Философские проблемы математики. Математика как наука гуманитарная

В.А. Мейдер

Философские проблемы 
математики
Математика как наука гуманитарная

Учебное пособие
2-е издание, стереотипное

Москва
Издательство «ФЛИНТА» 
2014 

УДК 101.1:510.2
ББК 87.2+22.1В
        М45

Рецензенты:

д-р филос. наук, проф. Л.Р. Сулейманов (ВАГС)

д-р физ.-мат. наук, проф. В.В. Горяйнов 

[ВГИ (филиал) ВолГУ]

Мейдер В.А.

Философские проблемы математики. Математика как 
наука гуманитарная [Электронный ресурс] : учеб. пособие / 
В.А. Мейдер. — 2-е изд., стер. — М. : ФЛИНТА, 2014. — 
137 с. 

М45

Настоящее пособие включает основные вопросы про
граммы философской части кандидатского экзамена по данному 
курсу и предназначено для аспирантов и соискателей ученых степеней всех научных специальностей, относящихся 
к блоку математических наук.

Пособие адресовано также тем, кто интересуется ис
торией и методологией математики.

ISBN 978-5-9765-1984-8

УДК 101.1:510.2
ББК 87.2+22.1В

ISBN 978-5-9765-1984-8

© Мейдер В.А., 2006
© Издательство «ФЛИНТА», 2014 

Чд.сть 1. 
ОБРАЗ МАТЕМАТИКИ КАК НАУКИ: ФИЛОСОФСКИЙ АСПЕКТ. 

ПРОБЛЕМЫ, ПРЕДМЕТ И ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИКИ 

Математика как язык науки и техники. Математика в системе культуры. Математика и искусство. Математика и философия. Развитие 

представлений о предмете математики. Историческое и логическое в 

Формировании исходных математических понятий. Особенности образования и функционирования математических абстракций. Отношение математики к действительности. Соотношение материального и идеального в математическом познании. Идеализация 

Наше научно-философское представление о математике мы 

хотим начать словами Ф. Клейна (1849-1925) о том, что каждый, кто пожелает глубоко вникнуть в математику, должен будет собственным трудом шаг за шагом повторить весь путь, по 

которому она развивалась, ибо ни одним математическим понятием невозможно овладеть без предварительного усвоения не только ее основного понятийного аппарата, но и тех факторов, которые обусловили его формирование. 

Математика - особая наука. Ее трудно отнести к одному из 

традиционно различаемых направлений в познании - к наукам 

естественным, гуманитарным или техническим. Иными словами, ее можно отнести ко всем этим направлениям, ибо со всеми 

науками она находится в диалектическом единстве. 

Что касается гуманитарного аспекта, то трудно сказать, какая наука стоит в стороне от человека, не формирует его как 

личность. Математика играет весьма существенную роль в формировании духовной культуры человека, взаимодействуя с философией, поэзией, музыкой, скульптурой". В ее огромном саду 

«каждый найдет букет себе по вкусу» (Д. Гильберт), ибо в самой 

математике эти элементы культуры непосредственно содержаться и тем самым стимулируют интерес ученых. 

В системе культуры математика занимает важное и почетное 

место. Ее значимость в развитии наук и техники постоянно воз

Философские проблемы математики 

растает. Это обусловлено тем, что, во-первых, без математического описания целого ряда явлений действительности трудно надеяться на их более глубокое понимание и усвоение, а во-вторых, 
развитие многих наук предполагает широкое использование аппарата и методов математики. Математизация той или иной науки, начиная со времен Пифагора, есть объективная закономерность ее развития. Да и сам термин «математика» восходит к 
греческому µa8riµa (матэма), что означает «познание, знание путем рассУЖЦения, наука». Пифагорейцы называли свои исследования «математа» и делили их на четыре части ( «квадривиум» ): 
арифметику, геометрию, астрономию и музыку. Древнегреческие философы считали, что в основаниях Вселенной и в самой 
деятельности человека лежат математические отношения. Не случайно Платон в «Государстве» писал, что правители, воины (стражи), философы, ремесленники, купцы и торговцы должны изучать квадривиум для усвоения «войскового строя», «для постижения сущности», для понимания законов Вселенной и «стройных созвучий». Знание геометрии, пояснял он, необходимо «при 
устройстве лагерей, при стягивании и развертывании войск», а 
также в разных других «военных построениях как во время сражения, так и в походах ... ». 

Что делает математику универсальным и мощным методом 
познания? Думается, что одно из самых точных высказываний, 
определяющих ее место в системе наук, принадлежит датскому 
физику Н. Бору (1885-1962): «Математика - это больше, чем 
наука, это - язык». В отличие от языка других наук над языком 
математики усилиями многих поколений ученых воздвигнуто 
достаточно стройное здание дедуктивных построений. Поэтому 
высказывание Бора можно дополнить: «Математика - это больше, чем язык, это язык с воздвигнутым над ним зданием дедуктивных построений». 
Единство методов и предмета математики определяет специфику математического мышления, позволяет говорить об особом математическом языке, в котором не только отражается 
качественно-количественная определенность сторон реального 
(и воображаемого!) мира, но и синтезируется, обобщается, прогнозируется научное знание. С созданием «Маirинной математики» объектом изучения науки стала общая теория языков, теория исчисления предметов произвольной природы. 

Часть !. Образ математики как науки: философский аспект... 
5 

Сущность математического мышления во многом определяется символизацией и действиями над символами по строгим 
правилам логики. Современная математика обладает довольно 

богатым символическим языком, представляющим собой своеобразную «стенографию абстрактной мыслю> (Луи де Бройль). 

Зачатки этого языка можно связать с вавилонскими клинописными числами, с исследованиями древнегреческих ученых 
Героном (ок. 1 в.) и К. Птолемеем (ок. 90 - ок. 160), в творчестве 

которых наметился поворот к вычислительной математике, расширению понятия числа, к отказу от геометрической алгебры. 

С особой силой эта тенденцИя проявилась у Диофанта Александрийского (ок. 111 в.), которого по праву считают основоположником буквенной алгебры. Свое введение к «Арифметике» он 

начинает с описания символики: задает символы для неизвестного и первых шести его степеней как положительных, так и 
отрицательных, а также знаки действия. 

Таким образом, изменение характера математического творчества явилось одной из причин возникновения, развития и совершенствования символического (знакового) языка науки. Со 
времен Диофанта он позволял компактно представить информацию о свойствах материальных и идеальных объектов, выразить 

соотношения между ними. Знаки взяли на себя важнейшие функции человеческого интеллекта - запоминание, вычисление, рассуждение. И если язык классической вычислительной математики состоял из формул алгебры, геометрии и анализа, ориентировался на описание непрерывных процессов природы, изучаемых прежде всего в механике, астрономии, физике, то современный ее язык - это язык алгоритмов и программ. Он становится все более универсальным, способным описывать сложные 

( многопараметрические) системы. 

По отношению к другим наукам язык математики позволяет осуществить описание и систематизацию их эмпирических и 

теоретических данных, сформулировать и в знаковой форме выразить внутринаучные законы, построить математическую модель класса задач, осуществить ее (модели) решение, исследовать и сверить (по возможности) это решение с натурным экспериментом и т. п. 

Вместе с тем очень важно иметь в виду, что каким бы 

совершенным ни был математический язык, усиленный элект

Философские проблемы математики 

ронно-вычислительной техникой, он, во-первых, является вторичным по отношению к тем природным системам и процессам, качественно-количественные характеристики которых отражаются этим языком; во-вторых, математический язык не 
порьrвает связей с многообразным «ЖИВЫМ» (естественным) 
языком, выступающим исторически первым средством выражения и хранения знаний человека о мире; в-третьих, во всякой научной области, подвергающейся математизации, человек 
имеет дело с «двуязычностью» - естественным языком и математическим (искусственным). И если математический язык удовлетворяет требованиям однозначности, точности и строгости, 
то язык естественный «реалистичен». Он вселяет в человека уверенность о том, что действительно постигается объективная реальность. В силу этого математик стремится синтезировать достоинства того и другого языка. 

Начиная с Г. Галилея (1564-1642), провозгласившего, что 
грандиозная книга природы написана на математическом языке, 
а знание ее (природы) есть математические формулы, и до наших дней этот язык остается одним из важнейших средств построения естественных и технических наук. Математика выступает 
одним из эвристических источников представлений и принципов, на основе которых зарождаются новые теории. 
«Секрет» необычайной эффективности математики в естественных и технических науках таится в процедуре измерения. 
Измерение можно рассматривать в качестве эмпирика-математического метода, являющегося связующим звеном между теорией 
и практикой, между эмпирическими знаниями и их математическим выражением. Оно выступает специфическим видом эксперимента. 
С древнейших времен человек прибегал к процедуре измерения, используя окружающие его предметы: локоть, ступню 
ноги, ширину ладони, шаг взрослого человека, толщину волоса 
и т. п. То есть предпосылки математизации знания и меры измерения находятся в объективном мире. 

«Выход» методов и аппарата математики за ее пределы неизменно приводит к расширению предметной области математизируемой науки, вызывает, в частности, более· «сильную» идеализацию ее объектов. Сам процесс математизации предполагает: 
а) «готовность» математики вступить «Во владения» той или иной 

Часть I. Образ математики как науки: философский аспект... 
7 

науки и описать на своем языке ее проблемы; б) «зрелость» 

математизируемой науки, то есть освоение явления на доматематическом гуманитарном уровне, наличие в ней «жестко» установившихся понятий, структурных связей и отношений. Как видим, на языке математики ставится вопрос, находятся пути его 

решения, но «вызревание» вопроса осуществляется в «недрах» 

конкретной науки или практики. Свою роль - быть языком 

естественных наук - математика продемонстрировала в астрономии, в создании теории элементарных частиц и т. д. В сфере ее 

влияния оказались химия, биология, гуманитарные дисциплины. Так, еще в 1930 г., открывая первое заседание биоматематического кружка, В.И. Вернадский (1863-1945) сказал: «Нашей 

задачей должно быть ознакомление с происходящим сейчас вхождением в биологическую мысль математического мышления 
с одной стороны, а с другой - ознакомление с теми математическими проблемами, которые ставятся нашей собственной работой; изучением жизни с химической точки зрения ... 

Геохимия - основанная всецело на числе и мере, на количественном учете всех изучаемых явлений - стремится дать энергетическую их картину, в частности, она должна ввести их в 

энергетику земной коры. Этим определяется ряд математических 

проблем, ее интересующих . 

. . . Эта новая постановка проблем, которая должна вытекать 

из математического охвата новых явлений природы, должна иметь 

значение и для математиков, вызывать интерес и в их среде. Это 

исконный путь развития математического мышления, величайшей силы человеческого разума: математик исходит не только из 

логики, но и из новых задач, которые ему ставятся изучением 

природных явлений, в том числе и явления жизни в возможно 

широком ее охвате. 

Вопрос идет о сотрудничестве, где обе стороны выигрывают» [15. С. 83-84]. 

Математика выступает и языком техники. Ее формулы, 

таблицы, графики, приближенные расчеты и т. п. постоянно в 

центре внимания инженера, строителя, конструктора. Она верно служит в области радиотехники и радиоэлектроники, в измерении параметров приборов и установок, в кораблестроении 

(при определении формы судна, его устойчивости, при составлении «таблиц непотопляемости», нахождении рационального 

Фи.лософские проблемы математики 

расположения грузов на судне и т. п.). Инженерная проблема 

съемки крупных объектов бьша решена с изобретением фотоувеличителя. А он основан на простой геометрической идее 
преобразовании гомотетии. Известно, что М.А. Лаврентьев (19001980) создал теорию крьша, ставшую основой разработки катеров на подводных крыльях, а также теорию направленного 

взрыва и т. п.; М.В. Келдыш (1911-1978) успешно применил 

математические теории к решению проблем авиации, а в сотрудничестве с С.П. Королевым (1906-1966) создал ракетнокосмическую технику. Методы и вычислительный аппарат математики позволили человеку выйти в космос, «работать» на 

Луне, послать ракеты в сторону Марса, Венеры, Нептуна и 

других планет Солнечной системы. Паровая машина, созданная 

на действии параллелограмма П.Л. Чебышева (1821-1894) получила высокую оценку моряков-инженеров. Известно, что он 

сконструировал и построил 40 различных моделей шарнирных 

механизмов (среди которых и арифмометр), написал о них 15 мемуаров, в которых инженерные проблемы решались на основе 

математической теории приближения функции. Сегодня связка 

«Математика - вычислительная техника» является необходимостью в решении многих научных проблем. Причем она имеет и 
гуманистическую направленность, ибо вовлекает в свою сферу 

уже известные людям аппараты и конструкции. В этом отношении исключительное значение для медицинской диагностики 

имеет компьютерный рентгеновский томограф, который ярко 

выражает органический синтез математики и техники. Подобные приборы вошли и в арсенал врачей-онкологов. С их помощью можно не только обнаружить опухоль, но и найти оптимальный вариант лучевого воздействия на нее. 

Возможно, что впервые четко о роли математики как языка научного знания сказал Г. Галилей: «Философия написана в 

величественной книге (я имею в виду Вселенную), которая 

постоянно открыта вашему взору, но понять ее может лишь 

тот, кто сначала научится понимать ее язык и толковать знаки, 

которыми она написана. Написана же она на языке математики, 

а знаки ее - треугольники, круги и другие геометрические 

фигуры, без которых человек не смог бы понять в ней ни слова, без них он был бы обречен блуждать в потемках по лабиринту» [19. С. 11). 

Часть !. Образ математики как науки: философский аспект... 
9 

Математический язык силен теми знаками, которые указывают, какое действие следует осуществить. Правда, большинство 

знаков «молоды)), ибо появились сравнительно недавно. Так, знаки 
+ («Прибавить») и - («отнять») были введены лишь в XV в. в 

Германии. До этого применялись буквы «р» и «m» от латинских 

слов «plus» и «minus)>. Число «7t)> (пи) было введено в науку лишь 

в 1706 г. английским математиком У. Джонсом (1675-1749), а 

число «е)> (основание натурального логарифма) получило свое 

обозначение лишь в 1736 г. по предложению Л. Эйлера (17071783). Ему же принадлежат обозначения i = Гt, sin х, cos х, 

tg х, lg х, f (х) (для обозначения функции), L (для обозначения 

суммы), л х (для выражения приращения аргументах). Обозначение степени an было введено в математику в 1637 г. Р. Декартом 
(1596-1650). Знаки< («больше») и> («меньше)>) бьши предложены английским математиком Т. Гарриотом (1560-1621). Г. Лейбницем ( 1646-1716) бьши введены знаки * («умножение»), : («деление)>), d («дифференциал)>), J («Интеграл)>). Знак абсолютной 

величины для числа а (то есть \а\) бьш введен в 1841 г. К. Вейерштрассом (1815-1897). Такое перечисление можно бьmо бы продолжить. 

Математика - это важнейшая составная часть мировой 

общечеловеческой культуры и в практике мы часто употребляем понятие «математическая культура)>, подчеркивая ее относительную самостоятельность. Под математической культурой мы будем понимать специфическую деятельность по созданию абстрактных, идеализированных объектов науки, ее 

теорий и других духовных ценностей, по установлению между 

ними связей и соотношений в целях познания и разумного 

преобразования мира. В силу этого истоки математической 

культуры всегда оказываются диалектически связанными с 

историей техники, а также данными археологии, антропологии, геологии, астрономии, лингвистики. Каждый элемент 

математической науки находится в единстве с общечеловеческой культурой, ее уровнем. Всякое открытие в ней (скажем, 

открытие теоремы, носящей имя Пифагора, или доказательство Великой теоремы П. Ферма) осуществляется в рамках определенной культуры. Рано или поздно оно становится достоянием специалистов, а затем и многих людей, приобретая гуманистические и нравственные ценности. 

Фшюсофские проблемы математики 

Каков «механизм» взаимодействия общей культуры и математической науки? 

1. Уровень математической культуры, математические способы усвоения и видейия окружающего мира всегда определялись (и определяются!) уровнем общей культуры конкретного 
общества. Культурная среда задает науке мощные импульсы развития, определяет перспективу, обнаруживает плодотворные «ТОЧКИ» приложения. Она обеспечивает «гибкость» ума творцам науки, способствует рождению таких идей, которые даже противоречат «здравому смыслу». Причем в математике их выдвижение 
идет особенно интенсивно. Вспомним «обнаружение» несоизмеримых отрезков, неевклидовых («воображаемых») геометрий, 
«колючих» (не имеющих производных ни в одной своей точке) 
кривых, законов бесконечных множеств и т. п. В ходе практики 
рано или поздно человек убеждался в том, что противоречащие 
наглядности и «здравому смыслу» правильные (не вздорные!) 
идеи оказывались логически обоснованными и безупречными. 
В общем большой политический или общекультурный подъем 
всегда сопровождался положительными изменениями в математическом творчестве. Так бьmо во времена Архимеда (lll в. до н. э.) 
и во времена И. Ньютона и Г. Лейбница (XVII-XVIII вв.). Этот 
процесс наблюдается и в наши дни. 

2. Обратное воздействие математики на культуру выражается прежде всего в том, что она выступает идеальным и в то же 
время материально-практическим богатством общества. Ее вклад 
в общую культуру определяется тем, как в ходе общественного 
развития преобразуются производство, техника и сам человек. 
В этой связи можно выделить, по меньшей мере, шесть исторических социокультурных функций математики. Она: 1) момент 
и способ выражения первобытного мифа; 2) необходимая сторона в отношениях обмена и распределения; 3) идеальная техника 
в конкретных производственных отношениях; 4) логическое обоснование построений теории; 5) метод и форма теоретического 
выражения экспериментального естествознания; 6) важнейшая 
составляющая «искусственного интеллекта», все более приобретающего уникальное общественное значение. 

3. По своему содержанию математика призвана служить самым гуманным целям человека, повышать активность его интеллектуальной жизни, сплачивать народы и с:раны. Математики всегда