Общая физика конденсированного состояния

ФИЗТЕХОВСКИЙ УЧЕБНИК

Е.З. МЕЙЛИХОВ
ОБЩАЯ ФИЗИКА 
КОНДЕНСИРОВАННОГО 
СОСТОЯНИЯ

Å.Ç. Ìåéëèõîâ
Îáùàÿ ôèçèêà êîíäåíñèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ: Ó÷åáíîå ïîñîáèå / Å.Ç. Ìåéëèõîâ – Äîëãîïðóäíûé: Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», 2018. – 416 ñ.

ISBN 978-5-91559-246-8

Ó÷åáíîå ïîñîáèå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ êóðñà îáùåé ôèçèêè  äëÿ
ñïåöèàëüíîé åå îáëàñòè (ôèçèêè êîíäåíñèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ).
Ðóêîâîäñòâî ïðåäïîëàãàåò çíàíèÿ â ïðåäåëàõ ïðîãðàìì ïî ôèçèêå è ìàòåìàòèêå  ïåðâûõ äâóõ êóðñîâ òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà, â ÷àñòíîñòè, êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè è òåðìîäèíàìèêè, îñíîâ ýëåêòðîìàãíèòíîé òåîðèè (óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà) è íà÷àë
ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè.
  êóðñå ðàññìàòðèâàþòñÿ îñíîâíûå ôèçè÷åñêèå ñâîéñòâà êîíäåíñèðîâàííûõ ñðåä – ìåòàëëîâ, ïîëóïðîâîäíèêîâ, ìàãíåòèêîâ,
ñâåðõïðîâîäíèêîâ, à òàêæå ðÿä âàæíûõ ÿâëåíèé â íåóïîðÿäî÷åííûõ ñðåäàõ.
Àâòîð ñ÷åë  âàæíûì âêëþ÷èòü è òàêèå ñïåöèàëüíûå òåìû, êàê
îñíîâû ôèçèêè ïîëóïðîâîäíèêîâûõ ãåòåðîñòðóêòóð è ìåìðèñòîðîâ, ðàçáîð  ÿâëåíèé â íåîäíîðîäíûõ ñðåäàõ, èäåè ñïèíòðîíèêè è ôèçèêè ïîëèìåðîâ, ïîíÿòèå î ðàçëè÷íûõ ïåðåõîäàõ ìåòàëë-èçîëÿòîð, èäåè, îòíîñÿùèåñÿ ê ñòðîåíèþ æèäêîñòåé,
ïðåäñòàâëåíèå îá ýëåêòðè÷åñêèõ øóìàõ è ìíîãîå äðóãîå.
Ãëàâíûé ïðèíöèï îòáîðà – äîïóñòèì ëèøü òîò ìàòåðèàë, îñíîâíûå èäåè êîòîðîãî ìîæíî èçëîæèòü ñðàâíèòåëüíî ïðîñòî.
Ïîýòîìó ÷àñòî òî÷íûå âû÷èñëåíèÿ çàìåíÿþòñÿ îòíîñèòåëüíî
ïðîñòûìè (íî ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ïðàâèëüíûìè) êîëè÷åñòâåííûìè îöåíêàìè, îñíîâàííûìè íà ÿñíûõ ôèçè÷åñêèõ èäåÿõ.
Êóðñ ïðåäíàçíà÷åí ñòóäåíòàì è àñïèðàíòàì ôèçè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé, íî ìîæåò áûòü òàêæå ïîëåçåí ïðåïîäàâàòåëÿì âóçîâ è íàó÷íûì ðàáîòíèêàì.

© 2018, Å.Ç. Ìåéëèõîâ
© 2018, ÎÎÎ Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», îðèãèíàë-ìàêåò,
îôîðìëåíèå

ISBN 978-5-91559-246-8

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Глава 1. Конденсированная среда — тепловые
и электрические свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

1.1. Конденсированная среда — силы и энергия взаимодействия
атомов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.1.1. Ионная связь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.1.2. Ковалентная связь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.1.3. Металлическая связь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.1.4. Ван-дер-Ваальсова связь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.1.5. Водородная связь. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.1.6. Цикл Борна–Габера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.1.7. Атомные радиусы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.1.8. Отталкивание атомов, полная энергия связи . . . . . . .
20
1.1.9. Температура испарения, теплота испарения . . . . . . . .
26
1.1.10. Кристаллическое и жидкое состояния . . . . . . . . . . .
27
1.1.11. О структуре воды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.2. Электронные энергетические зоны . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
1.2.1. Модель Кронига–Пенни (кристалл) . . . . . . . . . . . . .
36
1.2.2. Общая модель происхождения энергетических зон . . .
38
1.3. Колебания атомов и тепловые свойства . . . . . . . . . . . . . . .
43
1.3.1. Собственные колебания решетки . . . . . . . . . . . . . . .
44
1.3.2. Спектральная плотность собственных колебаний . . . .
49
1.3.3. Фононы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
1.3.4. Теплоемкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
1.3.5. Тепловое расширение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
1.3.6. Теплопроводность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60

Оглавление

1.4. Электроны в металле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
1.4.1. Статистика электронов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
1.4.2. Электронная теплоемкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
1.4.3. Сжимаемость электронного газа . . . . . . . . . . . . . . .
70
1.4.4. Парамагнетизм электронного газа . . . . . . . . . . . . . .
71
1.4.5. Токонесущее состояние — электронная проводимость .
72
1.4.6. Электронная теплопроводность . . . . . . . . . . . . . . . .
73
1.5. Поверхность и контакт металлов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
1.5.1. Работа выхода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
1.5.2. Автоэлектронная эмиссия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
1.5.3. Контакт металлов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
1.5.4. Термоэмиссия электронов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88

Глава 2. Полупроводники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91

2.1. Свойства электронных энергетических зон . . . . . . . . . . . .
92
2.1.1. Закон дисперсии и эффективная масса электронов . . .
94
2.1.2. Дырки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
2.2. Статистика электронов и дырок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
2.2.1. Собственный полупроводник . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
2.2.2. Примесный полупроводник . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
2.3. Электропроводность и эффект Холла . . . . . . . . . . . . . . . .
113
2.4. Диффузия носителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
2.5. Рекомбинация носителей. Уравнение непрерывности . . . . . .
116
2.6. Длина экранирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
2.7. p–n-переход . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
2.8. Гетеропереходы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
2.9. Эффект поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
2.10. Двумерный электронный газ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134

Глава 3. Магнетики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139

3.1. Закон Кулона. Магнитный момент . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
3.2. Элементарные магниты — точечные магнитные диполи . . . .
143
3.3. Размагничивающий фактор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
3.4. Поле магнитного диполя. Взаимодействие диполей . . . . . . .
149
3.5. Диамагнетизм атомных электронов . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
3.6. Ориентационный парамагнетизм атомов . . . . . . . . . . . . . .
155
3.7. Зонные электроны в металле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160
3.8. Парамагнетизм Паули . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
3.9. Диамагнетизм Ландау . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163
3.10. Ферромагнетизм — теория среднего поля . . . . . . . . . . . . .
164
3.11. Ферримагнетизм и антиферромагнетизм — теория среднего
поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170

Оглавление
5

3.12. Обменное взаимодействие. Модель Гейзенберга . . . . . . . .
174
3.13. Ферромагнетизм зонных электронов . . . . . . . . . . . . . . . .
179
3.14. Термодинамическая теория ферромагнетизма . . . . . . . . . .
182
3.15. Магнитная анизотропия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
184
3.16. Домены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
187
3.17. Суперпарамагнетизм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
207
3.18. Магнитные резонансы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
220
3.19. Магнетотранспортные явления в ферромагнитных проводниках
238
3.20. Основные типы магнитного упорядочения . . . . . . . . . . . .
252

Глава 4. Сверхпроводники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
257

4.1. Сверхпроводник и идеальный проводник . . . . . . . . . . . . . .
257
4.2. Магнитные свойства сверхпроводников . . . . . . . . . . . . . . .
261
4.3. Уравнение Лондонов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
264
4.4. Уравнение Пиппарда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
267
4.5. Квантование магнитного потока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
270
4.6. Термодинамика сверхпроводимости . . . . . . . . . . . . . . . . . .
272
4.7. Поверхностная энергия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
275
4.8. Промежуточное состояние в сверхпроводниках I рода . . . . .
277
4.9. Смешанное состояние в сверхпроводниках II рода . . . . . . .
280
4.10. Критический ток в сверхпроводниках I рода . . . . . . . . . . .
289
4.11. Резистивное состояние сверхпроводников II рода. . . . . . . .
291
4.12. Критический ток и критическое состояние сверхпроводников
II рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
294
4.13. Природа сверхпроводимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
307
4.14. Щель в энергетическом спектре. Сверхпроводимость . . . . .
316

Глава 5. Неупорядоченные конденсированные среды . . . . . .
320

5.1. Беспорядок замещения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
322
5.1.1. Ближний порядок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
322
5.2. Электронные свойства неупорядоченных сред . . . . . . . . . . .
326
5.2.1. Переходы металл–изолятор . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
328
5.2.2. Прыжковая проводимость в полупроводниках . . . . . .
336
5.2.3. «Хвост» плотности состояний . . . . . . . . . . . . . . . . .
339
5.2.4. Слабая локализация электронов. . . . . . . . . . . . . . . .
343
5.2.5. Прыжковый эффект Холла . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
346
5.2.6. Теория эффективной среды . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
352
5.3. Плавление/Кристаллизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
357
5.3.1. Зародыши кристаллизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
357
5.3.2. Кинетика кристаллизации — теория Колмогорова . . . .
361
5.3.3. Стекла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
364

Оглавление

5.4. Электрические шумы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
369
5.4.1. Характеристики шума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
369
5.4.2. Шумы в электрических системах . . . . . . . . . . . . . . .
371
5.5. Распространение звуковых волн через границу раздела . . . .
379
5.6. Строение жидкостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
382
5.6.1. Распределение атомов в жидкости. Функция радиального распределения атомов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
392
5.7. Полимеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
396
5.7.1. Свертывание полимерной макромолекулы . . . . . . . . .
396
5.7.2. Сегменты Куна и персистентная длина . . . . . . . . . . .
397
5.7.3. Полимерный раствор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
398
5.7.4. Эластичность отдельной полимерной цепи . . . . . . . . .
400
5.7.5. Эластичность полимерной сетки. . . . . . . . . . . . . . . .
401
5.7.6. Одноосное растяжение полимерной цепи . . . . . . . . . .
402
5.7.7. Вязкоупругость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
403
5.8. Мемристор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
408
5.8.1. Принцип действия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
409
5.8.2. Характеристики мемристора . . . . . . . . . . . . . . . . . .
411

ПРЕДИСЛОВИЕ

Разные авторы пишут учебники общей
физики, излагая предмет таким путем,
каким он понятен им самим.

П. Л. Капица

Природа есть живая книга, непонятная,
но не непостижимая.

И. В. Г¨ете

Общая физика — это прежде всего знакомство с основными идеями и методами физической науки с обращением особого внимания на понимание смысла физических законов и их сознательное применение. Она учит физически мыслить, т. е. прослеживать взаимосвязь различных физических явлений, строить
приближенные (но правильные по смыслу) физические модели, и
находить на их основе (правильные по порядку величины) численные оценки для количественных характеристик рассматриваемых явлений. Общая физика обеспечивает подготовку, необходимую для успешного усвоения курса теоретической физики, а также
специальных физических дисциплин.
В то время, как в общей физике математика — это относительно простой («ручной») инструмент, в теоретической физике
между постановкой задачи и результатом стоит, как правило, сложный математический аппарат. Зачастую он настолько сложен, что
скрывает смысл явления и приводит к тому, о чем Л. Ландау говорил «Величайшим достижением человеческого гения является
то, что человек может понять вещи, которые он уже не в силах
вообразить». В этой связи он выдвинул пародоксальную формулу
«Физику наших дней не обязательно знать физику, ему достаточно
знать математику». Он, конечно же, имел в виду теоретическую
физику.

Предисловие

В общей же физике, как утверждал П. Л. Капица, «математика
есть весьма подсобный инструмент..., она очень помогает, но это,
во всяком случае, не есть что-то необходимое».
Приходится иногда слышать, что общая физика — это «эрзац»
физики теоретической. В этой оценке не больше смысла, чем в
утверждении «Проза — это эрзац поэзии» (или — наоборот). Общая физика — это фундаментальные принципы физической науки,
базирующиеся на совокупности ключевых физических экспериментов и вытекающих из них основных физических законов.
Настоящее руководство — это курс общей физики, но для специальной ее области (физики конденсированного состояния). Для
своего изучения он предполагает знания в пределах стандартных
курсов физики и математики первых двух курсов технического университета, в частности, классической механики и термодинамики,
основ электромагнитной теории (уравнения Максвелла) и начал
статистической физики.
В курсе рассматриваются основные физические свойства конденсированных сред — металлов, полупроводников, магнетиков,
сверхпроводников, а также ряд важных явлений в неупорядоченных средах. Он предназначен студентам и аспирантам физических
специальностей, но может быть также полезен преподавателям вузов и научным работникам.
Автор благодарен многочисленным колллегам, взаимодействие
с которыми способствовало лучшему отбору и организации материала книги. Особая благодарность — С. В. Гуденко, В. И. Ожогину ,
А. О. Раевскому и Л. Ф. Соловейчику, чьи советы и замечания помогли выстроить концепцию книги и устранить (замеченные) неточности, а также С. Н. Бурмистрову, взявшему на себя труд прочтения рукописи и указавшему на ряд существенных погрешностей в
ее первоначальном варианте.
Все оставшиеся ошибки, неточности и опечатки — целиком на
совести автора.

Г Л А В А
1

КОНДЕНСИРОВАННАЯ СРЕДА —
ТЕПЛОВЫЕ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ
СВОЙСТВА

Я бы... заключил из сцепления частиц кристалла, что они притягивают одна другую
некоторой силой, которая очень велика при
непосредственном соприкосновении и производит на малых расстояниях... химические
действия, но не простирается со значительным действием на большие расстояния.

И. Ньютон

Традиционная, основанная на относительно простых
моделях и описываемая сравнительно простыми математическими
методами, так называемая общая физика твердого тела имеет, как
правило, дело с кристаллическими телами, характеризуемыми периодическим расположением атомов в кристалле. В то же время,
существует понятие конденсированного состояния, которое обычно употребляют по отношению к аморфным твердым телам и к
жидкостям. Общее между ними — то, что среднее расстояние между структурными единицами, из которых состоит система (атомы,
молекулы и т. д.), сравнимо с размером самих этих частиц. Это
отличает конденсированное состояние от разреженного состояния
(газ, пар и т. д.), где это расстояние велико по сравнению с размером составляющих его частиц.
В разреженных системах взаимодействие между этими частицами мало (в сравнении, например, с кинетической энергией теплового движения) и часто может быть опущено (пример — идеальный газ). Напротив, в конденсированных телах взаимодействие
между частицами сравнительно велико (во многих «обычных» кристаллах — порядка типичной атомной энергии 1 эВ) и непременно должно приниматься во внимание. Далее, в кристаллах имеется дальний порядок, который приводит к периодичности внутрикристаллического поля. Это существенно упрощает математиче

Глава 1. Cвойства конденсированной среды

ское описание кристаллических тел, поскольку решения соответствующих уравнений также периодичны (с периодом, определяемым строением кристалла). В то же время, в конденсированных,
но некристаллических, телах дальний порядок отсутствует и получение соответствующих непериодических решений, как правило,
затруднительно.
Однако даже в некристаллических конденсированных телах часто сохраняется ближний порядок (простирающийся на расстояние
порядка нескольких межчастичных интервалов). Часто этого оказывается достаточно для того, чтобы при переходе из кристаллического состояния в аморфное состояние или обратно (плавление или
замерзание) многие тепловые и электрические свойства тел (например, теплоемкость и электропроводность) менялись сравнительно
слабо. Это подтверждается многочисленными экспериментальными
фактами.
Хотя в настоящей главе мы, главным образом, будем рассматривать свойства твердых тел на основе кристаллической модели, многие из них мало меняются при переходе к неупорядоченному конденсированному состоянию. Среди них — теплоемкость и теплопроводность, электронная проводимость и др. В этом случае обращение к упорядоченным средам (кристаллам) связано с возможностью использования гораздо более простого математического аппарата.

1.1.
КОНДЕНСИРОВАННАЯ СРЕДА — СИЛЫ
И ЭНЕРГИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ АТОМОВ

Связь атомов в твердом теле обусловлена взаимодействием их валентных электронов. Устойчивое состояние кристалла
возможно в том случае, когда его полная энергия U, включающая
кинетическую энергию Ukin движения отдельных частиц (например, их тепловые колебания) и потенциальную энергию Upot их взаимодействия, меньше суммарной энергии Uat свободных атомов.
Разница этих энергий Uat − U > 0 называется энергией связи.
Потенциальную энергию взаимодействия, обеспечивающую существование кристалла, удобно для сравнения приводить в расчете
на один атом. (В кристаллохимии эту энергию принято выражать
в расчете на один моль в единицах кДж/моль ≈ 0,01 эВ/атом или
ккал/моль ≈ 0,04 эВ/атом.)
Существуют различные виды взаимодействия атомов в кристаллах, отвечающие различным типам связи (в порядке убывания типичной энергии взаимодействия) (табл. 1.1).

1.1. Взаимодейсвие атомов
11

Таблица 1.1. Типичная энергия притяжения атомов для различных типов
взаимодействия

Тип связи
Энергия, эВ

Ионная
1–10

Ковалентная
3

Металлическая
1

Водородная
0,1–1

Ван-дер-Ваальсова
0,001–0,01

Рассмотрим более подробно физическую природу и характеристики этих взаимодействий.

1.1.1.
Ионная связь

Этот тип связи возникает в ионных кристаллах, состоящих из разноименно заряженных ионов (например, в щелочногалоидных кристаллах LiF, NaCl, KBr и др.). Обеспечивается
эта связь кулоновским взаимодействием между ионами и потому
ненаправлена и ненасыщенна.
Кулоновская энергия взаимодействия ионов равна

U = − 1

2

i̸=k

zizke2

rik
,
(1.1)

где rik — расстояние между ионами i и k, zie и zke — их заряды.
Величина этой суммы зависит от типа кристаллической решетки.
В силу знакопеременности членов соответствующего ряда он медленно сходится, так что точное вычисление этой суммы — не простая задача. Однако ясно, что по порядку величины

|U| = Me2

ℓ ,
(1.2)

где ℓ — расстояние между ближайшими соседями с зарядами разного знака, M ∼ 1 — так называемая константа Маделунга. Например, численное значение этой константы для простой кубической
решетки типа NaCl равно M ≈ 1,748. Для ℓ = 2,5 · 10−8 см это дает
U ≈ 6 эВ.
Ионная модель позволяет вычислить теоретическую прочность
кристалла, т. е. сопротивление разрыву под действием внешней силы. Наибольшим сопротивлением разрыву обладают плоскости, состоящие из ионов противоположного знака (например, в кубической решетке чередующихся ионов разного знака это — плоскости,
перпендикулярные диагонали куба). Сила притяжения между ними

Глава 1. Cвойства конденсированной среды

(на единицу площади) есть P = E2/(8π), где E = 2πσ — электрическое поле, создаваемое одной из плоскостей с плотностью поверхностного заряда σ ∼ e/r2. Итак, P ∼ e2/r4 ∼ 300 кГ/мм2. Найденная величина соответствует теоретической прочности, т. е. верхнему пределу прочности кристалла. Измеряемая на опыте техническая прочность всегда ниже за счет дефектов кристалла.
В этой связи упомянем о так называемом эффекте Иоффе, который состоит в повышении прочности кристаллов при сглаживании их поверхности. Такое «сглаживание» достигается, например,
медленным растворением кристалла с микротрещинами в растворителе. При этом кристалл лучше всего растворяется вдоль микротрещин, и они исчезают. Так, кристалл поваренной соли (NaCl)
с первоначальной прочностью 0,45 кГ/мм2 после процедуры удаления трещин приобретает прочность 160 кГ/мм2.

1.1.2.
Ковалентная связь

Ковалентная связь (иначе называемая обменной) также является кулоновской по своей природе. В диэлектрических кристаллах, состоящих из одинаковых атомов (например, Si, Ge, алмаз), разноименных ионов нет. Поэтому в отличие от ионной связи
в таких кристаллах прямое электростатическое притяжение между атомами отсутствует, и межатомное взаимодействие возникает
за счет перекрытия электронных оболочек близко расположенных
нейтральных атомов. Эффективно перекрываются волновые функции внешних (валентных) электронов атомов, поэтому эффективное число таких связей, образуемых каждым атомом со своими
соседями, тем выше, чем больше число валентных электронов (например, для элементов IV группы Si, Ge — четыре.) Ковалентная
связь направленна и насыщенна, причем одинарная связь всегда
слабее, чем кратные связи (двойная и тройная) между теми же
атомами (табл. 1.2).

Таблица 1.2. Энергия ковалентной связи

Связь
Энергия связи, эВ

C——C, C——O
3

C——
——C, C——
——O
6–7

C——
——
——C, C——
——
——O
8–10

Число соседей атома в кристалле с ковалентной связью (координационное число c) и геометрия окружения определяются правилом

1.1. Взаимодейсвие атомов
13

Юм–Розери: c = 8 − N, где N — количество электронов, необходимое для достройки внешней оболочки атома до замкнутой. При
образовании связи между разными атомами она не может быть полностью ковалентной: электронная пара в большой степени принадлежит одному из партнеров. Если различие между атомами очень
велико, то возникает ионная связь. В общем случае говорят о степени f ионности химической связи, которая может изменяться от 1
(для ионной связи) до 0 (ковалентная связь). Например, f = 0,98
для KF, f = 0,6 для CdS, f = 0,35 для GaAs.
Существование кристалла в той или иной форме определяется
тем, какая из возможных структур обладает наименьшей энергией.
Сложность предсказания этой структуры связана с тем, что разница в энергиях различных структур часто очень мала и не может
быть теоретически расчитана с нужной точностью. Близость энергий различных структур приводит к возможности сосуществования
различных фаз или к смене фаз при изменении температуры. Например, углерод при комнатной температуре может существовать
в четырех разных формах: графит (стабильная фаза с наименьшей энергией), алмаз, гексагональный алмаз и аморфное состояние. Другой пример — железо: при комнатной температуре оно
имеет объемно-центрированную кубическую (ОЦК) структуру, в
интервале температур 910–1400◦С — гранецентрированую кубическую (ГЦК), а при T > 1400 ◦С — снова ОЦК.

1.1.3.
Металлическая связь

В металлическом кристалле электроны внешних оболочек атомов коллективизированы: положительно заряженные остовы атомов «плавают» в отрицательно заряженном электронном газе, оставаясь, однако, в узлах кристаллической решетки. В металле, поэтому, межатомные связи не имеют направленности, а структура кристалла отвечает требованию плотной упаковки, либо близка к таковой: из 60 типичных металлов Периодической системы
40 кристаллизуются в плотных кубической (ГЦК) или гексагональной структурах с координационным числом c = 12, а еще 15 — в
объемно-центрированной кубической (c = 8). Иногда реализуется
также тетрагональная, простая гексагональная и другие более сложные структуры, но гораздо реже, чем три названные выше.
Энергию взаимодействия атомов в металле можно условно рассматривать в рамках ионной модели, считая, что электростатическое притяжение остовов атомов и свободных электронов приводит
к возникновению сил притяжения. Последние уравновешиваются

Глава 1. Cвойства конденсированной среды

силами отталкивания, обусловленными высокой плотностью электронов. Они связаны преимущественно с давлением электронного
газа, зависящим от его плотности, но не от температуры (см. ниже).

1.1.4.
Ван-дер-Ваальсова связь

Впервые слабое притяжение между нейтральными атомами и молекулами было учтено Ван-дер-Ваальсом в уравнении
состояния для реальных газов. Силы Ван-дер-Ваальса действуют
во всех кристаллах без исключения, но в чистом виде проявляются
только в кристаллах инертных газов с заполненными электронными оболочками. При низких температурах они конденсируются и
образуют кристаллы, построенные по принципу плотных упаковок,
а именно — кубическую гранецентрированную структуру.
В сильно упрощенном виде механизм межатомного притяжения в таких кристаллах состоит в следующем. В каждый момент
времени система «электроны — атомный остов» представляет собой мгновенный диполь с моментом p1 ∼ ea, где a — радиус атома. Электрическое поле этого диполя индуцирует мгновенный диполь в соседнем атоме. Взаимная ориентация этих диполей всегда
приводит к появлению слабых сил притяжения, называемых иногда дисперсионными силами. (Они связаны с поляризацией атомов, определяющей оптические свойства кристалла — дисперсию
света.) Эти силы убывают с расстоянием r между атомами гораздо

Рис. 1.1. Поляризация атома во внешнем электрическом поле

быстрее, чем кулоновские силы. Действительно, дипольный момент p1 одного из атомов создает на другом атоме
электрическое поле E1 ∼ p1/r3, которое
индуцирует на нем дипольный момент
p2 ∼ αE1 ∼ αp1/r3, где α ∼ a3 — поляризуемость атома.
Оценку поляризуемости водородоподобного атома легко провести на основе следующих соображений (рис. 1.1).
В отсутствие внешнего электрического поля E на электрон действует направленная к центру кулоновская сила
F1 ∼ e2/a2. Во внешнем электрическом
поле плоскость вращения электрона под
действием силы F2 ∼ eE смещается относительно центра атома в
направлении, параллельном этому полю, на некоторое расстояние x. При этом атом приобретает электрический момент p = ex.