Основы анализа частотных характеристик электрических цепей

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Инженерно-технологическая академия

А. М. ПИЛИПЕНКО

ОСНОВЫ АНАЛИЗА

ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Учебное пособие

Ростов-на-Дону – Таганрог

Издательство Южного федерального университета

2017

УДК 621.3.01 (075.8)
ББК 31.211я73

П324

Печатается по решению кафедры теоретических основ радиотехники

Института радиотехнических систем и управления Южного

федерального университета (протокол №7 от 13 февраля 2017 г.)

Рецензенты:

заведующий кафедрой «Радиоэлектронные и электротехнические системы 

и комплексы» Института сферы обслуживания и предпринимательства 

(филиала) Донского государственного технического университета, 

доктор технических наук, профессор В. И. Марчук

доцент кафедры антенн и радиопередающих устройств Инженерно
технологической академии Южного федерального университета, 

кандидат технических наук А. В. Демьяненко

Пилипенко, А. М.

П324
Основы 
анализа 
частотных 
характеристик 
электрических

цепей : учебное пособие / А. М. Пилипенко ; Южный федеральный 
университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного 
федерального университета, 2017. – 98 с.

ISBN 978-5-9275-2583-6
В учебном пособии представлены материалы лекционных и 

практических занятий по следующим разделам дисциплины «Основы теории цепей»: «Комплексные частотные характеристики линейных цепей»; «Основные понятия о колебательных цепях»; «Последовательный колебательный контур»; «Параллельные колебательные контуры».

Пособие предназначено для студентов вузов, обучающихся по 

направлениям подготовки бакалавров 11.03.01 «Радиотехника» и 
11.03.02 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи».

УДК 621.3.01 (075.8)

ББК 31.211я73

ISBN 978-5-9275-2583-6

© Южный федеральный университет, 2017
© Пилипенко А. М., 2017
© Оформление. Макет. Издательство Южного 

федерального университета, 2017

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ........................................................................................................ 5

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ 
ЦЕПЕЙ ............................................................................................................... 6

1.1. Понятие о комплексных частотных характеристиках....................... 6
1.2. Методика определения комплексных частотных характеристик....10
1.3. Частотные характеристики простейших цепей

с одним реактивным элементом........................................................13

1.4. Логарифмические амплитудно-частотная и фазочастотная 

характеристики ...................................................................................16

2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ О КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ЦЕПЯХ.......................19

2.1. Явление резонанса в электрических цепях........................................19
2.2. Классификация колебательных цепей ...............................................19
2.3. Схемы замещения элементов колебательных контуров ..................22

3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР .......................25

3.1. Схема замещения и основные характеристики

последовательного контура ...............................................................25

3.2. Входные характеристики последовательного колебательного 

контура.................................................................................................30

3.3. Передаточные характеристики последовательного

колебательного контура .....................................................................36

3.4. Избирательные свойства последовательного колебательного 

контура.................................................................................................39

4. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР ..................................45

4.1. Параллельный колебательный контур основного вида....................45
4.2. Параллельный колебательный контур с разделенной емкостью.....55
4.3. Параллельный колебательный контур с разделенной 

индуктивностью..................................................................................59

5. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ...............................................................63

5.1. Контрольные вопросы.........................................................................63
5.2. Тестовые задания.................................................................................66

5.3. Практические задачи...........................................................................80
5.4. Примеры решения задач.....................................................................86

ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................................................................................ 96

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ...............................................................................97

ВВЕДЕНИЕ

В данной книге рассмотрены виды частотных характеристик элек
трических цепей, методы анализа частотных характеристик и способы их 
графического представления. Частотные характеристики являются одними из наиболее важных характеристик радиотехнических устройств и систем связи. Знание частотной характеристики устройства позволяет определить процессы на выходе устройства в зависимости от диапазона частот, которые может принимать воздействия на его входе. Например, частотная характеристика электрического фильтра показывает, в каком диапазоне частот электрический фильтр пропускает входное воздействие на 
свой выход, а в каком диапазоне – задерживает.

В общем случае частотная характеристика электрической цепи явля
ется комплексной величиной, которую также называют комплексной частотной характеристикой. При гармоническом воздействии на электрическую цепь с известной комплексной частотной характеристикой отклик 
цепи можно определить с помощью метода комплексных амплитуд: комплексная амплитуда отклика равна произведению комплексной частотной 
характеристики и комплексной амплитуды воздействия. Таким образом, 
модуль комплексной частотной характеристики будет определять отношение амплитуд отклика и воздействия, а аргумент – разность их фаз.

В случае воздействия на цепь напряжения или тока, описывающегося 

произвольной периодической функцией, отклик также можно определить 
с помощью комплексной частотной характеристики. Для этого вначале 
необходимо записать воздействие в виде ряда Фурье, который представляет собой сумму гармонических функций. В соответствии с принципом 
наложения отклик линейной цепи на сложное воздействие, которое имеет 
вид суммы простых воздействий, равен сумме откликов на каждое из простых воздействий [1]. Таким образом, в итоге отклик будет иметь вид ряда 
Фурье, в котором гармонические составляющие будут иметь те же частоты, что и гармонические составляющие воздействия. Комплексная амплитуда каждой гармонической составляющей отклика будет равна произведению комплексной частотной характеристики цепи и комплексной амплитуды воздействия.

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 

ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

1.1. Понятие о комплексных частотных характеристиках

Будем рассматривать линейную электрическую цепь в виде четырех
полюсника, не содержащего независимых источников напряжения и тока 
(рис. 1.1).

Рис. 1.1. Линейный четырехполюсник

Четырехполюсник на рис. 1.1 также называется проходным четырех
полюсником, так как он имеет две пары внешних зажимов 1 − 1' и 2 – 2', 
каждой из которых соответствуют одно напряжение и один ток. Пара зажимов, предназначенная для подключения
независимого
источника, 

называется входными зажимами. Пара зажимов, предназначенная для 
подключения нагрузки, называется выходными зажимами. Воздействие 
на цепь прикладывается к входным зажимам, а реакция (отклик) цепи может определяться как на входных, так и на выходных зажимах.

Как правило, зажимы 1 – 1' являются входными, а зажимы 2 − 2' –

выходными, при этом имеет место передача энергии в прямом направлении – от зажимов 1 – 1' к 2 – 2'. В некоторых случаях может иметь место 
передача энергии в обратном направлении – от зажимов 2 – 2' к 1 – 1',
тогда зажимы 2 − 2' являются входными, а 1 – 1' – выходными.

Комплексная частотная характеристика определяется при гармони
ческом воздействии на цепь. На рис. 1.1 обозначены комплексные изображения напряжений и токов, которые могут рассматриваться в качестве 

воздействий и откликов (
1
U
и 
2
U
– комплексные напряжения между за
жимами 1 – 1' и 2 – 2' соответственно, 
1I и 
2I
– комплексные токи через 

зажимы 1 – 1' и 2 – 2' соответственно).

1.1. Понятие о комплексных частотных характеристиках

7

В общем случае комплексная частотная характеристика (КЧХ)

определяется как отношение комплексных изображений отклика и воздействия:

X
S

X
S
j
H

m

m









)
(
,
(1.1)

где 
m
S
и 
m
X
– комплексные амплитуды отклика и воздействия соответ
ственно; 
2
/
m
S
S

 
и 
2
/
m
X
X

 
– комплексные действующие значе
ния отклика и воздействия соответственно.

Как и любое комплексное число, КЧХ можно представить в показа
тельной и в алгебраической форме

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(











H
j
H
e
H
j
H
j
,
(1.2)

где 
|)
(
|
)
(



j
H
H
, 
)]
(
arg[
)
(




j
H
– модуль и аргумент КЧХ соот
ветственно; 
)
(
cos
)
(
)]
(
Re[
)
(








H
j
H
H
, 





)]
(
Im[
)
(
j
H
H

)
(
sin
)
(



 H
– вещественная и мнимая составляющие КЧХ соответ
ственно.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) цепи H(ω) – это за
висимость модуля КЧХ от частоты. Фазочастотная характеристика 
(ФЧХ) цепи 
)
(

– это зависимость аргумента КЧХ от частоты.

Выясним физический смысл АЧХ и ФЧХ. Для этого представим 

комплексные амплитуды отклика и воздействия в показательной форме 

s
j

m
m
e
S
S



и 
x
j

m
m
e
X
X

 

, а затем преобразуем выражение (1.1) следу
ющим образом:

)
(
)
(
x
s

x

s

j

m

m

j

m

j

m
e
X
S

e
X

e
S
j
H











.
(1.3)

Сравнивая выражения (1.3) и (1.2), получаем, что АЧХ цепи равна 

отношению амплитуд отклика и воздействия H(ω) = Sm / Xm, а ФЧХ цепи 
равна разности фаз отклика и воздействия 
x
s






)
(
.

КЧХ можно представить графически в виде двух зависимостей: АЧХ 

и ФЧХ (H(ω) и 
)
(

) или зависимостей действительной и мнимой со

1. Комплексные частотные характеристики линейных цепей

8

ставляющих КЧХ от частоты (
)
(

H
и 
)
(

H
). Кроме того, КЧХ можно 

представить в виде одного графика, называемого годографом. Годограф
КЧХ (амплитудно-фазовая характеристика цепи или диаграмма Найквиста) – это графическое изображение концов вектора H( jω) на комплексной плоскости при изменении частоты ω от 0 до ∞.

На рис. 1.2 в качестве примера показан годограф функции 

)
1
/(
)
(





j
j
j
H
, где τ = const > 0.

Рис. 1.2. Годограф комплексной частотной характеристики цепи

Комплексные частотные характеристики разделяют на входные и пе
редаточные [2]. КЧХ называется входной, если отклик и воздействие рассматриваются на одних и тех же зажимах цепи. КЧХ называется передаточной, если отклик и воздействие рассматриваются на различных зажимах цепи. Различают два вида входных КЧХ и четыре вида передаточных 
КЧХ

Полагая, что зажимы 1 – 1' являются входными, а зажимы 2 – 2' –

выходными, можно записать выражения для входных и передаточных
КЧХ.

Входные КЧХ со стороны зажимов 1 – 1':
комплексное входное сопротивление 

1

1

11
)
(

I
U
j
Z





;
(1.4)

1.1. Понятие о комплексных частотных характеристиках

9

комплексная входная проводимость 

1

1

11
)
(

U

I
j
Y






.
(1.5)

Передаточные КЧХ от зажимов 1 – 1' к зажимам 2 – 2':
комплексный коэффициент передачи по напряжению 

1

2

21
)
(

U
U
j
K





;
(1.6)

комплексный коэффициент передачи по току 

1

2

21
)
(

I
I
j
G





;
(1.7)

комплексное передаточное сопротивление 

1

2

21
)
(

I

U
j
Z






;
(1.8)

комплексная передаточная проводимость 

1

2

21
)
(

U
I
j
Y





.
(1.9)

В том случае, когда зажимы 2 − 2' являются входными, а зажимы 

1 − 1' – выходными, входные КЧХ определяются со стороны зажимов 

2 − 2': 
2
2
22
/
)
(
I
U
j
Z




и 
2
2
22
/
)
(
U
I
j
Y




, а передаточные КЧХ опреде
ляются с учетом того, что передача энергии осуществляется от зажимов 

2 − 2' 
к 
зажимам 
1 – 1':
2
1
12
/
)
(
U
U
j
K




, 
2
1
12
/
)
(
I
I
j
G




,

2
1
12
/
)
(
I
U
j
Z




, 
2
1
12
/
)
(
U
I
j
Y




.

Очевидно, что комплексное входное сопротивление и комплексное 

передаточное сопротивление имеют размерность сопротивления (Ом), 
комплексная входная проводимость и комплексная передаточная проводимость имеют размерность проводимости (См). Комплексные коэффициенты передачи по напряжению и по току являются безразмерными величинами.

1. Комплексные частотные характеристики линейных цепей

10

1.2. Методика определения комплексных частотных

характеристик

В общем случае для определения произвольной комплексной частот
ной характеристики необходимо решить следующие задачи: 

1) составить основную систему уравнений электрического равнове
сия (ОСУ) заданной цепи в комплексной форме; 

2) исключить из составленной ОСУ все неизвестные токи и напряже
ния, кроме отклика S и воздействия X , входящих в выражения для 
определяемой КЧХ;

3) выразить отклик S через воздействие X в полученном уравне
нии, содержащем две неизвестные S и X ;

4) записать отношение 
X
S

 /
, которое будет равно искомой КЧХ.

В качестве примера определим КЧХ простейших цепей, показанных 

на рис. 1.3.

Рис. 1.3. Обобщенные комплексные схемы замещения простейших цепей:

а – делитель напряжения; б – делитель тока

Рассмотрим цепь на рис. 1.3, а. Будем полагать, что данная цепь ра
ботает в режиме холостого хода на зажимах 2 − 2', при этом между за
жимами 2 − 2' имеет место «разрыв» цепи и ток 
0
2 
I
. 

ОСУ в комплексной форме для цепи на рис. 1.3, а имеет вид






















.

;

;

;

3
2
2
2

1
1
1

1
2
1

3
1

I
Z
U
U

I
Z
U

U
U
U

I
I

Z

Z

Z
Z















(1.10)

1.2. Методика определения комплексных частотных характеристик

11

Комплексное входное сопротивление со стороны зажимов 1 – 1' в 

режиме холостого хода на зажимах 2 − 2' имеет вид

0
1

1

0
11
x
11

2

2
)
(
)
(



 




I

I
I
U
j
Z
j
Z







.
(1.11)

Исключив из системы (1.10) все неизвестные токи и напряжения, 

кроме 
1
U и 
1I , получаем:

1
1
2
1
1
U
I
Z
I
Z





.
(1.12)

Из выражения (1.12) получаем

.
)
(
2
1
x
11
Z
Z
j
Z



(1.13)

Комплексный коэффициент передачи по напряжению от зажимов 

1 − 1' к зажимам 2 – 2' в режиме холостого хода на зажимах 2 − 2' имеет 
вид

.
)
(
)
(

0
1

2

0
1
2
1х
2

2

2



 




I

I
U
U
j
K
j
K







(1.14)

Преобразовав систему (1.10) следующим образом:












,

;

2

2

1

1
2
1
1

Z
U
I

U
U
I
Z









;
1
2

2

2

1
U
U
Z
U
Z







,
1

2

2
1

2
U
Z

Z
Z
U





нетрудно получить выражение для комплексного коэффициента передачи 
по напряжению:

.
)
(

2
1

2

1х
2
Z
Z

Z
j
K



(1.15)

Из выражения (1.15) следует, что при Z1 ≠ 0 модуль комплексного 

коэффициента передачи 
1
)
(
1х
2


K
. Таким образом, для цепи на 

рис. 1.3, а справедливо следующее неравенство:
1
2
U
U 
, поэтому цепи 

такого вида также называют делителями напряжения.

Далее рассмотрим цепь на рис. 1.3, б. ОСУ данной цепи имеет вид: