Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал), 2015, № 6 (спецвып.25)

ГОРНЫЙ
ИНФОРМАЦИОННОАНАЛИТИЧЕСКИЙ
БЮЛЛЕТЕНЬ № 6
СПЕЦИАЛЬНЫЙ
ВЫПУСК 25

ИССЛЕДОВАНИЕ
ПОГРЕШНОСТЕЙ
СПУТНИКОВОЙ
РАДИОНАВИГАЦИОННОЙ
СИСТЕМЫ

УДК 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
П 23 

621.396 
П 23 
 
 
Книга соответствует «Гигиеническим требованиям к изданиям книжным для взрослых» СанПиН 1.2.1253-03, утвержденным Главным государственным санитарным врачом России 30 марта 2003 г. (ОСТ 
29.124—94). Санитарно-эпидемиологическое заключение Федеральной 
службы по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия
человека № 77.99.60.953.Д.014367.12.14 
 
 
Певзнер Л.Д., Костиков В.Г., Костиков Р.В., Горев П.А.  

Исследование погрешностей спутниковой радионавигацион
ной системы. Отдельная статья: Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). — 2015. —
№ 6 (специальный выпуск 25). — 24 с. — М.: Издательство «Горная книга» 
ISSN 0236-1493 

Исследованы погрешности измерений в навигационных системах. Так 
как данные погрешности определяются нелинейными преобразованиями 
сигналов и изменением характеристик среды распространения сигналов, указанные системы относят к открытым диссипативным с внутренним трением. 
В этом случае к анализу погрешностей измерений может быть применена
модель детерминированного хаоса. Точность измерений по сигналам навигационных спутников определяется влиянием ионосферы и тропосферы, а
также погрешностью эфемерид и частотно-временных параметров навигационных космических аппаратов. В результате проведённого исследования 
разработано математическое описание погрешностей измерений параметров 
спутниковой системы радионавигации, топопривязки и ориентирования мобильных наземных объектов с помощью цилиндрической модели при использовании приближённого метода интегральной аппроксимации.  
Ключевые слова: навигационные системы, детерминированный хаос, ГЛОНАСС, инерциальная навигация, спутниковая навигация, интегрированные системы, погрешности измерений. 

УДК 621.396

©  Л.Д. Певзнер, В.Г. Костиков,  
Р.В. Костиков, П.А. Горев, 2015 
©  Издательство «Горная книга», 2015 

ISSN 0236-1493 

©  Дизайн книги. Издательство  
«Горная книга», 2015 

 
 

Спутниковые радионавигационные системы (СРНС) используют при выполнении геологоразведочных (в том числе на прибрежном шельфе), строительных, картографических, поисковоспасательных работ, для диспетчерского управления самолётами 
и морскими судами, наведения воздушных средств поражения, 
обеспечения систем единого времени. Во многих случаях стоит 
задача определения координат мобильного объекта с заданной 
точностью. Например, погрешности вычислений системы топопривязки наземных мобильных объектов при работе по группировке навигационных спутников «ГЛОНАСС» и пространственном геометрическом факторе не хуже 2,5 не должны превышать 
следующих значений: 
— 25 м (на уровне 1 СКО) геодезических координат (B, L) 
относительно эллипсоида Крассовского и прямоугольных координат (x, y) проекции Гаусса-Крюгера в СК-42; 
— 0,2 м/с текущей путевой скорости (VT) в плоскости горизонта; 
— 25 м (на уровне 1 СКО) высоты [H] в Балтийской системе; 
— 1 мкс (на уровне 2 СКО) выдачи по каналу московского 
декретного времени сигнала «1 Гц» (физической метки времени) 
в подстраиваемой шкале времени UTC (Россия). 
Известно, что точность измерения координат объектов определяется пиковой мощностью излучения радиолокационной 
станции, параметрами зондирующих импульсов, временем накопления сигналов в радиоприёмном устройстве. Изменения параметров сигналов спутников определяются доплеровским сдвигом 
в связи с движением спутника по орбите, перемещением наземного навигационного комплекса, смещением эталона частоты 
спутника, динамикой характеристик ионосферы. 
Изменение характеристик ионосферы происходит под воздействием различных явлений естественного (например, описанного в работе [1]) и искусственного происхождений. К внешним 
влияющим величинам необходимо отнести ударные волны в результате нестационарностей в космической плазме [2] и сейсмические события, которые проявляются как детерминированный 
хаос во фрактальной среде [3]. Разнообразие влияющих величин 
приводит к тому, что в навигационном поле содержатся сигналы 
различных частот. Поэтому изменение фаз сигналов, принимае

мых наземным мобильным навигационным комплексом, имеет 
нелинейный случайный характер. Для упрощения анализа в литературе (например. [4]) считают, что на отдельных интервалах 
времени фазы сигналов спутников изменяются линейно, при этом 
пренебрегают взаимной связью фазы сигнала со временем его 
распространения. Однако фазовые измерения в отличие от других 
измерений в спутниковой навигации отличаются принципиально 
наличием постоянной неопределённой составляющей, что определяет требования к длительности промежутка времени измерений [5]. 
Таким образом, погрешность фазовых измерений в навигационных системах определяется нелинейными преобразованиями 
сигналов и изменением характеристик среды распространения 
сигналов, поэтому такие системы относят к открытым диссипативным с внутренним трением. В этом случае к анализу погрешностей фазовых измерений может быть применена модель детерминированного хаоса [6, 7]. 
При анализе хаотической системы поведение её рассматривают обычно как процесс, начинающийся из определённой точки. 
Как известно, поведение такой системы весьма чувствительно к 
начальным условиям, которые могут быть заданы лишь с конечной точностью. Траектории из двух различных точек, расстояние 
между которыми может быть сколь угодно малым, расходятся до 
некоторого состояния, т.е. траектория процесса принимает хаотический характер и ошибки с течением времени нарастают. 
Скорость расхождения траекторий определяется параметрами 
системы и характеристиками влияющих величин (как внешних, 
так и внутренних). При этом закон нарастания ошибок определяется принятой моделью хаотического процесса. В ряде работ (например, [8]) принято, что значительное расхождение в поведении 
динамической системы при весьма малой неточности начальных 
условий имеет экспоненциальный характер. Используют модели 
и с другим поведением. Так, в работе [9] выполнены марковские 
разбиения для динамических систем, поведение которых принято 
гиперболическим. 
В пользу гиперболического характера поведения динамической системы говорит и тот факт, что линии равного доплеровского сдвига частоты при горизонтальном перемещении радиоло

кационной станции представляют собой гиперболы 
[10]. 
Поэтому 
вначале приведём анализ для случая, когда 
процесс 
расхождения 
близких вначале траекторий в области фазового пространства имеет гиперболический характер. Для получения 
аналитических зависимостей, описывающих поведение динамической системы, предлагается 
использовать 
модель, 
в 
которой 
совокупность 
начальных состояний системы представляет собой круглую 
площадку радиуса R. Геометрию процесса можно представить 
моделью в ортогональной системе эллиптических координат, 
предложенной в работе [11] и показанной на рис. 1. В области 
фазового пространства близкие вначале состояния системы 
расходятся 
по 
гиперболическим 
траекториям 
(линии 
1). 
Расстояние а между центром круга 0 и точкой А на круге, из 
которой начинается гиперболическая траектория, определяет 
геометрию последней. Полуэллипсоиды (линии 2) представляют 
собой 
поверхности, 
характеризующиеся 
одинаковым 
воздействием F влияющих величин на параметры сигналов. 
Пересечение гиперболической траектории с полуэллипсоидом 
(точка В) определяет отклонение b параметра сигнала от его 
исходного направления, совпадающего с направлением оси x. 
Для принятой модели распределение влияющих величин 
можно представить уравнением Лапласа 

2
2

2
2
1
0
F
F
F
a
a
a
x
∂
∂
∂
+
⋅
+
=
∂
∂
∂
. 
(1) 

Для решения уравнения (1) принимаем следующие граничные условия: 

2
2
2
0

,
;

0;
;
x

K
a
R
F
R
x
a
R
=

⎧−
<
∂
⎪
=
π
⎨
∂
⎪
>
⎩

 
(2) 

Рис. 1. Модель расхождения близких вначале
траекторий процесса в системе эллиптических координат 

( , )
0.

a
x

F a x

=∞
=∞

=
 
(3) 

Особенностью системы уравнений (1) — (3) являются разрывные граничные условия (2), поэтому для решения этой системы применим интегральное преобразование Ганкеля [12] 

*
*
0
0
( , )
( , )
(
)
F
m a
aF
a x J
ma da

∞
= ∫
. 
(4) 

Здесь т — положительное число, 
0(
)
J
ma  – функция Бесселя 
первого рода нулевого порядка, 
Подвергнув уравнение (1) преобразованию Ганкеля (4), получим 

2
2

0
2
2
0

1
(
)
F
F
F J
ma a da
a
a
a
x

∞⎛
⎞
∂
∂
∂
+
⋅
+
=
⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠
∫
 

2
2

0
0
2
2
0
0

1
(
)
(
)
F
F
F
aJ
ma da
a
J
ma da
a
a
a
x

∞
∞
⎛
⎞
∂
∂
∂
+
⋅
+
⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠
∫
∫
. 
(5) 

Правая часть уравнения (5) содержит два интеграла. Вначале 
определим первый интеграл указанного уравнения. 

2

0
0
2
0
0

1
(
)
(
)
F
F
F
aJ
ma da
a
a
aJ
ma da
a
a
a
a
a

∞
∞
⎛
⎞
∂
∂
∂
∂
⎛
⎞
+
⋅
=
=
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
∫
∫
 

0
0
(
)
F
a
J
ma da
a
a

∞ ∂
∂
⎛
⎞
=
=
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
∫
 

0

'
0

(
)

(
)

F
J
ma
d
a
da
a
a
F
d
J
ma da
a a

∂
∂
⎛
⎞
μ =
ν =
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
=
=
∂
μ =
ν =
∂

 

'
0
0
0
0
(
)
(
)
F
F
J
ma a
a
J
ma da
a
a

∞
∞
∂
∂
=
−
∂
∂
∫
. 
(6) 

При условии 
0

a

F
a
=∞

∂
=
∂
 

уравнение (6) упрощается (первый член равен нулю) и принимает 
вид 

''
0
0
(
)
F
a
J
ma da
a

∞
∂
−
=
∂
∫
 

'
0

'
''
0
0

(
)

(
)
(
)

F
J
ma
d
da
a
d
J
ma
aJ
ma
da
F

∂
μ =
ν = ∂
=
=
⎡
⎤
μ =
+
ν =
⎣
⎦

 

'
'
''
0
0
0
0
0
(
)
(
)
(
)
aJ
ma F
F J
ma
aJ
ma
da

∞
∞

⎡
⎤
= −
+
+
⎣
⎦
∫
. 
(7) 

В полученном выражении (7) первый член также равен нулю. 
Рассмотрим уравнение Бесселя [13] нулевого порядка, состоящее 
из трёх слагаемых: 

''
'
2
0
0
0
1
(
)
(
)
(
)
0
J
ma
J
ma
m J
ma
a
+
+
=
. 

Перенесём третье слагаемое в правую часть уравнения: 

''
'
2
0
0
0
1
(
)
(
)
(
)
J
ma
J
ma
m J
ma
a
+
= −
. 

С учётом зависимости (4) имеем 

''
'
0
0
0

1
(
)
(
)
Fa J
ma
J
ma
da
a

∞
⎡
⎤
+
=
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
 

2
2
*
0
0
(
)
(
)
m FaJ
ma da
m F
mx

∞
= −
= −
∫
. 
(8) 

Второй интеграл уравнения (5) после преобразования приводится к следующему соотношению: 

2
2
*

0
2
2
0
(
)
F
F
a
J
ma da
x
x

∞
∂
∂
=
∂
∂
∫
. 

В результате уравнение (1) для изображения F* можно представить в следующем виде: 

(
)

2
*
2
*
2
0
F
m
F
x
∂
−
=
∂
. 
(9) 

С помощью преобразования Ганкеля граничное условие (2) 
записывается в виде следующего уравнения: 

2

0
1
2
2
2
0
0
(
)
(
)

R

x
a R

F
K
K
F
aJ
ma da
J mR
x
R
R
m
=
<

∂
= −
= −
⋅
∂
π
π
∫
, 
(10) 

где 
1(
)
J mR - функция Бесселя первого рода первого порядка. 
Также имеем 

2

2
0
0
x
a R

F
x
=
>

∂
=
∂
; 
(11) 

*
0
x
F
=∞ =
. 
(12) 

Решение уравнения (9) ищем в виде 

*
( )exp(
)
( )exp(
)
F
M m
mx
N m
mx
=
−
+
. 
(13) 

С учётом условия (12) коэффициент N(m) = 0 и решение (13) 
упрощается: 

*( , )
( )exp(
)
F
m x
M m
mx
=
−
. 
(14) 

Из уравнения (14) с учётом условия (10) следует 

2

1
2
0

1
( )
(
)
x
a R

F
K
M m m
J mR
x
R m
=
<

∂
= −
= −
⋅
⋅
∂
π
, 

откуда определим коэффициент M(m): 

1
2
1
( )
(
)
K
M m
J mR
R m
=
⋅
⋅
π
. 
(15) 

В итоге решение уравнения (9) примет вид 

*
1
2
1
( , )
(
)exp(
)
K
F
m x
J mR
mx
R m
=
⋅
⋅
−
π
.  
(16) 

После применения обратного преобразования Ганкеля к 
уравнению (16) получим зависимость для определения функции 
F(a, x): 

*
0
0
( , )
( , )
(
)
F a x
F
m x mJ
mx dm

∞
=
=
∫
 

1
0
0
(
)
(
)
exp(
)
K
dm
J mR J
ma
mx
R
m

∞
=
−
π∫
.  
(17) 

Зависимость (17) позволяет определить значение влияющей 
величины в различных точках полупространства х > 0. На круглой площадке (х = 0) среднее значение влияющей величины принимаем равным F0. При удалении от площадки (x = ∞) имеем F∞ = 0. 
Согласно работе [14] справедливы соотношения: 

(
)

0
2
0

1
0
2
0
0

1
( ,0)2

1
2
(
)

R

R

F
F a
a da
R

K
dm
J
mR
aJ
ma da
R
R
m

∞

=
π
=
π

⎡
⎤
=
π
=
⎢
⎥
π
π
⎣
⎦

∫

∫
∫

 

(
)
(
)
1
1
2
0

1
2
K
dm
J
mR
RJ
mR
R
R
m

∞
=
π
=
π
π∫
 

(
)

2
1
2
0

2K
dm
J
mR
R
m

∞
= π
∫
.  
(18) 

Полученные зависимости учитывают такие нерегулярные 
явления в околоземном космическом пространстве, как прямое 
воздействие кратковременных всплесков мощных радиошумов 
Солнца, которое приводит к внезапному отказу аппаратуры навигационной системы [15]. В геометрической модели гиперболические траектории состояния системы, соответствующие подобным 
нерегулярным явлениям, отклоняются в наибольшей степени от 
начального направления. При отсутствии экстремальных условий 
эксплуатации для динамических систем характерны траектории, 
расхождение которых ограничено, что видно из следующих примеров. Так, на рис. 2 [16] видны погрешности определения координат, полученные по результатам лётных испытаний инерциальной системы на самолёте. При анализе достаточно большого 
количества реальных полётов выявлены погрешности определения скоростей (рис. 3). 
На рис. 4 приведены графики погрешностей вычисления истинного курса, а на рис.5 – графики погрешностей вычисления 
углов крена и тангажа. 

Рис. 2. Погрешности определения координат 
 

 
Рис. 3. Погрешности определения скоростей 
 
Из приведённых графиков следует, что погрешности группируются в областях, пространственная геометрия которых может 
быть представлена цилиндрической моделью. В этом случае 
можно принять упрощённую модель в виде полуограниченного 
цилиндра с конечным радиусом, для расчёта которой целесообразно использовать приближённый метод интегральной аппроксимации.