
8.2.5. Резонаторы с азимутальными двулучепреломляющими элементами..............................320

Содержание

8.2.6. Резонаторы с радиально-азимутальными двулучепреломляющими элементами ..........322
8.2.7. Компенсация радиально-азимутального двулучепреломления .......................................325

 Часть IV

Открытые резонаторы с усилением .......................................................330

Глава 9. Активная среда ............................................................................331
9.1. Общие аспекты ..........................................................................................................................331
9.2. Эффективная длина резонатора ................................................................................................332
9.3. Усиление и эффективность использования накачки ................................................................334
9.4. Балансные уравнения .................................................................................................................339
9.5. Уширение линии и выгорание провалов в контуре усиления ................................................345
9.5.1. Однородное и неоднородное уширение линии .............................................................345
9.5.2. Пространственное выгорание провалов усиления .........................................................350
9.6. Спектральное распределение усиления и затягивание частоты ............................................352
9.7. Ширина спектральной линии лазерных мод ........................................................................... 355

Глава 10. Выходная мощность лазерных резонаторов ..........................357
10.1. Выходная мощность устойчивых резонаторов .....................................................................357
10.1.1. Линейные резонаторы .....................................................................................................357
10.1.2. Оптимальный выход и максимальная выходная мощность ............................................362
10.1.3. Сложенные резонаторы без перекрытия пучка .............................................................367
10.1.4. Сложенные резонаторы с перекрытием пучка ..............................................................368
10.1.5. Кольцевые резонаторы ....................................................................................................372
10.2. Выходная мощность неустойчивых резонаторов .................................................................373

Глава 11. Влияние усиления на модовую структуру и потери ...............378
11.1. Общие аспекты ........................................................................................................................378
11.2. Устойчивые резонаторы ..........................................................................................................379
11.2.1. Режим основной моды .....................................................................................................379
11.2.2. Режим нескольких поперечных мод ................................................................................389
11.3. Неустойчивые резонаторы .....................................................................................................391
11.3.1. Модовая структура и потери ............................................................................................391
11.3.2. Оптимальная эффективность использования накачки ....................................................392
11.4. Модовая структура и условие стационарности ....................................................................398

Глава 12. Лазерные резонаторы с модуляцией добротности ............. 400
12.1. Общие аспекты ....................................................................................................................... 400
12.2. Балансные уравнения для режима модуляции добротности ................................................404
12.2.1. Плотности инверсной населенности ..............................................................................404
12.2.2. Энергия, длительность импульса и пиковая мощность ................................................. 406
12.3. Оптимизация выходного зеркала резонатора .......................................................................409
12.4. Режим периодической модуляции добротности ..................................................................411
12.5. Оптимальное пропускание выходного зеркала ....................................................................413

Содержание  9

Глава 13. Резонаторы с изменяющимися внутренними линзами ..........421
13.1. Общие сведения ......................................................................................................................421
13.1.1. Термическая линза в твердотельных лазерах ..................................................................421
13.1.2. Лучевые матрицы ..............................................................................................................423
13.2. Устойчивые резонаторы ..........................................................................................................426
13.2.1. Работа в режиме основной моды ....................................................................................426
13.2.2. Режим нескольких поперечных мод ................................................................................429
13.2.3. Радиусы пучка, расходимости и фокусировка ................................................................433
13.2.4. Выходная мощность и качество пучка .............................................................................437
13.2.5. Выходная мощность в режиме основной моды ..............................................................444
13.2.6. Сферическая аберрация ..................................................................................................446
13.3. Неустойчивые резонаторы .....................................................................................................454
13.3.1. Распространение пучка ....................................................................................................454
13.3.2. Конфокальные неустойчивые резонаторы положительной ветви .................................456
13.3.3. Неустойчивые резонаторы с отображением стержня ..................................................461
13.3.4. Близкие к концентрическим неустойчивые резонаторы ...............................................465
13.3.5. Качество пучка и фокусировка .........................................................................................467

Глава 14. Резонаторы с несколькими активными элементами...............473
14.1. Общие аспекты ........................................................................................................................473
14.2. Выходная мощность и эффективность ....................................................................................475
14.2.1. Устройство излучателя ......................................................................................................475
14.2.2. Устройство усилителя .......................................................................................................476
14.3. Многостержневые твердотельные лазеры .............................................................................477
14.3.1. Эквивалентная g-диаграмма .............................................................................................477
14.3.2. Качество пучка и выходная мощность .............................................................................479
14.3.3. Многостержневые резонаторы с зеркалами c переменной отражательной  
способностью ................................................................................................................................482

Глава 15. Чувствительность выходной мощности  
к разъюстировке  ......................................................................................484
15.1. Общие свойства .......................................................................................................................484
15.2. Устойчивые резонаторы в многомодовом режиме ..............................................................486
15.2.1. В отсутствие термической линзы .....................................................................................486
15.2.2. С термической линзой ......................................................................................................489
15.2.3. Разъюстировка симметричных многостержневых резонаторов ..................................492
15.3. Устойчивые резонаторы в режиме основной моды .............................................................496
15.4. Неустойчивые резонаторы .....................................................................................................499
15.4.1. Без термической линзы.....................................................................................................499
15.4.2. С термической линзой ......................................................................................................502

Глава 16. Резонаторы с внутренними нелинейными элементами .........506
16.1. Общие аспекты ........................................................................................................................506
16.2. Внутрирезонаторная генерация второй гармоники .............................................................507
16.2.1. Основные свойства генерации второй гармоники .......................................................507
16.2.2. Эффективность внутрирезонаторной генерации второй гармоники ..........................515

Содержание

16.2.3. Рассогласование фазы, аксиальные моды и эффективность преобразования ............518
16.2.4. Конфигурации резонатора ..............................................................................................520
16.3. Резонаторы с зеркалами, обращающими волновой фронт .................................................523
16.3.1. Общие свойства зеркал, обращающих волновой фронт .............................................523
16.3.2. Оптические резонаторы с обращающим волновой фронт зеркалом .........................526
16.3.3. Резонаторы с обращением волнового фронта, использующие ВРМБ ......................... 533

 Часть V

Резонаторы специальных типов ..............................................................545

Глава 17. Призменные резонаторы .........................................................546
17.1. Резонаторы на призме Порро ................................................................................................546
17.2. Резонаторы на уголковом отражателе ................................................................................... 553

Глава 18. Резонаторы с преобразованием Фурье ................................. 558
18.1. Неустойчивые резонаторы с самофильтрацией ................................................................... 558
18.2. Устойчивые резонаторы с преобразованием Фурье ...........................................................563

Глава 19. Гибридные резонаторы ............................................................569
19.1. Общие аспекты ........................................................................................................................569
19.2. Неустойчиво-устойчивые резонаторы ..................................................................................570
19.3. Волноводные резонаторы .......................................................................................................572
19.3.1. Мотивация ..........................................................................................................................572
19.3.2. Собственные моды полых волноводов прямоугольного сечения ................................574
19.3.3. Поперечные собственные моды полых волноводов кругового сечения.....................582
19.3.4. Свойства волноводных резонаторов ..............................................................................587
19.3.5. Свойства лазеров с волноводом щелевой конфигурации ............................................604

Глава 20. Резонаторы для усиливающих сред с сечением 
в виде кольца .............................................................................................611
20.1. Характеристики лазеров с усиливающими кольцеобразными средами ............................611
20.2. Устойчивые резонаторы с тороидальными зеркалами ........................................................614
20.2.1. Структура поперечной моды ...........................................................................................614
20.2.2. Качество пучка ...................................................................................................................616
20.3. Резонаторы на основе ячейки Херриота .............................................................................. 620
20.4. Неустойчивые резонаторы .....................................................................................................623
20.4.1. Тороидальные неустойчивые резонаторы .....................................................................623
20.4.2. Азимутально-неустойчивые резонаторы ........................................................................625
20.4.3. Сферические неустойчивые резонаторы .......................................................................628

Глава 21. Кольцевые резонаторы ............................................................632
21.1. Общие свойства кольцевых резонаторов .............................................................................632
21.2. Неустойчивые кольцевые резонаторы ..................................................................................638
21.3. Неплоские кольцевые резонаторы ........................................................................................641

Содержание  11

Глава 22. Одночастотные резонаторы ....................................................643
22.1. Спектр лазерных аксиальных мод ...........................................................................................643
22.2. Выделение аксиальной моды внутрирезонаторными элементами ......................................645
22.3. Выделение аксиальной моды в связанных резонаторах .......................................................648
22.4. Резонаторы для лазеров с однородным уширением линии ................................................650

 Часть VI

Измерительная техника ............................................................................653
Глава 23. Измерение параметров излучателя ........................................654
23.1. Измерение потерь, усиления и эффективности ....................................................................654
23.1.1. Анализ Финдлэя–Клэя .......................................................................................................654
23.1.2. Анализ временной задержки ...........................................................................................663
23.1.3. Измерение дифракционных потерь ................................................................................667
23.1.4. Измерение интенсивности насыщения ...........................................................................668
23.2. Измерение параметров термической линзы ........................................................................671
23.2.1. Фокусирование коллимированного зондирующего пучка ...........................................672
23.2.2. Отклонение коллимированного зондирующего пучка ..................................................674
23.2.3. Изменение в свойствах лазера ........................................................................................675

Глава 24. Измерение параметров лазерного пучка ..............................679
24.1. Измерение качества пучка ......................................................................................................679
24.1.1. Параметр качества пучка ..................................................................................................679
24.1.2. Методы, стандартизованные ISO .....................................................................................680
24.1.3. Измерение перетяжки пучка и расходимости в дальней зоне......................................682
24.1.4. Анализаторы качества пучка ............................................................................................683
24.1.5. Определение диаметров пучка .......................................................................................685
24.1.6. Ослабление пучка .............................................................................................................687
24.2. Измерение поляризации .........................................................................................................688

Литература ................................................................................................692

Предметный указатель .............................................................................739

Сокращения

AD*P 
дейтерированный дигидрофосфат аммония
ADP 
дигидрофосфат аммония
AIP 
(American Institute of Physics) Американский институт физики
Al 
алюминий
Al2O3 
окись алюминия
Ar 
аргон
Au 
золото
BBO 
бета-борат бария
BeO 
окись бериллия,
C2Cl3F3 
фреон 113
C2F6 
гексафторэтан
CC14 
четыреххлористый углерод
CD*A 
дидейтероарсенат цезия
CDA 
дигидроарсенат цезия
CO2 
двуокись углерода, углекислый газ
Cr 
хром
CS2 
дисульфид углерода
Cu 
медь
FR 
вращатель Фарадея, ячейка Фарадея
FWHM 
(Full Width Half Maximum) ширина пика по полувысоте, ширина  
 
по половине высоты максимума
GGG 
(gadolinium gallium garnet) галлий-гадолиниевый гранат
GSGG 
(gadolinium scandium gallium garnet) галлий-скандий-гадолиниевый  
 
гранат
H2O 
вода
He-Ne 
гелий-неон
HfO2 
двуокись гафния
HSURIA (half symmetric unstable resonator with intracavity axicon)  
 
полусимметричный неустойчивый резонатор с внутрирезонаторным  
 
аксиконом
IEEE 
(The Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc.) Институт  
 
инженеров по электронной технике

Список сокращений 
и символов

Список сокращений и символов  13

ISO 
(International Standardization Organization) Международная  
 
организация по стандартизации
KD*P 
дидейтерофосфат калия
KDA 
дигидроарсенат калия
KDP 
дигидрофосфат калия
KrF 
фторид криптона
KTP 
титанил-фосфат калия
LAP 
моногидрат фосфата L-аргинина
LBO 
триборат лития
LiNbO3 
ниобат лития
LiSAF 
литий-стронциевый фторид
LSB 
литий-скандиевый борат
MgF2 
фтористый магний
Na3AlF6 
криолит
NCUR 
(near concentric unstable resonator) близкий к концентрическому  
 
неустойчивый резонатор
Nd 
неодим
OSA 
(Optical Society of America) Американское оптическое общество
POM 
3-метил-4-нитропиридин-1-оксид
QR 
гиротропная пластинка из кристаллического кварца
SF6 
гексафторид серы
SiO2 
двуокись кремния
SPIE 
(Society of Photo-Optical Instrumentation Engineers) Общество  
 
инженеров по оптическим приборам
Ta2O5 
пентооксид тантала
TFR 
(tightly folded resonator) компактный сложенный резонатор
TiO2 
двуокись титана
VRM 
(variable reflectivity mirrors) зеркало с переменной отражательной  
 
способностью
XeCl 
хлорид ксенона
XeF 
фторид ксенона
YAG 
иттрий-алюминиевый гранат, ИАГ
YAP 
алюминат иттрия, АИ
YLF 
тетрафторид иттрия-лития, ИЛФ
YVO4 
ванадат иттрия
ZnS 
сульфид цинка
ZrO2 
двуокись циркония
АОМ 
акустооптический модулятор
Банан 
ниобат бария-натрия
ВРГВГ 
внутрирезонаторная генерация второй гармоники
ВРМБ 
вынужденное рассеяние Мандельштама—Бриллюэна
ВРР 
вынужденное рамановское рассеяние
ГВГ 
генерация второй гармоники

Список сокращений и символов

НРСФ 
неустойчивый резонатор с самофильтрацией
ОВФ 
обращение волнового фронта
ОВФЗ 
обращающее волновой фронт зеркало
ППП 
произведение параметров пучка
ИФП 
интерферометр Фабри—Перо

Символы

a, а1, а2  
ширина апертуры, радиус апертуры
a 
боковой сдвиг пробного луча
a 
внутренний радиус усиливающей среды с сечением в виде кольца 
A 
площадь поперечного сечения
A 
элемент лучевой матрицы
A 
лучевая субматрица 2×2
Ab 
площадь поперечного сечения лазерного пучка
Ab
* 
площадь поперечного сечения пучка в активной среде
Amn 
константа нормировки мод волновода
b 
высота апертуры
b 
радиус лазерного стержня
b 
внешний радиус усиливающей среды с сечением в виде кольца
b 
коэффициент пропорциональности
bi 
коэффициенты нормировки
B 
элемент лучевой матрицы
B 
лучевая субматрица 2×2
Bmn 
константа нормировки мод волновода
c 
скорость света в однородной среде
c0 
скорость света в вакууме (3×10
8 м/с)
cpn 
коэффициент разложения по модам
C 
константа пропорциональности
C 
элемент лучевой матрицы
C 
лучевая субматрица 2×2
Cp 
вектор разложения по модам волновода
d, d0, d1, d2, d3, d4, dL 
диаметр пучка
d 
толщина стенок среды с сечением в виде кольца
d0 
толщина в центре радиального двулучепреломляющего элемента
d, d1, d2 
расстояния
dpm 
коэффициент разложения по модам
D 
элемент лучевой матрицы
D 
оптическая сила
Dr 
оптическая сила для радиально поляризованного света
Df 
оптическая сила для азимутально поляризованного света
D 
лучевая субматрица 2×2
e 
единичный вектор направления распространения
E, E0, E(x, y), E(r, Φ) 
напряженность электрического поля (скаляр)

Список сокращений и символов  15

EF 
поле в дальней зоне
E, E(x, y) 
напряженность электрического поля (вектор)
f, f1, f2 
фокусное расстояние
f 
частота повторения
f(ν) 
функция формы линии
F 
резкость интерферометра Фабри—Перо
g1, g2 
g-параметры резонатора с зеркалами 1, 2
g 
g-параметр зеркала резонатора
g1
*, g2
* 
g-параметры резонатора с внутренними линзами
g0, g0(ν) 
коэффициент усиления слабого сигнала
g0ℓ 
усиление слабого сигнала
g0ℓth 
коэффициент усиления слабого сигнала на пороге генерации
gB 
коэффициент усиления при ВРМБ
G 
степень усиления
G 
эквивалентный g-параметр
G0 
степень усиления слабого сигнала
h 
постоянная Планка (6,626×10
–34 Дж·с)
h, h1, h2 
расстояние от поверхности линзы до главной плоскости
H 
напряженность магнитного поля (амплитуда)
Hm 
полином Эрмита порядка m
H 
напряженность магнитного поля (вектор)
I, I
+, I
–, I0 
интенсивность электромагнитного поля
I(z) 
интенсивность электромагнитного поля для координаты z
IS 
интенсивность насыщения
ISE 
интенсивность спонтанного излучения
I 
единичная матрица
Jℓ 
функция Бесселя порядка ℓ
k 
действительное число
k 
постоянная Больцмана (1,381×10
–23 Дж/K)
k, k0 
волновое число
k 
волновой вектор
K 
фактор качества пучка
K 
дифракционный интегральный оператор
l, ℓ 
длина
ℓ 
длина активной среды
ℓ 
азимутальный индекс мод круговой симметрии
ℓzz 
геометрическая длина зигзагообразной траектории в слэбе
L 
длина
Leff 
эффективная длина резонатора
Li 
расстояние
L0 
геометрическая длина резонатора
L01, L02 
расстояние от зеркала до перетяжки пучка
Lopt 
оптическая длина резонатора

Список сокращений и символов

L
* 
эффективная длина резонатора с внутренними линзами
L′ 
эффективная длина волновода
Lpℓ 
полиномы Лагерра порядка p, ℓ
m 
номер моды (целое число)
m 
масса
m 
наклон диаграммы Финдлэя—Клэя
M, M0, M1, M2 увеличение
M
2, M
2
x, M
2
y 
параметр качества пучка
M 
лучевая матрица
M
P 
матрица Джонса
n 
номер моды (целое число)
n, n0, n1, n2 
показатель преломления
nA 
показатель преломления воздуха
ni 
показатель преломления i-го слоя покрытия 
nS 
показатель преломления подложки
nr(r) 
показатель преломления для радиальной поляризации
nθ(r) 
показатель преломления для азимутальной поляризации
N 
число проходов в сложенных резонаторах
N0 
плотность атомов/ионов/молекул
Neff 
эффективное число Френеля
Neq 
эквивалентное число Френеля
p 
целое
p 
радиальный индекс для мод с круговой симметрией
p 
давление газа
P, Pl, P2 
мощность
P 
степень поляризации
P 
матричный момент второго порядка
Pj 
лучевая матрица для покрытия
Pth 
пороговая мощность для ОВФ с ВРМБ
Pelectr 
электрическая мощность накачки
Ppump 
мощность оптической накачки
Pout 
выходная мощность лазерных резонаторов
Pout, max 
максимальная выходная мощность лазерных резонаторов
q 
номер моды (целое число)
q 
число фотонов
q, q1, q2 
лучевой параметр гауссова пучка
Q 
добротность резонатора
Q
–1 
комплексная лучевая матрица
r, r1, r2 
радиальная координата
r0 
радиус вершины зеркала
r, rx, ry 
амплитудный коэффициент отражения
R 
коэффициент отражения, отражательная способность
Rmax 
максимум отражения интерферометра Фабри—Перо

Список сокращений и символов  17

Ropt 
оптимальный коэффициент отражение для максимальной  
 
мощности генерации
R1, R2 
коэффициент отражения зеркал 1, 2
R, R1, R2, Rt, R1
*, R2
* 
радиус кривизны волнового фронта
R0 
коэффициент отражение в центре зеркала с переменной  
 
отражательной способностью
R 
радиус кривизны (электрическое поле)
Rxx, Rxy, Ryx, Ryy 
матричный элемент матрицы кривизны 2×2 (электрическое  
 
поле)
R 
матрица кривизны 2×2 (электрическое поле)
s 
длина
S 
чувствительность сдвига
S 
матрица набора слоев для оптического покрытия
t 
амплитудное пропускание (электрическое поле)
t 
время
tD 
время задержки
T, T(ν) 
пропускание по интенсивности
T 
температура
Ti j 
лучевая матрица от покрытия i к покрытию j
Tmax 
максимум пропускания
U 
электрическое напряжение
Ul/4 
четвертьволновое напряжение (для ячейки Поккельса)
v 
лучевой вектор
V 
постоянная Верде
V, V1, V2, V3, V4 
фактор потерь (единица минус потери)
VS 
фактор потерь за счет рассеяния
VD 
фактор потерь за счет дифракции
V00 
объем моды ТЕМ00
Vol 
модовый объем в среде с перекрытием луча
Vtot 
общий модовый объем в среде
w 
радиус луча, радиус профиля
wg 
радиус профиля усиления
w0 
радиус перетяжки
W 
скорость накачки
x, x1, x2 
декартовы координаты
x, x1, x2 
расстояние в направлении x
x 
фактор уширения линии
y, y1, y2 
декартовы координаты
z, z′ 
декартовы координаты
z0 
рэлеевская длина
zM, z′M 
рэлеевская длина для многомодового пучка
α0 
коэффициент потерь активной среды
α0ℓ 
потери активной среды

Список сокращений и символов

α, α1, α2 
наклон луча в направлении x
α 
термооптический коэффициент 
α 
угол вращения
αmn 
амплитуда коэффициента поглощения
β, β1, β2 
наклон луча в направлении y
β 
угол поворота во вращателе Фарадея
β 
увеличение пучка при фазовом согласовании
βmn 
константа распространения волноводной моды
γ 
собственное значение дифракционного интеграла
γ 
фактор заполнения
γ 
относительная разность порога генерации для кольцевого  
 
и линейного резонаторов
γ 
корректирующий фактор в теневом методе
γ, γ1, γ2 
факторы коррекции для мощности сложенного резонатора
Γ, Γ1 Γ2 
выходные энергетические потери моды ЕН11
Δ, Δx, Δy 
изменение оптической длины
Δα 
угловой размер светового источника
Δϕ 
фазовый сдвиг
Δν 
ширина линии, область свободной дисперсии
ΔD 
разность оптических сил
ΔL 
расстояние
Δn 
разность показателей преломления
ΔN 
плотность инверсии населенности
ΔPelectr 
диапазон электрической мощности накачки
ΔPout 
диапазон мощностей генерации
Δt 
длительность импульса
ΔV 
потери
Δx 
пространственный размер источника
δ 
фаза
δ 
форм-фактор контура усиления
δν 
частотный сдвиг, полоса
ε 
диэлектрическая проницаемость однородной среды
ε0 
электрическая постоянная (8.854×10
–12 А·с/(В·м))
η 
КПД
ηexcit 
эффективность возбуждения
ηextr 
эффективность использования накачки
ηextr, max 
максимальная эффективность использования накачки
ηtot 
суммарная лазерная эффективность
θ 
угол вращения
θ1, θ2, θ3, θ4 
отклонение луча в наклоненной оптике
θ 
угол расходимости (половинный угол)
θ0 
угол расходимости гауссова пучка (половинный угол)
λ 
длина волны

Список сокращений и символов  19

λ0 
центральное значение длины волны
λq 
длина волны аксиальной моды порядка q
Λp 
собственное значение р-й моды волноводного резонатора
μ 
собственное значение матрицы
μ0 
магнитная постоянная (1.257×10
-6 В·с/(А·м))
ν 
частота света
ν0 
центральная частота атомного перехода
νhom 
однородная ширина линии
νinhom 
неоднородная ширина линии
νq 
частота аксиальной моды резонатора порядка q
νq
* 
частота аксиальной моды в резонаторах с усиливающей средой
π 
3.141592…
ρ, ρ1, ρ2 
радиусы кривизны поверхности
σ 
поперечное сечение вынужденного излучения
σeff 
эффективное поперечное сечение вынужденного излучения
σ0 
поперечное сечение вынужденного излучения в центре линии
σ
* 
поперечное сечение столкновения
τ 
время жизни
τ
* 
время затухания за счет атомных столкновений
τB 
время жизни фонона (рассеяние Бриллюэна)
Φ 
сферическая координата (угол)
Φ 
угол полной расходимости (по уровню 86.5%-го содержания энергии)
Φ 
фаза
Φn 
поле собственной моды волновода порядка n
ϕ, ϕ1, ϕ2 
фазовая задержка
χ 
атомная восприимчивость
χ1 
действительная часть атомной восприимчивости
χ2 
мнимая часть атомной восприимчивости
ψ 
фаза
Ψm 
поле собственной моды свободного пространства порядка m
Ω 
угловая частота биений
ω 
угловая частота

Со времени своей первой демонстрации в 1960 году лазер получил широкое распространение в различных областях, таких как медицина, обработка материалов, 
оптическая связь и информационные технологии. Число инженеров и ученых, работающих непосредственно с лазерами или в областях, имеющих отношение к лазерам, постоянно растет, поскольку появляются все новые приложения для этой 
уникальной технологии. Это означает, что все большему числу людей требуются 
детальные знания о лазерах.
В основе понимания свойств лазеров и лазерного излучения лежат знания физики оптических резонаторов. Такие характеристики лазера, как эффективность 
и чувствительность к разъюстировке, во многом определяются резонатором. Несмотря на то что резонаторы играют весьма важную роль в лазерной технике, 
в большинстве публикаций их представляют либо в слишком общем и неполном 
виде, либо в виде теоретической презентации, имеющей скорее академический 
интерес. В итоге инженер или физик, столкнувшись с лазерными резонаторами, 
зачастую испытывает затруднения до тех пор, пока не выведет свои собственные 
уравнения или не научится использовать опубликованные в научных трудах результаты применительно к своей собственной проблеме.
По этой причине мы решили написать настоящий обзор по оптическим резонаторам, включающий как основы, так и последние научные достижения. Хотя 
акценты были сделаны на проблемах приложений и лазерной техники, книга дает 
и более глубокие познания в данной области. Первая часть книги, озаглавленная 
«Электромагнитное поле», знакомит читателя с теоретическими основами, необходимыми для математического описания резонаторов. Мы пытались использовать наиболее простой математический аппарат, например интеграл Кирхгофа 
введен эмпирическим путем вместо традиционно используемого приближения 
с применением теоремы Грина к волновому уравнению. Лучевые матрицы в геометрической оптике представлены здесь как основная современная концепция теории дифракции и распространения луча. Однако нет необходимости знакомиться с этой частью для того, чтобы пользоваться остальным содержанием книги. Со 
всеми последующими частями можно ознакомиться и без изучения теоретического раздела. Но читатель, ищущий лучшего понимания выводов и применимости 
представленных уравнений, может обратиться к данному разделу. Любой же новичок в области лазеров и лазерных резонаторов должен обязательно ознакомиться 

Предисловие

Предисловие  21

с теоретической частью для получения общего представления относительно современных математических концепций оптики.
Структура книги была составлена таким образом, что рассматриваемый предмет становится более специализированным в последующих главах. Мы начинаем 
в части II с резонатора Фабри—Перо, чтобы обсудить основные свойства резонаторов, такие как потери, усиление, порог и ширина линии. В части III рассматриваются пассивные (без активной среды) резонаторы. Здесь мы имеем дело 
с линейными устойчивыми и неустойчивыми резонаторами, которые, вероятно, 
составляют 95% от всех резонаторов, используемых в настоящее время в лазерах. 
Исключение активной среды из рассмотрения является классическим приближением с целью упрощения изучения объекта, поскольку усиление в общем случае 
лишь вносит возмущение в физические свойства резонатора, не меняя их полностью. Влияние активной среды на свойства резонатора обсуждается в части IV. 
В этой же части дается обзор физики генерации лазерного излучения, представлены расчетные модели для оценки мощности генерации и рассматривается влияние 
усиления на модовую структуру.
Некоторые типы специальных резонаторов представлены в части V. Такие резонаторы либо применяются в ограниченном числе приложений или конструкций 
лазеров, либо могут сыграть важную роль в ближайшем будущем. В эту категорию попадают такие типы резонаторов, как призменные, резонаторы с преобразованием Фурье, гибридные резонаторы и резонаторы для усиливающей среды 
с сечением в виде кольца. Мы также включили в эту часть кольцевой резонатор, 
хотя некоторые читатели могут возразить, заметив, что подобные резонаторы заслуживают своей собственной части, поскольку это широко используемая схема 
и, вероятно, более важная, по сравнению с любыми другими представленными там 
типами резонаторов. 
Основная измерительная техника рассматривается в части VI. Сведения, содержащиеся в ней, помогут инженеру-практику провести детальный анализ своей 
лазерной системы. Среди прочего представлена техника для измерения усиления, 
потерь и качества пучка, что крайне важно для разработчиков и пользователей лазерных систем.
Детальный список литературы поможет получить более подробную информацию по интересующей теме. Мы включили в него публикации, которые дают хороший обзор или являются ссылками, желательными для прочтения. Мы, конечно, 
не претендуем на полноту, но по возможности включили все лучшее, что нам известно. Ссылки приведены в хронологическом порядке, чтобы читатель увидел 
историю развития интересующей его темы.
Мы надеемся, что эта монография позволит вам получить больше информации 
по оптическим резонаторам и окажет помощь в решении проблем, с которыми вы 
столкнулись как инженер, имеющий дело с лазерами, или физик. Мы также надеемся, что после работы с этой книгой у вас зародится интерес к резонаторам и лазерам. 
Мы весьма признательны Дугласу Д. Голдингу из Cogent Light Technologies, 
Inc. и доктору Кристоферу Л. Петерсену из Carl Zeiss, Inc. за помощь в улучшении 

Предисловие

качества всех частей книги и за проверку выводов и уравнений. Мы искренне благодарим доктора Уильяма Л. Нигана из Spectra Physics и доктора Ральфа Мензеля 
профессора университета Потсдама, Германия, за многочисленные полезные дискуссии относительно внутрирезонаторной генерации второй гармоники и резонаторов с обращающими волновой фронт зеркалами, а также Герберта Гросса из Carl 
Zeiss Oberkochen, Германия, за предоставленные знания по волноводным резонаторам. Мы также хотели бы поблагодарить Ингеборгу Вольшейд за оформление 
большинства рисунков и Кэтлин М. Миллар из Humphrey Instruments, Inc. за то, 
что она нашла время в своем плотном графике для редактирования финального 
варианта рукописи.
Наши особые благодарности мы выражаем Имке Моубрей, Кристоферу Грин
веллу и Николасу Пинфилду из Springer-Verlag London Ltd. за их поддержку и помощь в подготовке этой книги.

доктор Норман Ходгсон, Окленд, Центральная Америка
профессор, доктор Хорст Вебер, Берлин, Германия
Сентябрь 1996 г.

Предлагаемый читателю фундаментальный труд Н. Ходгсона и Х. Вебера, всемирно признанных специалистов в области физики лазерных резонаторов, на русском 
языке издается впервые.
Резонатор наряду с усиливающей средой – один из двух главных компонентов 
лазера. Роль резонатора заключается в формировании основных характеристик 
генерируемого излучения и обеспечении их стабильности. Успешное внедрение 
лазеров в промышленность, приборостроение, научные исследования и медицину 
в решающей степени обязано развитию физики и техники лазерных резонаторов. 
На долю резонаторов приходится значительная часть научных и технических статей, опубликованных со времени зарождения лазерной физики. По мере накопления и систематизации материала физика резонаторов сформировалась в отдельный раздел физической оптики.
До настоящего времени русскоязычный читатель имел возможность знакомиться с теорией и прикладными аспектами лазерных резонаторов по следующим 
монографиям отечественных авторов: 
 •
Вайнштейн Л. А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. М.: Сов. 
Радио, 1966; 
 •
Ананьев Ю. А. Оптические резонаторы и проблема расходимости лазерного 
излучения. М.: Наука, 1979;
 •
Ищенко Е. Ф. Открытые оптические резонаторы: некоторые вопросы теории и расчета. М.: Сов. Радио, 1980;
 •
Ананьев Ю. А. Оптические резонаторы и лазерные пучки. М.: Наука, 1990;
 •
Быков В. П., Силичев О. О. Лазерные резонаторы. М.: Физматлит, 2004.
Предлагаемая читателю книга по широте охвата материала, последовательности изложения и глубине проработки вопросов является следующим важным 
шагом в развитии науки о лазерных резонаторах. Именно это обстоятельство явилось побудительным мотивом для её перевода.
Книга выдержала за рубежом два издания. В качестве основы для первого издания авторы взяли свою книгу «Optische Resonatoren: Grundlagen, Eigenschaften, 
Optimierung», изданную в 1992 г. на немецком языке. Первое издание было выпущено в 1997 г. под заглавием «Optical Resonators: Fundamentals Advanced Concepts and Applications». Второе, существенно расширенное («Laser Resonator and 
Beam Propogation: Fundamentals Advanced Concepts and Applications»), вышло из 
печати в 2005 г.

Предисловие 
научного редактора

Предисловие научного редактора

В нашей стране эти книги не поступали в розничную торговую сеть, но были 

известны и доступны российскому читателю, поскольку приобретались у издателя крупными библиотеками.
Определенные затруднения при переводе монографии вызывало отсутствие 
русскоязычных аналогов ряда английских терминов, описывающих свойства резонаторов. И до сих пор, по прошествии более 50 лет развития лазерной физики, 
недоработки в области терминологии не преодолены.

Стоит отметить, что работы в этом направлении ведутся. В 2004 году вышел 

справочник «Фотоника. Словарь терминов» (Новосибирск: Изд-во СО РАН). 
В Республике Беларусь издан и переведен на русский язык ГОСТ ИСО 11145—
2007, Стандарт РБ «Оптика и фотоника. Лазеры и лазерное оборудование. Словарь и буквенные обозначения».

Вышеупомянутая проблема хорошо знакома специалистам, и я не стану на ней 

задерживаться. Отмечу лишь то, что при трактовке ряда понятий приходилось 
прибегать к многословию в ущерб простоте изложения материала.

Работая над редактированием перевода, я часто обращался за помощью к своим коллегам — сотрудникам Института лазерной физики СО РАН. Их многолетний опыт преподавания основных разделов физики лазеров в Новосибирском 
государственном университете и Новосибирском государственном техническом 
университете пригодился при окончательном редактировании ряда крупных 
фрагментов текста книги.

Я благодарен к. ф.-м. н. В. С. Пивцову (редактирование глав 8–10, 12 и 22), 

к. ф.-м. н. А. И. Карапузикову (переработка первоначального перевода глав 17–19 
и 23), к. ф.-м. н. В. Н. Бельтюгову и к. ф.-м. н. В. И. Трунову за помощь при редактировании наиболее трудных для перевода мест.

Особая благодарность — В. М. Тарасову, инициатору перевода этой книги, за 

внимательное прочтение первой его редакции и многочисленные поправки, улуч-
шившие изложение материала на русском языке, а также Д. С. Бордзиловскому 
и А. А. Тармышовой за техническую помощь в подготовке авторского оригинала.

Я выражаю огромную признательность издательству «ДМК Пресс», профинансировавшему выпуск книги.
Надеюсь, что русский перевод книги поможет студентам, аспирантам, препо
давателям вузов и специалистам-исследователям расширить свои познания в физике и технике лазерных резонаторов и облегчит поиск технических решений при 
разработке лазерных устройств. С благодарностью приму от читателей замечания 
и пожелания по качеству перевода.

С. Г. Струц, 

ведущий инженер лаборатории медицинских
                          лазерных технологий института лазерной
                          физики СО РАН, г. Новосибирск
Ноябрь 2015 г.

Лазерное излучение обладает свойствами, которые не обеспечиваются обычными 
источниками света, такими как лампы накаливания и люминесцентные лампы:
 •
узкая полоса частот (на уровне 10
–3 Гц) и высокая временная когерентность;
 •
малая расходимость пучка (порядка миллирадиан) и высокая пространственная когерентность;
 •
высокая интенсивность в фокальном пятне (выше 10
15 Вт/см
2).
Благодаря отмеченным характеристикам пучка лазер нашел применение в таких технологиях, в которых материал должен быть удален или модифицирован 
в пределах определенных, часто малых, областей (например, лазерная хирургия, 
обработка материалов) или в таких областях, где требуется узкая спектральная 
полоса (например, дальнометрия и спектроскопия). Кроме того, решающим фактором в развитии оптической коммуникации и оптической обработки данных оказались уникальные свойства лазерных диодов:
 •
малый размер;
 •
высокая эффективность;
 •
высокая скорость модуляции.
Излучение, испускаемое лазерной средой (твердое тело, газ или раствор органического красителя), без оптического резонатора вряд ли могло использоваться 
в каком-либо приложении. Вследствие того, что активные атомы генерируют фотоны главным образом в процессе спонтанных переходов, излучение (суперлюминисценция) не отличается от света, излучаемого обычным тепловым источником 
в таких свойствах, как пространственная когерентность и фокусируемость. Это 
происходит потому, что фотоны излучаются без ограничений во всем диапазоне 
частот, характерном для материала, из которого сделан лазер. Отсутствие связи 
между излучающими атомами может быть преодолено путем возврата излученных фотонов в активную среду, что дает возможность генерировать лазерные пучки с поразительными свойствами. Можно сказать, что обратная связь обеспечивает выход пучка в одном направлении.
Во всех лазерных системах обратная связь осуществляется с помощью оптического резонатора. Такие свойства пучка, как распределение интенсивности по 
сечению, выходная мощность и минимальный размер фокального пятна, достигаемый при помощи фокусирующих линз, определяются главным образом оптическим резонатором. Чрезвычайно важная роль, которую играет резонатор в лазерных системах, является причиной того, что после тридцати пяти лет исследований 

Введение