Векторное, матричное и тензорное исчисления. Справочник для технических университетов
Покупка
Тематика:
Геометрия и топология
Издательство:
Интеллект
Автор:
Шаров Г. А.
Год издания: 2018
Кол-во страниц: 368
Дополнительно
Вид издания:
Учебно-методическая литература
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-91559-256-7
Артикул: 709213.01.99
Доступ онлайн
500 ₽
В корзину
Учебно-справочное руководство посвящено разделам математики, постоянно используемым в физике и прикладных дисциплинах — механике, теории поля, гидроаэродинамике, кристаллографии, радиоэлектронике и т.д. Сложившаяся структура образования в российских университетах не обеспечивает хороших знаний различных систем координат, векторного анализа, не даёт достаточных навыков расчётов с применением матриц и тензоров. Издание поможет в учебном процессе студентам и преподавателям физических и технических специальностей, а также будет полезно научным работникам и инженерам-разработчикам. Первое издание справочника широко используется во многих российских университетах и научных организациях.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.02: Прикладная математика и информатика
- 01.03.04: Прикладная математика
- 03.03.01: Прикладные математика и физика
- 03.03.02: Прикладная математика и информатика
- ВО - Магистратура
- 01.04.01: Математика
- 01.04.02: Прикладная математика и информатика
- 01.04.04: Прикладная математика
- 03.04.01: Прикладные математика и физика
- ВО - Специалитет
- 01.05.01: Фундаментальные математика и механика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Г.А. ШАРОВ
ВЕКТОРНОЕ, МАТРИЧНОЕ И ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ СПРАВОЧНИК ДЛЯ ТЕХНИЧЕСКИХ УНИВЕРСИТЕТОВ
Второе издание
Издательский Дом
ИНТЕЛЛЕКТ
ДОЛГОПРУДНЫЙ
2018
Г.А. Шаров
Векторное, матричное и тензорное исчисление. Справочник для технических университетов: Учебное пособие / Г.А. Шаров — 2-е изд. — Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект», 2018. — 368 с.
ISBN 978-5-91559-256-7
Учебно-справочное руководство посвящено разделам математики, постоянно используемым в физике и прикладных дисциплинах — механике, теории поля, гидроаэродинамике, кристаллографии, радиоэлектронике и т.д.
Сложившаяся структура образования в российских университетах не обеспечивает хороших знаний различных систем координат, векторного анализа, не даёт достаточных навыков расчётов с применением матриц и тензоров.
Издание поможет в учебном процессе студентам и преподавателям физических и технических специальностей, а также будет полезно научным работникам и инженерам-разработчикам.
Первое издание справочника широко используется во многих российских университетах и научных организациях.
ISBN 978-5-91559-256-7
© 2014, Г.А. Шаров
© 2018, 000 Издательский Дом «Интеллект», оригинал-макет, оформление
ОГЛАВЛЕНИЕ
Основные обозначения.......................................... 13
Глава 1
СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА КООРДИНАТ....................................... 17
1.1. Введение............................................... 17
1.2. Системадекартовыхпрямоугольныхкоординат................ 18
1.3. Ортогональные преобразования. Направляющие косинусы................................................20
1.3.1. Связь подвижной и неподвижной систем координат.
Коэффициенты линейного преобразования. Суммирование по правилу Эйнштейна.................. 20
1.3.2. Направляющие косинусы............................ 21
1.3.3. Матричное представление преобразования координат. 22
1.4. Параллельный перенос и вращение декартовой системы координат.......................................24
1.5. Углы Эйлера.............................................25
1.6. Системы криволинейных координат.........................28
1.6.1. Определение ортогональных криволинейных координат .... 28
1.6.2. Коэффициенты Ламе................................ 29
1.6.3. Элемент объема в ортогональной криволинейной системе координат ................................. 31
1.7. Важнейшие системы ортогональных криволинейных координат в пространстве................................31
1.7.1. Система цилиндрических координат............. 32
1.7.2. Система сферических координат................ 33
1.7.3. Система параболических цилиндрических координат.. 34
1.7.4. Система параболических координат вращения (параболоидальные координаты) .......................... 35
1.7.5. Система эллиптических цилиндрических координат... 36
1.7.6. Система вытянутых эллипсоидальных координат (вращения) (вытянутые сфероидальные координаты) ... 38
1.7.7. Система сплюснутых эллипсоидальных координат (вращения) (сплюснутые сфероидальные координаты) .. 39
—I Оглавление
1.7.8. Система биполярных (бицилиндрических) координат.......... 40
1.7.9. Система тороидальных координат................... 42
1.7.10. Система бисферических координат.................. 42
1.8. Преобразования векторов в координатных системах.................43
1.8.1. Преобразование векторов при переходе
из прямоугольной в цилиндрическую систему координат (и обратно) ....................................... 44
1.8.2. Преобразование векторов при переходе
из цилиндрической системы координат в сферическую (и обратно) ....................................... 47
1.8.3. Преобразование векторов при переходе
из прямоугольной в сферическую систему координат (и обратно) ....................................... 48
Глава 2
ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.............................................51
2.1. Векторная алгебра.......................................51
2.1.1. Основные определения. Скалярные, векторные и тензорные величины.................................... 51
2.1.1.1. Скалярные величины........................ 52
2.1.1.2. Векторные величины........................ 52
2.1.1.З. Тензорные величины........................ 55
2.1.2. Операции над векторами........................... 56
2.1.2.1. Произведение вектора на скаляр............ 56
2.1.2.2. Составляющие вектора...................... 56
2.1.2.З. Радиус-вектор............................. 57
2.1.2.4. Сложение и вычитание векторов............. 57
2.1.2.5. Скалярное произведение.................... 58
2.1.2.6. Векторное произведение ................... 60
2.1.2.7. Многократные произведения векторов........ 62
2.1.2.7.1. Произведения трех векторов....... 62
2.1.2.7.2. Векторно-скалярное произведение векторов. 62
2.1.2.7.З. Двойное векторное произведение .. 64
2.1.2.7.4. Произведения многих векторов..... 65
2.2. Векторный анализ. Теория поля...........................66
2.2.1. Переменные векторы, зависящие от скалярного аргумента............................................... 66
2.2.1.1. Переменный вектор. Годограф векторной функции..... 66
2.2.1.2. Дифференцирование векторной функции по скалярному аргументу........................... 67
2.2.1.З. Интегрирование векторных функций от скалярного аргумента ........................................ 69
2.2.1.З.1. Дифференциал векторной функции .. 69
2.2.1.З.2. Неопределенный и определенный интегралы от векторной функции ........................ 70
2.2.1.4. Площадь как вектор ....................... 71
2.2.2. Скалярные и векторные поля....................... 74
2.2.3. Поверхности уровня. Градиент скалярного поля .... 74
Оглавление —I 5
2.2.З.1. Поверхности уровни. Нормальные линии ....... 74
2.2.3.2. Определение градиента. Потенциальный вектор.. 76
2.2.3.3. Связь дифференциала скалярной функции с градиентом........................................ 78
2.2.4. Основные свойства градиента........................ 80
2.2.5. Векторное поле. Векторные линии.................... 81
2.2.6. Поверхностные интегралы. Поток векторного поля..... 83
2.2.6.1. Скалярный и векторный потоки скалярного и векторного поля................................... 83
2.2.6.2. Поток вектора через поверхность ............ 85
2.2.6.3. Поверхностные интегралы по замкнутой поверхности......................................... 87
2.2.7. Дивергенция векторного поля........................ 88
2.2.1.1. Определение дивергенции вектора. Истоки и стоки поля........................................ 88
2.2.1.2. Основные свойства дивергенции............... 89
2.2.8. Теорема Гаусса—Остроградского...................... 91
2.2.9. Линейный интеграл вектора вдоль кривой. Циркуляция вектора........................................ 94
2.2.9.1. Интеграл вектора вдоль кривой L............. 94
2.2.9.2. Циркуляция вектора по кривой L.............. 96
2.2.9.3. Линейный интеграл от потенциального вектора.. 96
2.2.9.4. Вычисление криволинейного интеграла по замкнутой кривой.............................................. 97
2.2.10. Ротор векторного поля.............................. 99
2.2.11. Безвихревые векторные поля........................ 102
2.2.12. О соленоидальности поля вихрей.................... 104
2.2.13. Свойства вихря вектора ........................... 104
2.2.14. Теорема Стокса ................................... 105
2.2.15. Производная вектора по направлению................ 108
2.2.16. Отыскание векторного поля по его ротору и дивергенции ............................................ 110
2.2.16.1. Скалярный и векторный потенциалы векторного
поля ....................................... 110
2.2.16.2. О теореме разложения Гельмгольца.......... 111
2.2.16.3. Формулы скалярного и векторного потенциалов. 111
2.2.17. Описание векторных операций с помощью оператора Гамильтона V.............................................. 112
2.2.17.1. Определение оператора V и выражение через него основных векторных функций......................... 112
2.2.17.2. Символический метод вычислений ........... 115
2.2.17.3. Основные правила действия с оператором V.... 118
2.2.18. Оператор Лапласа.................................. 119
2.2.19. Интегральные соотношения.......................... 121
2.2.19.1. Интегральные теоремы (формулы) Грина...... 121
2.2.19.2. Формулы, связывающие тройной интеграл с двойным.......................................... 122
2.2.20. Векторные операции в криволинейных координатах...... 124
2.2.20.1. Окриволинейныхкоординатах................. 124
—I Оглавление
2.2.20.2. Градиент в ортогональных криволинейных координатах...................................... 126
2.2.20.3. Дивергенция в ортогональных криволинейных координатах...................................... 128
2.2.20.4. Вихрь в ортогональных криволинейных координатах...................................... 129
2.2.20.5. Оператор Лапласа в ортогональных криволинейных координатах...................................... 131
2.2.21. Векторные операции в цилиндрических и сферических координатах .............................. 132
2.2.21.1. Цилиндрические координаты............... 132
2.2.21.2. Сферическиекоординаты................... 133
2.2.22. Центральные и осевые скалярные поля............. 135
2.3. Векторное исчисление в теории электромагнитного поля........................................................ 137
2.3.1. Характеристики электромагнитного поля и среды..... 137
2.З.1.1. Основные характеристики электромагнитного поля ............................................ 137
2.З.1.2. 'Характеристики и виды сред.............. 139
2.3.2. Интегральные уравнения электромагнитного поля..... 143
2.З.2.1. Закон взаимодействия электрических зарядов (закон Кулона) .................................. 143
2.3.2.2. Закон о возбуждении магнитного поля (закон Ампера)................................... 144
2.3.2.3. Закон электромагнитной индукции (закон Фарадея).................................. 144
2.3.2.4. Обобщение экспериментальных законов Максвеллом ....................................... 145
2.3.3. Дифференциальные уравнения электромагнитного поля................................................... 148
2.3.4. Уравнение непрерывности (закон сохранения заряда). 149
2.4. Основные соотношения и формулы векторного анализа..................................................... 151
2.4.1. Формулы векторной алгебры....................... 151
2.4.2. Производные по скалярному аргументу............. 152
2.4.3. Основные векторные операции в декартовой системе координат.............................................. 152
2.4.4. Векторные формулы в символике Гамильтона ....... 153
2.4.5. Интегральные соотношения........................ 155
2.4.6. Ортогональные криволинейные координаты ир и₂, и₃.............................................. 157
2.4.7. Основные векторные операции в криволинейных координатах............................................ 158
2.4.8. Основные векторные операции в цилиндрических координатах............................................ 158
2.4.9. Основные векторные операции в сферических координатах............................................ 159
Оглавление -l\r 7
Глава 3
МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ................................................... 160
3.1. Основы теории матриц......................................... 161
3.1.1. Основные представления и операции матричной алгебры....................................................... 161
З.1.1.1. О символике и некоторых понятиях теории множеств................................................ 161
3.1.1.1.1. Понятиемножества...................... 161
З.1.1.1.2. Отображенияивидымножеств ............. 161
З.1.1.1.З. Свойства операций для элементов множеств в линейном пространстве ......................... 162
З.1.1.2. Линейные отображения и матрицы................. 164
З.1.1.З. Матричные определения.......................... 165
З.1.1.4. Основные типы матриц .......................... 166
З.1.1.4.1. Диагональная матрица.................. 166
З.1.1.4.2. Симметричная, кососимметричная и косая матрицы ......................................... 167
З.1.1.4.З. Ленточная матрица .................... 168
З.1.1.4.4. Транспонированная матрица............. 168
З.1.1.5. Определители, подматрицы, миноры и алгебраические дополнения матрицы..................... 169
З.1.1.5.1. Определители.......................... 169
З.1.1.5.2. Подматрицы ........................... 172
З.1.1.5.З. Миноры и алгебраические дополнения..... 173
З.1.1.5.4. Рангматрицы........................... 174
З.1.1.6. Теорема Лапласа................................ 174
З.1.1.7. Транспонирование матриц........................ 175
З.1.1.8. Сложение и вычитание матриц.................... 175
З.1.1.9. Умножение матриц............................... 176
З.1.1.9.1. Умножение на скаляр................... 176
З.1.1.9.2. Умножение матриц ..................... 177
З.1.1.9.З. Произведение квадратных матриц........ 178
З.1.1.9.4. Умножение любой строки (или столбца) матрицы ......................................... 180
З.1.1.9.5. Умножение матрицы-столбца слева и справа на матрицу-строку................................ 180
З.1.1.9.6. Умножение квадратной матрицы на матрицу-строку................................ 181
З.1.1.9.7. О свойствах матричных произведений ... 182
З.1.1.10. Нулевая, единичная и скалярная матрицы......... 183
З.1.1.11. Возведение матрицы в степень .................. 185
З.1.1.12. Обращение матриц............................... 186
З.1.1.1З. Присоединенная и обратная матрицы.............. 187
З.1.1.14. Вычисление обратной матрицы.................... 188
З.1.1.15. Обращение и транспонирование матриц............ 189
З.1.1.16. Правила транспонирования и обращения произведения матриц...................................... 190
—/ Оглавление
3.1.1.17. Разбиение матрицы на подматрицы................ 190
3.1.1.18. Ранги и матричные операции..................... 192
3.1.1.19. Об отличии операций с матрицами и определителями.......................................... 193
3.1.1.20. Матричныенормы................................. 194
3.1.1.21. Элементарные преобразования в матрицах......... 196
3.1.2. Матрицы комплексного пространства..................... 197
3.1.2.1. Матрицы с комплексными элементами ............. 198
З.1.2.1.1. Симметрические матрицы................ 198
З.1.2.1.2. Комплексно- и эрмитово-сопряженная матрицы.......................................... 199
З.1.2.1.З. Эрмитовы матрицы...................... 200
З.1.2.1.4. Унитарная, ортогональная и нормальная матрицы.......................................... 201
3.1.2.2. Модуль и скалярное произведение в комплексном пространстве............................................ 202
3.1.2.3. Обращение комплексной матрицы...................203
3.1.3. Матрицы преобразований. Ступенчатые, треугольные и почти треугольные матрицы................................... 205
3.1.3.1. Матрицы перестановки и модификации строк.
Элементарные треугольные матрицы................. 206
З.1.З.1.1. Матрицаперестановки................... 206
З.1.З.1.2. Матрица модификации строк............. 207
З.1.З.1.З. Элементарные треугольные матрицы...... 208
3.1.3.2. Матрицы элементарного вращения и отражения....... 209
З.1.З.2.1. Матрица элементарного вращения........ 209
З.1.З.2.2. Матрица отражения..................... 210
3.1.3.3. Матрицы преобразования системы координат......... 211
З.1.З.З.1. Общие сведения ....................... 211
З.1.З.З.2. Ортогональное преобразование ......... 212
З.1.З.З.З. Преобразования (повороты) трехмерной ортогональной системы координат.................. 213
3.1.3.4. Ступенчатые матрицы. Приведениек ступенчатой форме................................................... 214
З.1.З.4.1. Верхняя и нижняя ступенчатая матрицы.... 214
З.1.З.4.2. Приведение к ступенчатой форме........ 214
З.1.З.4.З. Приведение к диагональной форме. Эквивалентные матрицы............................ 215
З.1.З.4.4. Алгоритм приведения к ступенчатой форме. 216
3.1.3.5. Треугольные матрицы.............................218
З.1.З.5.1. Верхняя и нижняя треугольные матрицы . 218
З.1.З.5.2. Разложение квадратной матрицы (LU-разложение) ................................. 219
З.1.З.5.З. Обращение треугольной матрицы ........ 220
3.1.3.6. Хессенберговы (почти треугольные) матрицы ..... 222
Оглавление —I 9
3.1.4. Блочные матрицы...................................... 223
З.1.4.1. Определение блочных, или клеточных, матриц..... 223
З.1.4.2. Умножение и сложение блочных матриц........... 225
З.1.4.З. Формула Фробениуса............................ 226
З.1.4.4. Обращение блочной матрицы..................... 226
З.1.4.5. Определитель блочно-треугольной матрицы........ 227
3.1.5. Собственные векторы и собственные значения матриц .... 227
З.1.5.1. Кольцо матриц. Примеры линейных пространств.... 227
З.1.5.1.1. Аксиомы кольца....................... 228
З.1.5.1.2. Примерылинейныхпространств .......... 229
З.1.5.2. Линейные комбинации. Теорема Кронекера—Капелли...................................... 229
З.1.5.2.1. Линейная оболочка векторов .......... 229
З.1.5.2.2. Теорема Кронекера-Капелли............ 231
З.1.5.2.З. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов................................ 231
З.1.5.З. Формулы Виета................................. 232
З.1.5.4. 'Характеристическое уравнение и собственные значения матрицы....................................... 233
З.1.5.4.1. Собственный вектор. Собственные значения матрицы ........................................ 233
З.1.5.4.2. Характеристические матрица, уравнение, числа .......................................... 234
З.1.5.4.З. Инвариантность характеристического уравнения ...................................... 236
З.1.5.5. Собственные векторы........................... 236
З.1.5.6. След матрицы ................................. 238
З.1.5.7. Теорема Гамильтона—Кэли ...................... 239
З.1.5.7.1. Формулировка теоремы................. 239
З.1.5.7.2. Вычисление обратной матрицы.......... 240
3.1.6. Операции над матрицами............................... 242
З.1.6.1. Дифференцирование матриц ..................... 242
З.1.6.2. Интегрирование матриц......................... 243
З.1.6.З. Частное дифференцирование матриц.............. 243
З.1.6.З.1. Операция частного дифференцирования матриц ......................................... 243
З.1.6.З.2. Стандартные соотношения при использовании частных производных от матриц................... 245
З.1.6.З.З. Дифференцирование обратной матрицы (по параметру х)................................ 246
З.1.6.4. Многочлены от матриц.......................... 246
З.1.6.5. Функции матриц................................ 247
З.1.6.6. Представление матричной функции с помощью многочлена............................................. 248
З.1.6.7. Теорема Сильвестра............................ 250
З.1.6.8. Решение алгебраических, уравнении с помощью матриц................................................. 251
—I Оглавление
З.1.6.9. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с использованием матричных представлений ........................................ 252
З.1.6.9.1. Матрициант.......................... 252
З.1.6.9.2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами................................. 254
3.1.7. Кронекеровские операции с матрицами................. 256
З.1.7.1. Кронекеровское (прямое) произведение......... 256
З.1.7.1.1. Определение......................... 256
З.1.7.1.2. Основные свойства кронекеровских произведений .................................. 257
З.1.7.2. Кронекеровские степени....................... 259
З.1.7.З. Кронекеровская (прямая) сумма матриц......... 259
З.1.7.4. Кронекеровские и поэтажно-кронекеровские матрицы. Вертикальная сумма матриц.................... 260
З.1.7.4.1. Основные определения................ 260
З.1.7.4.2. Используемые обозначения и элементарные матрицы ....................................... 261
З.1.7.5. Некоторые теоремы ........................... 263
3.1.8. Некоторые виды матриц, используемые в технике ...... 266
З.1.8.1. Матрица Фурье................................ 266
З.1.8.2. Матрица Якоби и якобиан...................... 267
З.1.8.З. Матрица Гесса (гессиан) ..................... 269
З.1.8.4. Матрица Грама................................ 270
3.2. Системы линейных алгебраических уравнений и матрицы........................................................271
3.2.1. О методах решения систем линейных алгебраических уравнений.................................................. 271
3.2.2. Правило Крамера для решения системы уравнений........ 272
3.2.3. Метод исключения Гаусса............................. 274
З.2.З.1. Идея метода Гаусса........................... 274
З.2.З.2. Основные операции метода Гаусса.............. 275
З.2.З.З. Алгоритм метода Гаусса ...................... 276
3.2.4. Метод Гаусса и BU-разложение........................ 279
З.2.4.1. BU-разложение................................ 279
З.2.4.2. Условие существования LU-разложения.......... 280
3.2.5. Обобщенный алгоритм Гаусса (обращение матриц путем подразделения на блоки).............................. 281
3.2.6. Разложения матриц................................... 285
З.2.6.1. QR-разложения матрицы........................ 286
З.2.6.2. QB-разложение матрицы ....................... 287
З.2.6.З. Сингулярное (SVD) разложение матрицы......... 288
3.2.7. Об алгоритмах умножения матриц...................... 289
З.2.7.1. Метод Винограда.............................. 290
З.2.7.2. Метод Штрассена.............................. 290
Оглавление -i\r 11
Глава 4 ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ............................................293
4.1. Предварительные сведения....................................293
4.1.1. Задачи тензорного анализа. Инвариантность............ 293
4.1.2. Индексные обозначения. Соглашение о суммировании.... 295
4.1.2.1. Система обозначений........................... 295
4.1.2.2. Правила суммирования и расположения индексов . 297
4.1.3. Аффинное векторное и метрическое пространства.... 299
4.1.4. Ортонормальный базис евклидова пространства. Взаимные базисы векторов ................................... 300
4.1.4.1. Понятие базиса для пространства............... 300
4.1.4.2. Взаимные базисы............................... 301
4.1.5. Ковариантные и контравариантные составляющие векторов .............................................. 303
4.1.6. Преобразование координат. Ковариантные и контравариантные векторы ................................. 304
4.1.6.1. Общий случай преобразования координат......... 304
4.1.6.2. Ковариантные и контравариантные векторы... 307
4.2. Тензорная алгебра...........................................309
4.2.1. Тензоры в прямоугольной системе координат............ 309
4.2.1.1. Тензоры нулевого, первого и второго рангов ... 309
4.2.1.2. Свойства тензоров второго ранга............... 312
4.2.1.З. Тензоры высших рангов......................... 313
4.2.2. Тензоры в г-мерном пространстве...................... 314
4.2.3. Тензоры в системах обобщенных координат ............. 315
4.2.З.1. Ковариантные, контравариантные и смешанные компоненты тензоров............................... 315
4.2.З.2. Операция поднятия и опускания индексов........ 317
4.2.З.З. Ковариантные, контравариантные и смешанные тензоры........................................... 318
4.2.4. Симметрия и антисимметрия тензоров................... 319
4.2.4.1. Симметричные и антисимметричные тензоры второго ранга .................................... 319
4.2.4.2. Симметричные и антисимметричные тензоры по паре индексов.................................. 319
4.2.4.З. Инвариантность свойств симметрии и антисимметрии тензора................................ 320
4.2.4.4. Матрицы симметричного и антисимметричного тензора второго ранга............................. 320
4.2.4.5. Единичный тензор Кронекера.................... 321
4.2.4.6. Абсолютно симметричные и антисимметричные тензоры........................................... 321
4.2.5. Об инвариантности тензорных уравнений................ 322
4.2.6. Действия над тензорами............................... 322
4.2.6.1. Сложение тензоров............................. 323
4.2.6.2. Умножение тензоров............................ 324
4.2.6.З. Свертывание тензоров.......................... 325
—I Оглавление
4.2.6.4. Скалярное (внутреннее) произведение тензоров. 327
4.2.6.5. Перестановка индексов, симметрирование и альтернирование ................................. 328
4.2.7. След тензора..................................... 331
4.2.8. Антисимметричный единичный тензор................ 332
4.3. Тензорный анализ........................................334
4.3.1. Тензорное поле................................... 334
4.З.1.1. Тензор-функция скалярного аргумента ...... 334
4.З.1.2. Тензорное поле............................ 335
4.3.2. Поток, дивергенция и производная по направлению тензорного поля......................................... 336
4.З.2.1. Поток тензорного поля..................... 336
4.З.2.2. Дивергенция тензорного поля (расхождение тензора)............................. 337
4.З.2.З. Дифференцирование тензорного поля по направлению..................................... 339
4.3.3. Фундаментальные тензоры и символы Кристоффеля ... 339
4.З.З.1. Фундаментальные тензоры................... 339
4.З.З.2. Символы Кристоффеля....................... 341
4.З.З.З. Частные производные фундаментального тензора .... 342
4.З.З.4. Символы Кристоффеля для ортогональных координат ........................................ 343
4.3.4. Ковариантное дифференцирование тензоров ......... 345
4.З.4.1. Ковариантное дифференцирование векторов...... 345
4.З.4.2. Ковариантная производная тензоров......... 348
4.З.4.З. Теорема Риччи............................. 349
4.4. Тензоры в физике и радиоэлектронике.....................350
4.4.1. Тензор преобразования Лоренца.................... 350
4.4.1.1. Преобразования Лоренца.................... 350
4.4.4.2. Представление матриц преобразования в тензорном виде ................................. 352
4.4.2. Четырехмерные градиент, дивергенция и ротор.
Тензорная форма уравнений Максвелла................ 354
4.4.2.1. Основные четырехмерные операции........... 354
4.4.2.2. Представление уравнений Максвелла в тензорном виде ............................................. 355
4.4.3. Тензоры в кристаллофизике........................ 356
4.4.З.1. Введение.................................. 356
4.4.З.2. Диэлектрические свойства кристалла........ 357
4.4.З.З. Закон Ома вкристалле...................... 358
4.4.З.4. Пьезоэлектричество........................ 359
4.4.4. Тензоры магнитной восприимчивости и проницаемости при описании гиромагнитных сред ........ 362
Список использованной литературы.................................366
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
R действительные числа
С комплексные числа
z целые числа
p неотрицательные действительные числа
F (1) полиномы по 1 с коэффициентами из F
V квантор общности (перевернутое «А» от all --- все, каждый)
Vx e M: a обозначение логического высказывания, означающего,
что для каждого x из множества М верно высказывание a
3 x e M': a обозначение логического высказывания, означающего,
что существует по крайней мере один элемент x множе-
ства М со свойствами а (перевернутое «Е» от exist ---
существование)
e, t знаки принадлежности для элемента (принадлежит, не
принадлежит)
0 пустое множество
L ([ a J...[ ak ]) линейная оболочка векторов
dim! (...) размерность линейной оболочки
A вектор
Ml модуль вектора
r радиус-вектор
ei единичные базовые векторы в обобщенной системе ко-
ординат
h единичные базовые векторы в декартовой системе ко-
ординат
В вектор магнитной индукции
¹⁴ л Основные обозначения D вектор электрической индукции Е вектор напряженности электрического поля Н вектор напряженности магнитного поля J вектор плотности тока М вектор намагниченности Р вектор поляризации [ АВ ], Ах В векторное произведение векторов (АВ), (А-В) скалярное произведение векторов grad градиент Grad четырехмерный градиент div дивергенция (расхождение) Div четырехмерная дивергенция rot ротор, вихрь Rot четырехмерный ротор V оператор Гамильтона, набла Ан V2 лапласиан (оператор Лапласа) □ четырехмерный оператор Гамильтона □2 даламбертиан (оператор Даламбера) I интеграл по поверхности А f 5 интеграл по замкнутой поверхности А f интеграл по контуру L L f L I интеграл по замкнутому контуру L V интеграл по объему Г £ относительная диэлектрическая проницаемость P относительная магнитная проницаемость 1 длина волны в свободном пространстве 1 скаляр 1; собственное значение матрицы C скорость света
Основные обозначения -i\r 15
С., направляющие косинусы, коэффициенты преобра-
ik зования координат
hn коэффициенты Ламе
М ik ]’ [ Aik ] матрица
Mil норма матрицы
det [A] или A определитель (детерминант) матрицы [A]
rank [A] ранг матрицы [A]
tr[ A ] след матрицы [A]
diag{alp..., ann } диагональная матрица с элементами all,..., ann
D определитель Вандермонда
Mm ,n (F) матрицы размеров т х п с элементами из F
Mm (F) квадратные матрицы порядка п
A (i) i-я строка матрицы [A]
A (J') j-й столбец матрицы [A]
Aij или adj (aij) алгебраическое дополнение (адъюнкта) элемента aij
квадратной матрицы
[0] m ,n нулевая матрица размеров т х п
[ I ] n единичная квадратная матрица порядка п
[ A ]T транспонированная матрица [A]
[ A ]* эрмитово-сопряженная матрица
[ A ] комплексно сопряженная матрица
[ A ] обычная матрица передачи
[ Fn ] матрица Фурье
[ G матрица Грама
[ H ] матрица Хессенберга
[ H (x °)] гессиан (матрица Гесса)
[ J ] матрица Якоби
Jl якобиан (определитель Якоби)
[ L ] нижняя треугольная матрица
[ Tn ] матрица элементарного вращения
[ u ] верхняя треугольная матрица
[ u ] матрица отражения
¹⁶ л Основные обозначения [ Z ] [П] [А] Ф [ В ] или f[ 4- ] ?=1 [ А ] ® [ В ] (В₍J), (Т₍к) ⁽S(k⁾ [ i, j, к ] Г к 1 1 . • 1 ’ 1¹ J J ri V dfl элементарная матрица модификации строк матрица перестановок прямая (кронекеровская) сумма матриц кронекеровское произведение матриц тензор фундаментальный метрический тензор символы Кристоффеля первого рода символы Кристоффеля второго рода элементарный пространственный угол
ГЛАВА
СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА КООРДИНАТ
1.1. ВВЕДЕНИЕ
Для описания протекающих в пространстве физических процессов необходимо установить системы отсчета координат. Пространственные свойства материальных тел обычно описываются в трехмерном евклидовом пространстве, при этом основными используемыми являются декартова прямоугольная, цилиндрическая и сферическая системы отсчета.
Декартовы прямоугольные координаты являются частным случаем так называемых аффинных координат (от латинского affinus — смежный, соседний). Аффинные координаты в пространстве определяются заданием базиса из трех линейно независимых векторов и некоторой точки О, называемой началом координат. Декартовым координатам соответствует тройка взаимно ортогональных и единичных базисных векторов.
Цилиндрическая и сферическая системы координат относятся к системам ортогональных криволинейных координат. Координатные линии криволинейной системы образуются пересечением трех координатных поверхностей, в качестве которых могут использоваться поверхности круговых, эллиптических или гиперболических цилиндров, сферические поверхности и др. При этом каждая точка пространства может быть представлена как точка пересечения этих координатных поверхностей или координатных линий.
Для образования ортогональных криволинейных координат используются три семейства взаимно перпендикулярных координатных поверхностей.
Выбор координатной системы в сущности произволен и обычно осуществляется таким образом, чтобы наиболее удобно и однозначно описать состояние физической системы или происходящего в ней
¹⁸ л
Глава 1. Системы отсчета координат
процесса, удобно представить картину поля на различных граничных поверхностях и т. п.
Рассмотрим основные системы координат и их преобразования.
1.2. СИСТЕМА ДЕКАРТОВЫХ
ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ
Чаще всего в трехмерном евклидовом пространстве используют прямоугольные декартовы системы координат. Прямоугольную декартову систему координат образуют три взаимно перпендикулярные оси с общим началом О и одинаковой масштабной единицей (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Декартова прямоугольная система координат
Одну из указанных осей называют осью Ох, или осью абсцисс, другую — осью Оу, или осью ординат, третью — осью Oz, или осью аппликат. Декартовы координаты х, у, z некоторой точки Р называются соответственно ее абсциссой, ординатой и аппликатой.
Тройку единичных базисных векторов декартовой прямоугольной системы обозначают буквами i, у, к. Каждый из векторов i, у, к имеет единичную длину, эти три вектора взаимно ортогональны, а их направления совпадают с направлениями декартовых осей Ох, Оу и Oz соответственно (рис. 1.2).
Тот факт, что точка Р имеет координаты х, у, z символически обозначают так: Р(х, у, z). Если в декартовой системе координат Oхуz
1.2. Система декартовых прямоугольных координат
Л-¹⁹
заданы две точки РJхр ур zj и Р₂(х₂, у₂, z₂), то расстояние между этими точками р(Рр Рг) определяется формулой
Р (Р1, Р> ) = ^( *2 - *1 )² ⁺ (Уг - У )² + (^2 - Ъ )² • ⁽1.1⁾
Рис. 1.2. Неподвижная декартова система координат Oxyz и смещенная на расстояние OO' подвижная система координат O'x'y'z' с той же пространственной ориентацией (правой)
Попарно взятые координатные оси располагаются в так называемых координатных плоскостях хОу, yOz и zOx (см. рис. 1.1). Эти плоскости разбивают пространство на восемь октантов.
Система декартовых координат Oxyz, связанная с неким материальным телом, находящимся в покое, называется неподвижной, а система О'х'у'z', связанная с движущимися телом или системой, называется подвижной системой (см. рис. 1.2).
Декартова (аффинная) система координат называется правой (левой), если три базисных вектора образуют правую (левую) тройку.
Обычно используют правые (или правовинтовые) системы координат, т. е. такие, в которых направление оси Oz относительно осей Ох и Оу определяется правилом правого винта (поворот от оси Ох к оси Оу на угол, меньший я, совершается в направлении против часовой стрелки, если смотреть на плоскость Оху из какой-либо точки положительной полуоси Ох). О двух системах координат одного типа, например, правых или левых, говорят, что они одинаково ориентируют пространство (см. рис. 1.2).
—1 Глава 1. Системы отсчета координат
1.3. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
НАПРАВЛЯЮЩИЕ КОСИНУСЫ
1.3.1. Связь подвижной и неподвижной
систем координат.
Коэффициенты линейного преобразования. Суммирование по правилу Эйнштейна
В физике, в частности, в электродинамике, часто приходится переходить от одной системы координат к другой, например, от неподвижной системы О^к подвижной системе О'х'у'z' (см. рис. 1.2). Рассмотрим такой переход.
Координаты некоторой произвольной точки в неподвижной системе координат будем обозначать через х, у, z или кратко х,, где индекс i, называемый свободным индексом, пробегает в трехмерном пространстве значения х, у, z. Аналогично в подвижной системе координаты точки обозначаем через х', у', z' или кратко х'а, где индекс ^пробегает значения х', у', z'■
Полагая для простоты начало координат О общим для обеих систем, можно для преобразования координат написать следующее соотношение:
X = С1хХ а > ⁽¹.²⁾
где коэффициенты линейного преобразования с,а в случае прямоугольных систем равны косинусам углов между осями i и а обеих систем, т. е. равны направляющим косинусам
с, ₐ=cos( i ,а). (1.3)
Например, коэффициент линейного преобразования с , есть ко-синусупгамеждуосями Оу и Ох
Если тройка единичных базисных векторов (ортов) неподвижной системы координат есть i,у, к, а тройку единичных базисных векторов подвижной системы координат обозначить через i', j', к', то можно записать следующие выражения для коэффициентов с, \
Cₓₓ.=ws\i\ i), сху, = cos(/, Г), cₓz.=co&(k', i);
<\ = cos (/', J), Суу, = cos (7, j), Ск, = cos (к', j); (1.4)
с₇Х, =cos(/', к), с^,, = cos(/, к), с^., =соз{к', к).
Доступ онлайн
500 ₽
В корзину