Численное решение стационарных задач конвекции-диффузии

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное 

учреждение высшего образования

ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТМонография

Ростов-на-Дону – Таганрог

Издательство Южного федерального университета

2017

УДК 519.6
ББК 22.19
       Ч 671

Монография создана при финансовой поддержке 

Министерства образования и науки РФ 

(государственное задание вузов, базовая часть, проект 1420) 

Печатается по решению комитета при ученом совете ЮФУ 
по естественнонаучному и математическому направлению 
науки и образования (протокол № 6 от 15 сентября 2017 г.) 

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник 

Института аридных зон Южного научного центра 

Российской академии наук А. Л. Чикин

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой 
информатики и вычислительного эксперимента Института математики, 

механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича 
Южного федерального университета В. С. Пилиди

Авторский коллектив:

Л. А. Крукиер, Г. В. Муратова, Л. Г. Чикина, Т. С. Мартынова, 

Е. М. Андреева, С. А. Виноградова, Б. Л. Крукиер, О. А. Пичугина

Численное решение стационарных задач конвекции-диф
фузии / Л. А. Крукиер [и др.] ; Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2017. – 134 с. 

ISBN 978-5-9275-2615-4
В монографии изложены современные численные методы решения ста
ционарных задач конвекции-диффузии. Большое внимание уделено кососимметрическим итерационным методам, многосеточным методам, методам подпространства Крылова, а также методике переобусловливания. Обсуждаются детали 
реализации методов и область их применимости. 

Книга может представлять интерес как для специалистов по численным 

методам, так и для студентов и аспирантов, обучающихся по специальности «Вычислительная математика».  

УДК 519.6
ББК 22.19

ISBN 978-5-9275-2615-4

© Южный федеральный университет, 2017
© Оформление. Макет. Издательство 

Южного федерального университета, 2017

Ч671

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ..................................................................................................................................7

Глава 1.  МОДЕЛЬНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ 

КОНВЕКЦИИДИФФУЗИИ ........................................................................ 10

1.1.  Формы записи оператора 

конвективного переноса ........................................................................... 10

1.2.  Типы матриц и их основные свойства ................................................ 12
1.3.  Конечно-разностная аппроксимация 

стационарной задачи конвекции-диффузии ................................... 17

Глава 2. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ ............................... 22

2.1.  Лемма Келлога и ее обобщение ............................................................ 25
2.2.  Базовые кососимметрические методы ............................................... 30
2.3.  Двухпараметрические итерационные методы ............................... 34

2.3.1.  Спектральный подход к исследованию 

двухпараметрических итерационных методов .................. 36

2.3.2.  Энергетический подход к исследованию 

двухпараметрических итерационных методов .................. 53

2.4.  Беспараметрические 

кососимметрические методы .................................................................. 58

2.5.  Кососимметрические переобусловливатели 

и их сравнение ............................................................................................... 61

2.6.  Двухшаговые косоэрмитовы 

итерационные методы ................................................................................ 75

Глава 3.  МНОГОСЕТОЧНЫЕ МЕТОДЫ 

ДЛЯ ЗАДАЧ КОНВЕКЦИИДИФФУЗИИ ........................................... 88

3.1. Геометрический многосеточный метод ............................................... 91
3.2. Алгебраический многосеточный метод............................................... 95

Глава 4.  ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ 

ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ПРИ КОМПЬЮТЕРНОМ 
МОДЕЛИРОВАНИИ КОНВЕКТИВНОДИФФУЗИОННЫХ 
ПРОЦЕССОВ В АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ ......................................107

4.1.  Метод неполного LU-разложения .......................................................108
4.2.  Комбинированный метод CG + ILU .....................................................111
4.3. Трехмерная модель лесного пожара 

как пример моделирования физических процессов 
в анизотропной среде ..............................................................................114

4.4.  Численный эксперимент по моделированию поднятия 

термика в газовой фазе ............................................................................120

Заключение .......................................................................................................................125

Литература ........................................................................................................................127

Памяти Л. А. Крукиера – 

учителя и наставника – посвящается

В феврале 2016 г. ушел из жизни наш учитель, профессор, док
тор физико-математических наук Лев Абрамович Крукиер. Данная 
монография – дань памяти этому замечательному человеку, ученому, посвятившему много лет решению задач математической 
физики, разработке и исследованию численных методов, организатору и руководителю научной школы, занимающейся проблемами математического моделирования. Авторы монографии – его 
ученики, продолжающие и развивающие начатое им дело, специалисты в области численного моделирования. 

Научная школа Л. А. Крукиера известна в России и далеко за 

ее пределами. Ее представители являются авторами многочисленных публикаций и монографий, посвященных решению задач 
математического моделирования в экологии, проблем гидродинамики и рационального природопользования, задач с седловой 
точкой и условной оптимизации, итерационным методам решения систем линейных алгебраических уравнений, многосеточным 
методам, проблемам переобусловливания и др. 

Вопросы, рассмотренные в данной книге, будут полезны не 

только исследователям, уже работающим в области численного 
анализа и математического моделирования, но и молодым ученым, которые смогут развить и расширить предложенные в монографии методы и методики. Такое развитие станет достойным 
продолжением основных идей научной школы Л. А. Крукиера.

ВВЕДЕНИЕ

Задачи конвекции-диффузии являются основными при мо
делировании проблем гидро- и газодинамики, а также тепломассообмена [38; 43]. Рассматривая задачу конвекции-диффузии в 
качестве модельной, можно получить информацию о поведении 
решения конкретных задач.

Важные результаты, касающиеся проблем построения разност
ного оператора для соответствующего дифференциального уравнения, можно найти в монографиях [43; 82]. При численном решении 
данной задачи главное внимание уделяется, как правило, вопросам 
аппроксимации конвективных членов уравнения. Одна из трудностей, возникающих при решении уравнений конвекции-диффузии с 
преобладающими конвективными членами, заключается в возникновении пограничных слоев [14; 38]. Эта проблема сыграла главную 
роль в развитии численных методов гидродинамики, и в частности 
в решении вопроса о том, какими разностями – центральными или 
противопотоковыми – следует аппроксимировать первые производные. При использовании метода конечных разностей малый 
параметр при старшей производной (и, как следствие, возможное 
возникновение погранслоя) может приводить к неустойчивости 
численного решения, его осцилляциям [67]. Обнаружение причины 
появления осцилляций привело к широкому использованию противопотоковых разностей вместо центральных, дающих неустойчивость. С другой стороны, несмотря на первый порядок аппроксимации, разности «против потока» обладают многими полезными 
свойствами, такими как выполнение принципа максимума, монотонность, М-матричность. Все это определило большой интерес к 
разработке схем с разностями «против потока» [25; 38].

В [67] показано, что для многих задач появление осцилляций 

решения при использовании центральных разностей говорит о не

Введение

адекватности получаемого численного решения в том смысле, что 
слишком груба выбранная сетка и (или) численно неправильно поставлены краевые условия. Если при этом использовать монотонные 
разности, то получаемое гладкое «решение» может быть далеким от 
точного – именно так оказывается в случае наличия погранслоя. 
С другой стороны, возникновение погранслоя наиболее вероятно 
для существенно несамосопряженных задач, т. е. как раз тогда, когда 
часто используют монотонные разности. В отличие от центральных, 
противопотоковые разности не чувствительны к погранслою и, вообще говоря, к неадекватности получаемого решения точному.

При использовании центрально-разностной аппроксимации 

приходится накладывать ограничения на шаг сетки. Если эти 
ограничения не выполнены, то матрица полученной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) может не иметь диагонального преобладания, и использование большинства наиболее 
распространенных итерационных методов, таких как методы Якоби, Зейделя, последовательной верхней релаксации (SOR), симметричного варианта метода (SSOR) [43], для ее решения приведет 
к существенным трудностям. Если диагональное преобладание в 
исходной матрице отсутствует, то некоторые из этих методов перестают сходиться, а другие сильно уменьшают скорость сходимости.

Несмотря на то, что теория итерационных методов разработа
на для широкого класса матриц, остаются проблемы по созданию 
новых эффективных методов решения СЛАУ для матриц, обладающих особыми свойствами. Одним из таких классов матриц являются сильно несимметричные матрицы, получающиеся, в частности, 
при центрально-разностной аппроксимации уравнения конвекции-диффузии с малым параметром при старшей производной.

При построении итерационных методов для решения задач с 

сильно несимметричными СЛАУ особое внимание необходимо уделять учету структуры оператора решаемой задачи, это позволяет 
строить специальные итерационные методы, которые обладают 
более высокой скоростью сходимости, чем базовые итерационные 
методы. К таким методам относятся треугольные кососимметрические методы, впервые предложенные в работах Л. А. Крукиера 

Введение

[18]. Эффективность их применения достигается особым выбором 
операторов и итерационных параметров. Эти методы могут быть 
использованы для решения несимметричных СЛАУ, в которых отсутствует диагональное преобладание. 

Учениками Л. А. Крукиера были созданы многочисленные мо
дификации исходного треугольного кососимметрического метода, 
такие как попеременно-треугольный кососимметрический метод 
[3], двуциклический [23] и двухпараметрический треугольный и 
попеременно-треугольный кососимметрические методы [54], а 
также их модификации, не содержащие итерационного параметра 
[73]. Для данного класса методов были разработаны процедуры 
ускорения, использующие специальный выбор диагональной составляющей метода [24]. Позднее был создан двухшаговый косоэрмитов итерационный метод [2], который является обобщением 
[96]. Для всех методов были получены условия сходимости, предложены способы выбора оптимальных итерационных параметров. 

Отдельным направлением исследований школы Л. А. Крукие
ра является многосеточный метод (Multi-Grid Method – MGM) [93]. 
В силу особенностей своей структуры многосеточный метод допускает различные модификации, что дает возможность адаптировать его к решаемым задачам. Были созданы различные варианты 
метода, обеспечивающие эффективное решение задач конвекциидиффузии с преобладающей конвекцией, в которых особое внимание уделялось выбору итерационного метода – сглаживателя. Были 
рассмотрены теоретические аспекты предложенных модификаций 
многосеточного метода, проведены численные эксперименты.

В данной книге не затрагиваются такие вопросы, как описа
ние физической сути процессов конвективно-диффузионного переноса и построение различных математических моделей, а также 
проблемы устойчивости разностных схем. Эти вопросы подробно 
освещены в работах [21; 31; 41–43; 45 и др.]. Кроме того, не рассматривается и вопрос аппроксимации различных граничных условий, которому посвящены работы [13; 37 и др.]. Основное внимание уделяется численным методам решения стационарной задачи конвекции-диффузии с краевыми условиями Дирихле.

Глава 1.  МОДЕЛЬНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ 

КОНВЕКЦИИДИФФУЗИИ 

Проблемы исследования и численного решения стационар
ных задач конвекции-диффузии удобнее всего рассматривать на 
простейших (модельных) задачах, которые сохраняют основные 
особенности общих задач механики сплошной среды. Будем рассматривать первую краевую задачу Дирихле для стационарного 
уравнения конвекции-диффузии в прямоугольнике. Сначала рассмотрим влияние формы записи уравнения конвекции-диффузии 
на способы численного решения поставленной задачи.

1.1.  Формы записи оператора 

конвективного переноса

Для задач конвекции-диффузии важное значение имеет ис
ходная форма записи уравнения [20; 43]. Существуют различные 
формы записи оператора конвективного переноса, эквивалентные на дифференциальном уровне для задач в несжимаемых средах, но после аппроксимации приводящие к различным формам 
разностных уравнений, которые отличаются по своим свойствам.

Стационарная задача конвекции-диффузии в ограниченной 

области W описывается уравнением:

(1.1.1)

или

(1.1.2)

1.1. Формы записи оператора конвективного переноса

где Ре – число Пекле, v = (v1, v2) – вектор скоростей, u – решение, 
uгр – заданная на границе функция.

Конвективные члены в уравнении (1.1.1) записаны в недивер
гентной, а в (1.1.2) – в дивергентной форме. Если среда несжима
ема, т. е. выполняется условие 
1
2
Div( )
0
v
v
v
x
y

¶
¶
=
+
=
¶
¶
, то формы за
писи уравнений (1.1.1) и (1.1.2) эквивалентны. Используя условие 
несжимаемости среды, уравнение конвекции-диффузии можно записать в так называемом «симметричном» виде [18; 43]:

(1.1.3)

В этом случае комбинируются слагаемые из (1.1.1) и (1.1.2). 

Заметим, что центрально-разностная аппроксимация конвективных членов в уравнении (1.1.3) в случае граничных условий 
I рода приводит к диссипативному разностному оператору, а противопотоковая аппроксимация конвективных членов в уравнении 
(1.1.1) обеспечивает оператору конвекции-диффузии свойство 
М-матричности [43].

Кроме того, запись уравнения конвекции-диффузии в виде 

(1.1.3) позволяет при центрально-разностной аппроксимации первых производных получить сразу кососимметричный оператор для 
любых значений коэффициентов уравнения. Однако лишь в случае постоянных коэффициентов уравнение конвекции-диффузии, 
записанное в виде (1.1.1) или (1.1.2), при центрально-разностной 
аппроксимации дает сразу кососимметричный оператор [17; 18].

В [20] показано, что исходная форма записи уравнения кон
векции-диффузии существенно влияет на сходимость итерационного метода последовательной верхней релаксации (SOR). 

Ранее в [58; 68] затрагивался вопрос о том, в какой форме – 

дивергентной или недивергентной – нужно записывать уравнение конвекции-диффузии, чтобы после центрально-разностной 
аппроксимации задачи можно было успешно решать полученную 
систему уравнений методом SOR. Вместе с тем не всегда удается 
получить решение при значениях параметра меньших, чем 10–3. 

Глава 1. Модельные стационарные задачи конвекции-диффузии

Эти проблемы частично обусловлены использованием недивергентной формы записи конвективных членов уравнения, которая 
усиливает имеющую место неустойчивость [58]. Однако и при использовании дивергентной формы записи решение системы уравнений требует значительных усилий, когда параметр при старшей 
производной мал. Кроме того, для записанного в недивергентной 
форме уравнения конвекции-диффузии в [58] приводятся значения коэффициентов при первых производных, для которых метод 
SOR расходится.

В [68] показано, что в непрерывном случае в этом урав
нении для значения коэффициента при старшей производной 
ε = 1/Pe → 0 появляется нулевое собственное значение и, следовательно, задача не имеет единственного решения. Дискретная задача ведет себя аналогичным образом. Уже при значении 
Pe ≥ 100 матрица системы становится вырожденной (имеет нулевое собственное значение) и метод SOR расходится [91]. 

В [20] доказано, что только запись уравнения в виде (1.1.3) 

гарантирует сходимость SOR при любых входных данных.

1.2.  Типы матриц и их основные свойства

В данном исследовании будут использованы некоторые опре
деления из теории матриц, а также некоторые свойства матриц и 
операторов [8; 9; 11; 33; 51].

Определение 1.2.1. Матрица A О Rn,n с элементами aij назы
вается: 
диагональной, если aij = 0 при i ≠ j;
нижней (верхней) треугольной, если aij = 0 при j > i (i > j);
нижней (верхней) хессенберговой, если aij = 0 при j > i + 1 (i > j + 1).

Определение 1.2.2. Матрица A О Rn,n с элементами aij назы
вается: 
ленточной, если aij = 0 при 
;

трехдиагональной, если aij = 0 при 
.