Новые алгоритмы вычислительной гидродинамики для многопроцессорных вычислительных комплексов

Серия
Суперкомпьютерное 
Образование

Координационный совет
Системы научно-образовательных центров
суперкомпьютерных технологий

Председатель Координационного совета

В. А.  Садовничий,
ректор МГУ имени М. В.  Ломоносова,
академик

Заместители председателя совета

Е. И.  Моисеев,
декан факультета вычислительной математики и кибернетики
МГУ имени М. В.  Ломоносова, 
академик

А. В.  Тихонравов,
директор Научно-исследовательского вычислительного центра
МГУ имени М. В.  Ломоносова, 
профессор

Члены совета

В. Н. Васильев, ректор Санкт-Пе тер  бургского национального исследовательского госу дар ственного университета инфор ма ционных технологий, механики 
и оптики, чл.-корр. РАН, профессор; В. Г. Захаревич, ректор Южного федерального университета, профессор; Н. Н. Кудрявцев, ректор Московского физико-технического института, чл.-корр. РАН, профессор; Г. В. Майер, 
ректор национального исследовательско го Томско го государственного университета, профессор; А. А. Фаткулин, проректор по науке и инновациям 
Дальневосточного федерального университета, профессор; Е. В. Чупрунов, 
ректор националь ного исследовательского Ниже городского го су дарственного 
университета, про фессор; А. Л. Шестаков, ректор национального исследовательского Южно- Уральского государственного университета, профессор; 
В. Н. Чубариков, декан механико-математического факультета МГУ имени 
М. В. Ломоносова, профессор; М. И. Панасюк, директор Научно-ис сле дова тельского института ядерной физики МГУ имени М. В.  Ломоно сова, профессор; Вл. В. Воеводин, заме ститель директора Научно-исследо ва тель ского 
вычислительного центра МГУ имени М. В.  Ломоносова, исполнительный директор 
НОЦ «СКТ-Центр», член-корреспондент РАН.

Новые алгоритмы 
вычислительной гидродинамики 
для многопроцессорных 
вычислительных 
комплексов

Издательство Московского университета
2013

В. М. Г, М. А. З, 
С. А. К, И. А. КРекомендовано 
Ученым советом факультета вычислительной математики и кибернетики (ВМК) 
Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова 
для использования в учебном процессе

Монография

УДК 007 (075) 
ББК 32.973.2
Г60

Головизнин В.М., Зайцев М.А., Карабасов С.А., Короткин И.А.
Новые алгоритмы вычислительной гидродинамики для многопроцессорных вычислительных комплексов: Монография / Предисл.: В. А. Садовничий. – М.: Издательство Мос ковского университета, 2013. – 472 с., 
илл.; 8 с. (цв. вклейка). – (Серия «Суперкомпьютерное образование»)
ISBN 978-5-211-06426-3

Г60

В настоящей монографии, предназначенной для студентов, аспирантов и научных 
сотрудников, собран воедино и систематизирован материал многолетней работы большой группы специалистов в области математического моделирования и вычислительной математики. Среди множества направлений и подходов, конкурирующих в современном мире, авторы выбрали сравнительно новое направление (метод «КАБАРЕ»), 
к развитию которого они оказались в той или иной мере причастны. Данный подход, 
развиваемый в МГУ имени М. В. Ломоносова, ИБРАЭ РАН, ЦАГИ и ряде других российских и зарубежных (Кембриджский университет, Лондонский университет «Квин 
Мэри») организаций, имеет хорошие конкурентные позиции и активно развивается.
В предлагаемой монографии очень подробно описана ключевая идея метода «КАБАРЕ» в ее развитии – от простейших линейных одномерных уравнений гиперболического типа до методик решения многомерных задач гидродинамики и газовой динамики 
на неструктурированных сетках в сложных пространственных областях, характерных 
для приложений индустриальной математики.
Книгу можно рассматривать в качестве ученого пособия и основы для разработки 
вычислительного практикума по методам решения уравнений математической физики 
с доминирующими процессами сеточного переноса.
Ключевые слова: математическое моделирование, вычислительная гидродинамика, 
численные методы, турбулентные течения, параллельные алгоритмы.

УДК 007 (075) 
ББК 32.973.2

© Коллектив авторов, 2012 
© Издательство Московского университета, 2013
ISBN 978-5-211-06426-3

Уважаемый читатель!

Вы держите в руках одну из книг серии «Суперкомпьютерное образование», 
выпущенную в рамках реализации проекта комиссии Президента РФ по модернизации и технологическому развитию экономики России «Со здание системы подготовки высококвалифицированных кадров в области суперкомпьютерных технологий и специализированного программного обеспечения». Инициатором 
издания выступил Суперкомпью терный консорциум университетов России.
Серия включает более 20 учебников и учебных пособий, подготовленных ведущими отечественными специалистами в области супер компьютерных технологий. 
В книгах представлен ценный опыт преподавания супер компьютерных технологий в таких авторитетных вузах России, как МГУ, ННГУ, ТГУ, ЮУрГУ, СПбГУ 
ИТМО и многих других. При подготовке изданий были учтены рекомендации, 
сформулированные в Своде знаний и умений в области суперкомпьютерных технологий, подготовленном группой экспертов Суперкомпьютерного консорциума, а также международный опыт.
Современный уровень развития вычислительной техники и методов математического моделирования дает уникальную возможность для перевода промышленного производства и научных исследований на качественно новый этап. Эффективность такого перехода напрямую зависит от наличия достаточного числа 
высококвалифицированных специалистов. Данная серия книг предназначена для 
широкого круга студентов, аспирантов и специалистов, желающих изучить и практически использовать параллельные компьютерные системы для решения трудоемких вычислительных задач.
Издание серии «Суперкомпьютерное образование» наглядно де мон ст рирует 
тот вклад, который внесли участники Суперкомпьютерного консорциума университетов России в создание национальной системы под готовки высококвалифицированных кадров в об ласти суперкомпью терных технологий, а также их четкое 
понимание ответственности за подготовку высококвалифицированных специалистов и формирование проч ного научного фундамента, столь необходимого для эффективного использования суперкомпьютерных технологий на практике.

Ректор Московского университета,
Президент Суперкомпьютерного консорциума 
университетов России,
академик РАН  В. А. Садовничий

Введение .............................................................................................................................12
Литература ......................................................................................................................18
Глава 1. Схема «КАБАРЕ» для простейших уравнений гиперболического типа ....19
Введение ...........................................................................................................................19
1.1. Схема «КАБАРЕ» для простейшего линейного одномерного скалярного
уравнения переноса .........................................................................................................22
1.1.1. Простейшее уравнение переноса  ......................................................................22
1.1.2. Связь схемы «КАБАРЕ» со схемой Upwind LeapFrog (схема Айзерлиса) ....24
1.1.3. Каналы высокой точности схемы «КАБАРЕ» ..................................................25
1.1.4. Законы сохранения ..............................................................................................26
1.1.5. Квадратичные законы сохранения и достаточные условия устойчивости ....27
1.1.6. Диссипативные и дисперсионные свойства схемы «КАБАРЕ» .....................30
1.1.7. Групповая скорость переноса возмущений в схеме «КАБАРЕ» ....................37
1.1.8. Управление диссипативными и дисперсионными свойствами
схемы «КАБАРЕ»  .........................................................................................................38
1.1.9. Нелинейная коррекция схемы «КАБАРЕ»  .......................................................40
1.1.10. Схема «КАБАРЕ» для уравнения конвекции – диффузии ............................42
1.1.11. Примеры тестовых расчетов. Линейный перенос в случае
разрывной и непрерывной функции начального распределения  .............................45
1.1.12. Обобщение схемы «КАБАРЕ» на случай дивергентной формы
представления линейного уравнения переноса ..........................................................47
1.1.13. Некоторые комментарии ...................................................................................50
1.2. Обобщение схемы «КАБАРЕ» на одномерные скалярные квазилинейные
законы сохранения гиперболического типа .................................................................51
1.2.1. Базовый алгоритм  ...............................................................................................51
1.2.2. Проблема переключения потоков в схеме «КАБАРЕ»  ...................................53
1.2.3. Обобщение схемы «КАБАРЕ» на случай нелинейных потоков .....................53
1.2.4. Частная задача Римана для уравнения с выпуклыми потоками .....................55
1.2.5. Форма представления оператора Римана, не опирающаяся на свойство
дифференцируемости функции потока .......................................................................57
1.2.6. Процедура согласования начальных значений консервативных и потоковых
переменных и оператор переключения потоковых переменных ..............................57
1.2.7. Невыпуклые функции потоков. Принцип минимума парциальной
локальной вариации ......................................................................................................58
1.2.8. Одномерные квазилинейные уравнения с произвольными потоками ...........59
1.2.9. Примеры тестовых расчетов ..............................................................................60
1.2.10. Некоторые комментарии ...................................................................................64
1.3. Метод «КАБАРЕ» для простейшей системы квазилинейных
    гиперболических уравнений .........................................................................................65
1.3.1. Простейшая система нелинейных гиперболических уравнений  (P-система) ..65
1.3.2. Характеристическая форма представления Р-системы. Волны разрежения .66
1.3.3. Схема «КАБАРЕ» для расчета волн разрежения Р-системы
Ориентация на характеристическую форму записи ..................................................67
1.3.4. Схема «КАБАРЕ» с монотонизатором ..............................................................69
1.3.5. Консервативный вариант схемы «КАБАРЕ»  ...................................................70
1.3.6. Сравнение со схемой «крест» ............................................................................71
1.3.7. Законы сохранения и разрывные решения Р-системы .....................................73
1.3.8. Тестовые задачи и эмпирическое исследование скорости сходимости .........76

7

Оглавление

1.3.9. Схема «КАБАРЕ» для одномерных уравнений политропного газа
в эйлеровых переменных  .............................................................................................82
1.3.10. Примеры расчетов волн разрежения ...............................................................87
1.3.11. Законы сохранения и разрывные решения для системы уравнений
политропного газа в эйлеровых переменных .............................................................90
1.3.12. Задача о распаде произвольного разрыва .......................................................93
1.3.13. Примеры тестовых расчетов и эмпирическое исследование сходимости ...94
Заключение к главе 1 .......................................................................................................97
Литература к главе 1 ........................................................................................................98
Глава 2. Численное моделирование затухания однородной турбулентности
в одномерном случае  .....................................................................................................101
Введение .........................................................................................................................101
2.1. Разностные схемы  ..................................................................................................103
2.1.1. Схема «КАБАРЕ» ..............................................................................................103
2.1.2. Схема Лакса – Вендроффа  ...............................................................................106
2.1.3. Схема «Крест» ...................................................................................................107
2.1.4. Схема Аракавы ..................................................................................................108
2.1.5. Схема Годунова  .................................................................................................109
2.2. Примеры расчетов ..................................................................................................110
2.3. Спектры энергии для различных разностных схем  ............................................113
2.4. Структурные функции  ...........................................................................................117
Заключение к главе 2 .....................................................................................................119
Литература к главе 2 ......................................................................................................120
Глава 3. Схема «КАБАРЕ» для одномерных уравнений газовой динамики ......122
3.1. Схема «КАБАРЕ» для одномерных уравнений газовой динамики
в лагранжевых переменных  .........................................................................................122
3.1.1. Базовый алгоритм  .............................................................................................122
3.1.2. Нелинейная коррекция потоков .......................................................................126
3.1.3. Управляемая схемная диссипация ...................................................................127
3.1.4. Сильная ударная волна в лагранжевых переменных .....................................131
3.1.5. Сильная волна разрежения в лагранжевых переменных ...............................132
3.1.6. Модельные задачи .............................................................................................133
3.1.7. Комментарии  .....................................................................................................142
3.2. Одномерные уравнения газовой динамики в эйлеровых переменных ..............143
3.2.1. Описание балансно-характеристического алгоритма ....................................144
3.2.2. Свойства балансно-характеристического алгоритма .....................................152
3.2.3. Примеры расчетов .............................................................................................157
3.2.4. Исследование точности балансно-характеристического алгоритма
на модельных задачах .................................................................................................161
Заключение к главе 3 .....................................................................................................166
Литература к главе 3 ......................................................................................................168
Глава 4. Обобщение схемы «КАБАРЕ» на двумерные ортогональные
расчетные сетки .............................................................................................................169
4.1. Консервативная и характеристическая формы  представления
исходных уравнений ......................................................................................................169
4.2. Инварианты Римана для баротропных течений ..................................................173
4.3. Расчетные сетки и дискретизация физических величин ....................................176

8
Оглавление

4.4. Консервативная разностная схема второго порядка аппроксимации ................177
4.5. Вычисление промежуточных значений консервативных переменных .............178
4.6. Локальные инварианты и их перенос в пределах одной ячейки
расчетной сетки .............................................................................................................180
4.7. Вычисление новых значений потоковых переменных 
на сеточном множестве 

x


 .........................................................................................186
4.8. Звуковые точки  .......................................................................................................188
4.9. Вычисление новых значений потоковых переменных 
на сеточном множестве
y


 .........................................................................................191
4.10. Граничные условия ...............................................................................................196
4.11. Вычисление новых значений консервативных переменных ............................202
4.12. Условия вычислительной устойчивости и вычисление величины
шага по времени ............................................................................................................202
4.13. Примеры тестовых расчетов  ...............................................................................203
4.14. Рассеяние плоской звуковой волны на гладком вихре
постоянной циркуляции ................................................................................................214
4.14.1. Случай средних акустических волн, 1 = 2,5L  ..............................................214
4.14.2. Случай коротких акустических волн, 1 = 0,036L  ........................................216
4.15. Учет вязкости ........................................................................................................219
4.16. Прямое моделирование взаимодействия вихревых пар ....................................226
4.16.1. Постановка задачи  ..........................................................................................226
4.16.2. Результаты численных расчетов ....................................................................228
4.17. Приближение слабой сжимаемости ....................................................................233
4.18. Перенос пассивной примеси ...............................................................................240
4.19. Обобщение схемы «КАБАРЕ» на случай несжимаемой жидкости .................247
4.20. Примеры тестовых расчетов  ...............................................................................254
Заключение к гл. 4  ........................................................................................................257
Литература к главе 4 ......................................................................................................258
Глава 5. Моделирование затухания однородной изотропной турбулентности
по схеме «КАБАРЕ» в двумерной и трехмерной несжимаемой жидкости ..........260
Введение .........................................................................................................................260
5.1. Моделирование двумерных турбулентных течений по схеме «КАБАРЕ» ........263
5.1.1. Уравнения движения .........................................................................................264
5.1.2. Численный алгоритм .........................................................................................265
5.1.3. Примеры расчетов .............................................................................................275
5.2. Моделирование трехмерных турбулентных течений по схеме «КАБАРЕ» ......288
5.2.1. Постановка задачи  ............................................................................................288
5.2.2. Численный алгоритм  ........................................................................................288
5.2.3. Общие замечания по алгоритму ......................................................................291
5.2.4. Примеры расчетов .............................................................................................291
Заключение к главе 5 .....................................................................................................304
Литература к главе 5 ......................................................................................................305
Глава 6. Прямое моделирование термоконвективных течений в замкнутых
двумерных и трехмерных областях ............................................................................308
Введение .........................................................................................................................308
6.1. Схема «КАБАРЕ» для моделирования тепловой конвекции несжимаемой
жидкости в двумерном случае ......................................................................................310

9
Оглавление

6.1.1. Математическая модель ....................................................................................310
6.1.2. Дискретизация задачи .......................................................................................313
6.1.3. Граничные условия ...........................................................................................319
6.2. Верификация двумерной схемы «КАБАРЕ» при различных числах Рэлея ......320
6.2.1. Задача Дэвиса. Течение в квадратной области ...............................................320
6.2.2. Ламинарный двумерный тест ERCOFTAC .....................................................327
6.2.3. Вертикальный слой в турбулентном режиме  .................................................330
6.2.4. Горизонтальный слой в турбулентном режиме ..............................................331
6.3. Схема «КАБАРЕ» для моделирования тепловой конвекции несжимаемой
жидкости в трехмерном случае ....................................................................................332
6.3.1. Математическая модель ....................................................................................332
6.3.2. Дискретизация задачи .......................................................................................335
6.4. Верификация трехмерной схемы «КАБАРЕ» при различных числах Рэлея ....340
6.4.1. Задача Дэвиса. Течение в кубической области ...............................................340
6.4.2. Трехмерный турбулентный тест ERCOFTAC .................................................342
6.4.3. Тепловая конвекция в замкнутой области в форме параллелепипеда
с соотношением сторон 1:4 ........................................................................................349
Заключение к главе 6 .....................................................................................................353
Литература к главе 6 ......................................................................................................354
Глава 7. Схема «КАБАРЕ» для уравнений газовой динамики на четырехугольных
криволинейных расчетных сетках в случае двух пространственных измерений ....356
Введение .........................................................................................................................356
7.1. Уравнения Эйлера в криволинейных координатах  .............................................357
7.2. Разностная аппроксимация законов сохранения .................................................361
7.3. Вычисление потоковых переменных на новом временном слое .......................367
7.3.1. Процедура линейной экстраполяции локальных инвариантов  ....................370
7.3.2. Процедура нелинейной коррекции потоковых переменных на
основе принципа максимума ......................................................................................371
7.3.3. Процедура селекции локальных инвариантов и вычисления новых
потоковых переменных ...............................................................................................372
7.4. Учет вязкости ..........................................................................................................375
7.5. Реализация граничных условий ............................................................................382
7.6. Вопросы аппроксимации .......................................................................................384
7.7. Условия устойчивости. Выбор шага интегрирования по времени ....................385
7.8. Примеры тестовых расчетов  .................................................................................386
7.8.1. Задача об обтекании цилиндра потенциальным слабосжимаемым
потоком газа .................................................................................................................386
7.8.2. Дифракция акустического импульса на цилиндре в покоящейся
однородной среде ........................................................................................................387
Заключение к главе 7 .....................................................................................................388
Литература к главе 7 ......................................................................................................389
Глава 8. Схема «КАБАРЕ» для трехмерных нестационарных задач газовой
динамики  на косоугольных гексагональных сетках .............................................390
8.1. Уравнения Эйлера в криволинейной системе координат ...................................390
8.1.1. Исходные представления уравнений газовой динамики ...............................390
8.1.2. Криволинейная система координат .................................................................391
8.1.3. Якобианы и их основные свойства ..................................................................393

10
Оглавление

8.1.4. Дивергентное представление якобианов  ........................................................395
8.1.5. Основные законы сохранения в криволинейных координатах .....................396
8.1.6. Перевод в криволинейные координаты «простой формы»
уравнений газовой динамики .....................................................................................397
8.1.7. Приведение к локально - одномерному характеристическому
виду системы уравнений газовой динамики в криволинейных координатах .......403
8.1.8. Локально-одномерные характеристические представления
уравнений газовой динамики в криволинейных координатах ................................409
8.1.9. Консервативная запись уравнений Эйлера в криволинейных координатах ...412
8.2. Схема «КАБАРЕ» для трехмерных нестационарных задач газовой
динамики на криволинейных гексагональных сетках ..................................................414
8.2.1. Аппроксимация геометрических характеристик на структурированных
гексагональных косоугольных сетках .......................................................................414
8.2.2. Дивергентное симметризованное определение объема расчетной
косоугольной шестигранной ячейки .........................................................................418
8.2.3. Аппроксимация консервативного представления уравнения
Эйлера в криволинейных координатах .....................................................................419
8.2.4. Первый блок разностных уравнений схемы «КАБАРЕ» ...............................419
8.2.5. Второй блок разностных уравнений схемы «КАБАРЕ» ...............................421
8.2.5.1. Дискретизация геометрических факторов ...................................................421
8.2.5.2. Определение локальных римановых инвариантов .....................................424
8.2.5.3. Вычисление новых потоковых переменных на новом временном слое ...428
8.2.5.4. Дозвуковые течения .......................................................................................433
8.2.5.5. Сверхзвуковые течения  .................................................................................439
8.2.5.6. Полное число возможных вариантов. Особые точки ..................................440
8.2.5.7. Торможение сверхзвукового потока дозвуковым ........................................441
8.2.5.8. Звуковые точки ...............................................................................................442
8.2.5.9. Столкновение и разлет сверхзвуковых течений ..........................................442
8.2.6. Третий блок разностных уравнений схемы «КАБАРЕ» ................................442
8.3. Расчет высокоскоростной турбулентной струи, истекающей
из конического сопла  ....................................................................................................444
8.3.1. Постановка задачи и примеры расчетов в литературе ...................................444
8.3.2. Результаты расчетов по методу «КАБАРЕ» ....................................................448
8.3.3. Пример акустического постпроцессинга: дальнее поле ................................456
8.3.4. Результаты использования метода ФВ – Х без учета
внешнего квадруполя для струи JEAN ......................................................................461
Заключение к главе 8 .....................................................................................................462
Литература к главе 8 ......................................................................................................462
Заключение ......................................................................................................................464

11
Оглавление

Введение

Стремительный рост вычислительных мощностей, наблюдающийся в последние 
десятилетия, оказывает существенное влияние на все сферы современной науки и 
техники. Многопроцессорные компьютерные системы петафлопсной производительности (

15
10 операций в секунду) стали реальностью. Системы с быстродействием в 
несколько терафлопс (

12
10 операций в секунду) – обыденностью. Мир стоит на пороге 
нового рывка к экзафлопу (

18
10 операций в секунду). Ожидается, что экзафлопсные 
компьютеры появятся к 2019–2020 годам. К этому времени обыденностью должны 
стать петафлопсные системы. Меняется и архитектурный облик высокопроизводительных компьютеров – на смену однородным вычислительным системам приходят 
гетерогенные структуры, объединяющие достоинства обычных арифметических процессоров с возможностями графических ускорителей.
 Возникают новые задачи. Бурно развивается кластерная и молекулярная динамика. Прямые расчеты взаимодействия миллиардов атомов прокладывают дорогу к становлению новой научной дисциплины – вычислительного материаловедения.  Возникают новые проблемы, связанные с учетом в рамках одной математической модели разномасштабных по времени, пространству (multiscale) и характеру (multiphysics) 
физических процессов.
Новые черты приобретают и классические направления вычислительной физики, 
такие, например, как расчеты турбулентных гидродинамических течений, задачи радиационной газовой динамики, переноса нейтронов и излучения, многофазной гидродинамики и т. д.
 Так, расчеты турбулентных течений ведутся уже несколько десятилетий на вычислительной технике разных поколений и примерно с одинаковым успехом. Причина в 
том, что эти задачи относятся к классу задач с «критической точностью». Чтобы адекватно моделировать турбулентность, необходимо использовать расчетные  сетки, сопоставимые по размерам с т. н. «колмогоровским» масштабом, на котором происходит 
диссипация турбулентной энергии в тепловую. При числах Рейнольдса, характерных 
для течений в технических устройствах, это требует вычислительных мощностей, недостижимых в ближайшие десятилетия при сохранении существующих темпов роста производительности компьютеров. В  инженерных расчетах турбулентных течений использовались и используются осредненные характеристики, для описания которых применяются т. н. RANS – модели, существенно опирающиеся на  эмпирические закономерности. Переход к петафлопсным вычислениям сопровождается появлением новых подходов (LES, ILES, DES, DNS) к моделированию турбулентности, существенно расширяющих область применимости математического моделирования и уменьшающих их зависимость от эмпирических данных. Ожидаемое увеличение быстродействия еще на три 
порядка предполагает их дальнейшее развитие и совершенствование.
 Реальное быстродействие или вычислительная эффективность  многопроцессорных вычислительных систем на прикладных задачах зависит не только от успехов в 
области электроники, но и от эффективности алгоритмов распараллеливания и качества численных методов, применяемых для расчетов физических процессов. Переход 
от одних «разностных схем» к другим может повысить реальное быстродействие на 

12

Введение

несколько порядков. Если для трехмерной нестационарной задачи можно достичь желаемого результата на более грубой расчетной сетке, например, при увеличении размеров расчетных ячеек по каждому направлению в три раза, то это может привести к возрастанию реального быстродействия в 
43
81

 раз. Если размеры расчетных ячеек можно увеличить в пять раз, то суммарное быстродействие может возрасти в 
45
625

раз.
Следует подчеркнуть, что такая «арифметика», безусловно, очень приблизительная, она может иметь место только в том случае, если переход к новым вычислительным методам не ухудшает характеристик их эффективного распараллеливания. 
 Настоящая монография посвящена описанию нового универсального подхода к 
построению эффективных алгоритмов численного решения систем квазилинейных 
уравнений гиперболического типа и задач с доминирующим сеточным переносом, 
а также опыту использования этих алгоритмов для решения тестовых, модельных и 
производственных задач вычислительной гидродинамики на многопроцессорных  вычислительных комплексах МГУ им. М.В. Ломоносова. 
Авторы не ставили своей целью дать исчерпывающий или хотя бы достаточно полный обзор работ, посвященных выбранному направлению. Описание состояния дел в 
данной области можно найти в классических монографиях [1–10]. Основное внимание в нашей книге уделено подробному и систематическому описанию одного из современных направлений развития численных методов для решения систем квазилинейных гиперболических уравнений и задач с доминирующим сеточным переносом. 
Начало данному направлению, в настоящее время известному как схема «КАБАРЕ», 
было положено в работах А.А. Самарского и В.М. Головизнина [11, 12].
Схема «КАБАРЕ», по существу, представляет собой новый подход к аппроксимации конвективных потоков в задачах с доминирующим переносом. Класс таких задач достаточно широк и включает в себя как ударно-волновые процессы, так и аэроакустику, внешнюю и внутреннюю аэродинамику, вихревые и турбулентные течения 
при больших числах Рейнольдса, задачи термоконвекции при больших числах Релея 
и многие другие. Схема также хорошо применима для моделирования газодинамических течений в лагранжевых и смешанных лагранжево-эйлеровых переменных.
 Схема «КАБАРЕ» обладает следующим набором свойств, часть из которых можно отнести к числу уникальных: 
− максимально компактный вычислительный шаблон, вмещающийся в одну 
пространственно - временную расчетную ячейку;
− формально второй порядок аппроксимации на течениях, не требующих применения 
процедуры коррекции потоков;
− естественная процедура коррекции потоков, основанная на прямом использовании 
принципа максимума для локальных инвариантов Римана;
− универсальность и отсутствие каких-либо настроечных параметров – схема может 
быть использована для расчета как сверхсильных, так и сверхслабых ударных 
волн, при этом фронты этих волн, независимо от интенсивности, размазываются 
на одну расчетную ячейку;
− возможность моделировать распространение акустических волн на фоне сильно 
неоднородных пространственно-временных течений;

Введение

− не приводит к затуханию или разрушению стационарных вихрей, при перемещении 
вихрей по сетке очень слабо проявляет диссипативные свойства, обусловленные 
аппроксимационной вязкостью;
− схема явная и не требует каких-либо итерационных процедур;
− в ряде случаев бездиссипативна и всегда обладает минимальной аппроксимационной 
дисперсией;
− при моделировании затухания однородной изотропной турбулентности правильно 
передает каскад энергии в инерционном интервале, который охватывает все 
представимые на расчетной сетке волновые числа;
− может служить основой для расчетов вихревых и турбулентных течений в 
приближении PerfectLES.
Позитивные свойства схемы «КАБАРЕ» во многом обусловлены тем, что в ней 
используется расширенный набор переменных, заметно повышающий требования 
к объему оперативной памяти. Наряду с обычными «консервативными» переменными 
(компоненты скорости, плотность и полная энергия), относящимися к центрам расчетных ячеек и имеющими смысл средних по объему величин, в схеме используются 
и т. н. «потоковые переменные» (компоненты скорости, плотность и давление), относящиеся к серединам граней ячеек.  В трехмерном случае это приводит к увеличению хранимой информации в четыре раза. Следует отметить, что «консервативные» 
и «потоковые» переменные не могут быть однозначно выражены друг через друга на 
временных слоях, отличных от начального. Это значит, что в отличие от всех других 
известных схем, для вычисления потоков через границы расчетных ячеек необходимо 
использовать не только основные переменные, но и значения самих потоков на предыдущем временном слое.
Монография состоит из восьми глав.
 В первой главе описывается двухслойный консервативный вариант схемы «КАБАРЕ» 
для простейшего линейного одномерного уравнения переноса с постоянной скоростью [13],

0;   
0,
c
c
const
t
x




 






исследуются диссипативные и дисперсионные свойства этой схемы, устанавливается ее связь со схемой Айзерлиса (Upwind LeapFrog) [14], формулируется алгоритм нелинейной коррекции потоков на основе принципа максимума [13, 15], который можно 
считать неотъемлемой частью схемы «КАБАРЕ». Показаны уникальные диссипативные и дисперсионные свойства схемы.
 Далее схема «КАБАРЕ» обобщается на одномерные квазилинейные скалярные 
уравнения вида

 


,
F
Q x t
t
x









с достаточно произвольной функцией 
 
F  . Показано, что для корректного определения численных потоков, знания направления наклона характеристик в середине расчетной ячейки оказывается недостаточно, и необходимо формулировать общий принцип построения численных потоков для схемы «КАБАРЕ», который работал бы как 
для выпуклых, так и для невыпуклых функций потоков. Во второй части первой  гла

Введение

вы подробно описан принцип минимума локальных вариаций, приводящий к численным потокам, которые можно считать модификацией потока С.К. Годунова. 
Дальнейшее обобщение проводится на простейшую систему одномерных гиперболических уравнений, т. н. P-систему вида:

 
0;    
0.
p
u
u
t
m
t
m















 Для построения разностной схемы используется как дивергентная форма представления этих уравнений, так и их характеристическая форма. Привлечение характеристической формы позволяет записать эту систему в виде уравнений переноса Римановых инвариантов, для которых выполняется принцип максимума. Новые значения 
«потоковых» переменных находятся из характеристического представления исходных 
уравнений, «консервативных» – из консервативной формы записи.
 Р-система описывает как баротропное движение газа в лагранжевых переменных, 
так и приближение «мелкой воды». Переход к эйлеровым переменным делает ее еще 
более содержательной, поскольку появляются члены, описывающие сеточный перенос:
 

 
2
0;    
0.
p
u
u
u
t
x
t
t
x





















Третья часть первой главы посвящена обобщению нового подхода на этот случай.
 Вторая глава монографии посвящена численному моделированию затухания одномерной турбулентности. Следует отметить, что одномерная турбулентность представляет собой чисто умозрительный объект и в природе не встречается, однако исследование нелинейного взаимодействия большого числа гармоник, описываемое уравнением Бюргерса

2

2
1
Re
u
u
u
u
t
x
x











,

позволяет понять основные особенности как ряда классических разностных схем 
(схема Лакса – Вендроффа, «Крест» и т. п.), так и схемы «КАБАРЕ» при моделировании коллективных нелинейных явлений.
Третья глава монографии содержит обобщение схемы «КАБАРЕ» на случай одномерной газовой динамики как в лагранжевых переменных




2

0;    
0;   
0;

2;    
1
,

u
u
p
E
pu
t
m
t
m
t
m
E
u
p





 

























так и в переменных Эйлера: