Математика для школьников, 2018, № 1
научно-практический журнал
Покупка
Тематика:
Математика. Высшая математика
Издательство:
Школьная Пресса
Наименование: Математика для школьников
Год издания: 2018
Кол-во страниц: 48
Дополнительно
Тематика:
ББК:
УДК:
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
1 ИДУ НА ЭКЗАМЕН 3 Малышев И.Г. О расположении центра окружности, вписанной в четырёхугольник В статье указано, как центр окружности, вписанной в четырёхугольник, делит отрезок, соединяющий середины диагоналей четырёхугольника. АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ 6 Артыгалина Р.Д. Развиваем пространственное воображение (для учащихся 5–7 классов) В статье представлены задания для 5–7 классов общеобразовательных школ, целью которых является развитие пространственного воображения школьников. 10 Шевкин А.В. Как не получить ответ в задаче, не имеющей решения? Хорошо известно, что есть уравнения, не имеющие корней. Ученик, решающий такое уравнение, в ответе должен записать: корней нет. Оказывается, есть арифметические задачи, которые не имеют решения. Так бывает, когда условие задачи содержит противоречие. О такой задаче рассказывает статья. ПРОВЕРЬ СЕБЯ 14 Кукушкин Б.Н. Задачник «Математики для школьников» Задачник «Математики для школьников» представляет новые задачи и решения задач, опубликованных в номере 4 за 2017 год. КЛУБ ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ 20 Дружинин Б.Л., Куминова И.И. Сказка про то, как Емеля Царевну Несмеяну спасал (части 3, 4) Перед вами история необыкновенного путешествия самого обычного четвероклассника Емельяна. Царь Горох поручил ему спасти царевну Несмеяну из заточения в замке Кощея Бессмертного. Во время путешествия Емельяну и его спутникам приходится выходить из трудных ситуаций и решать непростые задачи. Попробуй и ты их решить. Не торопись заглядывать в ответ, лучше читай внимательно — в тексте есть подсказки.
МАТЕМАТИКА ЭТО ИНТЕРЕСНО 36 Недосекина И.С. Задача китайского императора и треугольник Серпинского В статье рассматривается задача, решение которой связано с построением фрактального множества, называемого треугольником Серпинского. 40 Дворянинов С.В. Так какого же цвета медведь? Об одной загадке, опубликованной на сайте ВВС. ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ СТРАНИЦА Акулич И.Ф. 41 Кофе со сливками Об одной задаче из книги «Математические завлекалки» — последнего произведения классика научно-популярной литературы Б.А. Кордемского (1907–1999). 46 …Как Тузик грелку Легендарный популяризатор математики Мартин Гарднер, автор множества превосходных задач, в том числе содержащих всевозможные подвохи и ловушки, признавался, что порой попадал с ними впросак. Один из таких примеров он привёл в 12-й главе своей книги «Математические новеллы». Научно-практический журнал для учащихся старшего и среднего возраста Рукописи, поступившие в редакцию, не рецензируются и не возвращаются. Редакция не несет ответственности за содержание объявлений и рекламы Издание охраняется Законом Российской Федерации об авторском праве. Любое воспроизведение опубликованных в журнале материалов как на бумажном носителе, так и в виде ксерокопирования, сканирования, записи в память ЭВМ, размещение в Интернете запрещается Адрес редакции и издательства: корреспонденцию направлять по адресу: 127254 , г. Москва, а/я 62 Телефоны: 8 (495) 619-52-87, 619-83-80 Факс: 619-52-89 E-mail: matematika@schoolpress.ru Интернет http://www.школьнаяпресса.рф Главный редактор Е. А. Бунимович Заместитель главного редактора С.Д. Троицкая Редакторы С.В. Дворянинов, Н.М. Карпушина, В.П. Норин Отдел задач Б.Н. Кукушкин Выпускающий редактор И.А. Моргунова Корректор И.И. Саможенкова Компьютерная вёрстка В.Н. Бармин Журнал зарегистрирован Министерством РФ по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций Свидетельство о регистрации ПИ № 77–9198 от 14 июня 2001 г. Формат 84 × 108 /16. Усл. п. л. 3,0. Изд. № 3175. Заказ Отпечатано в АО «ИПК «Чувашия» 428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 13 © «Школьная Пресса», © «Математика для школьников», 2018, № 1 В оформлении обложки использована картина Жоса де Мея «НЛО над фламандской деревней» (репродукция заимствована с сайта «Невозможный мир»: http://im-possible.info) Журнал зарегистрирован в базе данных Российского научного цитирования
Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. ИДУ НА ЭКЗАМЕН И.Г. Малышев О РАСПОЛОЖЕНИИ ЦЕНТРА ОКРУЖНОСТИ, ВПИСАННОЙ В ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК В статье указано, как центр окружности, вписанной в четырёхугольник, делит отрезок, соединяющий середины диагоналей четырёхугольника. Известно, что центр вписанной в четырёхугольник окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис его углов. Пересечение всех биссектрис в одной точке равносильно равенству сумм длин противоположных сторон a + c = b + d. При этом центр вписанной окружности четырёхугольника обладает интересным свойством. А именно, при аккуратном построении четырёхугольника, выясняется, что центр вписанной окружности лежит на отрезке, соединяющем середины диагоналей. Это неслучайно, согласно теореме Ньютона, во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной прямой (Википедия). Данная теорема, как и её доказательство, практически нигде не представлены. Это говорит о том, что теорема либо сложная, либо не имеет принципиального характера, либо то и другое вместе. Выберем такой способ её доказательства, который позволит одновременно указать место расположения этого центра. На рисунке 1 показан четырёхугольник, в который вписана окружность. Из середин диагоналей (точки Р и Q) проведены перпендикуляры к его сторонам. Так получаются четыре прямоугольные трапеции с основаниями x и y; z и t; x1 и y1; z1 и t1. Так как диаметр окружности удовлетворяет неравенству b ⋅ sin β < 2r < d ⋅ sin α или x < r < y (в случае трапеции неравенство может быть нестрогим), то на PQ есть точка О1, расстояние от которой до стороны а равно радиусу окружности. Это верно и для других сторон. Следовательно, на PQ возможны четыре точки, расстояние от которых до соответствующих сторон равно радиусу. Если отношение, в котором эти точки делят отрезок PQ, одно и то же, то все точки совпадают и мы имеем центр вписанной окружности. Рис. 1 A a x z b t d c r r r y y1 x1 t1 z1 B C D Q O P H 4 3 2
1/2018 МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. Длины показанных на рисунке отрезков и сторон таковы: ctg ctg , 2 2 a r α β ⎛ ⎞ = ⋅ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ сtg ctg , 2 2 b r γ β ⎛ ⎞ = ⋅ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ сtg сtg , 2 2 c r γ δ ⎛ ⎞ = ⋅ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ctg сtg , 2 2 d r α δ ⎛ ⎞ = ⋅ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ sin , 2 b x ⋅ β = 1 sin , 2 d x ⋅ δ = sin , 2 d y ⋅ α = 1 sin , 2 b y ⋅ γ = sin , 2 a z ⋅ β = 1 sin , 2 c z ⋅ δ = sin , 2 c t ⋅ γ = 1 sin . 2 a t ⋅ α = Отметим, что эти равенства получены в предположении, что окружность вписана в четырёхугольник, а центр окружности пока никак не связан с отрезком РQ. Опустим на отрезок у перпендикуляры из точек О (для первой трапеции подразумевается О1) и Q. В прямоугольном треугольнике НРQ имеем два подобных треугольника, отмеченные на рисунке серым цветом. Отношение их гипотенуз равно отношению их катетов: 1 1 sin cos ctg ctg 1 2 2 2 2 1 sin cos ctg ctg 2 2 2 2 PO y r O Q r x α α α δ ⎛ ⎞ ⋅ + − ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ = = = β β β γ − ⎛ ⎞ − ⋅ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 sin cos ctg sin 2 2 2 2 sin sin cos ctg 2 2 2 2 sin sin cos 2 2 2 . sin sin cos 2 2 2 α α δ α ⋅ ⋅ − = = β β β γ − ⋅ ⋅ α γ α + δ ⋅ ⋅ = β δ β + γ ⎛ ⎞ ⋅ ⋅ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Так как углы связаны равенством α + δ = 360° – (β + γ), то cos cos . 2 2 α + δ β + γ = − В итоге получаем: 1 1 sin sin 2 2 . sin sin 2 2 PO O Q α γ ⋅ = β δ ⋅ Для трёх других трапеций имеем такие равенства: 2 2 sin sin cos 2 2 2 , sin sin cos 2 2 2 PO r t O Q z r α γ γ + δ ⎛ ⎞ ⋅ ⎜ ⎟ − = = ⋅ − ⎜ ⎟ β δ β + α − ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 1 3 1 sin sin cos 2 2 2 , sin sin cos 2 2 2 PO r y O Q x r α γ γ + β ⎛ ⎞ ⋅ ⎜ ⎟ − = = ⋅ − ⎜ ⎟ β δ δ + α − ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 1 4 1 sin sin cos 2 2 2 . sin sin cos 2 2 2 PO t r O Q r z α γ α + β ⎛ ⎞ ⋅ ⎜ ⎟ − = = ⋅ − ⎜ ⎟ β δ γ + δ − ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Действительно, все четыре дроби сводятся к одному и тому же значению, а это означает, что все четыре точки совпадают и что центр вписанной окружности четырёхугольника лежит на отрезке, соединяющем середины диагоналей четырёхугольника, и делит его в отношении sin sin 2 2 , sin sin 2 2 PO OQ α γ ⋅ = β δ ⋅ причём точка Р лежит на диагонали ВD (углы β, δ), а точка Q — на диагонали АС (углы α, γ). Рассмотрим частные случаи четырёхугольников. Для клумбового четырёхугольника [1], когда γ = 180° – α и δ = 180° – β, это отношение несколько упрощается sin . sin PO OQ α = β В случае трапеции γ = 180° – β и δ = = 180° – α, где α и β углы при основании трапеции. Отношение, в котором
ИДУ НА ЭКЗАМЕН Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. делится отрезок, равно tg 2 . tg 2 PO OQ α = β Формула не работает для ромба и квадрата. Это связано с тем, что множители, подобные cos , 2 α + δ равны нулю и отно- шение не определено. Таким образом, получен новый результат, дополняющий теорему Ньютона, а также приведён один из вариантов её доказательства. Литература 1. Малышев И.Г. О перечне формул клумбового четырёхугольника // Математика в школе. – 2017. – № 6. – С. 38–42. Повелитель чисел Путь Карла Гаусса (1777–1855) в большую науку начался с интереса к теории чисел, или к высшей арифметике, как называл её сам математик. Ещё в годы учёбы Карл приступил к собственным изысканиям. Плодом их стал фундаментальный труд «Арифметические исследования». В этой книге теория чисел впервые излагалась как стройная наука. Идеи Гаусса оказали огромное влияние на работы других учёных в этой области и сегодня используются в вычислительной математике, информатике, криптографии. Недаром его называют отцом современной теории чисел. * * * В 15 лет Карл Гаусс задался вопросом: как оценить количество простых чисел, не превосходящих заданного натурального числа? В поисках подходящей формулы ему пришлось составить таблицу простых чисел. Задача была не из лёгких и к тому же для терпеливых. Сперва Гаусс отобрал все простые числа из тысячи натуральных чисел. Затем просеял другой отрезок такой же длины, потом ещё один... С тех пор он тратил на это занятие свободные четверть часа, оно вошло в привычку, и со временем учёный «перебрал» сотни тысяч чисел! * * * Незадолго до 18-летия Гаусс начал вести дневник своих открытий. Одна из первых записей выглядела так: ΕYΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ. Зашифрованное сообщение гласило: «Нашёл! Всякое натуральное число можно представить в виде суммы не более трёх треугольных чисел». Это был достойный ответ Гаусса его предшественнику Пьеру Ферма (1601–1665), над чьими хитроумными задачами годами ломали головы лучшие европейские математики. Эта задача не стала исключением и дожидалась решения почти 160 лет. Н. Карпушина ИНТЕРЕСНОЕ О ВЕЛИКИХ
Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. Дорогие ребята! Скорее всего, вы уже выполняли задания на построение проекций геометрических фигур, они есть во многих учебниках по математике для 5–6 классов. Ниже мы предлагаем вам решить ещё несколько таких заданий: выполнение их, несомненно, послужит развитию вашего пространственного воображения и подготовит вас к последующему изучению геометрии и стереометрии в школе. Рис. 1 Во всех заданиях используются либо каркасный куб (рис. 1), либо фигуры, составленные из нескольких одинаковых каркасных кубов. Остовы конструкций (рёбра этих кубов) изображены на рисунках к заданиям тонкими линиями. Раньше — в дошкольных учреждениях либо в начальных классах — многие из вас работали с проволокой, создавая из ку сков проволоки различные геометрические фигуры, в том числе, отрезки и ломаные. Теперь же, хотя в формулировках предлагаемых ниже заданий идёт речь о проволоке, вам нужно научиться представлять эти простейшие пространственные фигуры мысленно. Однако если у вас возникнут затруднения при решении какой-либо задачи, то целесообразно сначала попытаться сделать соответствующую модель из проволоки. Задание 1. На рисунке 2 изображены ломаные, сделанные из проволоки. (Такие изображения геометрических фигур называются аксонометрическими.) Вершины каждой ломаной находятся в вершинах каркасного куба. Требуется в каждом из случаев нарисовать проекции ломаной: вид спереди, вид сверху и вид слева. Задание 2. В аквариуме, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда (рис. 3а)), плавает рыбка. Если смотреть на аквариум спереди, то её траектория имеет вид 3б), а если смотреть справа, то траектория рыбки имеет вид 3в). Нарисовать траекторию рыбки в аквариуме (для этого следует перерисовать в тетрадь рисунок 3а)) и вид траектории сверху. АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ Р.Д. Артыгалина РАЗВИВАЕМ ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ВООБРАЖЕНИЕ (ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 5–7 КЛАССОВ) В статье представлены задания для 5–7 классов общеобразовательных школ, целью которых является развитие пространственного воображения школьников.
АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. Рис. 2 а) а) б) в) б) в) е) д) г) Рис. 3 Рис. 4 а) б) г) в)
1/2018
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
Задание 3. Нарисовать проекции
каждой из проволок, изображённых на
рисунке 4: вид спереди, вид сверху и вид
слева.
Задание 4. Всегда ли можно по проекциям ломаной однозначно восстановить саму ломаную? Подсказка: можно
воспользоваться ответами к п. б) и г) задания 1.
Задание 5. Существуют ли «невозможные» проекции (т.е. такие рисунки трёх
проекций, которым не соответствует ни
одна ломаная)? Если — да, то привести
пример.
Для ускорения решения следующих задач советуем вам сделать заготовки для
ответов: распечатать листы с предварительно размноженными изображениями
— см. рисунки 5, 6.
Рис. 5
Рис. 6
Задание 6. Построить аксонометрическое изображение каждой из ломаных,
проекции которых даны на рисунке 7 в
следующем порядке: вид спереди, вид
сверху и вид слева.
а)
б)
в)
г)
Рис. 7
Задание 7. Построить аксонометрическое изображение каждой из ломаных,
проекции которых даны на рисунке 8 в
следующем порядке: вид спереди, вид
сверху и вид слева.
АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ
Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
а)
б)
в)
г)
Рис. 8
Ответы
2.
Рис. 9
5. Заметим, что в задании 2 удалось
восстановить траекторию рыбки, исполь
зуя лишь две проекции (вид спереди и
вид справа), а третья (вид сверху) определилась однозначно. Ясно, что если нарисовать любое другое множество в качестве
третьей проекции (например, если к рисунку «вид сверху» добавить отрезок, соединяющий две верхние вершины квадрата), то получится искомый пример «невозможных проекций».
6.
а) б) в) г)
Рис. 10
7.
а) б)
в) г)
Рис. 11
Литература
1. Крижановский А.Ф. Математические
кружки. 5–7 классы. — М.: ИЛЕКСА, 2016.
320 с.
2. Пугачёв А.С. Задачи-головоломки по
черчению. — Л.: Издательство «Судостроение», 1965. 194 с.
1/2018 МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. История, связанная с рассмотренными ниже задачами, такова. Однажды автор этих строк готовился к очередной лекции для учителей математики и задумал рассказать им задачу 3 (см. ниже). Однако условие этой задачи автор помнил плохо и потому вспомнил его с ошибкой. Так слушателям была предложена задача 5 (см. ниже), в которой на лекции был получен «ответ»: за 3 ч. Уже после лекции была выполнена проверка и выяснилось, что в задаче 5 описана невозможная ситуация. Аналогичный конфуз произошёл в США, где школьники в одном из тестов вычисляли площадь несуществующего прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 и высотой 6, опущенной на гипотенузу. Представляется интересным обсудить, как получается ответ в задаче, не имеющей решения в силу невозможности ситуации, описанной в её условии. Начнём с простых задач и рассмотрим различные способы их решения. Задача 1. Первый землекоп копал канаву столько времени, сколько второму землекопу требуется, чтобы выкопать эту канаву. Потом второй землекоп продолжил копать канаву столько времени, сколько первому требуется, чтобы выкопать 1 4 этой канавы. В результате канаву выко пали за 9 часов. За сколько часов землекопы выкопали бы эту канаву, работая совместно? Р е ш е н и е. Представим, что у нас есть три одинаковые канавы. Пусть первый землекоп начал копать первую канаву, одновременно с ним второй начал копать вторую канаву. Первый землекоп перестанет копать первую канаву, когда второй выкопает вторую. Второй землекоп продолжит копать первую канаву, а первый начнёт копать третью канаву. Когда второй землекоп закончит копать первую канаву, первый выкопает 1 4 третьей ка навы. Вся эта совместная работа будет длить ся 9 ч и будет выкопано 1 1 1 1 2 4 4 + + = канавы. На одну канаву землекопы тра тят 1 9 9 : 2 9 : 4 4 4 = = (ч), поэтому при со вместной работе они выкопают одну канаву за 4 ч. О т в е т: за 4 ч. Отметим, что ситуация, описанная в задаче 1, возможна, если первый выкапывает канаву за 12 ч, а второй — за 6 ч. Задача 2. Первый землекоп копал канаву столько времени, сколько второму землеко А.В. Шевкин КАК НЕ ПОЛУЧИТЬ ОТВЕТ В ЗАДАЧЕ, НЕ ИМЕЮЩЕЙ РЕШЕНИЯ? Хорошо известно, что есть уравнения, не имеющие корней. Ученик, решающий такое уравнение, в ответе должен записать: корней нет. Оказывается, есть арифметические задачи, которые не имеют решения. Так бывает, когда условие задачи содержит противоречие. О такой задаче рассказывает статья.
АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. пу требуется, чтобы выкопать эту канаву. Потом второй землекоп копал канаву столько времени, сколько первому требу ется, чтобы выкопать 2 9 этой канавы. В результате канаву выкопали за 8 ч. За сколько часов они выкопали бы эту канаву при совместной работе? Р е ш е н и е. Примем за единицу работу, совершаемую при выкапывании канавы. Пусть первый землекоп выкопает канаву за x ч, тогда в час он выкапывает 1 x канавы. Пусть второй землекоп выко пает канаву за y ч, тогда в час он выка пывает 1 y канавы. По условию задачи первый копал y ч, значит, выкопал y x канавы. Потом вто рой копал 2 9 x ч, значит, выкопал 2 9 x y канавы. Так как работа была закончена за 8 ч, то составим два уравнения: 2 8, 9 x y + = 2 1. 9 y x x y + = (1) Решив систему уравнений (1), получим 72 , 5 x = 24 5 y = или x = 9, y = 6. В обоих случаях время выкапывания канавы при совместной работе равно 1 1 1 : 3,6 x y ⎛ ⎞ + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (ч). О т в е т. за 3,6 ч. Задача 3. Три бригады землекопов копали канаву. Сначала первая бригада работала половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву; затем вторая работала половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву; наконец, третья работала половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. В результате канава была вырыта за 8 ч. За сколько часов три бригады вырыли бы канаву, если бы с самого начала работали вместе? Р е ш е н и е. Примем за 1 работу, совершаемую при выкапывании канавы. Пусть первая, вторая и третья бригады в час выполняют части работы, выражаемые дробями a, b, c, и работали над выкапыванием первой канавы x ч, y ч и z ч, соответственно. Составим уравнения: x + y + z = 8, (1) ax + by + cz = 1, (2) 1 ( ) , 2 x b c + = (3) 1 ( ) , 2 y a c + = (4) 1 ( ) . 2 z a b + = (5) Если система из этих пяти уравнений (1)–(5) с шестью неизвестными имеет решение, то, сложив уравнения (2)–(5), получим новое уравнение, имеющее то же решение: ax + by + cz + bx + cx + + ay + cy + az + bz = 2,5. Перепишем это уравнение в виде: (a + b + c)(x + y + z) = 2,5. (6) Из уравнений (1) и (6) следует, что 5 . 16 a b c + + = Итак, при совместной ра боте трёх бригад за 1 ч выкапывают 5 16 канавы, следовательно, одну канаву вы копают за 5 1 : 3,2 16 = (ч). О т в е т: за 3,2 ч. Заметим, что ответ задачи получен из предположения, что система имеет решение. Строго говоря, требуется убедиться, что система имеет решение, иначе можно получить решение задачи, которая на самом деле не имеет решения, если в за
1/2018 МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. даче описана невозможная ситуация (как далее в задаче 5). Проверка показывает, что шесть чисел 1 , 16 a = 1 , 16 b = 3 , 16 c = x = 2, y = 2, z = 4 представляют одно из решений системы. Итак, система имеет хотя бы одно решение и в задаче описана возможная ситуация. Следующая задача является обобщением задачи 3. В ней не задано время выкапывания канавы. Задача 4. Три бригады землекопов копали канаву. Сначала первая бригада работала половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву; затем вторая работала половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву; наконец, третья работала половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. В результате канава была вырыта. Во сколько раз быстрее была бы вырыта канава, если бы с самого начала все три бригады работали вместе? Р е ш е н и е. Пусть три бригады совместно копают одинаковые канавы следующим образом. Пока первая бригада копает часть первой канавы, вторая и третья выкопают половину второй канавы. Пока вторая бригада продолжает копать первую канаву, первая и третья закончат копать вторую канаву. Пока третья бригада заканчивает копать первую канаву, первая и вторая выкопают половину третьей канавы. Тогда за то время, за которое три бригады выкопали первую канаву, работая по очереди, при совместной работе три бригады выкопают 2,5 канавы. Значит, одну канаву они выко пают при совместной работе в 2,5 раза быстрее, чем работая по очереди. О т в е т: в 2,5 раза. Нетрудно убедиться, что в задаче 3 время совместного выкапывания канавы в 2,5 раза меньше, чем время поочерёдного выкапывания канавы. Задача 5. Первая бригада копала канаву столько времени, сколько требуется второй и третьей бригадам, чтобы выкопать эту канаву при совместной работе. Потом вторая бригада копала ту же канаву столько времени, сколько на всю канаву затратили бы первая и третья бригады при совместной работе. Закончила работу третья бригада. Она копала столько времени, сколько затратили бы первая и вторая бригады на всю канаву при совместной работе. Канава была выкопана за 12 ч. За сколько часов три бригады выкопали бы канаву при совместной работе? Сначала заметим, что если бы мы не знали, что ситуация, описанная в задаче 5, невозможна, то мы могли бы получить «ответ» одним из двух способов. Способ I. Пусть три бригады совместно копают четыре одинаковые канавы следующим образом. Пока первая бригада копает часть первой канавы, вторая и третья выкопают вторую канаву. Пока вторая бригада продолжает копать первую канаву, первая и третья выкопают третью канаву. Пока третья бригада заканчивает копать первую канаву, первая и вторая выкопают четвёртую канаву. Тогда за 12 ч совместной работы три бригады выкопают 4 канавы, значит, одну канаву они выкопают за 12 : 4 = 3 (ч). Способ II. Примем за 1 работу, совершаемую при выкапывании канавы. Пусть первая, вторая и третья бригады в час выполняют части работы, выражаемые