Теоретическая механика. Кинематика. Практикум

ТеореТическая  
механика. кинемаТика 
Практикум

Рекомендовано  
Учебно-методическим центром «Профессиональный учебник»  
в качестве учебного пособия для студентов  
высших учебных заведений

Допущено 
Министерством образования Республики Беларусь  
в качестве учебного пособия для студентов  
высших учебных заведений  
по техническим специальностям

2011

Под общей редакцией профессора А.В. Чигарева

 
Минск 
Москва
 
«Новое знание» 
«ИНФРАМ»

УДК 531(076.5)(075.8) 
ББК 22.21я73 
 
Т33

Теоретическая механика. Кинематика. Практикум: учеб. пособие / В.А.  Акимов [и др.]; под общ. ред. проф. А.В. Чигарева. — Минск : Новое знание ; М. : ИНФРАМ, 2011. — 635 с. : 
ил. — (Высшее образование).

ISBN 9789854754574 (Новое знание) 
ISBN 978­5­16­005064­5 (ИНФРА­М)

Учебное пособие содержит типовые задачи с решениями по кинематике, взятые из наиболее распространенного сборника задач 
И.В. Мещерского (§ 10–25). В начале  пособия приведены основные 
теоретические положения и методические указания, используемые 
при решении задач. Решения даны с подробными пояснениями.
Для студентов и преподавателей технических вузов и естественных 
факультетов университетов, а также для лиц, самостоятельно изучающих теоретическую механику.

УДК 531(076.5)(075.8) 
ББК 22.21я73

Т33

ООО «Новое знание», 2011
 
©
ISBN 9789854754574 (Новое знание) 
ISBN 978-5-16-005064-5 (ИНФРА-М) 

Авторы:
В.А. Акимов, О.Н. Скляр, А.А. Федута, А.В. Чигарев

Рецензенты:
кафедра «Теоретическая механика» Белорусского государственного технологического университета;
зав. кафедрой теоретической и прикладной механики Белорусского государственного университета, доктор физико­математических наук, профессор М.А. Журавков

Оглавление

Предисловие .................................................................... 5

Основные понятия кинематики ......................................... 7

Кинематика точки ........................................................... 7
Основные элементы движения точки ........................... 7
Естественный способ задания движения точки ............. 7
Координатный способ задания движения точки .......... 11
Связь между координатным и естественным
способами задания движения точки .................... 13
Векторный способ задания движения точки.
Годографы ........................................................ 13

Основные виды движения твердого тела .......................... 16
Поступательное движение ......................................... 16
Вращательное движение вокруг неподвижной оси ....... 16

Сложное движение точки ............................................... 24
Абсолютное, относительное и переносное движения .... 24
Скорость и ускорение точки ...................................... 25

Сложное движение твердого тела .................................... 31
Плоскопараллельное движение твердого тела ............. 31
Кинематика зубчатых передач ................................... 44
Движение твердого тела вокруг неподвижной точки .... 48

III. Кинематика точки .................................................... 53
10. Траектория и уравнения движения точки ................... 53
11. Скорость точки ........................................................ 84
12. Ускорение точки ..................................................... 107

IV. Простейшие движения твердого тела ....................... 157
13. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси ...... 157
14. Преобразование простейших движений твердого тела ... 175

V. Плоское движение твердого тела ............................... 195
15. Уравнение движения плоской фигуры ...................... 195
16. Скорости точек твердого тела в плоском движении.
Мгновенный центр ускорений .................................. 208
17. Неподвижная и подвижная центроиды ..................... 250
18. Ускорение точек твердого тела в плоском движении.
Мгновенный центр ускорений .................................. 266

VI. Движение твердого тела, имеющего неподвижную
точку. Пространственная ориентация ............................ 330
19. Движение твердого тела, имеющего одну
неподвижную точку ................................................ 330
20. Пространственная ориентация; кинематические
формулы Эйлера и их модификация; аксоиды ........... 349

VII. Сложное движение точки ....................................... 374
21. Уравнение движения точки ..................................... 374
22. Сложение скоростей точки ...................................... 390
23. Сложение ускорений точки ...................................... 419

VIII. Сложное движение твердого тела ........................... 535
24. Сложение движений тела ........................................ 535
Сложение плоских движений тела ........................... 535
Сложение пространственных движений тела ............. 552
25. Смешанные задачи на сложение движения точки
и твердого тела ....................................................... 592

Список использованных источников .............................. 634

4
Оглавление

Предисловие

В последние десятилетия заметно возросло количество издаваемых решебников по физике, математике и механике для студентов технических вузов. Это обусловлено необходимостью
создания базы для самостоятельной работы изза сокращения
времени на изучение данных дисциплин, а также на выполнение расчетнографических и контрольных работ. Теоретическая
часть курса при этом еще может быть скорректирована, а практическая уменьшается необратимо. Многие разделы механики,
требующие больших затрат времени, не могут быть проработаны
на практических занятиях с необходимой степенью детализации,
в результате происходит «вымывание» трудного материала при
изучении теоретической механики в целом и отдельных ее разделов.
Сборник задач И.В. Мещерского является самым известным
учебным пособием по теоретической механике, выдержавшим
десятки переизданий во многих странах мира. Он и сегодня широко используется в высших учебных заведениях технического
профиля нашей страны. Первое пособие с решением задач этого
сборника было издано в 1963 г. в Германии (Н. Neuber, Zösunger
zur Aufgabensammbung Mestscherski, 1963, DVW, 465 s.). Однако позднее сборник многократно переиздавался, при этом он исправлялся и дополнялся.
К сожалению, вследствие дефицита времени большая часть
задач из этого сборника остается для основной массы студентов
нерешенной, а значит, неизвестной. Предлагаемое учебное пособие содержит решения всех задач без исключения, что обеспечивает разнообразие, а различный подход к решению одной и той же
задачи представляет определенный интерес для студентов и преподавателей. В начале пособия приведены основные теоретические положения кинематики и методические указания по решению задач различных типов. Ход решения представлен достаточно подробно, что полезно методически, так как обычно на
занятиях студенты успевают записать решение без пояснений,
а в дальнейшем с трудом могут объяснить путь его получения.
В подготовке пособия приняли участие В.А. Акимов, О.Н. Скляр,
, А.В. Чигарев.

6
Предисловие

А.А. Федута

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КИНЕМАТИКИ

Кинематика точки

Основные элементы движения точки

Часть теоретической механики, в которой движение тела изучается независимо от его массы и действующих сил, называется
кинематикой.
Сперва исследуется кинематика геометрической точки, а затем — систем таких точек, неизменно связанных между собой,
т.е. кинематика абсолютно твердого тела.
Траекторией точки называется геометрическое место положений точки в пространстве при ее движении. Положения точки
в пространстве определяются по отношению к выбранной системе координат. В зависимости от формы траектории (прямая или
кривая линия) движение точки называется прямолинейным или
криволинейным.
Движение точки считается изученным, если в любой момент
времени можно указать положение точки по отношению к выбранной системе координат, а также ее скорость и ускорение.
Существует три способа определения движения точки:
естественный;
координатный;
векторный.

Естественный способ задания движения точки

При естественном способе задания движения точки должны
быть известны: траектория точки, начало отсчета и закон изменения расстояний точки, измеряемых по траектории от начала
отсчета.

Пусть задана траектория точки движения —
кривая АВ (рис. 1). Возьмем на ней произвольную точку О и примем за начало отсчета. Расстояние, измеренное по траектории движения,
от начала отсчета до точки определяет ее положение. Точка может располагаться справа или слева от начала
отсчета (соответственно точки M и M1 на рис. 1). Обычно расстояние s от точки О до точки М считается положительным,
а расстояние s1 от точки О до точки M1 — отрицательным.
Расстояние s, измеренное по траектории, можно рассматривать как дуговую координату точки М.
Так как закон изменения расстояний точки в зависимости от
времени при естественном способе задается в виде

s
f t
( ),
(1)

то положение точки на траектории в любой момент времени может быть определено. Чтобы найти это положение, из уравнения (1) для заданного момента времени вычисляют расстояние s
(дуговую координату), и откладывают его по траектории от начала отсчета.
Скорость точки М в любой момент времени равна первой производной от расстояния s по времени t:

v
ds
dt
.
(2)

Вектор скорости направлен по касательной к траектории в соответствующей точке в сторону движения.
Величину и направление полного ускорения,
когда известна траектория точки, определяют по
его составляющим на оси естественного трехгранника. Как известно из дифференциальной геометрии, в каждой точке кривой можно построить трехгранник, по ребрам которого проходят три оси
координат: ось , направленная по касательной
к траектории в данной точке, ось n, направленная по главной нормали, и ось b, направленная по бинормали
к траектории (рис. 2). Плоскость, определяемая касательной
и главной нормалью, называется соприкасающейся плоскостью

8
Основные понятия кинематики

Рис. 2

Рис. 1

или плоскостью кривизны кривой. Плоскость, определяемая
нормалью и бинормалью, называется нормальной плоскостью.
Плоскость, перпендикулярная к первым двум, называется
спрямляющей плоскостью.
Полное ускорение a точки находится в плоскости кривизны
кривой — траектории — в данной точке и может быть определено
по величине и направлению, если известны его составляющие
на касательную aи главную нормаль an.
Величина касательного ускорения

a
dv
dt
.
(3)

Вектор касательного ускорения направлен по касательной к траектории в ту же сторону, что и вектор скорости, если ускорение aположительное.
Величина нормального ускорения

a
v
n 2

,
(4)

где — радиус кривизны кривой в данной точке; v — скорость
точки в данный момент времени.
Вектор нормального ускорения направлен по главной нормали к центру кривизны кривой.
Величина полного ускорения

a
a
a
dv
dt
v
n

2
2
2
2 2
.
(5)

Направление вектора полного ускорения можно определить,
вычислив угол между вектором полного ускорения a и вектором нормального ускорения an (рис. 2) по формуле

tg
|
|
a
an
.
(6)

Движение точки бывает равномерным и неравномерным. При
равномерном движении скорость точки остается постоянной по
величине, поэтому касательное ускорение точки равно нулю.
При неравномерном движении скорость точки изменяется по величине с течением времени. Следовательно, касательное ускоКинематика точки
9

рение не равно нулю и в общем случае может быть функцией
времени, а в частном случае — постоянным.
Если величина касательного ускорения постоянная и положительная, то движение точки по траектории равноускоренное,
если же постоянная и отрицательная, то движение точки равнозамедленное.
При равномерном движении, когда скорость v постоянная,

s
s
vt
0
,
(7)

где s — расстояние точки от начала отсчета в любой момент времени; s0 — расстояние точки от начала отсчета в начальный момент времени (при t 0); t — время.
При равноускоренном или равнозамедленном движении

s
s
vt
a t
0

2

2

,
(8)

а скорость точки в любой момент времени

v
v
a t
0
,
(9)

где v0 — скорость точки в начальный момент времени (при t 0).
В формулах (8), (9) знак «» берется в случае равноускоренного движения, знак «» — в случае равнозамедленного движения.
Закон движения и закон изменения скоростей и касательных ускорений точки можно представить графически. Графические
способы помогают наглядно изобразить движение точки и упрощают решение сложных
задач.
Закон изменения расстояний точки от начала отсчета — закон движения — может
быть представлен в координатах s, t в виде
кривой, которая называется кривой расстояний (рис. 3).
Кривая скоростей может быть построена в системе координат v, t (рис. 4). Величины скорости в соответствующие моменты
времени определяют по формуле, задающей
закон изменения скоростей v f(t). Отло10
Основные понятия кинематики

Рис. 3

Рис. 4

жив эти величины в указанной системе координат, получают
кривую скоростей.
Для построения кривой касательных ускорений выбирают
систему координат a, t и вычисляют значения aдля взятых моментов времени.
Масштаб по оси времени для всех трех диаграмм берут одинаковым. Масштабы расстояний, скоростей и ускорений могут
быть разными и определяются условиями задачи.
Поскольку скорость точки равна первой производной расстояния по времени, а касательное ускорение — первой производной
скорости по времени, то скорость точки пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой расстояний (см. рис. 3)
в соответствующей точке, т.е.

v
b
1
1
tg,
b1 const,

а касательное ускорение пропорционально тангенсу угла наклона касательной к кривой скоростей (см. рис. 4) в соответствующей точке, т.е.
a
b
2
2
tg
,
b2 const,

так как тангенс угла наклона между касательной к кривой и осью
абсцисс равен первой производной соответствующей функции.

Координатный способ задания движения точки

При координатном способе задания движения в выбранной
системе координат должны быть известны координаты точки
в виде функции от времени t:

x
f t
1( ),
y
f t
2( ),
z
f t
3( ).
(10)

Уравнения (10) называют уравнениями движения в проекциях на оси координат. С другой стороны, эти уравнения представляют уравнения траектории точки в параметрической форме.
Для получения их в явном виде нужно исключить параметр t
(время).
Зная уравнения (10), можно получить закон изменения проекций скорости на соответствующие оси координат:

dx
dt
vx
,
dy
dt
vy
,
dz
dt
vz
,
(11)

Кинематика точки
11

тогда величина скорости точки, выраженная через ее проекции:

v
dx
dt
dy
dt
dz
dt
v
v
v
x
y
z
2
2
2
2
2
2.
(12)

Направление вектора скорости v определяется формулами

cos
,

cos
,

cos

v

v
v
v

v

v
v
v

v

v
v

x

x
y
z

y

x
y
z

z

x

2
2
2

2
2
2

2

y
z
v
2
2
,

(13)

где , , — углы между вектором скорости и соответствующими осями координат.
Проекции ускорения точки на оси координат равны вторым
производным координат по времени:

d x
dt
ax

2

2 ,
d y
dt
ay

2

2 ,
d z
dt
az

2

2 .
(14)

Величина полного ускорения

a
d x
dt
d y
dt
d z
dt
a
a
x
y
2

2

2
2

2

2
2

2

2
2
2
2
az .
(15)

Направление вектора ускорения можно установить, определив углы 1, 1, 1 — между вектором ускорения и соответствующими осями координат:

cos
,

cos
,

cos

1
2
2
2

2
2
2

a

a
a
a

a

a
a
a

a

a

x

x
y
z

y

x
y
z

z

x
2
2
2
a
a
y
z
.

(16)

12
Основные понятия кинематики

Связь между координатным и естественным
способами задания движения точки

Если движение точки задано координатным способом, то для
перехода к естественному способу задания необходимо определить уравнение траектории точки, положение точки в начальный
момент времени t0 (координаты х0, у0, z0), а также закон движения точки по ее траектории:

s t
f
t
f
t
f
t dt

t

t
( )
( )
( )
( )
1
2
2
2
3
2

0
,
(17)

где s(t) — дуговая координата (расстояние точки от начала отсчета);
f t
1( ),
f t
2( ),
f t
3( ) — первые производные координат по времени.

П р и м е ч а н и е. Часто производную функции по времени обозначают не штрихом, а точкой сверху. Например,

·f
f
df
dt
;
·x
x
dx
dt
;
·v
v
dv
dt
и т.д.

Вторую производную соответственно обозначают двумя точками
сверху:

··f
f
d f
dt
2

2;
··x
x
d x
dt
2

2 ;
··v
v
d v
dt
2

2.

Векторный способ задания движения точки. Годографы

При векторном способе задания движения положение точки определяется радиусомвектором r, проведенным из произвольно выбранного центра O (рис. 5).
Радиусвектор есть функция времени:

r
f t
( ),
(18)

или в проекциях на оси координат

r
xi
yj
zk
.
(19)
Вектор скорости

v
dr
dt
,
(20)

Кинематика точки
13

Рис. 5