Теория принятия решений

Министерство образования и науки  Российской Федерации 
Уральский федеральный университет 
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина 

С. М. БОРОДАЧЁВ 

ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

3-е издание, исправленное и дополненное

Москва
Издательство «ФЛИНТА» 
Издательство Уральского университета

2019

Учебное пособие

УДК 519.816(075.8) 

ББК 22.18я73 

       Б83 

Рецензенты: 
д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой вышей и прикладной математики, 
проф. УрГУПС Г.А. Тимофеева; 
канд. физ.-мат. наук старший научный сотрудник Института математики
и механики УрО РАН Д.Г. Ермаков

Научный редактор:
д-р физ.-мат. наук, проф. О.И. Никонов 

Бородачёв, С. М. 

     Теория принятия решений [Электронный ресурс]: учебное пособие / 
С.М. Бородачёв. — 3-е изд., испр. и доп. — М. : ФЛИНТА : Изд-во Урал. 
ун-та, 2019. — 160 с. 

ISBN 978-5-9765-3631-9 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-1196-5 (Изд-во Урал. ун-та)

УДК 519.816(075.8) 

ББК 22.18я73 

ISBN 978-5-9765-3631-9 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-1196-5 (Изд-во Урал. ун-та)      

             © Уральский федеральный 

 университет, 2014 

В учебном пособии рассмотрены математические модели и методы, 
используемые для поддержки принятия управленческих решений в 
различных условиях информированности. Представлены как классические 
темы 
(линейное, 
нелинейное 
и 
динамическое 
программирование, 
матричные игры, сетевые графики) так и более актуальные вопросы 
(управление рисками, статистические решающие функции, байесовское 
оценивание, управляемые марковские процессы, многокритериальная 
оптимизация). 
Теоретический 
материал 
сопровождается 
большим 
количеством примеров, подобраны упражнения, лабораторный практикум и 
задания для самостоятельной работы (типовой расчёт). 
Для преподавателей вузов, студентов экономических, управленческих 
и информационных направлений обучения и менеджеров предприятий и 
организаций.

Введение

Любая сфера человеческой деятельности связана с принятием решений. В за
висимости от предметной области дисциплины, посвящённые этой проблема
тике, назывались исследование операций, экономико-математические методы, 

математические методы в управлении. 

Для постановки задачи принятия управленческого решения необходимо вы
полнить два условия:  

1. Должна быть возможность выбора, т. е. по крайней мере, 2 варианта дей
ствий. 

2. Вариант выбирается по определённому принципу. Известны два принципа

выбора решения: 

a. Волевой – применяют при отсутствии формализованных моделей.

b. Критериальный – заключается в принятии некоторого(-ых) критерия(-ев)

(мерило) и сравнении возможных вариантов по этому критерию. Принятый кри
терий называют целевой функцией. Вариант, для которого целевая функция при
нимает наилучшее значение, называют оптимальным и на нём останавливают 

выбор. 

Классификация задач принятия решений может быть проведена по несколь
ким признакам: 

1. По степени полноты информации об условиях, в которых принимается ре
шение. 

a. Детерминированные задачи – относительно каждого действия известно,

что оно неизменно приводит к некоторому конкретному исходу, внешние фак
торы также известны. 

b. Вероятностные задачи (или задачи с риском) – включают в своей поста
новке параметры, являющиеся случайными величинами, для которых известны 

или хотя бы экспертно могут быть оценены распределения вероятностей. 

c. Задачи в условиях неопределённости – результаты ваших действий и/или 

внешние факторы могут быть различными, но их вероятности совершенно неиз
вестны или не имеют смысла.   

2. По используемым математическим методам для их решения (хотя, как пра
вило, степень полноты информации и определяет используемый метод). 

 

1. Элементы линейного программирования 

 

Здесь слово программирование используется в смысле определения про
граммы действий, программы выпуска изделий, т.е. как планирование. 

Пример 1.1[11] 

Фирма производит скороварки (А) и кофеварки (Б). Основные операции, и 

производственные мощности (если производить что-то одно, в шт. за неделю): 

 

Операция 
Вид продукции 

А 
Б 

Штамповка 
25000  
35000 

Отделка 
33333  
16667 

Сборка А 
22500 
– 

Сборка Б 
– 
15000 

Прибыль от шт. 
15 ₽ 
12.5 ₽ 

 

Какова должна быть программа выпуска на следующую неделю 
1x  – скорова
рок, шт.,  
2x  – кофеварок,  шт., чтобы прибыль была максимальной? 

Запишем функцию прибыли и ограничения по мощностям. Пусть полная про
изводственная мощность цеха штамповки = 1 и т. д. 

1
2
1
2

1
2

1
2

1
2

1
2

( ,
)
( )
15
12.5
max

1
25000
35000

1
33333
16667

1,
1
22500
15000
0,
0

f x x
f x
x
x

x
x

x
x

x
x

x
x

=
=
+
→


+
≤



+
≤


≤
≤



≥
≥


Изобразим ограничения и целевую функцию на рисунке. 

С учётом знаков неравенств, получаем, что каждая точка допустимого плана 

выпуска 
1

2

x
x
x


= 




должна находиться внутри заштрихованной области или на её 

границе. 

Рассмотрим семейство прямых 
1
2
15
12.5
x
x
f
+
=
 (при различных значениях f). 

Нормальный вектор  
15
12.5
n


= 




у них одинаков, значит они параллельны. 

Перемещаем прямую вдоль nдля получения максимального значения прибыли 

f (оставаясь в допустимой области!). Находим, что максимум достигается в 

угловой точке 
1

2

*
20370
*
*
6481

x
x
x

=


= 

=



. При этом фирма получит максимальную 

прибыль 
max
1
2
15
* 12.5
*
386562.5
f
x
x
=
+
=
 руб. 

Кстати, использование мощностей по сборке кофеварок будет значительно 

ниже 100%. Поэтому разумно часть работников отсюда перевести на другие 

участки.  

1.1. Канонический вид задачи линейного программирования 

 

В общем случае число переменных может быть произвольным, 
1
2
,
,...,
n
x x
x   и 

подчинены они m ограничениям вида                                                                    

11 1
12
2
1
1

1 1
2
2

...

...
...

n
n

m
m
mn
n
m

a x
a x
a x
b

a x
a
x
a x
b

+
+
+
≤



+
+
+
≤


 
(1) 

Введя вектор переменных (плана)  

1

2

..

n

x

x
x

x









= 








, 
(2) 

вектор ограничений   

1
.

.

m

b

b

b









= 








, матрицу коэффициентов       

11
1

1

...

...
...

...

n

m
mn

a
a

A

a
a






= 






,    

систему ограничений (1) можно записать в матрично-векторной форме Ax
b
≤

.  

Целевую функцию можно записать 
1 1
( )
...
T

n
n
f x
c x
c x
c x
=
+
+
=
, тогда задача  

линейного программирования примет вид 

*
argmax
;

{ :
,
0},

T

x E
x
c x

E
x Ax
b x

∈
=

=
≤
≥

(3) 

где E – допустимая область, любая x
E
∈
– допустимая точка или план. 

Пример 1.2 

Понятие argmax изображено на рисунке. 

Ограничения в виде неравенств можно свести к ограничениям-равенствам 

вводя дополнительные вспомогательные переменные, поиск максимума целевой 

функции можно заменить поиском минимума функции, умноженной на -1. Тогда 

приходим к определению. 

Канонический вид задачи линейного программирования – найти вектор плана 

*x, для которого целевая функция ( )
T
f x
c x
=
достигает минимума на множестве 

точек E0, удовлетворяющем системе ограничений Ax
b
=
, где
0
b ≥
. 

0

*

0

argmin
;

{ :
,
0}.

T

x E
x
c x

E
x Ax
b x

∈
=

=
=
≥

(4) 

Вспомним метод Гаусса решение систем линейных уравнений. В нём расши
ренная матрица системы приводится к ступенчатой форме, определяются базис
ные и свободные переменные. Если все свободные переменные положить рав
ными нулю, то полученное частное решение системы называется базисным ре
шением. 

Теорема 

Каждое допустимое базисное решение системы Ax
b
=
есть угловая точка об
ласти E0. Обратно: каждая угловая точка E0 – допустимое базисное решение. 

 

1.2. Симплекс-метод 

Это разработанный Дж. Данцигом (США, 1950-е годы) метод целенаправлен
ного перебора угловых точек, при котором значение целевой функции убывает 

от точки к точке. Рассмотрим и обоснуем его на примере. 

Пример 1.2 

Найти 
1
2
*,
*
x
x
, обращающие 
1
2
1
2
( ,
)
2
0.5
g x x
x
x
= −
+
в максимум при ограниче
ниях 

1
2

1
2

1
2

1
2

2
2

3

6

0,
0

x
x

x
x

x
x

x
x

−
+
≤

−
+
≥ −

+
≤


≥
≥


.  

Перепишем задачу в каноническом виде (4), для этого умножим второе нера
венство на –1, введём уравнивающие вспомогательные переменные 
3
4
5
,
,
x x x  в ле
вые части первых 3х неравенств и перейдём к целевой функции 
( )
T
f x
c x
g
=
= −
.

1

2

3

4

5

x

x

x
x

x

x












=












, 

2

0.5

0

0

0

c






−





=











, 

2
1
1
0
0
|
2

(
| )
1
1
0
1
0
|
3

1
1
0
0
1
|
6

A b

−





=
−







. 
(5) 

Переставим столбцы последней матрицы в порядке 3, 4, 5, 1, 2, 6. Это уже 

ступенчатая форма. Свободные переменные
1
2
,
x x . Полагая их = 0, получим 

допустимое базисное решение 
0
(0
0
2
3
6)T
x =
. 
0
(
)
0
f x
=
, будет ли это 

наименьшим значением? В 
( )
f xесть член 
2
0.5x
−
, который показывает, что 
2x

невыгодно считать свободной (и полагать = 0). Лучше сделать 
2x > 0, т. е. пере
вести в базисные (перейти к другой угловой точке). Какая базисная переменная 

должна при этом перейти в свободные?  
2x  желательно сделать максимально по
ложительным, не допуская отрицательности остальных переменных. Из связей 

переменных (5) видно, что первой достигнет 0 
3x , она и будет свободной. Это 

уравнение связи называется разрешающим. Начиная с разрешающего уравнения, 

выражаем базисные переменные и целевую функцию через новые свободные пе
ременные. 
1
3
( )
1
0.5
f x
x
x
= − +
+
. Оба коэффициента при свободных переменных 

положительны, поэтому минимум достигается при обращении их в 0, что и про
исходит в текущей угловой точке 
1
(0
2
0
5
4)T
x =
. Значит, она и есть точка 

минимума. 
Каноническая 
задача 
решена: 
1
*
(0
2
0
5
4)T
x
x
=
=
, 

min
( *)
1
f
f x
=
= −
. 
Решение 
исходной 
задачи: 
ясно, 
max
1
g
=  
в 
точке

1
2
( *,
*)
(0, 2)
x
x
=
. 

 

Алгоритм симплекс-метода решения канонической задачи линейного 

программирования (при известной исходной угловой точке) 

 

1. i = 0. 

2. 
0
xзадаёт выбор базисных и свободных переменных. 

3. Выражаем базисные переменные и целевую функцию через свободные пе
ременные. 

4. Все ли коэффициенты при неизвестных в целевой функции ≥0? Если «да» 

– стоп, 
*
ix
x
=
. Если «нет» – переход к п. 5. 

5. Из свободных переменных, входящих в целевую функцию с отрицатель
ными коэффициентами, выбираем имеющую наименьший номер и переводим её 

в базисные. Пусть это будет 
lx . 

6. В выражениях базисных переменных через свободные все ли коэффици
енты при 
0
lx ≥
? Если «да» – стоп, целевая функция не ограничена: 
min
f
= − ∝. 

Если «нет» – переход к п. 7. 

7. i = i + 1