Теория вероятностей и математическая статистика

Утверждено
Министерством образования
Республики Беларусь
в  качестве учебника
для  студентов учреждений
высшего образования
по физико-математическим
специальностям

Минск
«Вышэйшая  школа»
2017

М.А. Маталыцкий
Г.А. Хацкевич

Теория вероятностей
и математическая  
статистика

УДК 519.2(075.8)
ББК 22.171я73
М33

Р е ц е н з е н т ы: кафедра теории вероятностей и математической статистики Белорусского государственного университета (заведующий кафедрой 
доктор физико-математических наук, профессор Н.Н. Труш, доктор физикоматематических наук, профессор Г.А. Медведев)

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой 
ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства.

Маталыцкий, М. А.
М33 
Теория вероятностей и математическая статистика :
учебник / М. А. Маталыцкий, Г. А. Хацкевич. – Минск : 
Вышэйшая школа, 2017. – 591 с. : ил.
ISBN 978-985-06-2855-8.

Приведены определения вероятности случайных событий и соотношения, связанные с условными вероятностями и схемой Бернулли; 
типы случайных величин, их числовые и функциональные характеристики; закон больших чисел и центральная предельная теорема; сведения о марковских случайных процессах и цепях Маркова с дискретным 
и непрерывным временем, стохастических интегралах и дифференциальных уравнениях. Рассмотрены вопросы применения случайных 
процессов; основные распределения, применяемые в статистике; проверка простых и сложных гипотез; последовательный и дисперсионный анализ; линейные регрессионные модели. Даны решения более 
130 различных типов примеров и более 800 задач для самостоятельного 
решения.
Для студентов учреждений высшего образования по физико-математическим специальностям. Будет полезен магистрантам и аспирантам, преподавателям, а также научным и практическим работникам.

УДК 519.2(075.8)
ББК 22.171я73

ISBN 978-985-06-2855-8 
© Маталыцкий М.А., Хацкевич Г.А., 2017
 
© Оформление. УП «Издательство
 
“Вышэйшая школа”», 2017

Предисловие

За последние десятилетия значительно увеличился объем 
преподавания дисциплин, использующих вероятностные и статистические методы. В высших учебных заведениях для студентов ряда математических («Математика», «Прикладная математика», «Экономическая кибернетика», «Актуарная математика», «Математическая экономика», «Компьютерная безопасность») и физических специальностей читается годовой или 
полугодовой курс теории вероятностей и математической статистики. Курс состоит из трех основных разделов: элементы 
теории вероятностей, случайных процессов и математической 
статистики, по которым написан данный учебник. Он подготовлен на базе лекций и методических разработок по курсу 
теории вероятностей и математической статистики, читаемому 
авторами для студентов различных физико-математических 
специальностей.
Отличительной особенностью учебника является то, что 
кроме основательного рассмотрения понятий и методов современной теории вероятностей, случайных процессов и математической статистики он содержит большое количество разнообразных теоретических примеров и задач различной степени трудности, многие из которых снабжены ответами. Это 
позволяет использовать учебник не только для чтения лекций, 
но и для проведения практических занятий.
Структура изложения курса такова, что представленный 
материал может одновременно играть роль учебника, задачника и справочника. Много внимания уделено вопросам применения вероятностных методов в различных областях. Основные 
теоремы приведены с полными доказательствами, которые 
могут быть использованы при доказательстве различных утверждений, сформулированных в задачах. В большинстве параграфов есть простые задачи, которые сводятся к прямому 
применению основных формул и приемов. Также присутствуют 
достаточно сложные задачи, решения которых содержат важные 
идеи и связаны с аккуратным проведением математических 
выкладок и практическими применениями. Такие задачи отмечены звездочкой, они могут служить началом курсовой работы. В учебнике представлены задачи «прикладного» характера, что позволяет не только обучить студентов теоретическим 
основам, но и привить навыки вероятностно-статистического 
моделирования реальных явлений.

При составлении задач был использован ряд отечественных 
и зарубежных учебников и задачников, приведенных в списке 
литературы, некоторые из задач составлены авторами.
Первые два раздела написаны профессором М.А. Маталыцким, третий раздел – профессором Г.А. Хацкевичем.
Предназначен для студентов учреждений высшего образования по физико-математическим специальностям, также будет 
полезен студентам, магистрантам, аспирантам, специалистам, 
желающим познакомиться с основными методами и результатами теории вероятностей, случайных процессов и математической статистики.
Выражаем благодарность рецензентам, сделавшим ряд полезных замечаний.

Авторы

введение

Теорию вероятностей можно определить как науку, изучающую случайные события. Случайные события как они понимаются в теории вероятностей обладают рядом характерных особенностей, в частности все они происходят в массовых явлениях.
Первые вероятностные задачи были связаны с азартными 
играми. В XVIII в. вероятностными задачами занимались Б. Паскаль, П. Ферма, Я. Бернулли (автор закона больших чисел). 
В XVIII в. де Муавр сформулировал первое предельное утверждение, относящееся позже к центральной предельной теореме, 
а Т. Байес предложил свою знаменитую формулу, заложив тем 
самым фундамент развитой позднее теории оценивания. Дальнейшее развитие теории вероятностей во второй половине 
XVIII в. и первой половине XIX в. связано с именем П. Лапласа. Его классический трактат «Theorie Analytique des Probabilities» 
содержит оригинальные результаты собственных исследований 
и предшественников. К этому же периоду относятся труды 
К. Гаусса и С. Пуассона. Во второй половине XIX в. для развития теории вероятностей большое значение имели труды 
П.Л. Чебышева.
Начало XX в. связано с наиболее значительным развитием 
теории вероятностей. Разработаны ее математические основы, 
определены связи с другими разделами математики и развит 
аналитический аппарат. Существенно расширилась область 
применения в физике, технике и других областях.
Первое определение вероятности ввел П. Лаплас. Однако 
его определение требовало определенных логических оговорок, 
и область применения была довольно узкой. Введение Ж. Бюффоном геометрической вероятности было шагом вперед для 
обоснования основ теории вероятностей, но парадоксы Э. Бертрана свидетельствовали о существовании пробелов в ее основных понятиях.
Разработкой математических основ теории вероятностей 
занимались С.Н. Берштейн, В.И. Гливенко, А.Н. Колмогоров, 
К. Мизес, Г. Штейнгауз. Совместно события и их вероятности 
как нормированную булевскую алгебру определил В.И. Гливенко. Вероятность как меру Лебега, определенную в борелевском 
поле измеримых подмножеств отрезка [0, 1], рассматривал 
Г. Штейнхауз. Понятие вероятности как нормированной меры, 
определенной в минимальном борелевском поле подмножеств 

некоторого множества, называемого множеством элементарных 
событий, введено А.Н. Колмогоровым.
Теоремы П. Леви о характеристических функциях и разработка теории безгранично делимых законов распределения 
позволили найти предельные распределения для сумм независимых случайных величин (Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, 
В. Феллер, А.Я. Хинчин). Утверждения А.Я. Хинчина и А.Н. Колмогорова о законе повторного логарифма и усиленном законе 
больших чисел углубили результаты, касающиеся закона больших чисел.
Следует отметить, что теория вероятностей постоянно развивается из потребностей практики. В абстрактной форме она 
отражает закономерности, присущие случайным событиям 
массового характера. Эти закономерности играют исключительно важную роль в физике, технике (в частности, в компьютерной), экономике и других областях естествознания.
При изучении различных явлений действительности люди 
сталкиваются с процессами, предсказать развитие которых заранее нельзя. Случайные процессы – удобная математическая 
модель функций времени, значениями которых являются случайные величины. Например, число запросов, поступающих 
в единицу времени на центральный сервер информационнокомпьютерной сети, будучи случайной величиной, зависит 
от времени суток; расход электроэнергии в единицу времени – 
также функция времени со случайными значениями; координата отдельной молекулы в газе, заключенном в сосуд, меняется со временем и принимает случайные значения. Таким образом, можно сказать, что случайный процесс – это семейство 
случайных величин, зависящих от времени.
Теория случайных процессов, возникшая в результате построения математических моделей реальных физических процессов, представляет собой наиболее содержательную и более 
всего используемую в приложениях часть теории вероятностей. 
Она находит многочисленные применения в физике, технике, 
экономике, биологии, медицине и других дисциплинах, а также в различных разделах математики.
Приведем некоторые исторические замечания. Первое математическое описание случайного процесса, в настоящее время называемого винеровским или процессом броуновского 
движения, дал Л. Башелье в 1900 г.  в докладе, представленном 
им Парижской академии. Он предложил использовать этот 
процесс в качестве модели колебаний цены активов, стремил

ся получить аналитические выражения для стоимости различных типов опционов и сравнить их с наблюдаемыми рыночными ценами опционов. Опцион является примером финансовой 
производной и дает его владельцу право купить указанное 
число долей акций по определенной цене в указанную дату или 
до нее.
Вообще понятие случайного процесса возникло в XX в. 
и связано с именами А.Н. Колмогорова, А.Я. Хинчина, 
Е.Е. Слуцкого, Н. Винера. То, что теория случайных процессов 
принадлежит к категории наиболее быстро развивающихся 
математических дисциплин, в значительной мере определяется ее глубокими связями с практикой.
В 1905 г. двумя известными физиками М. Смолуховским 
и А. Эйнштейном была разработана теория броуновского движения, исходящая из теоретико-вероятностных предпосылок. 
Она привела математику к порогу создания теории случайных 
процессов. В исследованиях датского ученого А.К. Эрланга 
была начата новая важная область поисков, связанных с изучением загрузки телефонных сетей. Эти работы оказали значительное влияние не только на решение чисто телефонных задач, 
но и на формирование элементов теории случайных процессов, 
в частности процессов гибели и размножения. Такие процессы 
позднее применялись при исследовании динамики биологических популяций, именно от задач биологии и пошло наименование частного типа случайных процессов.
Известные физики М. Планк и А. Фоккер в 1914 г. начали 
изучать явления диффузии, используя средства теории вероятностей. Основатель кибернетики Н. Винер в середине 20-х гг. 
XX в. при изучении броуновского движения ввел в рассмотрение 
процессы, названные винеровскими. Следует также отметить 
работы русского математика А.А. Маркова по изучению цепных 
зависимостей (цепи Маркова) и Е.Е. Слуцкого по теории случайных функций.
В 1931 г. была опубликована большая статья А.Н. Колмогорова «Об аналитических методах в теории вероятностей», в которой были заложены основы теории марковских процессов: 
в ней получены прямые и обратные дифференциальные уравнения, которые управляют вероятностями перехода случайных 
процессов без последействия. В этой же работе был дан набросок теории скачкообразных процессов без последействия, подробное развитие которой позднее (1936) было дано В. Фелером, 

получившим интегро-дифференциальное уравнение для скачкообразных марковских процессов. В 1934 г. в работе А.Я. Хинчина осуществлено построение основ стационарных случайных 
процессов на базе физических задач. Он ввел понятие стационарного процесса в узком и широком смыслах. Вышеупомянутые работы следует считать началом построения общей теории 
случайных процессов, они послужили основой для последующих исследований Г. Крамера, Г. Вальда, А.Н. Колмогорова 
и многих других известных ученых.
Приведем ряд основных задач теории случайных процессов, 
большинство из которых рассматривается в данном учебнике.
1. Построение математической модели, допускающее строгое или формальное определение случайного процесса, и исследование общих свойств этой модели.
2. Классификация случайных процессов. Существующая 
классификация в теории случайных процессов заключается 
в выделении из всей совокупности таких процессов некоторых 
классов, допускающих более или менее конструктивное описание. Каждый класс характеризуется тем, что достаточно дополнительно задать лишь конечное число функциональных 
характеристик, чтобы выделить из всего класса отдельный 
случайный процесс. Иногда рассматривают классы процессов, 
допускающих единообразное решение определенного набора 
задач. Можно отметить следующие широкие классы процессов: 
марковские процессы, включая цепи Маркова; процессы с конечными моментами второго порядка (гильбертовы процессы); 
процессы с независимыми приращениями; стационарные в узком и широком смыслах случайные процессы, в частности гауссовский и винеровский; эргодические процессы.
3. Отыскание для различных классов случайных процессов 
аналитического аппарата, позволяющего находить вероятность 
характеристики процессов (тесно связано с классификацией 
случайных процессов). Для простейших вероятностных характеристик такой аппарат создан. Он использует, как правило, 
теорию обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, а также интегро-дифференциальные и интегральные уравнения, разностные уравнения, 
преобразования Фурье.
4. Изучение различных преобразований случайных процессов. Эти преобразования используются для того, чтобы с их 
помощью изучать сложные процессы путем сведения их к более 
простым. К такой задаче можно отнести и анализ стохастиче

ских дифференциальных и интегральных уравнений, в которые 
входят случайные процессы.
5. Определение значений некоторого функционала от процесса по значениям других функционалов от этого же процесса также играет важную роль в формировании ряда разделов 
теории случайных процессов. Примером такой задачи является 
задача предсказания, позволяющая определить значение процесса в некоторые будущие моменты времени, наблюдая процесс в течение конкретного промежутка времени.
Кратко опишем некоторые основные области применения 
различных классов случайных процессов.
Марковские процессы широко используются при разработке математических моделей информационно-компьютерных 
систем и сетей в математической финансовой экономике, математической биологии, теории каскадов космических частиц. 
В этой же теории применяются процессы с независимыми 
приращениями. Стационарные в узком и широком смыслах 
случайные процессы широко распространены в радиоэлектронике и теории информации, а гауссовские процессы – также 
в радиоэлектронике и молекулярной теории газов.
Следует отметить, что в последнее время теория вероятностей и случайных процессов превратилась в стройную математическую дисциплину с собственными проблемами и методами 
доказательств. Выяснилось, что наиболее существенные проблемы этой теории служат делу решения многочисленных прикладных задач. Методы теории вероятностей и случайных процессов находят все новые области применения. Кроме того, 
ни одна из естественных наук и многие гуманитарные науки 
не избежали влияния данной теории.
Математическая статистика является аксиоматически обоснованной математической наукой, которая, придавая теоретическое обоснование результатам статистической отрасли, 
обеспечивает информационную поддержку органам управления 
социально-экономическим развитием любой страны. Однако 
следует заметить, что еще в начале ХХ в. этот признанный в современной научной классификации раздел математической 
науки относился к эмпирическому и экспериментальному направлениям. Заслуга в признании статистики математической 
наукой принадлежит прежде всего английскому математику 
К. Пирсону. Трудно переоценить его вклад в разработку математического аппарата статистики, содержащего теорию корреляции и критерии согласия. В дальнейшем развитии матема

тической статистики необходимо упомянуть Р. Фишера (дисперсионный анализ), И. Фишера (теория статистических индексов), А.А. Чупрова, Н.С. Четверикова, Е.Е. Слуцкого 
(ста тистический анализ временных рядов). В становление математической статистики большой вклад внесли А.Н. Колмогоров, Л.Н. Большев, Н.В. Смирнов, Д.М. Чибисов.