Механика. Углубленный курс для биофизиков

МЕХАНИКА
Углубленный курс
для биофизиков

И. В. Огнева 

Ogneva_1.indd   1
Ogneva_1.indd   1
14.05.2014   12:56:00
14.05.2014   12:56:00

MECHANICS

I. V. Ogneva 

Moscow
University Press
2014

Advanced Course 
for Biophysicists

Tutorial

Ogneva_1.indd   2
Ogneva_1.indd   2
14.05.2014   12:56:00
14.05.2014   12:56:00

МЕХАНИКА

И. В. Огнева 

Издательство
Московского университета
2014

Углубленный курс
для биофизиков

Учебное
пособие

Ogneva_1.indd   3
Ogneva_1.indd   3
14.05.2014   12:56:01
14.05.2014   12:56:01

ISBN 978-5-19-010890-3

О38
Огнева И.В.
Механика. Углубленный курс для биофизиков: Учебное 
пособие. — М.: Издательство Московского университета, 
2014. — 96 c.
ISBN 978-5-19-010890-3

В учебном пособии представлен углубленный курс общей и теоретической механики, методология построения которого может быть положена в основу формирования научного подхода к математическому 
моделированию живых систем. 
Пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности высшего образования «Биофизика» и «Медицинская биофизика», 
а также может быть полезно аспирантам и научным работникам, специализирующимся в области биофизики. 
Ключевые слова: теоретическая механика, механика сплошной среды, 
математическое моделирование, биофизика.
УДК 531/534; 577.3
ББК 28.071; 22.2
Ogneva I.V.
Mechanics: Advanced Course for Biophysicists: Tutorial. — 
Moscow: Moscow University Press, 2014. — 96 p.

The proposed tutorial presents an advanced course in general and theoretical mechanics, construction methodology of which can be used as the basis for 
the formation of a scientific approach to the mathematical modeling of living 
systems.
The manual is intended for students majoring in higher education “Biophysics” and “Medical Biophysics” specialties, and may also be useful for postgraduates and researchers working in the field of biophysics.
Key words: theoretical mechanics, continuum mechanics, mathematical 
modeling, biophysics.

© Огнева И.В., 2014
© Издательство Московского университета, 2014

УДК 531/534; 577.3
ББК 28.071; 22.2
 
 О38

Рецензенты:
доктор медицинских наук, академик РАН Е.Е. Никольский,
доктор физико-математических наук, доцент О.Л. Власова

Ogneva_1.indd   4
Ogneva_1.indd   4
12.05.2014   11:18:50
12.05.2014   11:18:50

Оглавление

Введение ................................................................................................  
8

1. Основная задача механики ...........................................................  10

1.1. Понятие пространства .................................................................  10

1.2. Понятие времени .........................................................................  10

1.3. Понятие положения тела ............................................................  11

2. Два вида механики: гипотезы и предположения ..........................  12

2.1. Классическая (ньютоновская) механика ...................................  12

2.2. Релятивистская механика ............................................................  12

3. Модели в физике. Модель материальной точки ..........................  14

3.1. Основные положения модели материальной точки .................  14

3.2. Кинематика материальной точки ...............................................  14

3.3. Понятие связи ..............................................................................  15

3.4. Динамика материальной точки ..................................................  16

3.5. Уравнения баланса для материальной точки ............................  16

3.6. Принцип виртуальной работы для материальной точки .........  18

3.7. Уравнения Лагранжа первого рода ............................................  19

3.8. Вывод уравнений баланса для материальной точки из прин 
ципа виртуальной работы ...........................................................  19

3.9. Принцип Гамильтона ..................................................................  21

3.10. Уравнения Лагранжа второго рода .............................................  22

3.11. Канонические уравнения Гамильтона. Преобразование Ле 
жандра ...........................................................................................  23

4. Модель абсолютно твердого тела .................................................  25

4.1. Основные положения модели абсолютно твердого тела ..........  25

4.2. Кинематика абсолютно твердого тела .......................................  25

 
Представление движения абсолютно твердого тела .................  25

 
Закон сложения скоростей .........................................................  26

 
Закон сложения ускорений .........................................................  27

 
Сложение угловых скоростей и ускорений ...............................  28

Ogneva_1.indd   5
Ogneva_1.indd   5
07.05.2014   14:31:15
07.05.2014   14:31:15

4.3. Динамика абсолютно твердого тела. Уравнения баланса ........  29

 
Закон баланса импульса для абсолютно твердого тела ............  29

 
Закон баланса момента импульса для абсолютно твердого тела  29

4.4. Принцип виртуальной работы для твердого тела. Вывод урав 
нений баланса ..............................................................................  31

5.  Модель сплошной среды ...............................................................  33

5.1. Подходы к изучению реальных тел ............................................  33

5.2. Классические и неклассические среды......................................  36

5.3. Кинематика сплошной среды .....................................................  36

 
Представление движения сплошной среды ...............................  36

 
Полная, локальная и конвективная производные ....................  40

 
Теория деформаций .....................................................................  41

5.4. Динамика сплошной среды ........................................................  48

 
Вектор площадки .........................................................................  48

 
Теория напряжений .....................................................................  48

 
Внешние силы ..............................................................................  50

 
Внутренние силы .........................................................................  51

 
Внешние моменты .......................................................................  52

 
Внутренние моменты ...................................................................  52

 
Уравнение баланса массы ...........................................................  53

 
Уравнение баланса импульса для сплошной среды .................  54

 
Уравнение баланса момента импульса для сплошной среды ..  55

 
Закон сохранения энергии для сплошной среды .....................  56

 
Второй закон термодинамики ....................................................  59

5.5. Принцип виртуальной работы для классической сплошной 
 
среды в отсутствие тепловых явлений .......................................  62

 
Принцип виртуальной работы для конечного материального 
 
объема внутри сплошной среды .................................................  62

 
Принцип виртуальной работы для целого сплошного тела .....  64

 
Связи в механике сплошной среды ...........................................  64

 
Введение напряжений как множителей Лагранжа ...................  65

5.6. Вариационная постановка в термомеханике .............................  66

5.7. Построение трехмерной нелинейной теории неклассической 
 
среды — континуума Коссера .....................................................  67

5.8. Вариационная постановка для континуума Коссера в термо 
механике .......................................................................................  71

5.9. Физические соотношения ...........................................................  72

Ogneva_1.indd   6
Ogneva_1.indd   6
07.05.2014   14:31:15
07.05.2014   14:31:15

5.10. Модели сплошных сред ...............................................................  76

 
Простые модели сплошной среды .............................................  76

 
Сложные модели сплошной среды ............................................  77

5.11. Полная система уравнений механики сплошной среды ..........  77

5.12. Методология построения модели сплошной среды .................  78

 
Выбор системы отсчета и системы координат ..........................  79

 
Выбор модели сплошной среды .................................................  80

 
Составление исходных уравнений..............................................  80

 
Выбор основных неизвестных и переход к системе разреша 
ющих уравнений ..........................................................................  81

 
Начальные условия ......................................................................  81

 
Граничные условия ......................................................................  82

6. Построение теории упругости стержней на основе механики 
 
сплошной среды ............................................................................  83

6.1. Исходные представления о стержнях ........................................  83

6.2. Трехмерные и одномерные задачи .............................................  84

6.3. Кинематика стержня как линии Коссера ..................................  84

6.4. Динамика стержня и уравнения баланса ...................................  85

6.5. Определяющие уравнения...........................................................  86

6.6. Система уравнений одномерной нелинейной теории упруго 
сти стержней ................................................................................  87

6.7. Вариационный метод (метод Канторовича) ..............................  88

Литература  .........................................................................................  93

Ogneva_1.indd   7
Ogneva_1.indd   7
07.05.2014   14:31:15
07.05.2014   14:31:15

Введение

Предлагаемое пособие посвящено одному из 
разделов физики — классической механике, под 
которой в данном случае подразумевается механика в инерциальных системах отсчета, где справедливы законы Ньютона.
В пособии даны основные понятия и определены границы применимости такого рода математической формализации явлений окружающего мира. 
Рассмотрены следующие модели физики: материальная точка, абсолютно твердое тело и сплошная 
среда.
При описании движения материальной точки 
(когда размеры реальных тел можно считать несущественными) рассматриваются основные законы 
классической механики и вводятся понятия сил, 
моментов сил, энергии и т.д.
Абсолютно твердое тело — это дальнейшее 
усложнение модели материальной точки: размеры 
тела играют роль, однако в процессе движения оно 
не деформируется. Возникают дополнительные помимо массы инерционные характеристики, такие, 
как тензор инерции и вектор эксцентриситета.
Самый фундаментальный и, пожалуй, всеобъемлющий раздел классической механики — механика сплошной среды. Как раздел теоретической 
физики, она изучает движение различных деформируемых сред. При этом рассматриваются как 
классические среды, где материальными частицами 
являются точки, так и неклассические — с абсолютно твердыми телами в качестве частиц среды.
На основе теории сплошной неклассической 
среды построена модель упругого стержня, учи
Ogneva_1.indd   8
Ogneva_1.indd   8
07.05.2014   14:31:16
07.05.2014   14:31:16

тывающая различные воздействия, и организована 
численная процедура для прикладных расчетов.
В целом же данное пособие преследует прикладные цели, излагая теоретические основы для 
математического моделирования различных механических процессов окружающей среды. Представленные модели материальной точки, абсолютно 
твердого тела и сплошной среды (классической и 
неклассической) дают инструментарий для рассмотрения как простых, так и весьма нетривиальных 
явлений самой различной природы.

Ogneva_1.indd   9
Ogneva_1.indd   9
07.05.2014   14:31:16
07.05.2014   14:31:16

1.

ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА МЕХАНИКИ

Основная задача механики заключается в определении положения тела в пространстве в любой момент времени.

1.1. Понятие пространства

Под пространством понимают бесконечно большую совокупность точек, однозначно задаваемых с помощью чисел, называемых координатами, которые определяют положение произвольной точки относительно некоторой точки, принятой за 
начало координат. Мерность пространства обусловлена числом 
координат, которыми определяется положение точек в пространстве [1].
Рассматриваются непрерывные метрические многообразия — пространства, в которых определены расстояния между 
точками. Примером является евклидово пространство, для которого можно ввести единую для всех точек декартову систему 
координат [2].

1.2. Понятие времени

Понятие времени возникает из предпосылки причинной связи между физическими событиями. Гипотеза причинной связи 
явлений подразумевает возможность расположения событий в 
определенном порядке, причем время, входящее в описание 
физического пространства, предстает в качестве независимого 
параметра, диапазон изменений которого — континуум вещественных чисел [3].
Время может зависеть от применяемой системы отсчета наблюдателя. Абсолютно идеализированное время — время, которое течет одинаково независимо от выбора системы отсчета, 
в которой рассматривается движение [2].

Ogneva_1.indd   10
Ogneva_1.indd   10
07.05.2014   14:31:16
07.05.2014   14:31:16

1.3. Понятие положения тела

Положение тела является понятием относительным, зависящим от выбора системы отсчета. Система координат, общепринятая в астрономии, определяется системой так называемых 
неподвижных звезд и называется первичной инерциальной 
системой. Любая иная система координат, движущаяся относительно первичной инерциальной системы с постоянной скоростью, называется вторичной инерциальной системой [3].
Для количественного описания механического движения 
вводят систему отсчета, представляющую собой совокупность 
тела или точки отсчета, связанной с ними системы координат 
и указаний о моменте начала отсчета времени.
Выбор тела или точки отсчета и конкретного вида системы 
координат (например, декартовой прямоугольной, или цилиндрической, или какой-либо другой) произволен и определяется 
соображениями удобства при исследовании движения деформируемого тела. Существует, однако, ограничение на выбор 
системы отсчета наблюдателя. Как правило, эта система отсчета должна быть инерциальной, т.е. в ней должен выполняться закон инерции (первый закон Ньютона): тело движется 
равномерно и прямолинейно, если воздействия на него со стороны других тел скомпенсированы или отсутствуют. Это дает 
основание использовать при рассмотрении движения второй и 
третий законы Ньютона, на базе которых получены основные 
дифференциальные уравнения движения сплошных сред. При 
решении прикладных задач в качестве тела или точки отсчета 
чаще всего принимается Земля (или точка, неподвижная относительно Земли), чем и обеспечивается выполнение требования инерциальности системы отсчета наблюдателя. 

Ogneva_1.indd   11
Ogneva_1.indd   11
07.05.2014   14:31:16
07.05.2014   14:31:16

2.

ДВА ВИДА МЕХАНИКИ: 
ГИПОТЕЗЫ И ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ

Применение того или иного описания явления ограниченно. В механике рассматривается движение тела. В зависимости от его скорости используют тот или иной математический 
аппарат. Если тело движется со скоростью, значительно уступающей скорости света, то применяют законы классической 
механики, установленные Ньютоном. В случае когда скорости 
сопоставимы со световой, используют аппарат релятивистской 
механики. Очевидно, что классическая механика является предельным случаем релятивистской механики.

2.1. Классическая (ньютоновская) механика

В классической (ньютоновской) механике особенное физическое значение имеет рассмотрение движения относительно 
инерциальных систем координат, движущихся относительно друг друга поступательно, с постоянной во времени скоростью. Наличие таких систем координат, тесно связанное с 
постулатами о евклидовости физического пространства и об 
абсолютном и одинаковом собственном времени для разных 
точек, является основным постулатом механики Ньютона. Все 
физические законы в физике Ньютона обычно формулируются 
в инерциальных системах координат и не зависят от выбора 
инерциальной системы координат. В этом состоит знаменитый 
принцип относительности Галилея—Ньютона. На практике в 
качестве исходной (первичной) инерциальной системы координат можно выбрать декартову систему с началом в центре 
масс Солнечной системы, в которой далекие звезды можно 
считать неподвижными.

2.2. Релятивистская механика

В специальной теории относительности также постулируется наличие инерциальных систем координат, связанных 

Ogneva_1.indd   12
Ogneva_1.indd   12
07.05.2014   14:31:16
07.05.2014   14:31:16

между собой преобразованием Лоренца, однако физическое 
пространство задается как четырехмерное псевдоевклидово 
пространство Минковского (четвертая координата связана 
с собственным временем). В этой теории для наблюдателей, 
описывающих относительное движение, также можно пользоваться любыми подвижными системами координат.
В общей теории относительности любые движущиеся относительно друг друга системы координат считаются равноправными, а физическое пространство не задается, а определяется, 
однако в предположении, что физическое пространство четырехмерное и риманово, причем для малых объемов выполняются законы специальной теории относительности.
Любопытно отметить, что в результате решения сопутствующих задач получается, что многосвязное в топологическом 
смысле, пустое (отсутствуют массы и заряды) риманово пространство в известном смысле похоже на евклидово пространство с гравитационным и электрическим полями, обусловленными присутствующими в нем массами и зарядами [2].

Ogneva_1.indd   13
Ogneva_1.indd   13
07.05.2014   14:31:16
07.05.2014   14:31:16