Автоэлектронные катоды и пушки

А.С. БУГАЕВ, Е.М. ВИНОГРАДОВА, Н.В. ЕГОРОВ, Е.П. ШЕШИН

АВТОЭЛЕКТРОННЫЕ  
КАТОДЫ И ПУШКИ

À.Ñ. Áóãàåâ, Å.Ì. Âèíîãðàäîâà, Í.Â. Åãîðîâ, Å.Ï. Øåøèí
Àâòîýëåêòðîííûå êàòîäû è ïóøêè: Ìîíîãðàôèÿ / À.Ñ. Áóãàåâ, Å.Ì. Âèíîãðàäîâà, Í.Â. Åãîðîâ, Å.Ï. Øåøèí – Äîëãîïðóäíûé: Èçäàòåëüñêèé Äîì «Èíòåëëåêò», 2017. – 288 ñ.

ISBN 978-5-91559-241-3

Ìîíîãðàôèÿ ïîñâÿùåíà ñèñòåìàòè÷åñêîìó èçëîæåíèþ òåîðåòè÷åñêèõ è ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ìåòîäîâ ìîäåëèðîâàíèÿ è ðàñ÷åòà ñèñòåì ôîðìèðîâàíèÿ è óïðàâëåíèÿ ýëåêòðîííûìè ïó÷êàìè íà îñíîâå àâòîýëåêòðîííûõ êàòîäîâ äëÿ âàêóóìíîé ìèêðîè íàíîýëåêòðîíèêè.
Èçëàãàþòñÿ ïðèíöèïû ïîñòðîåíèÿ è èçìåðåíèÿ ïàðàìåòðîâ
ýëåêòðîííûõ ïóøåê ñ îäèíî÷íûìè îñòðèéíûìè è ìíîãîîñòðèéíûìè àâòîêàòîäàìè. Äàííàÿ ìîíîãðàôèÿ ÿâëÿåòñÿ íàó÷íûì
òðóäîì, â êîòîðîì ïðåäñòàâëåíû êàê ìàòåìàòè÷åñêèå, òàê è òåõíè÷åñêèå òðóäíîñòè ïðè ðàñ÷åòå, ïðîåêòèðîâàíèè è èçãîòîâëåíèè àâòîýìèññèîííûõ ñèñòåì è ìåòîäû èõ ïðåîäîëåíèÿ.
Ìîíîãðàôèÿ ïðåäíàçíà÷åíà äëÿ ñïåöèàëèñòîâ â îáëàñòè ìàòåìàòè÷åñêîãî è ýêñïåðèìåíòàëüíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïðèáîðîâ
âàêóóìíîé ìèêðî- è íàíîýëåêòðîíèêè. Îíà áóäåò ïîëåçíà äëÿ
èíæåíåðîâ-ðàçðàáîò÷èêîâ, à òàêæå äëÿ ñòóäåíòîâ ñòàðøèõ êóðñîâ è àñïèðàíòîâ â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ ïðèêëàäíîé ôèçèêè è
ýëåêòðîíèêè.

© 2017, À.Ñ. Áóãàåâ, Å.Ì. Âèíîãðàäîâà,
Í.Â. Åãîðîâ, Å.Ï. Øåøèí
© 2017, ÎÎÎ «Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», îðèãèíàë-ìàêåò,
îôîðìëåíèå

ISBN 978-5-91559-241-3

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Глава 1. Математические модели многоэлектродных систем . . . . .
21

§ 1.1. Расчет электростатического поля системы бесконечно тонких сферических луночек, расположенных на неконцентрических сферах
22
1.1.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.1.2. Математическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.1.3. Решение граничной задачи (1.1.1) . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.1.4. Случай постоянных значений потенциала на электродах .
28
§ 1.2. Расчет электростатического поля системы бесконечно тонких сферических луночек, расположенных на концентрических сферах. .
30
1.2.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.2.2. Математическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.2.3. Решение граничной задачи (1.2.1) . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.2.4. Случай постоянных значений потенциала на электродах .
34
§ 1.3. Расчет поля системы соосных дисков . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
1.3.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
1.3.2. Математическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
1.3.3. Решение граничных задач (1.3.1)–(1.3.3) . . . . . . . . . . . .
37
§ 1.4. Расчет поля системы соосных круговых диафрагм, разделяющих
области с различными диэлектриками . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
1.4.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
1.4.2. Математическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
1.4.3. Решение граничной задачи (1.4.1). . . . . . . . . . . . . . . . .
46
§ 1.5. Расчет поля системы соосных круговых дисков и диафрагм . . .
53
1.5.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
1.5.2. Математическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
1.5.3. Решение граничной задачи (1.5.1). . . . . . . . . . . . . . . . .
54

Автоэлектронные катоды и пушки

Глава 2. Математические модели многоэмиттерных систем . . . . .
61
§ 2.1. Моделирование многоэмиттерных систем с помощью системы зарядов в прямоугольной решетке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.1.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.1.2. Математическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2.1.3. Решение граничной задачи (2.1.1) . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
§ 2.2. Моделирование одиночного острия с помощью системы зарядов
в прямоугольной ограниченной области . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
2.2.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
2.2.2. Математическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
2.2.3. Решение граничной задачи (2.2.1) . . . . . . . . . . . . . . . .
72
§ 2.3. Моделирование осесимметричных многоэмиттерных систем с помощью системы зарядов в гексагональной решетке . . . . . . . . . .
75
2.3.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
2.3.2. Математическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
2.3.3. Решение граничной задачи (2.3.1) . . . . . . . . . . . . . . . .
77
§ 2.4. Моделирование осесимметричного одиночного острия с помощью
системы зарядов в цилиндрической ограниченной области . . . . .
82
2.4.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
2.4.2. Математическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
2.4.3. Решение граничной задачи (2.4.4) . . . . . . . . . . . . . . . .
84
2.4.4. Решение граничной задачи (2.4.5) . . . . . . . . . . . . . . . .
85
§ 2.5. Моделирование осесимметричного одиночного острия с помощью
системы зарядов в цилиндрической неограниченной области . . .
89
2.5.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
2.5.2. Математическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
2.5.3. Решение граничной задачи (2.5.4) . . . . . . . . . . . . . . . .
91
2.5.4. Решение граничной задачи (2.5.5) . . . . . . . . . . . . . . . .
92
§ 2.6. Моделирование периодической многоэмиссионной системы автоэлектронных катодов произвольной формы с помощью системы
зарядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
2.6.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
2.6.2. Математическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
2.6.3. Решение граничной задачи (2.6.3) . . . . . . . . . . . . . . . .
97
2.6.4. Решение граничной задачи (2.6.4) . . . . . . . . . . . . . . . .
99
§ 2.7. Моделирование периодической системы осесимметричных автоэлектронных катодов произвольной формы с помощью системы
круговых заряженных нитей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
2.7.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
2.7.2. Математическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
2.7.3. Решение граничной задачи (2.7.3) . . . . . . . . . . . . . . . .
105
2.7.4. Решение граничной задачи (2.7.4) . . . . . . . . . . . . . . . .
106

Оглавление
5

Глава 3. Математические модели катодных узлов автоэлектронных
пушек (острийных диодных и триодных систем) . . . . . . . . . .
108
§ 3.1. Математическая модель электронной пушки: автоэлектронный катод (сфера на конусе) — анод (сфера) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
3.1.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
3.1.2. Математическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
3.1.3. Решение граничной задачи (3.1.1). . . . . . . . . . . . . . . . .
110
3.1.4. Эмиссионные характеристики диодной системы . . . . . . .
111
§ 3.2. Математическая модель диодной системы: автоэлектронный катод
(сфера на веретенообразной поверхности вращения) — анод (сфера).
112
3.2.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
3.2.2. Метод разделения переменных при решении граничных задач в бисферической системе координат . . . . . . . . . . . .
114
3.2.3. Математическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
3.2.4. Решение граничной задачи (3.2.13) . . . . . . . . . . . . . . . .
117
§ 3.3. Математическая модель диодной системы: автоэлектронный катод
(с «кратером») — анод (сфера) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
3.3.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
3.3.2. Математическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
3.3.3. Решение граничной задачи (3.3.1) . . . . . . . . . . . . . . . .
120
§ 3.4. Математическая модель триодной системы: автоэлектронный катод (сфера на веретенообразной поверхности вращения) на сферической подложке — анод (часть сферы) . . . . . . . . . . . . . . . .
122
3.4.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
3.4.2. Математическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
3.4.3. Решение граничной задачи (3.4.7) . . . . . . . . . . . . . . . .
124
§ 3.5. Математическая модель триодной системы: автоэлектронный катод
(сфера на конусе) на сферической подложке — анод (часть сферы).
129
3.5.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
3.5.2. Математическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
3.5.3. Решение граничной задачи (3.5.1) . . . . . . . . . . . . . . . .
130
3.5.4. Решение граничной задачи (3.5.2) . . . . . . . . . . . . . . . .
132
§ 3.6. Математическая модель триодной системы: автоэлектронный катод
(проводящая сфера на диэлектрической веретенообразной поверхности вращения) на сферической подложке — анод (часть сферы) .
133
3.6.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133
3.6.2. Математическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
3.6.3. Решение граничной задачи (3.6.1) . . . . . . . . . . . . . . . .
134

Глава 4. Основные типы автоэлектронных катодов
для электронных пушек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
§ 4.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
§ 4.2. Острийные и многоострийные автокатоды . . . . . . . . . . . . . . .
143

Автоэлектронные катоды и пушки

§ 4.3. Технология изготовления острийных автокатодов . . . . . . . . . .
154
§ 4.4. Автокатоды из углеродных наноструктурированных материалов
168
4.4.1. Углеродные волокна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
169
4.4.2. Углеродные нановолокна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177
4.4.3. Углеродные нанотрубки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
179

Глава 5. Общие принципы построения и измерения параметров
электронных пушек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
185

§ 5.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
185
§ 5.2. Обеспечение необходимых параметров электронной пушки . . . .
187
5.2.1. Методы локализации автоэмиссии . . . . . . . . . . . . . . . .
187
5.2.2. Дифференциальная откачка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
190
5.2.3. Термоавтоэлектронные пушки . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191
§ 5.3. Методы фокусировки электронного пучка . . . . . . . . . . . . . . .
195
5.3.1. Электростатическая фокусировка . . . . . . . . . . . . . . . . .
195
5.3.2. Магнитная фокусировка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
202
5.3.3. Комбинированная фокусировка . . . . . . . . . . . . . . . . . .
203
§ 5.4. Способы стабилизации электронного пучка . . . . . . . . . . . . . .
205
§ 5.5. Методы измерения параметров электронных пучков . . . . . . . .
211
5.5.1. Измерение общего тока пучка . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211
5.5.1.1. Цилиндр Фарадея [47]. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211
5.5.1.2. Магнитоиндукционные преобразователи [50] . . .
212
5.5.1.3. Преобразователи Холла . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213
5.5.2. Измерение профиля пучка электронов . . . . . . . . . . . . .
216
5.5.2.1. Зондовый метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
216
5.5.2.2. Люминесцентные экраны . . . . . . . . . . . . . . . . .
218
5.5.2.3. Микроканальные пластины [50, 59, 60] . . . . . . .
219

Глава 6. Примеры построения электронных пушек с автокатодами
222

§ 6.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
222
§ 6.2. Электронные пушки с одиночными острийными катодами . . . .
222
§ 6.3. Электронные пушки с многоострийными автокатодами . . . . . .
230
§ 6.4. Электронные пушки с автокатодами из углеродных нанотрубок.
239
§ 6.5. Электронные пушки с автокатодами из углеродных волокон . . .
242
§ 6.6. Электронные пушки на основе углеродных наноструктур . . . . .
249
§ 6.7. Увеличение мощности электронных пушек с автокатодами . . . .
250

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
256

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
286

ВВЕДЕНИЕ

Развитие теории и практики электронных пучков имеет свою сложную историю, тесно связанную с общим развитием фундаментальных и
прикладных наук (см., например, [23, 63, 70, 71, 89, 143, 154, 191, 196]),
методов математического моделирования, численного и компьютерного эксперимента, а также, в первую очередь с развитием важнейшего
направления вакуумной электроники, — электронной оптики, основу
которой составляют процессы формирования, транспортировки и управления пучками заряженных частиц электрическими и магнитными полями, синтеза и оптимизации электронно- и ионно-оптических систем
[66, 67, 84, 97, 107–109, 114, 219], а также методов математического
моделирования, численного эксперимента, с развитием компьютерной
техники [153, 173].
Бурное развитие электронной оптики, начиная с 20-х годов прошлого столетия, во многом объясняется потребностями новых направлений
науки и техники таких, как физика высоких энергий, ядерная физика, СВЧ-электроника, элементный и структурный анализ материалов. В
результате были созданы принципиально новые приборы, позволившие
получить уникальные сведения об окружающем нас мире как фундаментального, так и прикладного характера. В настоящее время электронная оптика не утратила своей актуальности и продолжает развиваться. Большое стимулирующее влияние при этом оказывают ее приложения в микро- и наноэлектронике, диагностике материалов, обработке поверхностей.
В связи с открытием эмиссионных свойств углеродных материалов в
последние десятилетия значительно возрос интерес к разработке электронных приборов на основе автоэлектронных катодов (АЭК) [3–5, 15,
17, 19, 21, 52, 53, 83, 96, 110, 116, 200, 218, 224, 225]. Этот интерес
обусловлен тем, что решение одной из важнейших задач современной
микро- и наноэлектронной технологии — освоение нанометрового диапазона — возможно только на основе диагностического и технологиче

Автоэлектронные катоды и пушки

ского оборудования с использованием электронных зондов. При этом,
задачи освоения нанометрового диапазона принципиально может быть
осуществлено только при условии применения в соответствующих электронно-оптических системах (ЭОС) в качестве эмиттера — автоэлектронного катода [1, 88, 92, 126, 129, 131, 160, 195, 202]. АЭК по всем
наиболее важным характеристикам превосходит и широкоприменяемые
на практике термоэмиссионные катоды и практически не применяемые
фотоэмиссионные [194]. Так АЭК позволяют получать плотности токов
до 1010 А/см2, на несколько порядков превышающие плотности токов
как термокатодов, так и фотокатодов. Кроме того, и плотность тока на
единицу телесного угла для АЭК также значительно выше, чем для
других типов источников [60, 64, 142, 168]. И поэтому АЭК известны как источники с большой электронной яркостью. Достигаемые с
их помощью значения яркости превышают 107 А/см2 · ср, в то время
как широкоприменяемый термоэмиссионный катод дает значения порядка 104 А/см2 · ср. Несколько большие значения можно получить при
использовании для изготовления термокатодов материала с меньшей
работой выхода φ, например, LaB6. Но и в этом случае приблизиться
к значениям, которые могут обеспечить ПК, не удается. Еще одним
принципиально, по-видимому, самым важным достоинством ПК, существенно отличающим их от термокатодов (особенно, если иметь ввиду их применение в приборах для пучковой диагностики поверхности:
дифракция медленных электронов — ДМЭ, электронная оже-спектроскопия — ЭОС, и т. д.) является возможность получения с их помощью практически монокинетического электронного пучка. Если термокатоды «гарантируют» полуширину энергетического распределения
в несколько электрон-вольт (эВ), то для АЭК полуширина составляет
десятые доли эВ.
Зависимость плотности тока j автоэлектронной эмиссии (АЭЭ) от
напряженности поля E у поверхности катода дается известной формулой Фаулера–Нордгейма, разработанной для случая АЭЭ из металлических АЭК [63, 140, 198]

j = AE2 exp
−B

E

,

где A и B — известные в теории АЭЭ функции, зависящие от напряженности электрического поля у поверхности эмиттера и работы выхода материала эмиттера (см. формулу (4.1), разд. 4.2). Данная формула
показывает существенное отличие характера автоэлектронной эмиссии
от фото- и термоэмиссии, так как в случае АЭЭ поле, создаваемое электродами системы, выполняет двойную роль: во-первых, вызывает эмис

Введение
9

сию, а, во-вторых, обладает электронно-оптическими свойствами. Следовательно, задача фокусировки и транспортировки электронного пучка
должна решаться совместно с задачей получения требуемых эмиссионных характеристик системы.
Исходя из сказанного, можно сделать очевидный вывод, что принципиально совокупные характеристики АЭК значительно превосходят
соответствующие характеристики как термокатодов, так и других типов
электронных источников (в частности взрывных катодов [26, 68]).
Внедрение АЭК в практику пучковой диагностики значительно улучшит характеристики электронноспектроскопических приборов, позволит развивать науку о диагностики поверхности на более высоком
уровне.
Также в последнее время ведутся интенсивные исследования по улучшению эмиссионных характеристик автоэлектронных эмиттеров (возрастание тока эмиссии, сужение эмиттирующей площади, повышение
стабильности тока) за счет применения тонких пленок (например, вольфрамовые и молибденовые острия, покрытые пленкой карбида циркония
[18, 179]; кремниевые острия, покрытые молибденом [193], диэлектрическое покрытие металлического острия [184]). Достаточно успешно решается и проблема увеличения величин интегрального тока, получаемого с помощью АЭК.
Однако, следует учитывать что катод работает не обособленно (не
изолированно) от остальных элементов электронно- или ионно-оптической системы. Работа любого катода определяется не только фундаментальными — внутренними физическими процессами, но и внешними — в частности, системой специальных электродов, составляющих
вместе с катодом ЭОС соответствующего электровакуумного прибора и позволяющих при приложении к ним необходимых напряжений
обеспечить фокусировку и транспортировку электронного пучка, эмитируемого катодом. Здесь особо следует отметить, что роль электродов существенно возрастает при использовании в качестве катода —
АЭК. Как известно, автоэлектронный катод конструктивно представляет собой очень тонкое острие с радиусом кривизны при его вершине, обычно равным < 1 мкм. Придание АЭК формы острия позволило
Э. Мюллеру [81] и его многочисленным последователям (см., например,
[24, 25, 59, 222]) получить при сравнительно небольших напряжениях
(от единиц до десятков киловольт — кВ) интенсивную автоэлектронную
эмиссию. Поскольку возбуждение эмиссии в этом случае осуществляется сильным электрическим полем (E ≈ 107 В/см), на практике получаемым в результате приложения напряжения между АЭК и первым (близлежащим к катоду) электродом. То есть в случае АЭК с

Автоэлектронные катоды и пушки

помощью системы дополнительных электродов (ЭОС) осуществляется не только транспортировка и фокусировка пучка, но и управление
как эмиссионной способностью эмиттера, так и самим электронным
пучком.
Очевидно, что простейшей ЭОС является двухэлектродная (катод
и второй электрод, чаще всего имеющий форму круглой диафрагмы, и
называемый в зависимости от назначения — анодом, экстрактором и
т. д.). Но, вследствие необходимости устранения недостатков эмиттеров и сохранения таких характеристик как: 1) величина максимальной
плотности тока, 2) однородность эмиссии, 3) способность работать в
определенной среде, 4) «время жизни» катода при заданных условиях работы, 5) яркость, 6) первеанс, 7) миттанс и некоторые другие —
большинство электровакуумных приборов имеют более сложную (чем
двухэлектродная) ЭОС, состоящую из некоторой совокупности иммерсионных, а в некотором случае и сочетания иммерсионных и квадрупольных линз, позволяющих довести пучок до обьекта или анализирующего приемника.
Однако, если проблема расчета и создания ЭОС на базе термокатодов может считаться решенной (см., например, [80, 177, 185]), эта
задача применительно к АЭК в настоящее время ждет своего решения.
Имеющиеся в настоящее время отдельные работы по этому вопросу
([112, 157, 188], см. также гл. 1), пока не позволили решить практически
ни одной проблемы.
Естественный путь решения стоявших перед нами проблем — эксперимент [75, 76]. Однако с повышением сложности экспериментальных
установок, с необходимостью применения высокого напряжения, прецизионных измерительных приборов, сверхвысокого вакуума, привлечением высококвалифицированного персонала, а именно, все это имеет
место в нашем случае, практическая реализация экспериментальных
исследований, хотя и является принципиально осуществимой, связана с большими временными и материальными затратами. Кроме того,
интерпретация полученных результатов часто затруднена. Здесь на помощь приходят методы вычислительной математики, математического
моделирования и численного эксперимента с применением высокоэффективных, быстродействующих ЭВМ, которые во многих областях физики и техники имеют даже определенное преимущество в отношении
быстроты, экономичности, а часто и точности по сравнению с реальным
экспериментом. При этом встает важная задача создания математических моделей и эффективных методов их анализа. Детальный количественный анализ таких моделей необходим при сравнении теории и
эксперимента. Он становится важным элементом проектирования, что

Введение
11

позволяет предварительно проанализировать возможности нового прибора, или как в нашем случае, одного из элементов электровакуумного
прибора системы формирования и транспортировки пучка заряженных
частиц.
Таким образом, актуальность моделирования систем формирования
и транспортировки пучка заряженных частиц на основе автоэлектронного эмиттера определяется необходимостью теоретического обоснования новых технологий пучковой диагностики и приборов современной
твердотельной микро- и наноэлектроники на базе автоэлектронных
катодов.
Системы формирования и управления пучками заряженных частиц
на основе электростатических иммерсионных линз широко используются в различных областях приборостроения как традиционных —
в приборах, использующихся в астрономии, медицине, радиотехнике,
физике и т. д., так и новых. В последнее время исследуются методы
фокусировки пучков малой интенсивности. Такие пучки применяются при диагностике поверхности твердотельных структур методами
неразрушающего контроля (дифракция медленных электронов — ДМЭ,
электронная оже-спектроскопия и другие). Активное развитие в аналитическом приборостроении в последние годы получила сканирующая
туннельная микроскопия [54, 133, 190]. Обязательным элементом всех
этих устройств является электронно-оптическая система (ЭОС). ЭОС
представляют собой сложные конструкции, первым этапом практической реализации которых является математическое моделирование.
Построение математических моделей позволяет свести и расчеты основных параметров ЭОС к решению ряда достаточно строгих математических задач.
Решение проблем, связанных с разработкой и оптимизацией характеристик современных электронно-вакуумных приборов, обуславливают необходимость создания эффективных методов их расчета, как, например, в работах В. А. Сырового [99–106].
Первоочередной задачей является исследование свойств и конфигураций электрических и магнитных полей, обеспечивающих необходимую конфигурацию пучка, его фокусировку и транспортировку. Существуют как экспериментальные, так и расчетные методы определения
полей, на основе которых происходит исследование характеристик ЭОС.
Экспериментальные методы включают в себя измерения в электролитической ванне, на сетке сопротивлений и некоторые другие [27, 117, 189].
К недостаткам экспериментальных методов нахождения полей следует
отнести громоздкость аппаратуры и сравнительно малую точность измерений. В настоящее время в связи с мощным развитием вычислительной техники и, прежде всего, высокопроизводительных кластеров, экс

Автоэлектронные катоды и пушки

периментальные методы почти полностью вытеснены расчетными методами, которые можно разделить на аналитические и численные [2,
14, 69, 77, 78]. К наиболее широко применяемым аналитическим методам относятся: 1) метод конформных преобразований, 2) метод интегральных уравнений (метод зарядовой плотности), 3) метод разделения
переменных.
Метод конформных преобразований применяется при расчете полей двумерных, цилиндрических, квадрупольных ЭОС [12, 72, 98, 104,
105, 115]. Основой его является построение функции комплексного переменного, регулярной в рассматриваемой области и осуществляющей
ее конформное отображение на некоторую другую область, для которой решение уравнения Лапласа для рассматриваемой задачи известно. Сложности применения данного метода обусловлены тем, что константы, входящие в функцию, осуществляющую конформное преобразование, зависят от геометрических параметров ЭОС и находятся при
решении систем трансцендентных уравнений. Основным ограничением
применения метода конформных преобразований является, очевидно,
то, что далеко не для всякой рассматриваемой области удается построить функцию, осуществляющую конформное преобразование на каноническую область. Данный метод используется и при решении проблем
расчета формирующих электродов, обеспечивающих реализацию пучка
нужной конфигурации, так и при постановке и решении обратной задачи — задачи синтеза. В задаче синтеза необходимо расчитать ЭОС,
обеспечивающую реализацию пучка с некоторыми наперед заданными свойствами [82,90], при этом необходимым этапом решения задачи
является «распрямление» границы потока при соответствующем выборе конформного отображения. Из ряда работ [103, 221, 223], в которых особенно эффективно применен указанный метод, следует выделить работу [223], посвященную расчету полей и траекторий электронов в одиночной линзе и системе иммерсионных электростатических
конических щелевых линз. Расчет полей производился с применением конформных отображений и преобразований Шварца–Кристоффеля.
Схожий метод использовался также и при расчете распределения поля
полубесконечной круглой головки с произвольным скосом полюсного
наконечника в [221].
Метод интегральных уравнений основан на представлении потенциала в пространстве в виде интеграла по поверхности электродов системы с известным ядром и неизвестной функцией плотности в качестве подынтегральных функций (потенциалы простого или двойного
слоя). Эквипотенциальные поверхности электродов заменяются поверхностными зарядами, распределенными с некоторой плотностью. Так как
известен потенциал на границе системы, то функция плотности ищется

Введение
13

из условия равенства интеграла значению потенциала в системе точек
на границе. Первый этап метода состоит в нахождении распределения
зарядовой плотности на электродах, второй — в определении потенциала во всем пространстве. Основная трудность этого метода связана с необходимостью решения интегрального уравнения, связывающего значения потенциала на границе с распределением поверхностной
плотности зарядов. Для большинства линз аналитическое решение подобных интегральных уравнений невозможно, поэтому они заменяются
системами линейных алгебраических уравнений, что дает возможность
получить приближенное решение. Имеются и другие способы аппроксимации поверхностной плотности зарядов. Широкое применение метода
интегральных уравнений в последнее время связано с возможностью
использования быстродействующих ЭВМ с большим объемом памяти,
обеспечивающих при расчетах достаточную точность и небольшое время счета.
Метод разделения переменных — один из наиболее общих методов решения уравнений в частных производных. Существенным ограничением данного метода является то, что он позволяет находить потенциальное распределение только для довольно простых граничных
условий, когда поверхности электродов представляют собой части координатных плоскостей (например, цилиндры или диафрагмы). Если
же удается подобрать соответствующую систему координат, то решение
уравнения Лапласа представляет собой относительно простую задачу.
В этом случае его можно отнести к методам аппроксимации потенциала
гармоническими полиномами [55, 73, 91, 118, 128].
В целом ряде электронно- и ионно-оптических приборов назначение
фокусирующей линзовой системы состоит не в том, чтобы сформировать электронно-оптическое изображение, а в том, чтобы сконцентрировать на детекторе максимально возможное число частиц, вылетающих из источника в широком диапазоне углов. Такая задача возникает,
например, при исследовании поверхности вещества, когда требуется собрать вылетающие с поверхности заряженные частицы в максимально
большом угле, провести через тракт, включающий масс-спектрометр, и
зарегистрировать детектором. При этом встает вопрос о работе ЭОС
с существенно непараксиальными пучками. Эта проблема отражена в
работе [13]. В ней проведен процесс оптимизации токопрохождения в
одиночной электростатической линзе с цилиндрическими электродами.
В предположении бесконечно узких зазоров между электродами распределение потенциала в такой системе можно получить в аналитическом виде, используя метод разделения переменных.
Существующие аналитические методы, как правило, дают возможность рассчитывать только малую часть используемых на практике си

Автоэлектронные катоды и пушки

стем. При этом, в основном применяются методы параксиальной оптики. Однако, для того, чтобы получить высокую чувствительность прибора при сохранении высокой разрешающей способности, требуется решать задачи расчета широких пучков с большим угловым разбросом.
Подобные задачи до сих пор решались в основном численными методами [20, 57, 85, 113, 136, 165, 170, 175, 180, 186], например, методом конечных разностей (метод сеток) [51, 203], или методом конечных
элементов [187, 199]. Их применение является рациональным при расчете систем со сложной формой электродов [94]. Основная трудность
в применении численных методов состоит в том, что решение задачи
должно повторятся для каждой новой совокупности параметров задачи.
Подобные комплексы программ были созданы для расчета транспортирующих систем заряженных частиц — такие, как например, «Дельта»
[86], «Зонд» [74], «SLAC» [156]. Программа «Зонд» позволяла интегрировать электронно-оптическую систему, включающую катодный узел, в
том числе и острийный. Тем не менее, пакеты программ разрабатываются, как правило, с целевой ориентацией на расчет конкретных приборов и являются специализированными для расчета научных приборов, в
большей степени учитывающих их специфику. Например, работа [137]
посвящена сравнению катодных линз различных конфигураций для достаточно высокого разрешения в электронном микроскопе, при расчетах
использовались численные методы. Численный расчет электрического
поля методом сферических элементов, когда при подготовке краевой
задачи область покрывается нерегулярной сеткой (системой звезд или
сферических элементов), размер звезды увеличивается по мере удаления от неоднородностей, представлен в [124]. Для расчета напряженности поля, распределения заряда и пр. в [123] предлагаются соотношения, позволяющие решать подобные задачи. Современные комплексы программ (например, такие, как — Opera, SIMION, CST STUDIO
SUITE, MATLAB PDE Toolbox, COMSOL Multiphysics) представляют
собой специальное или общее программное обеспечение для решения
большого класса электромагнитных задач (не только электростатики,
но и электродинамики). Однако их применение также осложняется тем,
что геометрические размеры рассчитываемых систем с автоэлектронными катодами отличаются на несколько порядков.
Для формирования электронных потоков в электронно-лучевых приборах используются поля, зависящие только от координат и не зависящие от времени (статические поля) [49]. Для управления положением
сформированных пучков электронов используются поля, меняющиеся
во времени, однако, обычно, эти изменения за время пролета электронов управляемого пучка невелики и эти поля можно рассматривать как