Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Высшая математика

Покупка
Артикул: 704471.01.99
Доступ онлайн
235 ₽
В корзину
Содержится материал по классическим разделам курса высшей математики. Даны решения типовых задач и разнообразные приложения рассматриваемого материала в экономике. Для студентов учреждений высшего образования по экономическим специальностям. Может быть полезен магистрантам и преподавателям, читающим одноименный курс.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
ГРНТИ:
Ровба, Е. А. Высшая математика : учебник / Е. А. Ровба, А. С. Ляликов, Е А. Сетько. - Минск : Вышэйшая школа, 2018. - 398 с. - ISBN 978-985-06-2838-1. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1012700 (дата обращения: 28.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
ÓÄÊ 51(075.8)
ÁÁÊ 22.1ÿ73
 
Â93

À â ò î ð û: .. , .. , .. , .. Ð å ö å í ç å í ò : êàôåäðà òåîðèè ôóíêöèé Áåëîðóññêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêî
íîìè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà (äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð
..)

. .

ìàòåìàòèêà : ó÷åáíèê / Å. À. Ðîâáà [è äð.]. – 

Ìèíñê : Âûøýéøàÿ øêîëà, 2018. – 398 ñ. : èë.

ISBN 978-985-06-2838-1.

Ñîäåðæèòñÿ ìàòåðèàë ïî êëàññè÷åñêèì ðàçäåëàì êóðñà âûñøåé ìàòå
ìàòèêè. Äàíû ðåøåíèÿ òèïîâûõ çàäà÷ è ðàçíîîáðàçíûå ïðèëîæåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ìàòåðèàëà â ýêîíîìèêå.

Äëÿ ñòóäåíòîâ ó÷ðåæäåíèé âûñøåãî îáðàçîâàíèÿ ïî ýêîíîìè÷åñêèì 

ñïåöèàëüíîñòÿì. Ìîæåò áûòü ïîëåçåí ìàãèñòðàíòàì è ïðåïîäàâàòåëÿì, ÷èòàþùèì îäíîèìåííûé êóðñ.

51(075.8)

22.173

ISBN 978-985-06-2838-1
Îôîðìëåíèå. ÓÏ «Èçäàòåëüñòâî
 
“Âûøýéøàÿ øêîëà”», 2018

Â93

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

Введение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12

B.1. Базовые понятия математики . . . . . . . . . . . . . . .
12
B.1.1. Представление о математической логике
. . . . . . .
12
B.1.2. Общее понятие множества . . . . . . . . . . . . . . . .
13
B.1.3. Числовые множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14

B.2. Декартова система координат . . . . . . . . . . . . . . .
16
B.2.1. Декартовы координаты на прямой . . . . . . . . . . .
16
B.2.2. Декартовы координаты на плоскости
. . . . . . . . .
17
B.2.3. Декартовы координаты в пространстве . . . . . . . .
18

B.3. Метод математической индукции
. . . . . . . . . . . .
20
B.3.1. Дедукция и индукция в математике . . . . . . . . . .
20
B.3.2. Суммы и прогрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
B.3.3. Произведения и факториалы . . . . . . . . . . . . . .
22
B.3.4. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23

Глава 1. Линейная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26

1.1. Матрицы и определители . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.1.1. Понятие матрицы. Виды матриц . . . . . . . . . . . .
26
1.1.2. Операции над матрицами . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.1.3. Определители низших порядков . . . . . . . . . . . .
33
1.1.4. Определители произвольного порядка . . . . . . . . .
35
1.1.5. Свойства определителей . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.1.6. Элементарные преобразования . . . . . . . . . . . . .
40
1.1.7. Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
1.1.8. Матричные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
1.1.9. Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47

Оглавление

1.2. Системы линейных алгебраических уравнений
. . .
49
1.2.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
1.2.2. Матричный метод
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
1.2.3. Метод Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
1.2.4. Метод Гаусса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
1.2.5. Критерий Кронекера — Капелли . . . . . . . . . . . .
59
1.2.6. Экономическая модель Леонтьева . . . . . . . . . . .
62

1.3. Векторная алгебра
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
1.3.1. Векторы в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
1.3.2. Алгебраическое описание вектора
. . . . . . . . . . .
67
1.3.3. Скалярное произведение векторов . . . . . . . . . . .
69
1.3.4. n-Мерное векторное пространство . . . . . . . . . . .
71
1.3.5. Линейная зависимость векторов
. . . . . . . . . . . .
73
1.3.6. Базис и ранг системы векторов . . . . . . . . . . . . .
76
1.3.7. Базис пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
1.3.8. Ортогональные системы векторов . . . . . . . . . . .
82
1.3.9. Собственные векторы и собственные значения . . . .
86

Глава 2. Аналитическая геометрия . . . . . . . . . . . . . . .
90

2.1. Прямая на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
2.1.1. Простейшие задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
2.1.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом . . . .
93
2.1.3. Составление уравнений прямых
. . . . . . . . . . . .
95
2.1.4. Общее уравнение прямой
. . . . . . . . . . . . . . . .
96
2.1.5. Уравнение прямой в отрезках . . . . . . . . . . . . . .
97
2.1.6. Угол между двумя прямыми . . . . . . . . . . . . . .
99
2.1.7. Условия параллельности и перпендикулярности . . .
100
2.1.8. Расстояние от точки до прямой . . . . . . . . . . . . .
101
2.1.9. Взаимное расположение двух прямых на плоскости .
101

2.2. Кривые второго порядка
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
2.2.1. Окружность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
2.2.2. Эллипс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
2.2.3. Гипербола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
2.2.4. Парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
2.2.5. Кривые второго порядка со смещенным центром
. .
117

Глава 3. Предел последовательности и функции . . . . .
119

3.1. Числовая последовательность . . . . . . . . . . . . . . .
119
3.1.1. Понятие числовой последовательности
. . . . . . . .
119

Оглавление
5

3.1.2. Предел последовательности . . . . . . . . . . . . . . .
121
3.1.3. Бесконечно малые последовательности
. . . . . . . .
123
3.1.4. Бесконечно большие последовательности . . . . . . .
125
3.1.5. Сходящиеся последовательности . . . . . . . . . . . .
127
3.1.6. Предельный переход в неравенствах . . . . . . . . . .
130
3.1.7. Монотонные последовательности . . . . . . . . . . . .
131
3.1.8. Непрерывное начисление процентов . . . . . . . . . .
134

3.2. Функциональная зависимость . . . . . . . . . . . . . . .
136
3.2.1. Понятие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
3.2.2. Способы задания функции
. . . . . . . . . . . . . . .
138
3.2.3. Понятия обратной и сложной функций . . . . . . . .
142
3.2.4. Элементарные функции . . . . . . . . . . . . . . . . .
145
3.2.5. Основные характеристики функций . . . . . . . . . .
148
3.2.6. Построение графиков функций . . . . . . . . . . . . .
150
3.2.7. Функциональная зависимость в экономике . . . . . .
152

3.3. Предел функции. Два замечательных предела
. . .
153
3.3.1. Предел функции по Гейне . . . . . . . . . . . . . . . .
153
3.3.2. Предел функции по Коши . . . . . . . . . . . . . . . .
155
3.3.3. Односторонние пределы . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
3.3.4. Бесконечно малые функции . . . . . . . . . . . . . . .
158
3.3.5. Бесконечно большие функции
. . . . . . . . . . . . .
161
3.3.6. Свойства предела функции . . . . . . . . . . . . . . .
162
3.3.7. Замечательные пределы . . . . . . . . . . . . . . . . .
167
3.3.8. Эквивалентные бесконечно малые функции
. . . . .
169

3.4. Непрерывные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
171
3.4.1. Непрерывность функции в точке . . . . . . . . . . . .
171
3.4.2. Теоремы о непрерывных в точке функциях . . . . . .
174
3.4.3. Точки разрыва и их классификация . . . . . . . . . .
175
3.4.4. Непрерывность элементарных функций . . . . . . . .
177
3.4.5. Раскрытие неопределенностей
. . . . . . . . . . . . .
180
3.4.6. Теоремы о непрерывных на отрезке функциях . . . .
183

Глава 4. Дифференциальное
исчисление
функций
одной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
187

4.1. Производная функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
187
4.1.1. Понятие производной
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
187
4.1.2. Геометрический смысл производной . . . . . . . . . .
190
4.1.3. Физический смысл производной
. . . . . . . . . . . .
192
4.1.4. Правила дифференцирования . . . . . . . . . . . . . .
193

Оглавление

4.1.5. Таблица производных основных элементарных функций. Производная сложной и обратной функций . . .
195
4.1.6. Логарифмическая производная . . . . . . . . . . . . .
202
4.1.7. Производная неявной функции . . . . . . . . . . . . .
203
4.1.8. Производные высших порядков . . . . . . . . . . . . .
204
4.1.9. Применение производной в экономике . . . . . . . . .
207

4.2. Дифференцируемость функции . . . . . . . . . . . . . .
209
4.2.1. Понятие дифференцируемости функции в точке . . .
209
4.2.2. Дифференциал функции и приближенные вычисления с помощью дифференциала
. . . . . . . . . . . .
210
4.2.3. Геометрический смысл дифференциала . . . . . . . .
212
4.2.4. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
212

4.3. Правило Лопиталя. Понятие о формуле Тейлора . .
215
4.3.1. Правило Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
215
4.3.2. Понятие о формуле Тейлора
. . . . . . . . . . . . . .
219

4.4. Исследование функции с помощью производной
. .
221
4.4.1. Условие постоянства функции
. . . . . . . . . . . . .
221
4.4.2. Достаточное условие монотонности функции . . . . .
222
4.4.3. Необходимые и достаточные условия локального экстремума
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
222
4.4.4. Наибольшее и наименьшее значения функции . . . .
225
4.4.5. Выпуклые функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
226
4.4.6. Асимптоты графика функции
. . . . . . . . . . . . .
228
4.4.7. Общая схема исследования поведения функций и
построения графиков функций . . . . . . . . . . . . .
230

Глава 5. Теория интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . .
233

5.1. Неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . .
233
5.1.1. Первообразная
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
233
5.1.2. Неопределенный интеграл и его свойства . . . . . . .
234
5.1.3. Таблица интегралов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
238
5.1.4. Простейшие методы интегрирования
. . . . . . . . .
239

5.2. Интегрирование некоторых классов функций
. . . .
248
5.2.1. Интегрирование рациональных функций . . . . . . .
248
5.2.2. Интегрирование иррациональных функций . . . . . .
251
5.2.3. Тригонометрические интегралы
. . . . . . . . . . . .
258

5.3. Определенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
260
5.3.1. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
260

Оглавление
7

5.3.2. Свойства определенного интеграла . . . . . . . . . . .
263
5.3.3. Оценки интегралов. Теорема о среднем значении
. .
265
5.3.4. Необходимое условие интегрируемости функции . . .
269
5.3.5. Достаточные условия интегрируемости функции
. .
270
5.3.6. Интеграл с переменным верхним пределом. Существование первообразной для непрерывной функции
271
5.3.7. Формула Ньютона — Лейбница . . . . . . . . . . . . .
273
5.3.8. Замена переменной и интегрирование по частям в
определенном интеграле . . . . . . . . . . . . . . . . .
275

5.4. Приложения определенного интеграла . . . . . . . . .
278
5.4.1. Площадь криволинейной трапеции . . . . . . . . . . .
278
5.4.2. Длина дуги кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
279
5.4.3. Объем тела вращения
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
282
5.4.4. Использование понятия определенного интеграла в
экономике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
284

5.5. Несобственные интегралы
. . . . . . . . . . . . . . . . .
290
5.5.1. Обобщение понятия определенного интеграла . . . .
290
5.5.2. Несобственный интеграл с бесконечными пределами
интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
290
5.5.3. Интегралы от неограниченных функций
. . . . . . .
294

Глава 6. Дифференцирование
функций
двух
переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
298

6.1. Функция двух переменных. Дифференциал
. . . . .
298
6.1.1. Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
298
6.1.2. Предел функции двух переменных . . . . . . . . . . .
301
6.1.3. Непрерывность функции двух переменных . . . . . .
305
6.1.4. Частные производные
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
308
6.1.5. Частные производные высших порядков
. . . . . . .
310
6.1.6. Дифференцируемость и дифференциал . . . . . . . .
311
6.1.7. Производная сложной функции
. . . . . . . . . . . .
314
6.1.8. Производная по направлению. Градиент
. . . . . . .
316
6.1.9. Производственная функция Кобба — Дугласа
. . . .
320

6.2. Экстремум функции двух переменных . . . . . . . . .
323
6.2.1. Локальный экстремум . . . . . . . . . . . . . . . . . .
323
6.2.2. Глобальный экстремум . . . . . . . . . . . . . . . . . .
326
6.2.3. Условный экстремум . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
329
6.2.4. Метод множителей Лагранжа . . . . . . . . . . . . . .
331
6.2.5. Экстремум выпуклых функций . . . . . . . . . . . . .
332
6.2.6. Функция полезности . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
334

Оглавление

Глава 7. Дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . .
339

7.1. Дифференциальные уравнения первого порядка
. .
339
7.1.1. Общее дифференциальное уравнение первого порядка 339
7.1.2. Составление дифференциальных уравнений . . . . .
344
7.1.3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
345

7.2. Решение уравнений первого порядка . . . . . . . . . .
346
7.2.1. Однородные уравнения
. . . . . . . . . . . . . . . . .
346
7.2.2. Линейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
349
7.2.3. Уравнение Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
351

7.3. Линейные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами . . . . . . .
352
7.3.1. Уравнения второго порядка. Общие понятия . . . . .
352
7.3.2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 354
7.3.3. Метод Эйлера решения однородного уравнения . . .
355
7.3.4. Решение неоднородного уравнения. Метод вариации
произвольных постоянных . . . . . . . . . . . . . . . .
357
7.3.5. Метод нахождения частного решения неоднородного
уравнения со специальной правой частью . . . . . . .
360
7.3.6. Приложение уравнений второго порядка в экономике 363

Глава 8. Ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
365

8.1. Числовые ряды
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
365
8.1.1. Понятие числового ряда . . . . . . . . . . . . . . . . .
365
8.1.2. Необходимое условие сходимости числового ряда . .
368
8.1.3. Достаточные условия сходимости
. . . . . . . . . . .
370
8.1.4. Абсолютная и условная сходимость . . . . . . . . . .
374
8.1.5. Приложения рядов в экономике
. . . . . . . . . . . .
375

8.2. Функциональные ряды
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
376
8.2.1. Основные определения. Область сходимости . . . . .
376
8.2.2. Степенные ряды
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
379
8.2.3. Разложение функций в степенные ряды . . . . . . . .
385
8.2.4. Разложение некоторых функций в ряд Маклорена
.
388

Рекомендуемая литература
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
390

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
392

Список основных обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . .
397

Предисловие

В течение многих столетий математика является неотъемлемым
элементом системы общего образования всех стран мира. Объясняется это уникальностью роли учебного предмета «Математика» в формировании личности. Как известно, образовательный и развивающий
потенциал математики огромен.
Высшая математика и некоторые ее приложения занимают важнейшее место в учебном процессе по экономическим специальностям
учреждений высшего образования. Читаемый на первом году обучения курс высшей математики лежит в основе подготовки специалистов в области экономики и закладывает фундамент, необходимый
для дальнейшего изучения основных экономических дисциплин, а также ориентированных на экономические приложения математических
дисциплин, изучаемых на старших курсах. Данная книга подготовлена коллективом авторов на основе многолетнего опыта чтения лекций
и проведения семинарских занятий по высшей математике.
Материал книги содержит следующие темы, оформленные в виде
глав:
1) аналитическая геометрия, где рассматриваются декартова
система координат на плоскости и в пространстве, теория прямой на
плоскости, кривых второго порядка;
2) предел последовательности и функции, где вводятся и подвергаются исследованию такие фундаментальные для математического
анализа понятия, как предел и непрерывность;
3) теория дифференцирования функции одной переменной, где
вводится понятие производной функции и рассматриваются ее приложения к исследованию функций и построению их графиков, а также
для раскрытия неопределенностей при вычислении пределов и в приближенных вычислениях;
4) теория интегрирования, посвященная исследованию методов

Предисловие

нахождения первообразных и приложениям неопределенного, определенного и несобственного интегралов;
5) дифференцирование функций двух переменных, где выводится
обобщение понятия производной на случай функций двух переменных
и рассматриваются различные задачи нахождения экстремума для
функции двух переменных;
6) теория дифференциальных уравнений, содержащая материал
по различным видам уравнений первого порядка, а также линейным
дифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами и методам их решения;
7) теория рядов, развивающая идеи сходимости, заложенные при
рассмотрении теории пределов, и дающая представление о числовых
и функциональных рядах, разложении функций в степенные ряды;
8) линейная алгебра, включающая теорию матриц, определителей и систем линейных уравнений, а также вопросы векторной алгебры.
Весь теоретический материал учебника сопровождается решениями задач основных типов. Авторы большое внимание уделили экономическим приложениям рассматриваемых математических методов,
что естественным образом предрасполагает к изучению в дальнейшем
курсов математического программирования, методов математического
моделирования, экономической теории, микроэкономики. Даются различные приложения функциональной зависимости в экономике. При
этом рассматриваются функции не только одной переменной (например, функции спроса и предложения), но и многих переменных (двухфакторная функция полезности и производственная функция Кобба –
Дугласа). В учебнике читатель может ознакомиться с применением понятий производной и интеграла в экономике, задачей о непрерывном
начислении процентов, особенностями экстремума выпуклых функций, макромоделью Домара, линейной моделью Леонтьева межотраслевого баланса. Авторы надеются, что подробное рассмотрение широкого класса экономических приложений усилит мотивацию изучения
высшей математики, повысит интерес к этой дисциплине, научит строить математические модели, применять их для исследования реальных
экономических процессов и решения профессиональных задач.
Каждая глава учебника состоит из параграфов, примерно соответствующих одной лекции. Параграфы разбиваются на подпарагра
Предисловие
11

фы, посвященные рассмотрению отдельных вопросов, минимальных
по объему, но замкнутых по содержанию. Учебник снабжен предметным указателем и списком основных математических обозначений.
В книге используется двойная нумерация формул и других объектов.
Первое число обозначает номер главы, содержащей данный объект,
второе — номер объекта внутри этой главы. В конце доказательств
теорем и решений задач для удобства читателя ставится знак
.
Авторы стремились выработать такой стиль изложения материала, при котором основной упор делается на доступность, но при этом
сохраняется разумный уровень математической строгости. Успешному
усвоению материала должно способствовать значительное количество
иллюстраций. В книге нет громоздких или повторяющихся по своим
идеям доказательств. Вместе с тем основные теоремы тщательно проработаны и обоснованы. Данный учебник предназначен для самостоятельной работы студентов экономических специальностей дневной,
заочной и дистанционной форм обучения. Авторы надеются, что он
поможет развить у студентов способность к абстрактному мышлению
и превратить математику в инструмент познания окружающего мира.
Авторы выражают искреннюю признательность рецензенту —
коллективу кафедры теории функций Белорусского государственного
университета и особо ее заведующему доктору физико-математических наук, профессору В.Г. Кротову.
Все отзывы и предложения просьба направлять по адресу: издательство «Вышэйшая школа», пр. Победителей, 11, 220004, Минск.

Авторы

Введение

B.1. Базовые понятия математики

B.1.1. Представление о математической логике

В математике для записи понятий, утверждений используется
специальная логическая символика. Так, запись

α ⇒ β означает, что из предложения α следует предложение β;

α ⇔ β означает, что из α следует β и из β следует α, т.е. предложения
α и β равносильные.

Символ ∀1, называемый квантором всеобщности, читается: «для
любого», «для всех», «для каждого», «каково бы ни было». Символ
∃2 называется квантором существования и используется вместо слов
«существует», «найдется».
Теоремы в математике обычно имеют структуру, выражаемую
формулой
α ⇒ β.

При этом утверждение α называется условием теоремы, а β — ее заключением. В этом случае также говорят, что заключение β является
необходимым для выполнения условия α и что условие α является
достаточным для выполнения заключения β.
Пусть, например, утверждение α состоит в том, что Вася учится
на факультете экономики и управления, а утверждение β — в том, что
Вася изучает высшую математику. Тогда α ⇒ β, т.е. если Вася учится

1Перевернутая латинская буква «A», от англ. any — любой.
2Перевернутая латинская буква «E», от англ. exists — существует.

B.1. Базовые понятия математики
13

на факультете экономики и управления, то он изучает высшую математику. Таким образом, изучение высшей математики является необходимым условием для того, чтобы быть студентом факультета экономики и управления. Вместе с тем для изучения высшей математики
достаточно быть студентом факультета экономики и управления.
Из справедливости α ⇒ β, вообще говоря, не следует справедливость β ⇒ α. В нашем случае Вася может изучать высшую математику
и при этом не быть студентом факультета экономики и управления,
а учиться, например, на биологическом или физико-техническом факультете.
Если α ⇒ β и одновременно β ⇒ α, то пишут

α ⇔ β.

Такая теорема называется критерием. Формулируя критерий, обычно
говорят, что условие α имеет место тогда и только тогда, когда
выполнено β, или что условие α необходимо и достаточно для
выполнения β.

B.1.2. Общее понятие множества

Множество является одним из основных понятий математики.
Оно принадлежит к числу первичных, не определяемых через другие
математические понятия. Под множеством в математике понимают совокупность однородных элементов, объединенных по какому-либо признаку. Математические множества могут состоять из чисел, векторов,
функций и других элементов. Множества, как правило, обозначают
прописными буквами латинского алфавита, а их элементы — строчными. Принадлежность элемента a множеству A записывается следующим образом: a ∈ A. Если a не является элементом множества A, то
пишут a /∈ A. Запись A = {a1, a2, . . . , an} означает, что множество A
состоит из элементов a1, a2, . . . , an.
Множество X называется подмножеством множества Y , если
все элементы множества X являются одновременно элементами множества Y . При этом пишут X ⊂ Y и говорят, что X содержится в Y
или Y содержит X. Два множества X и Y называются равными, если одновременно выполнены включения X ⊂ Y и Y ⊂ X. В таком
случае пишут X = Y . Равные множества состоят из одних и тех же
элементов.

Введение

Пусть, например, Вася обучается на первом курсе факультета
экономики и управления. Обозначим Васю буквой v. Множество
всех студентов-первокурсников этого факультета обозначим буквой I.
Множество студентов всех курсов факультета экономики и управления
обозначим буквой S. Тогда

v ∈ I ⊂ S.

В самом деле, Вася принадлежит множеству студентов первого
курса, которое в свою очередь содержится в более широком множестве
всех студентов факультета.
Символом ∅ обозначают множество, которое не содержит ни одного элемента. Такое множество называется пустым. Пустое множество является подмножеством любого множества.
Пересечением множеств X и Y называется множество Z =
= X ∩ Y , состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих
как X, так и Y . Объединением множеств X и Y называется множество W = X ∪ Y , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя
бы одному из указанных множеств.

B.1.3. Числовые множества

Множества, элементами которых являются числа, называются
числовыми. Основными числовыми множествами являются:
множество натуральных чисел

N =
1, 2, . . . , n, . . .
;

множество целых чисел

Z =
0, ±1, ±2, . . ., ±n, . . .
,

состоящее из натуральных чисел, им противоположных, и нуля;
множество рациональных чисел

Q =
m

n : m ∈ Z, n ∈ N
,

элементами которого являются всевозможные отношения целых чисел
к натуральным.

B.1. Базовые понятия математики
15

Всякое рациональное число может быть представлено в виде конечной либо бесконечной периодической десятичной дроби. Например,

1
5 = 0,2,
1
6 = 0,1666 . . . = 0,1(6).

Множества рациональных чисел Q оказывается недостаточно для
построения математической теории. Возникающие при этом проблемы
можно, например, проиллюстрировать фактом, что не существует
такого рационального числа, квадрат которого равнялся бы двум.
В самом деле, если бы такое число существовало, то его можно
было бы представить несократимой дробью m/n, где m и n — такие
натуральные числа, что (m/n)2 = 2. Отсюда следует, что m2 = 2n2.
Тогда число m2, а значит, и m, кратно двум. Следовательно, m = 2r,
где r — некоторое натуральное число, и, таким образом,
2r

n

2
= 2,
4r2

n2 = 2,
4r2 = 2n2,
n2 = 2r2.

А это означает, что число n также кратно двум, что противоречит
несократимости дроби m/n.
Чтобы решить такого рода проблемы, множество рациональных чисел пополняется так называемыми иррациональными числами, представимыми в виде бесконечных непериодических десятичных
дробей. Полученное множество, содержащее все рациональные и иррациональные числа, называют множеством действительных чисел
и обозначают R. Примерами иррациональных действительных чисел
являются:
√

2 = 1,4142135 . . .,
π = 3,1415926 . . .,
e = 2,7182818 . . . .

Между основными числовыми множествами имеет место следующее соотношение:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Пусть a и b — действительные числа, причем a < b. Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел, имеющие следующий вид:
[a, b] =
x : a ⩽ x ⩽ b
— отрезок (замкнутый промежуток);
(a, b) =
x : a < x < b
— интервал (открытый промежуток);

Введение

[a, b) =
x : a ⩽ x < b
, (a, b] =
x : a < x ⩽ b
— полуоткрытые
интервалы;
(−∞, b] =
x : x ⩽ b
, (−∞, b) =
x : x < b
— не ограниченные
снизу полубесконечные интервалы;
[a, +∞) =
x : x ⩾ a
, (a, +∞) =
x : x > a
— не ограниченные
сверху полубесконечные интервалы;
(−∞, +∞) = R — бесконечный интервал.

B.2. Декартова система координат

B.2.1. Декартовы координаты на прямой

Множество действительных чисел R обладает свойством непрерывности, суть которого состоит в возможности отождествления этого
множества с прямой линией. Отметим, что для множества рациональных чисел Q свойство непрерывности не выполнено.
Координатной осью Ox называется прямая, на которой отмечена
точка O, называемая началом отсчета или началом координат,
выбран масштаб, т.е. указан отрезок единичной длины для измерения
расстояний, называемый единичным или масштабным отрезком, и
задано положительное направление, отмечаемое стрелкой (рис. B.1).
Начало координат O в соответствии с выбранным направлением делит
ось Ox на два луча: положительную и отрицательную полуоси.

x
1

O
M(x)

Рис. B.1

Координатой точки M, лежащей на оси Ox, называется число x,
равное длине отрезка OM, взятой со знаком «+», если точка M лежит
на положительной полуоси, и со знаком «−», если эта точка лежит
на отрицательной полуоси. Координату точки обычно указывают
в скобках рядом с обозначением точки. Если, например, точка M
имеет координату x, то пишут M(x). Таким образом, каждой точке
координатной оси поставлено в соответствие некоторое число x ∈ R.
Вместе с тем каждому действительному числу x можно поставить
в соответствие точку M оси Ox, имеющую координату x. Для этого

Доступ онлайн
235 ₽
В корзину